四川省涼山州2025屆高三數(shù)學(xué)第二次診斷性檢測(cè)試題文含解析

PAGE25-四川省涼山州2025屆高三數(shù)學(xué)其次次診斷性檢測(cè)試題文（含解析）第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題每題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式可得集合A，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)潔運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1 B.-1 C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.3.等比數(shù)列若則（）A.±6 B.6 C.-6 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，留意項(xiàng)的符號(hào)特征，屬于基礎(chǔ)題.4.若，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)充分必要性的判定，依次推斷是否具有充分性和必要性即可.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，代入可得，解得或，因而“”不是“”的必要條件，綜上可知“”是“”充分不必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念及簡(jiǎn)潔推斷，屬于基礎(chǔ)題.5.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當(dāng)時(shí)，代入可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點(diǎn)斜式可得切線方程為，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.6.閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的推斷框內(nèi)可填寫的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)的值，進(jìn)而得推斷框內(nèi)容.【詳解】依據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時(shí)輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.7.若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)潔應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿意（）A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上的最小值為1D.最小正周期為，在有兩個(gè)根【答案】C【解析】【分析】由協(xié)助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可推斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個(gè)單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對(duì)稱中心滿意，解得，所以A、B選項(xiàng)中的對(duì)稱中心錯(cuò)誤；對(duì)于C，的對(duì)稱軸滿意，解得，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對(duì)于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)僅有一個(gè)解為，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.9.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合特別值與極限值法，即可推斷解析式.【詳解】依據(jù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于B選項(xiàng)，其，所以解除B；當(dāng)時(shí)，由圖像可知，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，所以解除D；對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，即時(shí)，所以解除A；所以C正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)圖像推斷解析式，留意特別值與極限值等方法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)T在棱上，若平面.則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面對(duì)量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11.已知，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.12.一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面全部項(xiàng)之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項(xiàng)為2，某一項(xiàng)為2024的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】依據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2024.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知首項(xiàng)為2，設(shè)其次項(xiàng)為，則第三項(xiàng)為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且，則，因?yàn)?，?dāng)?shù)闹悼梢詾?；即?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用，留意自變量的取值范圍，對(duì)題意理解要精確，屬于中檔題.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二，填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13.從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中任選兩名志愿者，則甲被選中的概率是．【答案】【解析】試題分析：從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中任選兩名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，?。?、（乙，丙）、（乙，?。?、（丙，?。┝N取法，其中甲被選中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，?。┤N，所以甲被選中的概率為考點(diǎn)：本小題主要考查古典概型概率的求解.點(diǎn)評(píng)：求古典概型概率時(shí)，要保證每一個(gè)基本領(lǐng)件都是等可能的.14.定義在上的奇函數(shù)滿意，并且當(dāng)時(shí)，則___【答案】【解析】【分析】依據(jù)所給表達(dá)式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可確定函數(shù)對(duì)稱軸及周期性，進(jìn)而由的解析式求得的值.【詳解】滿意，由函數(shù)對(duì)稱性可知關(guān)于對(duì)稱，且令，代入可得，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)的推斷及應(yīng)用，屬于中檔題.15.已知平面對(duì)量，的夾角為，且，則=____【答案】1【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量模的定義先由坐標(biāo)求得，再依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積定義求得；將化簡(jiǎn)并代入即可求得.【詳解】，則，平面對(duì)量，的夾角為，則由平面對(duì)量數(shù)量積定義可得，依據(jù)平面對(duì)量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量模的求法及簡(jiǎn)潔應(yīng)用，平面對(duì)量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16.數(shù)學(xué)家狄里克雷對(duì)數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)，稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域?yàn)?②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出全部正確的結(jié)論的序號(hào))【答案】②【解析】【分析】依據(jù)新定義，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可推斷①②③，由定義求得比小的有理數(shù)個(gè)數(shù)，即可確定④.【詳解】對(duì)于①，由定義可知，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)；當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，則值域?yàn)?，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，所以滿意，所以②正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，可以是有理數(shù)，也可以是無(wú)理數(shù)，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由定義可知，所以④錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為②.故答案為：②.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三，解答題(解答過程應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，解答步驟.共70分)17.傳染病的流行必需具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是:傳染源，傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必需同時(shí)存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和親密接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)當(dāng)佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了駕馭該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控狀況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的狀況，得到下面列聯(lián)表:（1）用樣本估計(jì)總體，分別估計(jì)青年人、中老年人出行戴口罩的概率.（2）能否有99.9%的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？【答案】（1）青年人出行戴口罩概率；老年人出行戴口罩概率.（2）有99.9%的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).【解析】【分析】（1）依據(jù)列聯(lián)表，即可求得青年人、中老年人出行戴口罩的概率；（2）跟列聯(lián)表及公式，代入即可求得觀測(cè)值.結(jié)合臨界值表即可作出推斷.【詳解】（1）依據(jù)列聯(lián)表可知，抽取青年人共人，其中帶口罩的有50人，所以青年人戴口罩的概率為；抽取老年人共人，戴口罩的有20人，所以老年人戴口罩的概率為.（2）假設(shè)是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表及公式可得，因而有99.9%把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.(1)若，證明：平面平面；(2)若三棱錐的體積為求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)四棱錐的特征，可證明平面，從而；而由等腰三角形性質(zhì)可知，所以平面，進(jìn)而由面面垂直的判定定理證明平面平面；（2）過作，連接.由可求得.即可由棱錐的體積公式求得.【詳解】（1）證明：由題意平面，平面，則四邊形為正方形，則，且，則平面，又平面，所以，由且點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以,而，所以平面，而平面，所以由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）過作，連接.則，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直與面面垂直的判定定理，三棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，平面四邊形中，，，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)同角三角函數(shù)式可求得，結(jié)合正弦和角公式求得，即可求得，進(jìn)而由三角函數(shù)（2）設(shè)依據(jù)余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，結(jié)合三角形面積公式可求得的最大值，即可求得四邊形面積的最大值.【詳解】（1），則由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，則，則，所以.（2）設(shè)在中由余弦定理可得，代入可得，由基本不等式可知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由三角形面積公式可得，所以四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦和角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用，余弦定理及不等式式求最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20.設(shè)（1）證明:當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)推斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，變形后探討當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)狀況：當(dāng)時(shí)，可知滿意題意；將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào)，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時(shí)不滿意題意，因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無(wú)需再探討.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)代入可得，令，，則，令解得，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)成立；所以此時(shí)需滿意的整數(shù)解即可，將不等式化簡(jiǎn)可得，令則令解得，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，則，，，所以此時(shí)滿意的整數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，此時(shí)，與題意沖突，所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時(shí)無(wú)需再探討，綜上所述，當(dāng)時(shí)，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法求最值，并推斷函數(shù)值法符號(hào)，綜合性強(qiáng)，屬于難題.21.已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿意.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面對(duì)量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)可得，代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得，代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn)，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.【詳解】（1）分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則，橢圓的離心率為則解得，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)滿意，則為中點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，所以則，化簡(jiǎn)可得，而由弦長(zhǎng)公式代入可得為中點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，代入化簡(jiǎn)可得，所以令，則，，令，則令，則，所以，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以，即所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，由韋達(dá)定理探討參數(shù)間的關(guān)系，平面對(duì)量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問題中的綜合應(yīng)用，計(jì)算量大，屬于難題.請(qǐng)考生在第22，23兩題中選一題作答.留意:只能做所選定的題目.假如多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長(zhǎng)；(2)在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）將直線的