人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二10.2 事件的相互獨(dú)立性（精講）（解析版）

10.2事件的相互獨(dú)立性（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一事件獨(dú)立性的判斷【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列A，為獨(dú)立事件的是__________________（寫出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)）．①投擲骰子一次，A：投出點(diǎn)數(shù)為3，：投出點(diǎn)數(shù)為2；②投擲骰子兩次，A：第一次投出點(diǎn)數(shù)為3，：第二次投出點(diǎn)數(shù)為5；③從一副52張牌中，隨機(jī)不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，：第二張抽中7；④從一副52張牌中，隨機(jī)有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，：第二張抽中黑桃．【答案】②④【解析】①投擲骰子一次，A：投出點(diǎn)數(shù)為3，：投出點(diǎn)數(shù)為2則，則，則A，不為獨(dú)立事件；②投擲骰子兩次，A：第一次投出點(diǎn)數(shù)為3，：第二次投出點(diǎn)數(shù)為5則，則，則A，為獨(dú)立事件；③從一副52張牌中，隨機(jī)不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，：第二張抽中7；則，則，則A，不為獨(dú)立事件；④從一副52張牌中，隨機(jī)有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，：第二張抽中黑桃．則，則，則A，為獨(dú)立事件.故答案為：②④【一隅三反】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）投擲一顆骰子兩次，判斷事件是否獨(dú)立__________．第一次投出1點(diǎn)；兩次點(diǎn)數(shù)之和為7；兩次點(diǎn)數(shù)最大為2；兩次點(diǎn)數(shù)最小為2．【答案】相互獨(dú)立；不相互獨(dú)立．【解析】事件第一次投出1點(diǎn)，所以；兩次點(diǎn)數(shù)之和為7，所以；又因?yàn)?，所以相互?dú)立；事件兩次點(diǎn)數(shù)最大為2，其基本事件為：，所以；兩次點(diǎn)數(shù)最小為2，其基本事件為：，所以，所以，所以不相互獨(dú)立.故答案為：相互獨(dú)立；不相互獨(dú)立．2．（2023·高一單元測試）已知下列各組事件：①擲一次骰子，事件A：點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；②擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：兩次正面都朝上；③從10男10女中選兩個(gè)人分別擔(dān)任正副班長，事件A：正班長是男的，事件B：副班長是男的；④擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．其中A、B是獨(dú)立事件的序號(hào)是______.【答案】④【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，而，此時(shí)，所以事件與不獨(dú)立；對(duì)于②，擲兩次硬幣，可能的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則，而，此時(shí)，所以事件與不獨(dú)立；對(duì)于③，因?yàn)?，而，此時(shí)，所以事件與不獨(dú)立；對(duì)于④，擲兩次硬幣，可能的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則，而，此時(shí)，所以事件與相互獨(dú)立，綜上可知，A、B是獨(dú)立事件的序號(hào)為④．故答案為：④．3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）有兩個(gè)設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)，一個(gè)比較穩(wěn)重，記作，另一個(gè)具有創(chuàng)新性，記作．要求他們分別在一個(gè)月內(nèi)做一個(gè)設(shè)計(jì)，從過去的經(jīng)驗(yàn)知道：的成功概率為；的成功概率為；兩個(gè)團(tuán)隊(duì)中至少有一個(gè)成功的概率為．問：從過去的經(jīng)驗(yàn)推斷的成功及的成功是否相互獨(dú)立，并說明理由．【答案】的成功與的成功不相互獨(dú)立，理由見解析【解析】的成功與的成功不相互獨(dú)立．理由：，，，，從而可得的成功與的成功不相互獨(dú)立.考點(diǎn)二獨(dú)立事件與互斥事件辨析【例2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（

）A．相互獨(dú)立事件 B．不相互獨(dú)立事件C．互斥事件 D．對(duì)立事件【答案】A【解析】由題意可得表示第二次摸到的不是黑球,即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到白球互不影響,故事件與是相互獨(dú)立事件，由于與可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件也不是對(duì)立事件.故選：A.【例2-2】（2022重慶）已知A和B是隨機(jī)試驗(yàn)E中的兩個(gè)隨機(jī)事件，事件，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．A與B互斥 B．A與C互斥C．A與B相互獨(dú)立 D．A與C相互獨(dú)立【答案】C【解析】由題知，，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋珹發(fā)生時(shí)C一定發(fā)生，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，又，所以，故C正確；因?yàn)椋?，由，，故D錯(cuò)誤.故選：C【一隅三反】1．（2023遼寧沈陽）（多選）若，，，則事件與的關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）A．事件與互斥B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】由題意可得，因?yàn)?，，可得，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥不對(duì)立.故選：ABD．2．（2022秋·河南·高一武陟縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（

