人教版九年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題15隨機事件、求概率、概率的應(yīng)用(原卷版+解析)

專題15隨機事件、求概率、概率的應(yīng)用考點一隨機事件考點二列舉法求概率考點三列表法或樹狀圖法求概率考點四通過求概率判斷游戲的公平性考點五用頻率估計概率考點六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用考點一隨機事件例題：（2022·浙江·九年級單元測試）下列所給的事件中，是必然事件的是（

）A．某校的400名學生中，至少有2名學生的生日是同一天B．買10注福利彩票會中獎C．連續(xù)4次投擲質(zhì)地均勻的硬幣，會有1次硬幣正面朝上D．2021年的春節(jié)假期乳山會下雪【變式訓練】1．（2021·甘肅·蘭州市第五十二中學七年級期末）下列事件中，是確定事件的是（）A．打開電視機，它正在播放花樣滑冰B．買一張電影票，座位號是奇數(shù)C．度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°D．明天晚上會看到月亮2．（2022·廣東·深圳大學附屬教育集團外國語中學七年級期中）下列事件中，是隨機事件的是（

）A．通常加熱到時，水沸騰B．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是D．明天太陽從東方升起3．（2021·浙江紹興·九年級期中）（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不確定事件？（填入題后括號內(nèi)）①校運會上，我班一位女同學的100米跑成績是12秒11．（事件）②人在地球上所受的重力比在月球上?。ㄊ录垡粋€四邊形四個內(nèi)角的和等于360°．（事件）（2）寫出一個不確定事件．（只需寫一個，填在下面的橫線上）考點二列舉法求概率例題：（2022·廣東·九年級單元測試）在數(shù)字，，，，中任選兩個組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級單元測試）有4條線段長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．12．（2022·全國·九年級課時練習）張華的哥哥在香港工作，今年“五·一”期間，她想讓哥哥買幾本科技書帶回家，于是發(fā)短信給哥哥，可一時記不清哥哥手機號碼后三位數(shù)的順序，只記得是0，2，8三個數(shù)字，則張華一次發(fā)短信成功的概率是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東·九年級單元測試）從3、5、6、9四個數(shù)中隨機取一個數(shù)，不放回，再隨機取一個數(shù)，把第一個數(shù)作為十位數(shù)字，第二個數(shù)作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．考點三列表法或樹狀圖法求概率例題：（2022·陜西·無九年級階段練習）在一個不透明的口袋中裝有四個大小質(zhì)地相同的小球，上面分別標有數(shù)字1、2、3、4每次摸球前將袋子攪拌均勻。(1)若從這四個小球中隨機抽取一個小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是___________；(2)若從這四個小球中隨機抽取兩個小球，用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩個小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少?【變式訓練】1．（2022·陜西·西安市西光中學九年級階段練習）“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：歡歡、笑笑兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設(shè)歡歡、笑笑兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．(1)笑笑每次做出的手勢不是“剪刀”的概率為(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求笑笑贏的概率．2．（2021·河北·唐山市第九中學九年級階段練習）有四張形狀、大小和質(zhì)地一樣的卡片A、B、C、D，正面分別畫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張，接著再隨機抽取一張．(1)請你用樹形圖或列表的方法列舉出可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，并求兩次抽取的正多邊形邊數(shù)和最小的概率；(2)求兩次抽取的正多邊形既是中心對稱又是軸對稱圖形的概率．3．（2022·廣東·樂昌市新時代學校二模）某校為了加強同學們的安全意識，隨機抽取部分同學進行了一次安全知識測試，按照測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個等級，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．(1)參加測試的學生人數(shù)為，等級為優(yōu)秀的學生的比例為；(2)扇形統(tǒng)計圖中，“合格”部分扇形所對應(yīng)的圓心角為；成績的中位數(shù)在等級里（填“優(yōu)秀、良好、合格、不合格”其中一個）(3)該校有600名學生，請估計全校安全意識較強（測試成績能達到良好以上等級）的學生人數(shù)；(4)成績?yōu)閮?yōu)秀的甲、乙兩位同學被選中與其他學生一起參加安全宣講活動，該活動隨機分為A，B，C三組．求甲、乙兩人恰好分在同－組的概率．考點四通過求概率判斷游戲的公平性例題：（2022·廣東·九年級單元測試）有3張背面相同的紙牌，，，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；(2)小華和小明玩游戲，規(guī)則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用，，表示）【變式訓練】1．（2022·全國·九年級單元測試）有7張紙簽，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，小明從中任意抽取一張紙簽（不放回），小穎從剩余的紙簽中任意抽取一張，誰抽到的數(shù)字大誰就獲勝，然后兩人把抽到的紙簽都放回，重新開始游戲．(1)現(xiàn)小明已經(jīng)抽到數(shù)字4，然后小潁抽紙簽，那么小明獲勝的概率是多少？小穎獲勝的概率又是多少？(2)若小明已經(jīng)抽到數(shù)字6，小明、小穎獲勝的概率分別是多少？2．（2022·河南·溫縣黃莊鎮(zhèn)第一初級中學七年級期末）麗麗和小明兩位同學一起玩飛鏢游戲，飛鏢的靶子設(shè)計如圖所示，已知從里到外的三個圓的半徑分別為，，，圓形靶子被分為，，三個區(qū)域．如果飛鏢投出后沒有落在靶子上，或是停留在圓周上，那么可以重新投鏢．(1)分別求出飛鏢落在三個區(qū)域的概率；(2)麗麗和小明約定，如果飛鏢停落在，區(qū)域，則麗麗得三分，如果飛鏢落在區(qū)域，則小明得一分，你認為這個游戲公平嗎？說明理由．如果不公平，請你修改得分規(guī)則，使這個游戲公平．3．（2021·貴州畢節(jié)·七年級期末）“六一”兒童節(jié)，全校要舉辦文藝匯演活動，小玉和小露都想去當節(jié)目主持人，但現(xiàn)在只有一個名額，小露設(shè)計了一個游戲，她將轉(zhuǎn)盤（均質(zhì)的）均分成6份，并依次寫到1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，如圖所示，游戲規(guī)定：隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指到的數(shù)字是2的倍數(shù)，則小露去；若指針指到的數(shù)字是3的倍數(shù)，則小玉去．(1)該游戲是否公平？為什么？請說明理由；(2)若該游戲公平，請你設(shè)計一個有利于小玉獲勝的游戲規(guī)則，若該游戲不公平，你能將這個游戲改進后，使得游戲公平嗎？請寫出你的游戲規(guī)則，并說明理由．考點五用頻率估計概率例題：（2022·甘肅蘭州·七年級期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)摸到白球的次數(shù)摸到白球的頻率(1)填空：表中的______；(2)根據(jù)表中，從口袋中隨機摸出一個球，估計它是白球的概率（精確到0.1）．【變式訓練】1．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學八年級階段練習）某公司的一批某品牌襯衣的質(zhì)量抽檢結(jié)果如下：抽檢件數(shù)50100200300400500次品件數(shù)0414192430(1)求從這批襯衣中任抽1件是次品的概率．(2)如果銷售這批襯衣600件，至少要準備多少件正品襯衣供買到次品的顧客退換?2．（2022·全國·九年級專題練習）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球，這些球除顏色外都相同．小穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是試驗中的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n10205010020040050010002000摸到白球的次數(shù)m4710284597127252498摸到白球的頻率0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.2520.249(1)摸到白球的概率的估計值是多少？