人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二6.4.2 平面向量的應(yīng)用（精講）（解析版）

6.4.2平面向量的應(yīng)用（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點一平面向量在物理上應(yīng)用【例1】（2023·哈爾濱）在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當時，D．當時，【答案】B【解析】如圖，對于選項A：當、方向同向時，有，此時取得最小值，且最小值為，A正確；對于選項B：當時，有，行李包不會處于平衡狀態(tài)，即，B錯誤；對于選項C：當行李包處于平衡時，，若，則有，變形得，，即，正確；對于D選項：若，則有則有，變形可得則有，D正確，故選：B．【一隅三反】1．（2022·山東）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.2．（2022·全國·高一）長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設(shè)和的夾角為，北岸的點在A的正北方向，則游船正好到達處時，等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)船的實際速度為，因為點在A的正北方向，所以，所以.故選：D.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運動時，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（

）A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變【答案】AC【解析】設(shè)水的阻力為，船受到的拉力為，與水平方向的夾角為，則，故，因為不斷增大，所以不斷減小，故不斷增大.因為不斷增大，所以船受到的浮力不斷減??；故選：AC.考點二平面向量在幾何中的應(yīng)用【例2-1】（2022·河北）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運動，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【解析】建立如圖所示的坐標系,則,設(shè),則,且,故當時,的最小值為,故選：D.【例2-2】．（2022·北京通州）在中，，邊的中點為D，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，在中，邊的中點為D由，可得：，，可得：，，，可得：，（當且僅當時等號成立）則的最大值為4.故選：D.【一隅三反】1．（2022·黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動點，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【解析】如圖，以B點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，，因為，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以當，即時，的最小值為7，故選：D．2．（2022·貴州）是邊長為6的等邊三角形，點，分別在邊，上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以所在的邊為x軸、垂直平分線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)，則，，則，所以，則則的最小值為，故選：D.3．（2022·四川雅安）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【解析】因為在等腰直角中，斜邊，所以，因為、，所以，設(shè)，則，所以當時，取得最小值，故選：B考點三正余弦定理在實際生活應(yīng)用【例3】（2022·湖南）一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經(jīng)過10分鐘的航行，此時輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里【答案】A【解析】如圖，設(shè)A為輪船原來的位置，B為輪船10分鐘后的位置，C為燈塔的位置，由題意知，，．由余弦定理得，所以，化簡得，解得或（舍去），所以燈塔與輪船原來的距離為2海里，故選：A【一隅三反】1．（2022·黑龍江）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在，，，，又，由正弦定理得：，，樹的高度為(m).故選：A．2．（2022·安徽）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的點A測得的仰角為（單位：），點在同一水平地面上，則大跳臺最高高度（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，，則，∴，由正弦定理可得，則，在Rt中，，∵，則.故選：A．3．（2022·山東臨沂·高一期末）一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進60m到達點B，在點B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h，在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴是以C為直角頂點的直角三角形，在中，∠CBD=30°，∴BC=，在中，由余弦定理可得，∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故選：B.考點四正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)【例4】（2022·新疆）設(shè)函數(shù)，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題設(shè)，，所以，當時的最小值為.(2)由，得：，則，又，所以，故，則.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，則.【一隅三反】1．（2022·廣東揭陽）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）據(jù)圖象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由題意得的面積為，解得，由余弦定理得，解得：.2．（2022·青海）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡得：，又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.∴.3．（2022·甘肅）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）最小正周期為，，；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（Ⅱ）由（1）可得，因為，可得，由正弦定理可知，所以，，由及為銳角三角形，解得，則.因為，可得，所以，所以.考點五正余弦定理的最值問題【例5-1】（2022·山東）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因為，所以，即，即，又，所以，因為，所以；（2），因為為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為．【例5-2】（2022·江蘇）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)設(shè)D為邊AB的中點，△ABC的面積為，求CD的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C，即，由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得，又，故可得.（2）由三角形面積可得，解得；又，故即，當且僅當時取得等號.故CD的最小值為.【一隅三反】1．（2022·廣東）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．①；②；③．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若．(1)求角C；(2)若，求△ABC周長的取值范圍．【答案】(1)(2)．【解析】（1）選①，由得：，即，所以，因為，故角；選②，由得：，，所以，因為，，所以，解得：；選③，因為，又因為，所以，∴，∵，∴，∴，因為，所以．（2）根據(jù)（1）可知：，又因為，由余弦定理得：，所以，即，當且僅當時取得等號，又因為根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有：所以，所以△ABC周長的取值范圍為．2．（2022·北京）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，是的面積,．(1)證明：A＝2C；(2)若a＝2，且為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：由，即，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴B＝π－3C，∵為銳角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，則，且，設(shè),，設(shè)，則，∴，，所以,為減函數(shù)，∴．3．（2022·廣東）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．己知．(1)求A；(2)若，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得：由正弦定理得：又，所以，故，即，則；（2）由正弦定理得：所以又因為，所以，又，故，故，則，所以故的取值范圍為．考點六正余弦定理在幾何中應(yīng)用【例6】（2022·甘肅）如圖，△ABC中，點D為邊BC上一點，且滿足．(1)證明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于為三角形內(nèi)角,所以，由(1)知,故因此,進而得【一隅三反】1．（2022·山西）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）解：連接，因為，，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，四邊形周長的最大值為.2（2022·廣東）如圖，在平面四