滬教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)同步提升講義第11講整式的除法(九大題型)(學(xué)生版+解析)

第11講整式的除法（九大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會(huì)用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．2、會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算．3、會(huì)進(jìn)行整式除以單項(xiàng)式的計(jì)算．一、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）要點(diǎn)：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或整式.要點(diǎn)：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.三、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.要點(diǎn)：（1）法則包括三個(gè)方面：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.（2）單項(xiàng)式除法的實(shí)質(zhì)即有理數(shù)的除法（系數(shù)部分）和同底數(shù)冪的除法的組合，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍為單項(xiàng)式.四、整式除以單項(xiàng)式法則整式除以單項(xiàng)式：先把整式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即要點(diǎn)：（1）由法則可知，整式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來解決，其實(shí)質(zhì)是將它分解成多個(gè)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.（2）利用法則計(jì)算時(shí)，整式的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)，要注意符號(hào)的變化.【即學(xué)即練1】計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)【即學(xué)即練2】計(jì)算：(1)；(2)；(3).【即學(xué)即練3】（1）．（2）．【即學(xué)即練4】先化簡，再求值：，其中，．題型1：同底數(shù)冪的除法【典例1】．計(jì)算：．【典例2】．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【典例3】．計(jì)算：．題型2：冪的混合運(yùn)算【典例4】．計(jì)算：．【典例5】．計(jì)算：．【典例6】．計(jì)算：(1)；(2)．【典例7】．計(jì)算：(1)；(2)．【典例8】．計(jì)算：(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．題型3：同底數(shù)冪除法的逆用【典例9】．已知，，則（）A．3 B．18 C．6 D．1.5【典例10】．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【典例11】．已知，，，求的值．【典例12】．已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)直接寫出字母、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．【典例13】．（1）已知，，求①的值；②的值（2）已知，求x的值．題型4：根據(jù)冪的運(yùn)算求參數(shù)或代數(shù)式的值【典例14】．若，則．【典例15】．已知，，則的值為（

）A．16 B．4 C． D．【典例16】．若，，則的值是（

）A．4 B．5 C．8 D．10【典例17】．已知，求的值.【典例18】．若，，，則．題型5：單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式【典例19】．計(jì)算：(1)；(2)．【典例20】．計(jì)算：(1)；(2)；(3).【典例21】．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．【典例22】．已知，則的值為（

）A．6 B．36 C．12 D．3題型6：整式除以單項(xiàng)式【典例23】．計(jì)算：(1).(2).【典例24】．計(jì)算：(1)；(2)【典例25】．下列運(yùn)算正確的是（

）①；②；③；④．A．①② B．③④C．①②③ D．②③④題型7：整式的混合運(yùn)算及其求值問題【典例26】．化簡：．【典例27】．已知，求的值．【典例28】．先化簡，再求值：，其中．【典例29】．先化簡，再求值：，其中a、b滿足題型8：整式的除法代數(shù)應(yīng)用（含看錯(cuò)，遮擋問題）【典例30】．已知，B是一個(gè)整式，在計(jì)算時(shí)，小馬同學(xué)把看成了，結(jié)果得，則．【典例31】．整式A與單項(xiàng)式的積為，則整式A為．【典例32】．一個(gè)整式除以，商為，這個(gè)整式為．【典例33】．小明的作業(yè)本上有一道題不小心被沾上了墨水：，通過計(jì)算，這道題的■處應(yīng)是．【典例34】．老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)整式，形式如下：，則所指的整式為．【典例35】．已知整式除以一個(gè)整式，得商式為，余式為，求這個(gè)整式是．【典例36】．已知，是一個(gè)整式，小明在計(jì)算時(shí)，錯(cuò)將“”抄成了“÷”，運(yùn)算結(jié)果得，那么，原來算式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)為．【典例37】．已知，是整式，在計(jì)算時(shí)，小馬虎同學(xué)把看成了，結(jié)果得，細(xì)心的小明同學(xué)計(jì)算正確，那么小明計(jì)算出的值為．題型9：整式的除法，整式的混合運(yùn)算的幾何應(yīng)用【典例38】．面積為的長方形，若它的寬為，則它的長為．【典例39】．已知的面積為，一邊長為，則這條邊上的高為．【典例40】．如圖，一個(gè)長方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示），留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．(2)若米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．【典例41】．如圖，把一張長方形紙板裁去兩個(gè)邊長為6cm的小正方形和兩個(gè)全等的小長方形，再把剩余部分（陰影部分）四周折起，恰好做成一個(gè)有底有蓋的長方體紙盒，紙盒底面長方形的長為，寬為，則：（1）裁去的每個(gè)小長方形面積為cm2．（用的代數(shù)式表示）（2）若長方體紙盒的表面積是底面積的偶數(shù)倍，則正整數(shù)的值為．一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）．長方形，則需要C類卡片張數(shù)為．三、解答題19．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．20．計(jì)算：（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）．21．計(jì)算：．22．計(jì)算下列各題：(1)；(2)．23．先化簡，再求值，，其中，24．小明在做練習(xí)冊(cè)上的一道整式除以單項(xiàng)式的習(xí)題時(shí)，一不小心，一滴墨水污染了這道習(xí)題，只看見了被除式中第一項(xiàng)是及中間的“”，污染后習(xí)題形式如下：