請說明理由．（精確到0.01）(2)某小組進行“用頻率估計概率”的試驗，符合（1）中結(jié)果的試驗最有可能的是（填序號）．①投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上．②甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產(chǎn)生一名幸運觀眾，正好抽到甲．③擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點數(shù)分別為1到6），落地時面朝上點數(shù)“小于3”．3．（2022·江蘇·興化市樂吾實驗學校八年級階段練習）自2009年以來，“中國·興化千垛菜花旅游節(jié)”享譽全國．“河有萬灣多碧水，田無一垛不黃花”所描繪的就是我市發(fā)達的油菜種植業(yè)．為了解某品種油菜籽的發(fā)芽情況，農(nóng)業(yè)部門從該品種油菜籽中抽取了6批，在相同條件下進行發(fā)芽試驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：批次123456油菜籽粒數(shù)100400800100020005000發(fā)芽油菜籽粒數(shù)31865279316044005發(fā)芽頻率0.8500.7950.8150.7930.801(1)分別求和的值；(2)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，直接寫出該品種油菜籽發(fā)芽概率的估計值（精確到0.1）；(3)農(nóng)業(yè)部門抽取的第7批油菜籽共有8000粒．請你根據(jù)問題（2）的結(jié)果，通過計算來估計第7批油菜籽在相同條件下進行發(fā)芽試驗時的發(fā)芽粒數(shù)．考點六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用例題：（2021·全國·九年級專題練習）超市舉行有獎促銷活動：凡一次性購物滿300元者即可獲得一次搖獎機會．搖獎機是一個圓形轉(zhuǎn)盤，被分成16等分，搖中紅、黃、藍色區(qū)域，分獲一、二、三獲獎，獎金依次為60、50、40元．一次性購物滿300元者，如果不搖獎可返還現(xiàn)金15元．（1）搖獎一次，獲一等獎的概率是多少？（2）老李一次性購物滿了300元，他是參與搖獎劃算還是領(lǐng)15元現(xiàn)金劃算，請你幫他算算．【變式訓練】1．（2021·山東煙臺·七年級期末）新冠疫情以來，各地政府為活躍消費市場，釋放消費潛力，各商家采取各種促銷以此來對沖疫情影響．某商場為了吸引顧客，設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖，轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份），并規(guī)定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券（若指向邊界則重轉(zhuǎn)），憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物．如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券30元．（1）求轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的概率；（2）某顧客在此商場購物220元，通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤獲得購物券和直接獲得購物券，你認為哪種方式對顧客更合算？談?wù)勀愕睦碛桑?．（2021·全國·九年級專題練習）某高級酒店為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，如圖所示，并規(guī)定：顧客消費100元以上(不包括100元)，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準九折、八折、七折、五折區(qū)域顧客就可以獲得此項待遇(轉(zhuǎn)盤等分成16份)(1)甲顧客消費80元，是否可獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會?(2)乙顧客消費150元，獲得打折待遇的概率是多少?他獲得九折，八折，七折，五折待遇的概率分別是多少?3．（2022·山西大附中一模）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次搖獎的機會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍兩藍禮金券（元）18918(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．一、選擇題1．（2021·黑龍江佳木斯·九年級期中）下列說法中，正確的是（

）A．“打開電視，正在播放電視劇”是必然事件B．“若a，b互為相反數(shù)，則a+b＝0”，這一事件是隨機事件C．“2，5，4，2的中位數(shù)一定是2”，這一事件是不可能事件D．“佳木斯明天降雨的概率是60%”，意思是佳木斯明天有60%的時間在降雨2．（2022·安徽·中考真題）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022·陜西·西安市西光中學九年級階段練習）點P的坐標是(m，n)，從﹣3，﹣2，0，2，4這五個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的值，再從余下的四個數(shù)中任取一個數(shù)作為n的值，則點P(m，n)在平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．4．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學八年級期末）用圖中兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲:分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍色，即可配成紫色(若指針指在分界線上，則重轉(zhuǎn))，則配成紫色的概率為（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預(yù)測）某校生物興趣小組為了解種子發(fā)芽情況，重復做了大量種子發(fā)芽的實驗，結(jié)果如下：實驗種子的數(shù)量n1002005001000500010000發(fā)芽種子的數(shù)量m9818248590047509500種子發(fā)芽的頻率0.980.910.970.900.950.95根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該種子發(fā)芽的概率是（

）A．0.90 B．0.98 C．0.95 D．0.91二、填空題6．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學八年級階段練習）小紅通過一個設(shè)有紅綠燈的十字路口時遇到綠燈，這是_______事件（填“隨機”或“確定”）．7．（2022·甘肅·甘州中學七年級期末）一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球共5個球，這些球除顏色不同外，其余均相同，從中任意摸出一個球，這個球是白球的概率為_____．8．（2022·湖北襄陽·中考真題）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)的概率是__．9．（2022·河南·鄭州楓楊外國語學校七年級期末）用七巧板擺成如圖所示圖形，一只螞蟻在此圖形上任意爬行，已知它停在這副七巧板上的任何一點的可能性都相同，那么它停在陰影部分的概率是_____．10．（2021·浙江紹興·九年級期中）某農(nóng)科院在相同條件下做了某種玉米種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如下：種子總數(shù)100400800100035007000900014000發(fā)芽種子數(shù)9135471690131645613809412614發(fā)芽的頻率0.910.8850.8950.9010.9040.9020.8990.901則該玉米種子發(fā)芽的概率估計值為_____（結(jié)果精確到0.1）．三、解答題11．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）一個不透明的口袋中裝有四個完全相同的小球，上面分別標有數(shù)字1，2，3，4．(1)從口袋中隨機摸出一個小球，求摸出小球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率（直接寫出結(jié)果）；(2)先從口袋中隨機摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為x，在剩下的三個小球中再隨機摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為y．請用列表或畫樹狀圖法，求由x，y確定的點在函數(shù)的圖象上的概率．12．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處模擬預(yù)測）小麗的爸爸積極參加社區(qū)防疫志愿服務(wù)，根據(jù)社區(qū)安排，志愿者將被隨機分配到以下小組中的一個：A組（體溫檢測）、B組（環(huán)境消殺）、C組（便民代購）、D組（宣傳巡查）開展服務(wù)工作．