蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題10相似三角形中動態(tài)問題壓軸題三種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題10相似三角形中動態(tài)問題壓軸題三種模型全攻略考點(diǎn)一利用相似三角形中的動點(diǎn)求時(shí)間問題（利用分類討論思想）考點(diǎn)二利用相似三角形中的動點(diǎn)求線段長問題（利用分類討論思想）考點(diǎn)三相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何及函數(shù)綜合問題典型例題典型例題考點(diǎn)一利用相似三角形中的動點(diǎn)求時(shí)間問題（利用分類討論思想）例題：（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，設(shè)動點(diǎn)P與動直線同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒．當(dāng)t為__________時(shí)，與相似．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東省濟(jì)南燕山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度都是每秒1個單位，當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．問：當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似．2．（2022·福建·九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過點(diǎn)P作PE⊥PB，交射線DC于點(diǎn)E，已知AD＝3，AC＝5．設(shè)AP的長為x．(1)AB＝_______；當(dāng)x＝1時(shí)，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)連接BE，設(shè)△PBE的面積為S，求S的最小值．3．（2022·陜西·無九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．(1)當(dāng)移動幾秒時(shí)，的面積為？(2)當(dāng)移動幾秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？4．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為？5．（2021·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向運(yùn)動，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點(diǎn)M，當(dāng)DM=2CM時(shí)，求此時(shí)t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)F恰好落在矩形任意兩個頂點(diǎn)的所在直線上時(shí)，求出所有符合條件的t的值．6．（2021·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿以4cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D后，繼續(xù)沿以3cm/s的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動．連接PQ，以PQ、BP為邊作平行四邊形BPQE，連接AC交PQ于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x（s），平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分圖形的面積為y．(1)當(dāng)點(diǎn)Q在AD上，△APQ是等腰三角形時(shí)，求x的值．(2)當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，△CFQ與△ADC相似時(shí)，求x的值．(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．7．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對一道習(xí)題的交流，請認(rèn)真閱讀下列對話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)二利用相似三角形中的動點(diǎn)求線段長問題（利用分類討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹人外國語中學(xué)九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D、E為AC、BC上兩個動點(diǎn)，若將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時(shí)CD的長為（

）A． B． C．或 D．或【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·濟(jì)南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)P在上，且，點(diǎn)Q是邊上一個動點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與相似．2．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，AE＝__________．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)CN=2時(shí)，CM=______．4．（2021·河南·漯河市第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（1，0），點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q．若以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，則相應(yīng)的點(diǎn)P共有_____個．5．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）如圖，D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的動點(diǎn)，若，且ΔADE與ΔABC相似，則AD的長度是_______．6．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=__________．考點(diǎn)三相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何及函數(shù)綜合問題例題：（2022·上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬松江實(shí)驗(yàn)學(xué)校花園分校九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動，速度是1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動，速度為2cm/s．動點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動終止．連結(jié)DE、CD、AE，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（s）．(1)當(dāng)為何值時(shí)，△BDE與△ABC相似?(2)設(shè)△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運(yùn)動過程中是否存在某一時(shí)刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2．（2022·上海市羅南中學(xué)九年級階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點(diǎn)，作PE⊥AP，PE交射線DC于點(diǎn)E，射線AE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)BP=x,CE=y(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2)當(dāng)x=3時(shí)，求CF的長；(3)當(dāng)時(shí)，求BP的長3．（2021·福建·漳州市第七中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CB延長線于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，且點(diǎn)G在線段AB的左側(cè)，連接BG．(1)求證：△ADE∽△ABF；(2)若AB＝20，AD＝10，設(shè)DE＝x，點(diǎn)G到直線BC的距離為y．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，求x的值；(3)如圖2，若AB＝BC，設(shè)四邊形ABCD的面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．專題10相似三角形中動態(tài)問題壓軸題三種模型全攻略考點(diǎn)一利用相似三角形中的動點(diǎn)求時(shí)間問題（利用分類討論思想）考點(diǎn)二利用相似三角形中的動點(diǎn)求線段長問題（利用分類討論思想）考點(diǎn)三相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何及函數(shù)綜合問題典型例題典型例題考點(diǎn)一利用相似三角形中的動點(diǎn)求時(shí)間問題（利用分類討論思想）例題：（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，設(shè)動點(diǎn)P與動直線同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒．當(dāng)t為__________時(shí)，與相似．【答案】6或【分析】分別用t表示OP與OE的長度，根據(jù)與都是直角，當(dāng)與相似時(shí)，O與O是對應(yīng)點(diǎn)，因此分∽與∽兩種情況討論,根據(jù)相似列方程解之即可．【詳解】解：∵動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運(yùn)動，，∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，又∵動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，∴OE=tcm，根據(jù)與都是直角，O與O是對應(yīng)點(diǎn)，因此分∽與∽兩種情況討論，當(dāng)∽，即時(shí)，，解得：，當(dāng)∽，即時(shí)，，解得：，綜上所述：當(dāng)t=6或時(shí)，與相似，故答案時(shí)：6或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似進(jìn)行討論分析是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東省濟(jì)南燕山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度都是每秒1個單位，當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．問：當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似．【答案】當(dāng)s或s時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似【分析】由題意可知，當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似，根據(jù)相似的性質(zhì)，進(jìn)行分情況討論進(jìn)行計(jì)算求t值，注意t的取值范圍．【詳解】解：若以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似，則在中，或，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,6），∴OA=8，OB=6，AB=10，∵運(yùn)動時(shí)間為，∴AP=BQ=t，則AQ=10-t，①當(dāng)時(shí)，，則，∴，解得：（符合題意）；②當(dāng)，，則，∴，解得：（符合題意），綜上所述，當(dāng)s或s時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為項(xiàng)點(diǎn)三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似與一次函數(shù)的綜合，利用相似的性質(zhì)求值是本題解題的重點(diǎn)，同時(shí)需注意分情況討論．2．（2022·福建·九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，過點(diǎn)P作PE⊥PB，交射線DC于點(diǎn)E，已知AD＝3，AC＝5．設(shè)AP的長為x．(1)AB＝_______；當(dāng)x＝1時(shí)，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)連接BE，設(shè)△PBE的面積為S，求S的最小值．【答案】(1)4，(2)是定值，(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，證明，利用相似比求出；（2）利用，求出相似比是個定值即可；（3）將△PBE的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值即可．（1）解：作PM⊥AB于M交CD于N．如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，∵AC＝5，∴．∵∴∴∴，，∴，∵M(jìn)N＝AD＝3，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為4，；（2）結(jié)論：的值為定值．理由如下：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，如圖1所示：由PA＝x，可得．∴，，，∵△BMP∽△PNE，∴．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖2所示：同理得出．綜上所述：的值為定值．（3）在Rt△PBM中，，∵．∴，∴，∵0＜x＜5，∴時(shí)，S有最小值＝．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是：熟練掌握矩形的性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)造三角形相似．本題還考查了二次函數(shù)求最值的問題．3．（2022·陜西·無九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．(1)當(dāng)移動幾秒時(shí)，的面積為？(2)當(dāng)移動幾秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？【答案】(1)3秒(2)3秒或秒【分析】（1）求出運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)PB、BQ的長度，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△BPQ的面積為9cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．（1）解：運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)（0≤t≤6），PB＝6?t，BQ＝2t，由題意得：＝PB·BQ＝（6?t）·2t＝＝9，解得：，答：當(dāng)移動3秒時(shí)，△BPQ的面積為9cm2；（2）分兩種情況：①當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，則，即，解得：，②當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，則，即，解得：，綜上，當(dāng)移動3秒或秒時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，正確理解題意，列出方程或比例式是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠PAQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．利用其對應(yīng)邊成比例解t；②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB，利用其對應(yīng)邊成比例解得t．（2）過點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當(dāng)t為或時(shí)，△AQP與△AOB相似．（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AO于點(diǎn)E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當(dāng)t=2或3時(shí)，△APQ的面積為個平方單位．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于難題．5．（2021·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向運(yùn)動，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點(diǎn)M，當(dāng)DM=2CM時(shí)，求此時(shí)t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)F恰好落在矩形任意兩個頂點(diǎn)的所在直線上時(shí)，求出所有符合條件的t的值．【答案】(1)t=1或t=3(2)t=1或t=3或t=9或t=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）分四種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明全等或相似，求得BE的長度，進(jìn)而求解．