，小明翻看了書后的答案是“”，你能夠復(fù)原這個(gè)算式嗎?請(qǐng)你試一試．25．已知A、B均為整式，，小馬在計(jì)算時(shí)，誤把“÷”抄成了“”，這樣他計(jì)算的正確結(jié)果為．(1)將整式A化為最簡形式；(2)求整式B；(3)求的正確結(jié)果．26．整式一共有項(xiàng)，它除以單項(xiàng)式an（為正整數(shù)），其商式是幾項(xiàng)式？寫出商式.27．本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算，運(yùn)算法則如下：．根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算法則，回答下列問題：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，請(qǐng)直接寫出的值．28．我們把形如的整式稱為關(guān)于x的一元n次整式，記作，…等等.將整數(shù)的帶余除法類比到一元整式，我們可類似地得到帶余式的大除法，其關(guān)系式為：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次數(shù)小于的次數(shù).我們來舉個(gè)例子對(duì)比整式除法和整數(shù)除法，如下左式中，除以，商為，余數(shù)為：而如下右式中，整式除以，商式為，余式為.請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決下面的問題：(1)整式除以，請(qǐng)補(bǔ)全下面的計(jì)算式所以，除以所得的商式為，余式為．(2)若整式除以所得的余式為，求的值．第11講整式的除法（九大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會(huì)用同底數(shù)冪的除法性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．2、會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算．3、會(huì)進(jìn)行整式除以單項(xiàng)式的計(jì)算．一、同底數(shù)冪的除法法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（≠0，都是正整數(shù)，并且）要點(diǎn)：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或整式.要點(diǎn)：底數(shù)不能為0，無意義.任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.三、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.要點(diǎn)：（1）法則包括三個(gè)方面：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.（2）單項(xiàng)式除法的實(shí)質(zhì)即有理數(shù)的除法（系數(shù)部分）和同底數(shù)冪的除法的組合，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍為單項(xiàng)式.四、整式除以單項(xiàng)式法則整式除以單項(xiàng)式：先把整式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即要點(diǎn)：（1）由法則可知，整式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來解決，其實(shí)質(zhì)是將它分解成多個(gè)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.（2）利用法則計(jì)算時(shí)，整式的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)，要注意符號(hào)的變化.【即學(xué)即練1】計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）運(yùn)用同底數(shù)冪的法則除法計(jì)算即可求解；（2）運(yùn)用同底數(shù)冪的法則除法計(jì)算即可求解；（3）運(yùn)用同底數(shù)冪的法則除法計(jì)算即可求解；（4）運(yùn)用同底數(shù)冪的法則除法計(jì)算即可求解．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】計(jì)算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先計(jì)算積的乘方，再利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、相同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除數(shù)里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【即學(xué)即練3】（1）．（2）．【答案】【分析】（1）利用整式的除法法則計(jì)算各題即可；（2）利用整式的除法法則計(jì)算各題即可．【解析】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【即學(xué)即練4】先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根據(jù)平方差公式和整式乘以整式的計(jì)算法則去小括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，再計(jì)算整式除以單項(xiàng)式，最后代值計(jì)算即可．【解析】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，熟知整式的混合計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．題型1：同底數(shù)冪的除法【典例1】．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可【解析】∵,故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．【典例2】．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)即可得到；（4）根據(jù)即可得到；（5）根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）．故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則進(jìn)行求解．【典例3】．計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行解答即可．【解析】解：原式=22n-1÷22n=22n-1-2n=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪的除法，熟練掌握同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減是解題的關(guān)鍵．題型2：冪的混合運(yùn)算【典例4】．計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及除法法則計(jì)算即可解答．【解析】．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則及除法法則，熟練運(yùn)用法則是解決問題的關(guān)鍵．【典例5】．計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則將原式化簡，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的除法運(yùn)算，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例6】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方運(yùn)算法則．（1）原式利用積的乘方以及同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）原式利用積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到結(jié)果．【解析】（1）解：；（2）解：．【典例7】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和除法，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例8】．計(jì)算：(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先變形，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（5）先算乘法、除法、乘方，再合并同類項(xiàng)即可．【解析】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘方和積的乘方的應(yīng)用，注意：同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．題型3：同底數(shù)冪除法的逆用【典例9】．已知，，則（）A．3 B．18 C．6 D．1.5【答案】D【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則及冪的乘方的法則進(jìn)行求解即可．【解析】解：當(dāng)，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【典例10】．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）逆運(yùn)用同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)解答即可；（2）逆運(yùn)用冪的乘方與同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】（1）解：，，；（2），，．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【典例11】．已知，，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和除法進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法和除法，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例12】．已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)直接寫出字母、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)9(2)(3)【分析】（1）根據(jù)冪的乘方法則解答即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘、除法逆運(yùn)算進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)，結(jié)合冪的乘方，同底數(shù)相乘法則即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵=3，∴；（2）解：∵=3，=8，=72，∴；（3）解：∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)的乘法，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．【典例13】．（1）已知，，求①的值；②的值（2）已知，求x的值．【答案】（1）6；；（2）9【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則和除法法則求解即可；（2）把各個(gè)數(shù)字化為以3為底數(shù)的形式，按照同底數(shù)冪的乘法法則，求解即可．【解析】解：（1）①∵，，∴；②∵，，∴；（2）∵∴，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、除法運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．題型4：根據(jù)冪的運(yùn)算求參數(shù)或代數(shù)式的值【典例14】．若，則．【答案】2【分析】利用冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法即可求解．【解析】解：，，，．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例15】．已知，，則的值為（