(1)小麗的爸爸被分配到C組的概率是；(2)若小麗的班主任劉老師也加入了該社區(qū)的志愿者隊伍，那么劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程．13．（2022·江蘇·星港學校八年級期末）2022年冬奧會在北京舉辦．現(xiàn)有如圖所示“2022·北京冬夢之約”的四枚郵票供小明選擇，依次記為，，，，背面完全相同．將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好(1)小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是(2)小穎從中隨機抽取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．14．（2022·浙江·九年級單元測試）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字－1，0，1，2，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張．將卡片上的數(shù)字記錄下來；將抽出的卡片放回洗勻后再從中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來．(1)第一次抽取的卡片上數(shù)字是非正數(shù)的概率為______；(2)琪琪設(shè)計了如下游戲規(guī)則：將第一次記錄下來的數(shù)字作為橫坐標，第二次記錄的數(shù)字作為縱坐標，得到相應(yīng)的點，若得到的點在第二象限，則甲勝，若得到的點在第四象限，則乙勝，琪琪設(shè)計的游戲規(guī)則對甲乙兩人公平嗎？為什么？（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）15．（2022·陜西·西安市第八十九中學七年級期末）六一兒童節(jié)期間，爸爸準備帶曉雪和妹妹去游樂場游玩，曉雪想去西安華夏文旅水上樂園，妹妹想去秦嶺歡樂世界，于是爸爸為姐妹倆設(shè)計了二個轉(zhuǎn)盤游戲，游戲規(guī)則：將一個可自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤平均分成10份，并涂上紅、黃兩種顏色，如圖，爸爸任意轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后指針指向紅色區(qū)域，則曉雪贏，他們?nèi)ノ靼踩A夏文旅水上樂園；若轉(zhuǎn)盤停止后指針指向黃色區(qū)域，則妹妹贏，他們?nèi)デ貛X歡樂世界，（若指針指在分界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向某一扇形區(qū)域為止）(1)求爸爸轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后指針指向紅色區(qū)域的概率；(2)請判斷這個游戲?qū)匝┖兔妹檬欠窆?？并說明理由．16．（2019·河南焦作·七年級期末）如圖，超市舉行有獎促銷活動：凡一次性購物滿300元者即可獲得一次搖獎機會，搖獎機是一個圓形盤，被分成16等份，指針分別指向紅、黃、藍色區(qū)域，分別獲一、二、三等獎，獎金依次為100、50、20元．（1）分別計算獲一、二、三等獎的概率．（2）老李一次性購物滿了300元，搖獎一次，獲獎的概率是多少？請你預(yù)測一下老李搖獎結(jié)果會有哪幾種情況？17．（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學校七年級階段練習）在一個不透明的盒子里裝有紅、黑兩種顏色的球共20個，這些球除顏色外其余完全相同．為了估計紅球和黑球的個數(shù)，我們將球攪勻后，從盒子里隨機摸出一個球記下顏色，再把球放回盒子中，多次重復上述過程，得到下表中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n5010030050080010002000摸到紅球的次數(shù)m143395155241298602摸到紅球的頻率0.280.330.3170.310.3010.2980.301(1)通過以上實驗，摸到紅球的概率估計為____（精確到0.1），盒子里紅球的數(shù)量為____個．(2)若先從袋子中取出個紅球，再從袋子中隨機摸出1個球，若“摸出黑球”為必然事件，則___．(3)若先從袋子中取出個紅球，再放入個一樣的黑球并搖勻，隨機摸出1個紅球的概率為，求的值．18．（2022·廣東·東華學校九年級期中）我校開展“陽光體育活動”，決定開設(shè)足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球等球類活動，為了了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調(diào)查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：(1)本次被調(diào)查的學生有名；補全條形統(tǒng)計圖；(2)扇形統(tǒng)計圖中“排球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；(3)學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，請用列表法或畫樹狀圖法分析甲和乙同學同時被選中的概率．專題15隨機事件、求概率、概率的應(yīng)用考點一隨機事件考點二列舉法求概率考點三列表法或樹狀圖法求概率考點四通過求概率判斷游戲的公平性考點五用頻率估計概率考點六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用考點一隨機事件例題：（2022·浙江·九年級單元測試）下列所給的事件中，是必然事件的是（

）A．某校的400名學生中，至少有2名學生的生日是同一天B．買10注福利彩票會中獎C．連續(xù)4次投擲質(zhì)地均勻的硬幣，會有1次硬幣正面朝上D．2021年的春節(jié)假期乳山會下雪【答案】A【分析】根據(jù)事件的分類，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、某校的400名學生中，至少有2名學生的生日是同一天，是必然事件，符合題意；B、買10注福利彩票會中獎，是隨機事件，不符合題意；C、連續(xù)4次投擲質(zhì)地均勻的硬幣，會有1次硬幣正面朝上，是隨機事件，不符合題意；D、2021年的春節(jié)假期乳山會下雪，是隨機事件，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查事件的分類．熟練掌握確定事件和隨件事件的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2021·甘肅·蘭州市第五十二中學七年級期末）下列事件中，是確定事件的是（）A．打開電視機，它正在播放花樣滑冰B．買一張電影票，座位號是奇數(shù)C．度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°D．明天晚上會看到月亮【答案】C【分析】根據(jù)確定事件和隨機事件的定義對各選項逐一分析即可．【詳解】解：A、打開電視機，它正在播放花樣滑冰為不確定事件，即隨機事件，故A不符合題意；B、買一張電影票，座位號是奇數(shù)為不確定事件，即隨機事件，故B不符合題意；C、度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°為不可能事件，即確定事件，故C符合題意；D、明天晚上會看到月亮為不確定事件，即隨機事件，故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題主要考查了確定事件和隨機事件的定義，解決本題的關(guān)鍵是要明確事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件．2．（2022·廣東·深圳大學附屬教育集團外國語中學七年級期中）下列事件中，是隨機事件的是（

）A．通常加熱到時，水沸騰B．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是D．明天太陽從東方升起【答案】B【分析】根據(jù)確定事件和隨機事件的定義來區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．【詳解】A.通常加熱到時，水沸騰，是必然事件，故該選項不符合題意；B.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)，是隨機事件，故該選項符合題意；C.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是，是不可能事件，故該選項不符合題意；D.明天太陽從東方升起，是必然事件，故該選項不符合題意；故選B【點睛】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江紹興·九年級期中）（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不確定事件？（填入題后括號內(nèi)）①校運會上，我班一位女同學的100米跑成績是12秒11．（事件）②人在地球上所受的重力比在月球上?。ㄊ录垡粋€四邊形四個內(nèi)角的和等于360°．（事件）（2）寫出一個不確定事件．（只需寫一個，填在下面的橫線上）【答案】（1）①不確定；②不可能；③必然；（2）明天會下雨（答案不唯一）【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：（1）①校運會上，我班一位女同學的100米跑成績是12秒11．（不確定事件）②人在地球上所受的重力比在月球上小．（不可能事件）③一個四邊形四個內(nèi)角的和等于360°．（必然事件）（2）寫出一個不確定事件．（只需寫一個，填在下面的橫線上）明天會下雨（答案不唯一）．故答案為：（1）不確定，不可能，必然；（2）明天會下雨（答案不唯一）．