）A．事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”是互斥事件B．事件“甲投得6點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C．事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對(duì)立事件D．事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件【答案】ABC【解析】對(duì)于A，事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”不可能同時(shí)發(fā)生，二者為互斥事件，A正確；對(duì)于B,事件“甲投得6點(diǎn)”發(fā)生與否對(duì)事件“乙投得5點(diǎn)”沒有影響，二者是相互獨(dú)立事件，B正確；對(duì)于C，事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”的反面為“至少有1人沒有投得6點(diǎn)”，也即“甲?乙不全投得6點(diǎn)”，故事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙不全投得6點(diǎn)”是對(duì)立事件，C正確；對(duì)于D，事件“至少有1人投得6點(diǎn)”包含“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”的情況，故事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤，故選：3．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）（多選）同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，則（

）A．A與C互斥 B．B與D對(duì)立 C．A與相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】AD【解析】事件A：兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5，則為（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）事件C：表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同，則為（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）故事件A與事件C互斥，所以A正確；事件中與事件D會(huì)出現(xiàn)相同的情況，例如（2,1）（4,3）等故事件中與事件D不對(duì)立，故B不正確；事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”事件D的對(duì)立事件表示“擲出的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)點(diǎn)”所以,,所以故C不正確；,,所以故D正確；故選：AD.考點(diǎn)三求相互獨(dú)立事件的概率【例3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某次考試共有四個(gè)環(huán)節(jié)，只有通過前一個(gè)環(huán)節(jié)才能進(jìn)入后一個(gè)環(huán)節(jié)．現(xiàn)已知某人能夠通過第一、二、三、四環(huán)節(jié)的概率依次是，，，，且每個(gè)環(huán)節(jié)是否通過互不影響．求：(1)此人進(jìn)入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；(2)此人至多進(jìn)入第三環(huán)節(jié)的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）由獨(dú)立事件的概率乘法公式可得，此人進(jìn)入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；（2）此人進(jìn)入第一環(huán)節(jié)被淘汰的概率；此人進(jìn)入第二環(huán)節(jié)被淘汰的概率；此人進(jìn)入第三環(huán)節(jié)被淘汰的概率，此人至多進(jìn)入第三環(huán)節(jié)的概率為．【例3-2】（2022春·廣西梧州·高一校考開學(xué)考試）年月日，中國疾控中心成功分離中國首株新型冠狀病毒毒種，月日時(shí)分，重組新冠疫苗獲批啟動(dòng)臨床試驗(yàn).月日，中國新冠病毒疫苗進(jìn)入期臨床試驗(yàn)截至月日，全球當(dāng)前有大約種候選新冠病毒疫苗在研發(fā)中，其中至少有種疫苗正處于臨床試驗(yàn)階段現(xiàn)有、、三個(gè)獨(dú)立的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)，它們?cè)谝欢〞r(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是、、．求：(1)他們都研制出疫苗的概率；(2)他們都失敗的概率；(3)他們能夠研制出疫苗的概率．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：令事件在一定時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗，事件在一定時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗，事件在一定時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗，由題意可知，事件、、相互獨(dú)立，且，，.若他們都研制出疫苗，即事件、、同時(shí)發(fā)生，所以，，即他們都研制出疫苗的概率為．（2）解：他們都失敗，即事件、、同時(shí)發(fā)生，所以，.即他們都失敗的概率為．（3）解：“他們能夠研制出疫苗”的對(duì)立事件為“他們都失敗”，結(jié)合對(duì)立事件間的概率關(guān)系，可得所求事件的概率.即他們能研制出疫苗的概率為．【一隅三反】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）為了慶祝神舟十四號(hào)成功返航，學(xué)校開展“航天知識(shí)”競賽活動(dòng)，甲乙兩個(gè)班級(jí)的代表隊(duì)同時(shí)回答一道有關(guān)航天知識(shí)的問題，甲隊(duì)答對(duì)此題的概率是，乙隊(duì)答對(duì)此題的概率是，假設(shè)每隊(duì)答題正確與否是相互獨(dú)立的．(1)求甲乙兩隊(duì)都答對(duì)此題的概率；(2)求甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對(duì)此題的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設(shè)甲、乙隊(duì)答對(duì)此題分別為事件，則，記事件“甲乙兩隊(duì)都答對(duì)此題”，由于每隊(duì)答題正確與否是相互獨(dú)立的，所以，故甲乙兩隊(duì)都答對(duì)此題的概率為；（2）解：記事件“甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對(duì)此題”，由于每隊(duì)答題正確與否是相互獨(dú)立的，故.故甲乙兩隊(duì)至少有一隊(duì)答對(duì)此題的概率為.2．（2022秋·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．【答案】(1)0.21；(2)0.44；(3)0.94.【解析】（1）設(shè)事件：甲投籃命中;事件：乙投籃命中;事件：丙投籃命中.甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.（2）設(shè)事件:恰有兩人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.（3）設(shè)事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）第56屆世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對(duì)方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)．(1)已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，求甲乙兩人只需要再進(jìn)行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率；(2)已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來