人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二第8章 立體幾何初步 章末測(cè)試（基礎(chǔ)）（解析版）

第8章立體幾何初步章末測(cè)試（基礎(chǔ)）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分單選題(每題只有一個(gè)選擇為正確答案，每題5分，8題共40分)1．（2022云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）如圖所示的是一個(gè)五棱柱，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．該幾何體的側(cè)面是平行四邊形B．該幾何體有七個(gè)面C．該幾何體恰有十二條棱D．該幾何體恰有十個(gè)頂點(diǎn)【答案】C【解析】根據(jù)棱柱的定義可知，該幾何體的側(cè)面是平行四邊形，故A正確；該五棱柱有七個(gè)面，十五條棱，十個(gè)頂點(diǎn)，故B、D正確，C錯(cuò)誤；故選：C2．（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，是的直觀圖，其中，，那么是一個(gè)（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定【答案】A【解析】將直觀圖還原，則，，所以是正三角形.故選：A.3．（2022春·江蘇徐州·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．多面體至少有個(gè)面B．有個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形【答案】D【解析】對(duì)于A，多面體至少有個(gè)面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，有個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但各側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由棱柱定義知，棱柱的各側(cè)棱平行且相等，故側(cè)面是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確.故選：D．4．（江西省萍鄉(xiāng)市2023屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面BCD，，知三棱錐A-BCD可補(bǔ)形為以AD，DC，BD為三條棱的長(zhǎng)方體，如圖所示，三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，則，所以該三棱錐的外接球表面積為.故選：C．5．（2023·河南鄭州）已知在正方體中，交于點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】作出圖形如圖所示，連接，因?yàn)椋云矫嫫矫?，故平面，其他三個(gè)選項(xiàng)易知是錯(cuò)誤的.故選：C.6．（2023春·安徽）已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】記圓錐的底面半徑為r，則，解得，∴圓錐的高，∴該圓錐的體積為．故選：D．7．（2022·高一單元測(cè)試）在正四面體中，D，E，F(xiàn)側(cè)棱，，的中點(diǎn)，下列說法不正確的（

）A．面 B．面面C．面面 D．面【答案】B【解析】對(duì)于A：因?yàn)镈，E，F(xiàn)側(cè)棱，，的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以面，故A正確；對(duì)于B：過P作，平面平面，若面面，則面，∵面，∴.∵，面，面，∴面，∵面

∴，∵，，∴與不可能垂直，矛盾.故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于D：設(shè)正的中心Q，則點(diǎn)Q在AE上，連接PQ，由正四面體的性質(zhì)得面，又面，所以，又，，所以面，故D正確；對(duì)于C：由D選項(xiàng)解析得面，又面，所以面面，故C正確，所以不正確的選項(xiàng)是B選項(xiàng)，故選：B．8．（2022秋·寧夏）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，在棱上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接，，，由于分別是棱的中點(diǎn)，所以，故四邊形為平行四邊形，進(jìn)而,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.設(shè)，則，從而，，故,故異面直線與所成角的余弦值是.故選：C多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行【答案】BD【解析】對(duì)A，棱臺(tái)指一個(gè)棱錐被平行于它的底面的一個(gè)平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)棱延長(zhǎng)線需要交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；對(duì)C，用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，棱柱的面中，至少上下兩個(gè)面互相平行，故D正確；故選：BD10．（2022秋·山東濰坊）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．與所成的角為60°C．與是異面直線 D．平面【答案】ACD【解析】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：，，故，A正確B錯(cuò)誤；與是異面直線，C正確；平面平面，平面，平面，D正確.故選：ACD11．（2022秋·湖南常德）已知為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1，將繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的幾何體的體積可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為直角邊時(shí)，所得幾何體為圓錐，體積為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為斜邊時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，，故選：CD12．（2023山西）在長(zhǎng)方體中，已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．異面直線與所成的角為C．二面角的余弦值為D．四面體的體積為【答案】ACD【解析】因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，，所以，四邊形為正方形，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)易知，因?yàn)?，所以與不垂直，故與不垂直，所以B不正確；設(shè)與交于，連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，故為等腰三角形，所以，由于，所以為二面角的平面角，在中，，所以，所以，故C正確：四面體的體積為，所以D正確，故選：ACD．三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2021秋·青海）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為__________．【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為．由條件有：，圓柱的高為，所以圓柱的體積為．故答案為：14．（2022秋·上海黃浦）如圖所示，在正方體中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則異面直線與EF所成的角的大小為_________.【答案】【解析】如圖，連接，則，故（或其補(bǔ)角）即為所求，又，所以，故答案為：.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，是利用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖，已知軸，，且的面積為16，過作軸，則的長(zhǎng)為______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，?故答案為：.16．（2022上海嘉定）下列命題中正確的命題為__________.①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點(diǎn)共線；②若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面；③若直線異面，異面，則異面；④若，則.【答案】①②【解析】對(duì)于①，設(shè)平面平面，因?yàn)椋云矫?，所以，同理，，故三點(diǎn)共線，①正確；對(duì)于②，因?yàn)椋钥梢源_定一個(gè)平面，因?yàn)樗裕?，又，所以，因?yàn)椋曰?，又，所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確；對(duì)于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯(cuò)誤，如下右圖；對(duì)于④，，但，所以④錯(cuò)誤，如下左圖.故正確的命題為①②.故答案為：①②四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2022陜西）如圖，在正四棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱，是棱的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）在正四棱柱中，四邊形為矩形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則有，而平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，，，的面積，所以求三棱錐的體積．18．（2023遼寧葫蘆島·）如圖，邊長(zhǎng)是6的等邊三角形和矩形.現(xiàn)以為軸將面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使之形成四棱錐，是等邊三角形的中心，，分別是，的中點(diǎn)，且，面，交于.(1)求證面(2)求和面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)槊妫婷妫?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是等邊三角形，所以，因?yàn)樵诰匦沃?，，分別是，的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，面，所以面，因?yàn)?，所以?（2）在線段上取點(diǎn)使得，連接，因?yàn)槭堑冗吶切蔚闹行模?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以和面所成角等于和面所成角，由?）得面，又，所以面，即面，所以和面的所成角為，即為所求，在中，，則，因?yàn)?，所以，?lián)立，解得，所以和面所成角的正弦值為..19．（2022秋·上海虹口）如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，，，求圓柱的側(cè)面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：底面，且底面，，又，且，平面，平面；（2）在中，，，，又在中，，．圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為4，圓柱的側(cè)面積為．20．（2023河南）如圖所示，在四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，，，平面平面．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)?，，，所以且．而，故四邊形為矩形，則．因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．又平面，平面，故且．因?yàn)?，，，所以，即．而，故平面．?）記點(diǎn)到平面的距離為．如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則平面．因?yàn)?，故．因?yàn)槠矫妫裕?，．因?yàn)?，即，故?1．（遼寧省遼南協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期初校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角為，，，，，，．(1)求證：平面ADE；(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)F到平面ABCD的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE；（2）∵，，∴即為二面角的平面角，∴，又，平面ADE，所以平面ADE，作于O，因?yàn)槠矫鍭DE，所以，又，平面CDEF，所以平面CDEF，連結(jié)CO，所以直線AC與平面CDEF所成角為，，，所以．直線AC與平面CDEF所成角的正弦值為；（3）由（2）得平面CDEF，又，所以距離，又由已知可得，，，所以．22．（2022秋·貴州安順）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)點(diǎn)在棱上，滿足且三棱錐的體積為，求的值.【答案】(1)證明見解析.(2).【解析】（1）由題意底面，,，則底面為直角梯形