）A．16 B．4 C． D．【答案】D【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法，完全平方公式的變形求值，根據(jù)已知可得，得出，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式變形求值即可求解．【解析】解：∵，∴∴，∴∴【典例16】．若，，則的值是（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】A【分析】先根據(jù)冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算求出，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法逆運(yùn)算求出即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪乘除法的逆運(yùn)算，代數(shù)式求值，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【典例17】．已知，求的值.【答案】m=2【分析】將變形為以2為底的冪進(jìn)行比較列出方程計(jì)算即可；【解析】解：∵又∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，靈活進(jìn)行冪之間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.【典例18】．若，，，則．【答案】1【分析】此題主要考查求代數(shù)式的值，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法逆運(yùn)算、同底數(shù)冪的除法逆運(yùn)算、冪的乘方逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵．利用同底數(shù)冪的乘法逆運(yùn)算、同底數(shù)冪的除法逆運(yùn)算、冪的乘方逆運(yùn)算得出即可求解．【解析】∵，，∴，，∴，∴故答案為：1．題型4：根據(jù)冪的運(yùn)算求參數(shù)或代數(shù)式的值【典例19】．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是積的乘方運(yùn)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再按照單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算即可；（2）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再按照單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算即可；【解析】（1）解：；（2）．【典例20】．計(jì)算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先計(jì)算積的乘方，再利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、相同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除數(shù)里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【典例21】．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式得運(yùn)算法則．【解析】解：A、，運(yùn)算正確，不符合題意；B、，運(yùn)算正確，不符合題意；C、，運(yùn)算錯(cuò)誤，符合題意；D、，運(yùn)算正確，不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法，底不變，指數(shù)相減．【典例22】．已知，則的值為（