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．考點二列舉法求概率例題：（2022·廣東·九年級單元測試）在數(shù)字，，，，中任選兩個組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】從，，，，五個數(shù)中任意取出個不重復的數(shù)組成一個兩位數(shù)，基本事件總數(shù)，這個兩位數(shù)是偶數(shù)，包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率．【詳解】解：從，，，，五個數(shù)中任意取出個不重復的數(shù)組成一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)可能是：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，基本事件總數(shù)，其中12，14，24，32，34，42，52，54這8個數(shù)是偶數(shù)，∴這個兩位數(shù)是偶數(shù)，包含的基本事件的個數(shù)，∴這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率．故選：B．【點睛】本題考查概率公式和列舉法求概率，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率公式的合理運用．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級單元測試）有4條線段長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先列舉出從四條線段中任取三條線段的所有情況，再讓能組成三角形的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：共有2、4、5；2、3、4；3、4、5；2、3、5；4種情況，其中2、3、5這種情況不能組成三角形，即能組成三角形的有3種，所以P（任取三條，能構(gòu)成三角形）＝．故選：A．【點睛】本題主要考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝，構(gòu)成三角形的基本條件為兩小邊之和大于最大邊．2．（2022·全國·九年級課時練習）張華的哥哥在香港工作，今年“五·一”期間，她想讓哥哥買幾本科技書帶回家，于是發(fā)短信給哥哥，可一時記不清哥哥手機號碼后三位數(shù)的順序，只記得是0，2，8三個數(shù)字，則張華一次發(fā)短信成功的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列舉出所有情況，看摸一次發(fā)短信成功的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【詳解】解：所有的可能性為：028，082，208，280，802，820，一共有6種情況，而正確的只有一種，∴張華一次發(fā)短信成功的概率是，故選A．【點睛】此題可以采用列舉法，解題的關(guān)鍵是找到所有存在的情況．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2022·廣東·九年級單元測試）從3、5、6、9四個數(shù)中隨機取一個數(shù)，不放回，再隨機取一個數(shù)，把第一個數(shù)作為十位數(shù)字，第二個數(shù)作為個位數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．【答案】【分析】從4個數(shù)中取兩個數(shù)組成兩位數(shù)，把所有情況全部列出來，找出其中的奇數(shù)，用奇數(shù)的個數(shù)除以兩位數(shù)的總個數(shù)就是這個兩位數(shù)是奇數(shù)的概率．【詳解】從3、5、6、9這四個數(shù)中取兩個數(shù)組成兩位數(shù)有下列情況：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12種結(jié)果，其中奇數(shù)有9種結(jié)果，∴P(這個兩位數(shù)是奇數(shù))=故答案為：【點睛】本題考查了概率的計算，事件A發(fā)生的概率=，掌握概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．考點三列表法或樹狀圖法求概率例題：（2022·陜西·無九年級階段練習）在一個不透明的口袋中裝有四個大小質(zhì)地相同的小球，上面分別標有數(shù)字1、2、3、4每次摸球前將袋子攪拌均勻。(1)若從這四個小球中隨機抽取一個小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是___________；(2)若從這四個小球中隨機抽取兩個小球，用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩個小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少?【答案】(1)(2)【分析】（1）先找出寫有1、2、3、4小球上的數(shù)字是“4”的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可；（2）畫出樹形圖或列表，然后利用概率公式求解即可．（1）解：寫有1、2、3、4小球上的數(shù)字是“4”的個數(shù)為1，從這四個小球中隨機抽取一個小球，小球上的數(shù)字是“4”的概率是，故答案為；（2）解：畫樹狀圖如下：共有12個等可能的結(jié)果，取得兩球的數(shù)字積為奇數(shù)的有2個，∴取得兩球的數(shù)字積為奇數(shù)的概率為．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率，掌握概率計算公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·陜西·西安市西光中學九年級階段練習）“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：歡歡、笑笑兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設(shè)歡歡、笑笑兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．(1)笑笑每次做出的手勢不是“剪刀”的概率為(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求笑笑贏的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．（1）解：∵共3中手勢，∴笑笑每次做出的手勢不是“剪刀”的概率為，（2）解：畫樹狀圖得：共有9種等可能的情況數(shù)，其中笑笑贏的有3種，則笑笑贏的的概率是．【點睛】本題考查的是用列舉法求概率，解答此題的關(guān)鍵是列出可能出現(xiàn)的所有情況，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2021·河北·唐山市第九中學九年級階段練習）有四張形狀、大小和質(zhì)地一樣的卡片A、B、C、D，正面分別畫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張，接著再隨機抽取一張．(1)請你用樹形圖或列表的方法列舉出可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，并求兩次抽取的正多邊形邊數(shù)和最小的概率；(2)求兩次抽取的正多邊形既是中心對稱又是軸對稱圖形的概率．【答案】(1)見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，進而即可求解；（2）根據(jù)中心對稱與軸對稱圖形的定義，可得正方形與正六邊形既是中心對稱又是軸對稱圖形，根據(jù)（1）的樹狀圖即可求解．（1）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；兩次抽取的正多邊形邊數(shù)和最小的結(jié)果數(shù)為2，所以兩次抽取的正多邊形邊數(shù)和最小的概率．（2）解：∵正方形與正六邊形既是中心對稱又是軸對稱圖形，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；其中兩次抽取的正多邊形既是中心對稱又是軸對稱圖形的有2種可能，∴兩次抽取的正多邊形既是中心對稱又是軸對稱圖形的概率為．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率，中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．（2022·廣東·樂昌市新時代學校二模）某校為了加強同學們的安全意識，隨機抽取部分同學進行了一次安全知識測試，按照測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個等級，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．(1)參加測試的學生人數(shù)為，等級為優(yōu)秀的學生的比例為；(2)扇形統(tǒng)計圖中，“合格”部分扇形所對應(yīng)的圓心角為；成績的中位數(shù)在等級里（填“優(yōu)秀、良好、合格、不合格”其中一個）(3)該校有600名學生，請估計全校安全意識較強（測試成績能達到良好以上等級）的學生人數(shù)；(4)成績?yōu)閮?yōu)秀的甲、乙兩位同學被選中與其他學生一起參加安全宣講活動，該活動隨機分為A，B，C三組．求甲、乙兩人恰好分在同－組的概率．