（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵DM=2CM，∴DM=2，CM=1，∵四邊形AEFG是正方形，四邊形ABCD是矩形，∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，∴∠BAE=∠CEM，∴△ABE∽△ECM，∴，∴=，∴t=1或t=3；（2）分四種情況，1°當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，如圖，∵矩形ABCD，∴∠ABE=∠ECF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF=90°，AE=EF，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB=EC=3，∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，∵動點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=1；2°當(dāng)點(diǎn)F落在AD上時(shí)，如圖，∵AF時(shí)正方形AEFG的對角線，∴∠EAF=45°，∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAD=90°，∴∠BAE=45°=∠AEB，∴BE=AB=3，∵動點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=3；3°當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設(shè)FM=BE=x，則MC=4﹣3﹣x=1﹣x，∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，∴△FMC∽△ABC，∴，∴，解得：x=，即FM=BE=，∵動點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=；4°當(dāng)點(diǎn)F落在BD上時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M，如圖，∵正方形AEFG，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠MEF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠MEF，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM=BE，EM=AB=3，設(shè)CE=a，則FM=BE=4+a，BM=7+a，∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，∴△FBM∽△DBC，∴，∴，解得a=5，∴BE=4+a=9，∵動點(diǎn)E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，∴t=9；故所有符合條件的t的值為t=1或t=3或t=9或t=．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，以動點(diǎn)為背景考查了正方形，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形，矩形的性質(zhì)，利用全等或相似求出邊長，進(jìn)而求解．6．（2021·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿以4cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D后，繼續(xù)沿以3cm/s的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動．連接PQ，以PQ、BP為邊作平行四邊形BPQE，連接AC交PQ于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x（s），平行四邊形BPQE與矩形ABCD重疊部分圖形的面積為y．(1)當(dāng)點(diǎn)Q在AD上，△APQ是等腰三角形時(shí)，求x的值．(2)當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，△CFQ與△ADC相似時(shí)，求x的值．(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）當(dāng)Q在AD上時(shí)，AQ=14-[8+3(x-2)]=12-3x，AP=2x，根據(jù)∠QAP=90°，只能得到AQ=AP，建立等式求解即可．（2）分QFAD和QF不平行AD兩種情況求解即可．（3）分0＜x≤，＜x≤2，2＜x≤4三種情形，結(jié)合圖形的面積計(jì)算公式計(jì)算即可．（1）當(dāng)Q在AD上時(shí)，因?yàn)锳Q=14-[8+3(x-2)]=12-3x，AP=2x，∠QAP=90°，所以AQ=AP，所以12-3x=2x，解得x=，故當(dāng)點(diǎn)Q在AD上，△APQ是等腰三角形時(shí)，x的值為．（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠CDA=90°，AD=BC=6cm，AB=CD=8cm，AC=cm．當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，當(dāng)QFAD時(shí)即△CQF∽△CDA時(shí)，如圖，則∠CQF=∠CDA=90°，四邊形ADQP是矩形，所以DQ=AP=2x，CQ=4x，所以8-4x=2x，解得x=；當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，當(dāng)△CFQ∽△CDA時(shí)，如圖，則∠CFQ=∠CDA=90°．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DCAB，所以△CFQ∽△AFP，所以CF：FA=CQ：AP=2：1，所以FC=，因?yàn)椋訡Q==，所以4x=，解得x=．故當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，△CFQ與△ADC相似時(shí)，x的值為或．（3）解：∵四邊形PBEQ是矩形時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)C重合∴CQ=PB，即：4x=8-2x，解得：x=，當(dāng)0＜x≤時(shí)，如圖，根據(jù)題意，得AP=2x，CQ=4x，PB=8-2x，所以重疊梯形PBCQ的面積為：；當(dāng)＜x≤2時(shí)，如圖，根據(jù)題意，得AP=2x，CQ=4x，PB=8-2x，所以重疊平行四邊形PBEQ的面積為：；當(dāng)2＜x≤4時(shí)，如圖，根據(jù)題意，得AP=2x，AQ=6-3(x-2)=12-3x，PB=8-2x，所以重疊平行四邊形PBEQ的面積為：；綜上所述，重疊部分的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，分類討論思想，熟練掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對一道習(xí)題的交流，請認(rèn)真閱讀下列對話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動，是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)＝，解答見解析(2)沒有進(jìn)行分類討論，見解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得＝，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可知另一個錯誤是沒有進(jìn)行分類討論，進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)題意可知有兩種情況分別是和，然后列出方程進(jìn)行計(jì)算即可．（1）由題意得∵∴正確比例式是：＝，∴DE＝＝＝＝；（2）另一個錯誤是沒有進(jìn)行分類討論，如圖，過點(diǎn)D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，則△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，綜合以上可得：DE為或．（3）由題意可知，有兩種情況，第一種：當(dāng)時(shí)，設(shè)AM=t，則AN=6-2t，則由得，解得：t=；第二種：當(dāng)時(shí)，則由，，解得：t=，綜上所述，當(dāng)t＝或t＝時(shí)以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要學(xué)會分類討論．考點(diǎn)二利用相似三角形中的動點(diǎn)求線段長問題（利用分類討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹人外國語中學(xué)九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D、E為AC、BC上兩個動點(diǎn)，若將∠C沿DE折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時(shí)CD的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依據(jù)△ADC′恰好為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠ADC'＝90°時(shí)，當(dāng)∠DC'A＝90°時(shí)，分別依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列方程求解，即可得到CD的長．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠ADC'＝90°時(shí)，∠ADC'＝∠C，∴DC'CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴，設(shè)CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)：x是所列方程的解，∴CD；②如圖，當(dāng)∠DC'A＝90°時(shí)，∠＝90°，由折疊可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B與CE重合，∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝＝5，∴，設(shè)CD＝C'D＝x，則AD＝3﹣x，∴，解得x，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴CD；綜上所述，CD的長為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式列方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·濟(jì)南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)P在上，且，點(diǎn)Q是邊上一個動點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與相似．