）A．6 B．36 C．12 D．3【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則把左邊化簡后可得答案．【解析】∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，以及單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．題型6：整式除以單項(xiàng)式【典例23】．計(jì)算：(1).(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)整式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算乘方，再根據(jù)整式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可．【解析】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查整式除以單項(xiàng)式．掌握整式除以單項(xiàng)式法則是解題關(guān)鍵．【典例24】．計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是積的乘方運(yùn)算，整式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再計(jì)算整式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算即可；（2）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再計(jì)算整式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算即可；【解析】（1）解：；（2）．【典例25】．下列運(yùn)算正確的是（

）①；②；③；④．A．①② B．③④C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】本題主要考查整式除以單項(xiàng)式，本題要依照整式除以單項(xiàng)式的法則逐題進(jìn)行檢查計(jì)算即可．【解析】解：①，故①計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；②，故②計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；③，故③計(jì)算正確，符合題意；④，故④計(jì)算正確，符合題意．所以，運(yùn)算正確的是③④，故選：B題型7：整式的混合運(yùn)算及其求值問題【典例26】．化簡：．【答案】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算除法可得結(jié)果．【解析】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及平方差公式和完全平方公式．【典例27】．已知，求的值．【答案】，11【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)與代數(shù)式求值綜合．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整式除以單項(xiàng)式法則，整式相乘的法則．根據(jù)條件結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，而后化簡原式，代入求值即可．【解析】∵，∴，，解得，，∵，∴當(dāng)，時(shí)，原式．【典例28】．先化簡，再求值：，其中．【答案】，8【分析】先利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，再按照整式加減法則和整式除法法則完成化簡，然后代入求值即可．【解析】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算及代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式、平方差公式及相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例29】．先化簡，再求值：，其中a、b滿足【答案】，【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則及絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性即可求出答案．【解析】解：原式，∵，∴，，∴，，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算及絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．題型8：整式的除法代數(shù)應(yīng)用（含看錯(cuò)，遮擋問題）【典例30】．已知，B是一個(gè)整式，在計(jì)算時(shí)，小馬同學(xué)把看成了，結(jié)果得，則．【答案】【分析】本題考查的是單項(xiàng)式乘以整式的運(yùn)算，整式除以單項(xiàng)式的含義，整式的加減運(yùn)算，由除法的意義列式，求解B后，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【解析】解：根據(jù)題意得，∴．故答案為：【典例31】．整式A與單項(xiàng)式的積為，則整式A為．【答案】【分析】直接利用整式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解析】解：∵整式A與單項(xiàng)式的積為，∴整式A為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例32】．一個(gè)整式除以，商為，這個(gè)整式為．【答案】【分析】把商乘以可以得這個(gè)整式．【解析】解∶由題意，得這個(gè)整式為∶故應(yīng)填∶．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的除法，屬于基礎(chǔ)題型，解決本題的關(guān)鍵應(yīng)熟練掌握整式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．【典例33】．小明的作業(yè)本上有一道題不小心被沾上了墨水：，通過計(jì)算，這道題的■處應(yīng)是．【答案】【分析】根據(jù)整式的四則運(yùn)算法則求解即可．【解析】解：∵∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查整式的四則運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例34】．老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)整式，形式如下：，則所指的整式為．【答案】【分析】直接利用整式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解析】由題意可得，所捂整式是：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式除以單項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例35】．已知整式除以一個(gè)整式，得商式為，余式為，求這個(gè)整式是．【答案】【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解析】由題意可知：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的乘除運(yùn)算以及加減運(yùn)算．【典例36】．已知，是一個(gè)整式，小明在計(jì)算時(shí)，錯(cuò)將“”抄成了“÷”，運(yùn)算結(jié)果得，那么，原來算式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)為．【答案】【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【解析】解：由題意可知：，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【典例37】．