【答案】(1)40人；30%(2)90°，良好(3)420名(4)【分析】（1）利用良好的人數(shù)除以良好的人數(shù)所占的百分比可得抽查的人數(shù)，然后求出優(yōu)秀的學生的比例即可；（2）先計算出合格人數(shù)，再求出其所占總數(shù)的比例，“合格”部分扇形所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再由各部分所占比例算出成績的中位數(shù)落在哪一等級里面；（3）先計算出良好以上占比，再用600乘以該占比即可得出答案；（4）直接利用樹狀圖法求出所有可能，進而求出概率．（1）抽取的學生數(shù)：16÷40%＝40（人）；優(yōu)秀人數(shù)：12÷40＝30%，故答案為：40，30%；（2）合格人數(shù)：40－12－16－2＝10（人），，由于“優(yōu)秀”的比例是30%，“良好”的比例是40%，兩者之和為70%，已超過50%，所以成績的中位數(shù)在“良好”等級里，故答案為：90°，良好；（3）良好以上占比是30%＋40%＝70%，所以全校安全意識較強的學生人數(shù)約：600×70%＝420（名）；（4）如圖：可得一共有9種可能，甲、乙兩人恰好分在同一組有3種，所以甲、乙兩人恰好分在同一組的概率為【點睛】此題主要考查了樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，由圖形獲取正確信息是解題關(guān)鍵．考點四通過求概率判斷游戲的公平性例題：（2022·廣東·九年級單元測試）有3張背面相同的紙牌，，，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；(2)小華和小明玩游戲，規(guī)則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用，，表示）【答案】(1)(2)不公平，理由見解析【分析】（1）隨機地摸出一張共有3種等可能的結(jié)果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結(jié)果有2種，再利用概率公式計算即可得；（2）先畫出樹狀圖，從而可得摸出兩張牌的所有等可能的結(jié)果，再找出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結(jié)果，然后利用概率公式求出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率，由此即可得．（1）解：由題意，隨機地摸出一張共有3種等可能的結(jié)果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結(jié)果有紙牌，共2種，則摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率為．（2）解：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，摸出兩張牌共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結(jié)果有4種、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的結(jié)果有5種，則摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的概率是，摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率是，因為，所以這個游戲不公平．【點睛】本題考查了簡單的概率計算、利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·九年級單元測試）有7張紙簽，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，小明從中任意抽取一張紙簽（不放回），小穎從剩余的紙簽中任意抽取一張，誰抽到的數(shù)字大誰就獲勝，然后兩人把抽到的紙簽都放回，重新開始游戲．(1)現(xiàn)小明已經(jīng)抽到數(shù)字4，然后小潁抽紙簽，那么小明獲勝的概率是多少？小穎獲勝的概率又是多少？(2)若小明已經(jīng)抽到數(shù)字6，小明、小穎獲勝的概率分別是多少？【答案】(1)；(2)小明、小穎獲勝的概率分別是，【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出小明獲勝的概率和小穎獲勝的概率；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以分別計算出小明獲勝的概率和小穎獲勝的概率．（1）若小明獲勝，則小穎需要抽到1或2或3，故小明獲勝的概率是，若小穎獲勝，則小穎需要抽到5或6或7，故小穎獲勝的概率是；（2）∵小明已經(jīng)抽到數(shù)字6，∴若小明獲勝，則小穎需要抽到1或2或3或4或5，故小明獲勝的概率為：，若小穎獲勝，則小穎需要抽到7，故小穎獲勝的概率為，即小明、小穎獲勝的概率分別是，．【點睛】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率．2．（2022·河南·溫縣黃莊鎮(zhèn)第一初級中學七年級期末）麗麗和小明兩位同學一起玩飛鏢游戲，飛鏢的靶子設(shè)計如圖所示，已知從里到外的三個圓的半徑分別為，，，圓形靶子被分為，，三個區(qū)域．如果飛鏢投出后沒有落在靶子上，或是停留在圓周上，那么可以重新投鏢．(1)分別求出飛鏢落在三個區(qū)域的概率；(2)麗麗和小明約定，如果飛鏢停落在，區(qū)域，則麗麗得三分，如果飛鏢落在區(qū)域，則小明得一分，你認為這個游戲公平嗎？說明理由．如果不公平，請你修改得分規(guī)則，使這個游戲公平．【答案】(1)飛鏢落在個區(qū)域的概率是；飛鏢落在個區(qū)域的概率是；飛鏢落在個區(qū)域的概率是(2)公平，理由見解析【分析】根據(jù)圓的面積個數(shù)求出、、的面積，再根據(jù)概率個數(shù)進行求解即可；先求出麗麗和小明的得分，再進行比較，即可得出答案．（1）解：三個圓的半徑分別為，，，，，，飛鏢落在個區(qū)域的概率是；飛鏢落在個區(qū)域的概率是；飛鏢落在個區(qū)域的概率是；（2），，，麗麗得分，小明得分，麗麗得分小明得分，這個游戲公平．【點睛】本題考查學生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學學科的基礎(chǔ)性．用到的知識點為：概率相應(yīng)的面積與總面積之比．3．（2021·貴州畢節(jié)·七年級期末）“六一”兒童節(jié)，全校要舉辦文藝匯演活動，小玉和小露都想去當節(jié)目主持人，但現(xiàn)在只有一個名額，小露設(shè)計了一個游戲，她將轉(zhuǎn)盤（均質(zhì)的）均分成6份，并依次寫到1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，如圖所示，游戲規(guī)定：隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指到的數(shù)字是2的倍數(shù)，則小露去；若指針指到的數(shù)字是3的倍數(shù)，則小玉去．(1)該游戲是否公平？為什么？請說明理由；(2)若該游戲公平，請你設(shè)計一個有利于小玉獲勝的游戲規(guī)則，若該游戲不公平，你能將這個游戲改進后，使得游戲公平嗎？請寫出你的游戲規(guī)則，并說明理由．【答案】(1)這個游戲不公平，理由見解析(2)見解析【分析】（1）分別求出兩人去的概率即可得到答案；（2）只需要保證兩人去的概率相同即可．（1）解：這個游戲不公平，理由如下：∵一共有6個數(shù)字，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的概率一樣，∴轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的概率為，∵這6個數(shù)字中是2的倍數(shù)的數(shù)字有2，4，6共3個，是3的倍數(shù)的數(shù)字有3、6共2個，∴小露去的概率為，小玉去的概率為，∵，∴這個游戲不公平；（2）解：由（1）可知這個游戲不公平，設(shè)計規(guī)則如下：隨意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指到的數(shù)字是奇數(shù)，則小露去；若指針指到的數(shù)字是偶數(shù)，則小玉去；∵轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的概率為，奇數(shù)和偶數(shù)的個數(shù)分別為3個、3個，∴小玉和小露去的概率都為，∴此規(guī)則下，游戲是公平的．【點睛】本題主要考查了游戲的公平性，正確求出兩人去的概率是解題的關(guān)鍵．考點五用頻率估計概率例題：（2022·甘肅蘭州·七年級期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)摸到白球的次數(shù)摸到白球的頻率(1)填空：表中的______；(2)根據(jù)表中，從口袋中隨機摸出一個球，估計它是白球的概率（精確到0.1）．【答案】(1)0.6(2)“摸到白球”的概率的估計值是【分析】（1）利用頻率頻數(shù)樣本容量直接求解即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當很大時，摸到白球的頻率接近．（1）解：，故答案為：．（2）由表可知，當很大時，摸到白球的頻率將會接近，所以“摸到白球”的概率的估計值是．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【變式訓練】1．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學八年級階段練習）某公司的一批某品牌襯衣的質(zhì)量抽檢結(jié)果如下：抽檢件數(shù)50100200300400500次品件數(shù)0414192430(1)求從這批襯衣中任抽1件是次品的概率．