【答案】2或8##8或2【分析】分和兩種情況求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，所以，解得；?dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，，所以，解得；故答案為?或8．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確進(jìn)行分類計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)∠CED=90°時(shí)，如圖1，過E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴，∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，如圖2，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∵，CE和BC相交，∴AD與CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，綜上，AE的值為或1．故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當(dāng)兩個直角三角形相似時(shí)，要分情況進(jìn)行討論；正確畫圖是關(guān)鍵，注意不要丟解．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)CN=2時(shí)，CM=______．【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，進(jìn)而證明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠BMA=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠BMA+∠NMC=90°，∴∠BAM=∠NMC，∴△BAM∽△CMN，∴，∴，解得MC=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．4．（2021·河南·漯河市第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（1，0），點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝圖象上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q．若以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，則相應(yīng)的點(diǎn)P共有_____個．【答案】4【分析】設(shè)P（t，），由于∠PQO＝∠AOB，則根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△BAO，當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△ABO，然后分別解方程求出t，從而可判斷點(diǎn)P的個數(shù)．【詳解】解：∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，設(shè)P（t，），∵PQ⊥x軸，∴∠PQO＝90°，∵∠PQO＝∠AOB，∴當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△BAO，即，則2t＝，解得t1＝﹣，t2＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）或（，﹣）；當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△ABO，即，則t＝，解得t1＝﹣，t2＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，），∴以點(diǎn)O，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，相應(yīng)的點(diǎn)P共有4個．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了反比例函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．5．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）如圖，D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的動點(diǎn)，若，且ΔADE與ΔABC相似，則AD的長度是_______．【答案】4或【分析】分類討論：當(dāng)△ADE∽△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得，即；當(dāng)△AED∽△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得，即，然后分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，可得，即，解得AD＝；當(dāng)△AED∽△ABC時(shí)，可得，即，解得AD＝4，綜上所述，AD的長為4或．故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．6．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=__________．【答案】2或8或5【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分別根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得DP的長度即可．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，①當(dāng)△APD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：PD＝2或PD＝8；②當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：DP＝5．綜上所述，DP的長度是2或8或5．故答案為：2或8或5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何及函數(shù)綜合問題例題：（2022·上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬松江實(shí)驗(yàn)學(xué)?；▓@分校九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．【答案】(1)見解析(2)y＝﹣+x，定義域是0＜x＜(3)或【分析】（1）先由已知條件判斷出，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出＝，再由，可知，再根據(jù)其對應(yīng)邊成比例即可求出答案；（2）由，得＝＝，進(jìn)而可得出AE與DE的關(guān)系，作，垂足為點(diǎn)H，由可得出＝＝，進(jìn)而可得出y與x的關(guān)系式；另解：由x，根據(jù)＝，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；（3）由，得＝，當(dāng)與相似時(shí)，只有兩種情形：或，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出答案．（1）解：∴＝，∴＝＝．（2）解：由得＝，作，垂足為點(diǎn)H，∴＝＝．∴HE＝x．又∵AB＝2，y＝（2﹣x）?x，即y＝﹣+x．∵點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，∴∴，定義域是．另解：由得＝＝，∴×x＝x，∴×x×2＝x，∴＝，即＝，∴y＝﹣+x．定義域是．（3）解：由，得＝，∴PE＝x?＝x．當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：或（i）當(dāng)時(shí)，＝，∴＝．解得x＝．∴﹣x××5+×＝．（ii）當(dāng)時(shí)，同理可得x＝，y＝．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，找出圖形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵，在解（3）時(shí)要注意分類討論，不要漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動，速度是1cm/s，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動，速度為2cm/s．動點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動終止．連結(jié)DE、CD、AE，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（s）．(1)當(dāng)為何值時(shí)，△BDE與△ABC相似?(2)設(shè)△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運(yùn)動過程中是否存在某一時(shí)刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)當(dāng)為秒或秒時(shí)，與相似(2)，(3)存在，當(dāng)t=，有CD⊥DE【分析】（1）設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，兩種情況分別證明Rt△BDE∽Rt△BCA，最后后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值即可；（2）過E作EF⊥AB于F，先證Rt△BEF∽Rt△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）先計(jì)算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線