已知，是整式，在計(jì)算時(shí)，小馬虎同學(xué)把看成了，結(jié)果得，細(xì)心的小明同學(xué)計(jì)算正確，那么小明計(jì)算出的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，即可求出整式，進(jìn)而求出．【解析】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘除以及整式加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是得出整式．題型9：整式的除法，整式的混合運(yùn)算的幾何應(yīng)用【典例38】．面積為的長方形，若它的寬為，則它的長為．【答案】/【分析】根據(jù)長方形的面積公式列除法算式，再由整式除法法則計(jì)算可求解．【解析】解：由題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的除法，掌握整式的除法法則是解題的關(guān)鍵．【典例39】．已知的面積為，一邊長為，則這條邊上的高為．【答案】【分析】本題考查的是整式除以單項(xiàng)式的應(yīng)用，直接利用面積的2倍除以這條邊的邊長列式計(jì)算即可．【解析】解：由題意得這條邊上的高為；故答案為：．【典例40】．如圖，一個(gè)長方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示），留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．(2)若米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請(qǐng)計(jì)算草坪的造價(jià)．【答案】(1)(2)16660元【分析】（1）用大長方形面積減去兩個(gè)小正方形面積；（2）先求出x，然后將x、y的值代入即可．【解析】（1）解：；（2）解：∵，∴，∴（平方米）（元）答：草坪的造價(jià)為16660元．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用運(yùn)算法則計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【典例41】．如圖，把一張長方形紙板裁去兩個(gè)邊長為6cm的小正方形和兩個(gè)全等的小長方形，再把剩余部分（陰影部分）四周折起，恰好做成一個(gè)有底有蓋的長方體紙盒，紙盒底面長方形的長為，寬為，則：（1）裁去的每個(gè)小長方形面積為cm2．（用的代數(shù)式表示）（2）若長方體紙盒的表面積是底面積的偶數(shù)倍，則正整數(shù)的值為．【答案】1或5【分析】（1）求出小長方形的長與寬，再根據(jù)面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）先表示出長方體紙盒的底面積和表面積，再根據(jù)長方體紙盒的表面積是底面積的偶數(shù)倍得到，整理得，最后由為偶數(shù)，為正整數(shù)即可得到答案．【解析】解：（1）由題意得，小長方形的長為，寬為，裁去的每個(gè)小長方形面積為：，故答案為：；（2）長方體紙盒的底面積為：，長方體紙盒的表面積為：，長方體紙盒的表面積是底面積的偶數(shù)倍，（為偶數(shù)），整理得：，為偶數(shù)，為正整數(shù)，；或，正整數(shù)的值為1或5，故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，整式的乘除運(yùn)算，長方體表面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和除法計(jì)算即可．【解析】解：，【點(diǎn)睛】此題考查同底數(shù)冪的除法和乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法（底數(shù)不變，指數(shù)相加）和同底數(shù)冪的除法（底數(shù)不變，指數(shù)相減）的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．下列計(jì)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式得運(yùn)算法則．【解析】解：A、，運(yùn)算正確，不符合題意；B、，運(yùn)算正確，不符合題意；C、，運(yùn)算錯(cuò)誤，符合題意；D、，運(yùn)算正確，不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法，底不變，指數(shù)相減．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）．A． B． C．1 D．【答案】B【分析】直接運(yùn)用整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：，．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，整式混合運(yùn)算法則以及完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．4．若，則等于（）A．75 B．4 C．或5 D．【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆運(yùn)算以及冪的乘方的逆運(yùn)算，對(duì)式子進(jìn)行化簡，求解即可．【解析】解：故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪除法的逆運(yùn)算以及冪的乘方的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．5．如圖，墨跡污染了等式中的運(yùn)算符號(hào)，則污染的是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】D【分析】根據(jù)整式的加減乘除計(jì)算法則逐一判斷可求解．【解析】解：∵與不是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行加減計(jì)算，∴A、B選項(xiàng)不符合題意；∵，∴C選項(xiàng)不符合題意；∵，∴D選項(xiàng)符合題意；【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的四則運(yùn)算，掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．6．一個(gè)長方形的面積為，且一邊長為，則該長方形的周長為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)整式除以單項(xiàng)式求得另一邊，進(jìn)而求得長方形的周長．【解析】解：一個(gè)長方形的面積為，且一邊長為，該長方形另一邊的長為：，長方形的周長為：，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了整式除以單項(xiàng)式，整式的加減，求得另一邊的長是解題的關(guān)鍵．7．計(jì)算得到的余式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分組通過因式分解變形即可得到答案.【解析】解：==[2(x2-4)2-x3-4x-10x2-40-4x-23]=[2(x2-4)2-x(x2-4)-10(x2-4)-4x-23]={(4-x2)[2(4-x2)-x-10]-4x-23}=(-2x2-x-2)-(-4x-23)故選B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的除法及因式分解，正確地將進(jìn)行變形是解決問題的關(guān)鍵.8．若a為正整數(shù)，且x2a=5，則(2x3a)2÷4x4a的值為（）A．5 B．2.5 C．25 D．10【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘計(jì)算；再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算，然后將x2a=5代入即可求出原代數(shù)式的值．【解析】(2x3a)2÷4x4a=4=，∵x2a=5，∴原式=x2a=5.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則化簡原式.9．將整式除以后得商式，余式為0，則的值為（