(2)如果銷售這批襯衣600件，至少要準備多少件正品襯衣供買到次品的顧客退換?【答案】(1)(2)36【分析】（1）根據(jù)概率的求法，找準兩點：1、符合條件的情況數(shù)目；2、全部情況的總數(shù)；二者的比值就是其發(fā)生的概率；（2）需要準備調(diào)換的正品襯衣數(shù)＝銷售的襯衫數(shù)×次品的概率，依此計算即可．（1）解：抽查總體數(shù)m＝50＋100＋200＋300＋400＋500＝1550，次品件數(shù)n＝0＋4＋14＋19＋24＋30＝91，這批襯衣中任抽1件是次品的概率為．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論：這批襯衣中任抽1件是次品的概率為0.06，則600×0.06＝36（件）．答：準備36件正品襯衣供顧客調(diào)換．【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．2．（2022·全國·九年級專題練習）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球，這些球除顏色外都相同．小穎做摸球試驗，攪勻后，她從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是試驗中的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n10205010020040050010002000摸到白球的次數(shù)m4710284597127252498摸到白球的頻率0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.2520.249(1)摸到白球的概率的估計值是多少？請說明理由．（精確到0.01）(2)某小組進行“用頻率估計概率”的試驗，符合（1）中結(jié)果的試驗最有可能的是（填序號）．①投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上．②甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產(chǎn)生一名幸運觀眾，正好抽到甲．③擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點數(shù)分別為1到6），落地時面朝上點數(shù)“小于3”．【答案】(1)0.25，理由見解析(2)②【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.25，由此得出答案；（2）根據(jù)概率公式求出各自的概率，然后與（1）比較，即可得出答案．（1）解：摸到白球的概率的估計值是0.25；理由：大量重復實驗下，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，0.25即概率的估計值；（2）解：①投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是；②甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產(chǎn)生一名幸運觀眾，正好抽到甲的概率是＝0.25；③擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點數(shù)分別為1到6），落地時面朝上點數(shù)“小于3”的概率是＝；綜上所述，符合（1）中結(jié)果的試驗最有可能的是②，故答案為：②．【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，理解頻率和概率之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·興化市樂吾實驗學校八年級階段練習）自2009年以來，“中國·興化千垛菜花旅游節(jié)”享譽全國．“河有萬灣多碧水，田無一垛不黃花”所描繪的就是我市發(fā)達的油菜種植業(yè)．為了解某品種油菜籽的發(fā)芽情況，農(nóng)業(yè)部門從該品種油菜籽中抽取了6批，在相同條件下進行發(fā)芽試驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：批次123456油菜籽粒數(shù)100400800100020005000發(fā)芽油菜籽粒數(shù)31865279316044005發(fā)芽頻率0.8500.7950.8150.7930.801(1)分別求和的值；(2)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，直接寫出該品種油菜籽發(fā)芽概率的估計值（精確到0.1）；(3)農(nóng)業(yè)部門抽取的第7批油菜籽共有8000粒．請你根據(jù)問題（2）的結(jié)果，通過計算來估計第7批油菜籽在相同條件下進行發(fā)芽試驗時的發(fā)芽粒數(shù)．【答案】(1)，(2)該品種油菜籽發(fā)芽概率的估計值為0.8(3)估計第7批油菜籽在相同條件下進行發(fā)芽試驗時的發(fā)芽粒數(shù)為6400粒【分析】（1）用油菜籽粒數(shù)乘以發(fā)芽頻率求得a的值，用發(fā)芽油菜籽粒數(shù)除以油菜籽總數(shù)即可求得b的值；（2）觀察大量重復試驗發(fā)芽的頻率穩(wěn)定到哪個常數(shù)附近即可用哪個數(shù)表示發(fā)芽概率；（3）用油菜籽總數(shù)乘以發(fā)芽概率即可求得發(fā)芽粒數(shù)．（1）a=100×0.850=85，b==0.802；（2）∵觀察表格發(fā)現(xiàn)發(fā)芽頻率逐漸穩(wěn)定到0.8附近，∴該品種油菜籽發(fā)芽概率的估計值0.8；（3）8000×0.8=6400，答：估計第7批油菜籽在相同條件下進行發(fā)芽試驗時的發(fā)芽粒數(shù)為6400．【點睛】考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是了解：大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用例題：（2021·全國·九年級專題練習）超市舉行有獎促銷活動：凡一次性購物滿300元者即可獲得一次搖獎機會．搖獎機是一個圓形轉(zhuǎn)盤，被分成16等分，搖中紅、黃、藍色區(qū)域，分獲一、二、三獲獎，獎金依次為60、50、40元．一次性購物滿300元者，如果不搖獎可返還現(xiàn)金15元．（1）搖獎一次，獲一等獎的概率是多少？（2）老李一次性購物滿了300元，他是參與搖獎劃算還是領(lǐng)15元現(xiàn)金劃算，請你幫他算算．【答案】（1），（2）參與搖獎劃算，見解析．【分析】（1）找到紅色區(qū)域的份數(shù)占總份數(shù)的多少即為獲得一等獎的概率，（2）游戲是否合算，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．【詳解】解：（1）整個圓周被分成了16份，紅色為1份，∴獲得一等獎的概率為：，（2）轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤：60×+50×+40×=20，∵20元＞15元，∴轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤劃算．【點睛】本題主要考查了古典型概率，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝，難度適中．【變式訓練】1．（2021·山東煙臺·七年級期末）新冠疫情以來，各地政府為活躍消費市場，釋放消費潛力，各商家采取各種促銷以此來對沖疫情影響．某商場為了吸引顧客，設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖，轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份），并規(guī)定：顧客每購買200元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券（若指向邊界則重轉(zhuǎn)），憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物．如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券30元．（1）求轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的概率；（2）某顧客在此商場購物220元，通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤獲得購物券和直接獲得購物券，你認為哪種方式對顧客更合算？談?wù)勀愕睦碛桑敬鸢浮浚?）；（2）選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤對顧客更合算，理由見解析【分析】（1）由轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的有10種情況，直接利用概率公式即可求得答案；（2）首先求得指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域的概率，繼而可求得轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的情況，繼而求得答案．【詳解】解：（1）∵轉(zhuǎn)盤被均勻分為20份，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券的有10種情況，∴P（轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得購物券）＝；（2）∵P（紅色）＝，P（黃色）＝，P（綠色）＝，∴200×+100×+50×＝40（元）∵40元＞30元，∴選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤對顧客更合算．【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2021·全國·九年級專題練習）某高級酒店為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，如圖所示，并規(guī)定：顧客消費100元以上(不包括100元)，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準九折、八折、七折、五折區(qū)域顧客就可以獲得此項待遇(轉(zhuǎn)盤等分成16份)(1)甲顧客消費80元，是否可獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會?(2)乙顧客消費150元，獲得打折待遇的概率是多少?他獲得九折，八折，七折，五折待遇的概率分別是多少?【答案】（1）不能；（2）；；；；【分析】（1）根據(jù)題意，“顧客消費100元以上(不包括100元)，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會”，甲顧客消費80元，不滿足獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的條件；（2）根據(jù)概率的計算方法，可得出答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，“顧客消費100元以上(不包括100元)，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會”，甲顧客消費80元，不滿足獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的條件．故答案為：不能獲得轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．（2）乙顧客消費150元，能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會．由于轉(zhuǎn)盤被均分成16份，每份被轉(zhuǎn)到的機會均等，其中打折的占5份，故獲得打折待遇的概率為P=；九折占2份，故獲得九折待遇的概率為P=；八折占1份，故獲得八折待遇的概率為P=；七折占1份，故獲得七折待遇的概率為P=；五折占1份，故獲得五折待遇的概率為P=．故答案為：他獲得打折待遇的概率為；他獲得九折，八折，七折，五折待遇的概率分別是；；；．【點睛】本題主要考查概率，掌握概率的計算方法是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·山西大附中一模）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次搖獎的機會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍兩藍禮金券（元）18918(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．【答案】(1)(2)方案一，見解析；【分析】（1）根據(jù)列表法（或畫樹狀圖法）求指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率即可；（2）根據(jù)（1）的樹狀圖求出方案二的平均收益即可判斷；（1）解：由題可知，轉(zhuǎn)盤A中紅色區(qū)域的圓心角的度數(shù)是藍色區(qū)域的圓心角的度數(shù)的2倍，轉(zhuǎn)盤B中藍色區(qū)域的圓心角的度數(shù)是紅色區(qū)域的圓心角的度數(shù)的2倍，故可畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有9種等可能的情況，其中兩個轉(zhuǎn)盤指針一個指向紅色區(qū)域、一個指向藍色區(qū)域的情況有5種，∴P(一紅區(qū)和一藍區(qū))=（2）由（1）中的樹狀圖可知，指針指向兩個紅色區(qū)域有2種情況，指向兩個藍色區(qū)域也有2種情況，∴P(兩個紅區(qū))=，P(兩個藍區(qū))=，∴方案二的平均收益為：，∵13<20，∴若只考慮獲得最多的禮品券，選擇方案一更加實惠；【點睛】本題主要考查列表法（或畫樹狀圖法）求概率，掌握概率的求解方法是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2021·黑龍江佳木斯·九年級期中）下列說法中，正確的是（

）A．“打開電視，正在播放電視劇”是必然事件B．“若a，b互為相反數(shù)，則a+b＝0”，這一事件是隨機事件C．“2，5，4，2的中位數(shù)一定是2”，這一事件是不可能事件D．“佳木斯明天降雨的概率是60%”，意思是佳木斯明天有60%的時間在降雨【答案】C【分析】根據(jù)必然事件和隨機事件的定義分別判斷各個選項即可．【詳解】解：A．打開電視正在播放電視劇是隨機事件，故本選項錯誤，不符合題意；B．若a，b互為相反數(shù)，則a+b＝0”，這一事件是必然事件，故本選項錯誤，不符合題意；C．“2，5，4，2的中位數(shù)一定是2”，這一事件是不可能事件，故本選項正確，符合題意；D．佳木斯明天降雨的概率是60%”，意思是佳木斯明天下雨的可能性較大，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了必然事件和隨機事件的定義，熟練掌握必然事件、隨機事件、不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·中考真題）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列出所有可能的情況，找出符合題意的情況，利用概率公式即可求解．【詳解】解：對每個小正方形隨機涂成黑色或白色的情況，如圖所示，共有8種情況，其中恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形情況有3種，∴恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為，故選：B【點睛】本題考查了用列舉法求概率，能一個不漏的列舉出所有可能的情況是解題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西·西安市西光中學九年級階段練習）點P的坐標是(m，n)，從﹣3，﹣2，0，2，4這五個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的值，再從余下的四個數(shù)中任取一個數(shù)作為n的值，則點P(m，n)在平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)第二象限點的坐標特征找出點P（m，n）在平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：列表如下：-3-2024-3（-3，-2）（-3，0）（-3，2）（-3，4）-2（-2，-3）（-2，0）（-2，2）（-2，4）0（0，-3）（0，-2）（0，2）（0，4）2（2，-3）（2，-2）（2，0）（2，4）4（4，-3）（4，-2）（4，0）（4，2）由表可知，共有20種等可能結(jié)果，其中點P（m，n）在平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的有4種結(jié)果，∴點P（m，n）在平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的概率為，故選：A．【點睛】本題考查了用列表法或畫樹形圖法求隨機事件的概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；得到所求的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學八年級期末）用圖中兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲:分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍色，即可配成紫色(若指針指在分界線上，則重轉(zhuǎn))，則配成紫色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于第二個轉(zhuǎn)盤不等分，所以首先將第二個轉(zhuǎn)盤中的藍色部分等分成兩部分，然后畫樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與可配成紫色的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：如圖，將第二個轉(zhuǎn)盤中的藍色部分等分成兩部分，畫樹狀圖得：共有6種等可能的結(jié)果，可配成紫色的有3種情況，∴可配成紫色的概率是．故選C．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識．注意所選每種情況必須均等，注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預(yù)測）某校生物興趣小組為了解種子發(fā)芽情況，重復做了大量種子發(fā)芽的實驗，結(jié)果如下：實驗種子的數(shù)量n1002005001000500010000發(fā)芽種子的數(shù)量m9818248590047509500種子發(fā)芽的頻率0.980.910.970.900.950.95根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該種子發(fā)芽的概率是（