）A．3 B．23 C．25 D．29【答案】D【分析】先把整式化簡，然后由整式的乘法、除法運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，求出a、b、c的值，即可得到答案．【解析】解：=；∵，∴，，，∴，，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡．10．觀察：，，，……據(jù)此規(guī)律，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)律得到，進(jìn)而得到，得到，再代入即可求解．【解析】解：根據(jù)規(guī)律得，∵，∴，∴，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，平方差公式，整式乘整式，整式除以單項(xiàng)式并求值，解題的關(guān)鍵是得到．二、填空題11．計(jì)算：?÷=．【答案】．【分析】整式的乘除法混合運(yùn)算，從左至右進(jìn)行．【解析】解：?÷故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的乘除法混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握混合運(yùn)算的順序．12．計(jì)算：．【答案】/【分析】先根據(jù)積的乘方進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．13．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)即可得到；（4）根據(jù)即可得到；（5）根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）．故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則進(jìn)行求解．14．（）．【答案】【分析】本題主要考查整式除單項(xiàng)式，熟練掌握整式除單項(xiàng)式的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)整式除單項(xiàng)式的除法法則解決此題．【解析】解：由題意得：，故答案為：．15．已知，，則，．（請(qǐng)用含有a，b的代數(shù)式表示）【答案】/【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：∵，，∴；．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則．16．小明與小亮在做游戲時(shí)，兩人各報(bào)一個(gè)整式，將小亮報(bào)的整式作為除式，小明報(bào)的整式作為被除式，要求商必須為．若小明報(bào)的整式是，則小亮應(yīng)報(bào)的整式是．【答案】【分析】根據(jù)被除式、除式和商的關(guān)系列出代數(shù)式，再利用整式除法運(yùn)算法則求解即可．【解析】解：根據(jù)題意，小亮報(bào)的整式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的除法，熟練掌握整式除法運(yùn)算法則，正確列出代數(shù)式是解答的關(guān)鍵．17．正整數(shù)，那么除以3的余數(shù)是．【答案】2【分析】先求出除以3的余數(shù)是0，再得到時(shí)，除以3的余數(shù)是2，依此即可得到除以3的余數(shù)．【解析】解：∵，∴除以3的余數(shù)是0，由知：當(dāng)時(shí)，,除以3的余數(shù)是2，∴除以3的余數(shù)是2，即除以3的余數(shù)是2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同余問題，解題的關(guān)鍵是變形為．18．如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個(gè)長為，寬為的大長方形，則需要C類卡片張數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了整式乘整式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式等知識(shí)．熟練掌握整式乘整式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．由題意知，大長方形的面積為，根據(jù)大長方形的面積為A、B、C類卡片面積的和求解作答即可．【解析】解：由題意知，大長方形的面積為，∵，∴需要C類卡片張數(shù)為張，故答案為：．三、解答題19．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則和積的乘方法則計(jì)算即可．【解析】解：（1）原式==；（2）原式===1；（3）原式===；（4）原式===．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的除法和積的乘方法則．同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．20．計(jì)算：（1）；

（2）；

（3