）A．0.90 B．0.98 C．0.95 D．0.91【答案】C【分析】在大量重復試驗下，利用頻率估計概率即可解答；【詳解】解：∵隨著種子數(shù)量的增多，其發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.95，∴估計該種子發(fā)芽的概率是0.95，故選：C．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，掌握大量重復試驗下頻率與概率的關(guān)系是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學八年級階段練習）小紅通過一個設(shè)有紅綠燈的十字路口時遇到綠燈，這是_______事件（填“隨機”或“確定”）．【答案】隨機【分析】根據(jù)在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．【詳解】解：小紅通過一個設(shè)有紅綠燈的十字路口時遇到綠燈，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，故屬于隨機事件，故答案為：隨機．【點睛】本題考查了隨機事件的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·甘肅·甘州中學七年級期末）一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球共5個球，這些球除顏色不同外，其余均相同，從中任意摸出一個球，這個球是白球的概率為_____．【答案】##0.4【分析】根據(jù)概率公式可直接進行求解．【詳解】解：∵不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球共5個球，∴任意摸出一個球，這個球是白球的概率為；故答案為：．【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖北襄陽·中考真題）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)的概率是__．【答案】【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有1種，∴第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2022·河南·鄭州楓楊外國語學校七年級期末）用七巧板擺成如圖所示圖形，一只螞蟻在此圖形上任意爬行，已知它停在這副七巧板上的任何一點的可能性都相同，那么它停在陰影部分的概率是_____．【答案】【分析】根據(jù)七巧板對應(yīng)圖形的面積，結(jié)合概率公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)大正方形的邊長為a，則陰影部分的為標號為1，4，7的三角形的面積，即：，∴它停在陰影部分的概率=，故答案為：．【點睛】本題主要考查幾何概率，七巧板，解題的關(guān)鍵是還原成七巧板中的圖形，求得陰影部分的面積．10．（2021·浙江紹興·九年級期中）某農(nóng)科院在相同條件下做了某種玉米種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如下：種子總數(shù)100400800100035007000900014000發(fā)芽種子數(shù)9135471690131645613809412614發(fā)芽的頻率0.910.8850.8950.9010.9040.9020.8990.901則該玉米種子發(fā)芽的概率估計值為_____（結(jié)果精確到0.1）．【答案】0.9【分析】仔細觀察表格，發(fā)現(xiàn)大量重復試驗發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.9左右，從而得到結(jié)論．【詳解】解：∵觀察表格，發(fā)現(xiàn)大量重復試驗發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.9左右，∴該玉米種子發(fā)芽的概率為0.9，故答案為：0.9．【點睛】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．掌握利用頻率估計概率是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）一個不透明的口袋中裝有四個完全相同的小球，上面分別標有數(shù)字1，2，3，4．(1)從口袋中隨機摸出一個小球，求摸出小球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率（直接寫出結(jié)果）；(2)先從口袋中隨機摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為x，在剩下的三個小球中再隨機摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為y．請用列表或畫樹狀圖法，求由x，y確定的點在函數(shù)的圖象上的概率．【答案】(1)P（奇數(shù)）(2)P（點在函數(shù)的圖象上）【分析】（1）直接利用簡單事件的概率公式計算可得；（2）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與由x，y確定的點在函數(shù)的圖象上的的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．（1）解：P（奇數(shù)）（2）解：列表得：xy12341234共有12種等可能的結(jié)果，其中點在函數(shù)的圖象上的有2種，∴.P（點在函數(shù)的圖象上）【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意區(qū)分所摸球是放回實驗還是不放回實驗是解題的關(guān)鍵．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處模擬預(yù)測）小麗的爸爸積極參加社區(qū)防疫志愿服務(wù)，根據(jù)社區(qū)安排，志愿者將被隨機分配到以下小組中的一個：A組（體溫檢測）、B組（環(huán)境消殺）、C組（便民代購）、D組（宣傳巡查）開展服務(wù)工作．(1)小麗的爸爸被分配到C組的概率是；(2)若小麗的班主任劉老師也加入了該社區(qū)的志愿者隊伍，那么劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用簡單概率求概率的公式進行計算即可；（2）利用列表法，列舉出所有的情況，選出滿足條件的情況，再利用概率公式進行求解．．（1）解：總共有4種等可能的情況，去C組的情況有1種，故；（2）解：列表如下：小組ABCDABCD因為一共有16種等可能的結(jié)果，其中劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的有4種結(jié)果，所以P（兩人被分到同一組）．答：劉老師和小麗的爸爸被分到同一組的概率是．【點睛】本題考查了利用列表法或樹狀圖法求解概率，利用概率公式求解概率，解題的關(guān)鍵是掌握利用列表法或樹狀圖法求解概率的方法．13．（2022·江蘇·星港學校八年級期末）2022年冬奧會在北京舉辦．現(xiàn)有如圖所示“2022·北京冬夢之約”的四枚郵票供小明選擇，依次記為，，，，背面完全相同．將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好(1)小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是(2)小穎從中隨機抽取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是（冰墩墩）和（雪容融）的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接運用概率的公式求解即可．（2）用列表法或樹狀圖表示出所有可能的情況，再找出是B和C的情況，用概率公式求解即可．（1）解：由題意可知，共有四種等可能的情況，∴小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是，故答案為：；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖，如圖所示，從上圖可以看出，共有12種等可能的情況，其中小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情況有2種．∴小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率為：．【點睛】本題考查了概率公式以及畫樹狀圖法與列表法求概率．解題的關(guān)鍵是把所有等可能的情況都列舉出來．14．（2022·浙江·九年級單元測試）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字－1，0，1，2，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張．將卡片上的數(shù)字記錄下來；將抽出的卡片放回洗勻后再從中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來．(1)第一次抽取的卡片上數(shù)字是非正數(shù)的概率為______；(2)琪琪設(shè)計了如下游戲規(guī)則：將第一次記錄下來的數(shù)字作為橫坐標，第二次記錄的數(shù)字作為縱坐標，得到相應(yīng)的點，若得到的點在第二象限，則甲勝，若得到的點在第四象限，則乙勝，琪琪設(shè)計的游戲規(guī)則對甲乙兩人公平嗎？為什么？（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【答案】(1)(2)公平，見解析【分析】（1）根據(jù)概率公