2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)測(cè)試大題規(guī)范練二含解析

PAGE大題規(guī)范練(二)1.如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，________，DC＝2，在下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并加以解答．(選出一種可行的方案解答，若選出多個(gè)方案分別解答，則按第一個(gè)解答記分)①3AB＝4BC；sin∠ACB＝eq\f(2,3)；②taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠BAC＋\f(π,6)))＝eq\r(3)；③2BCcos∠ACB＝2AC－eq\r(3)AB.(1)求∠DAC的大小；(2)求△ADC面積的最大值．解：(1)若選①，在△ABC，由正弦定理可得：eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，又3AB＝4BC，sin∠ACB＝eq\f(2,3)，可得：sin∠BAC＝eq\f(1,2)，所以∠BAC＝eq\f(π,6).又AB⊥AD，所以∠BAD＝eq\f(π,2)，∠DAC＝eq\f(π,3).(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠DAC≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝AD時(shí)取“＝”．若選②，(1)由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠BAC＋\f(π,6)))＝eq\r(3)可得：∠BAC＝eq\f(π,6)，又AB⊥AD，所以∠BAD＝eq\f(π,2)，所以∠DAC＝eq\f(π,3).(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠DAC≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝AD時(shí)取“＝”．若選③，(1)2BCcos∠ACB＝2AC－eq\r(3)AB，由正弦定理得：2sin∠BACcos∠ACB＝2sin∠ABC－eq\r(3)sin∠ACB，所以2sin∠BACcos∠ACB＝2sin(∠ACB＋∠BAC)－eq\r(3)sin∠ACB，所以2sin∠BACcos∠ACB＝2sin∠ACBcos∠BAC＋2cos∠ACBsin∠BAC－eq\r(3)sin∠ACB，即2sin∠ACBcos∠BAC＝eq\r(3)sin∠ACB，因?yàn)閟in∠ACB>0，所以cos∠BAC＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)椤螧AC∈(0，π)，所以∠BAC＝eq\f(π,6)，又AB⊥AD，所以∠BAD＝eq\f(π,2)，所以∠DAC＝eq\f(π,3).(2)在△ACD中，DC＝2，由余弦定理可得：DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠DAC≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)AC＝AD時(shí)取“＝”．2.(2024·江門(mén)模擬)如圖，在梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDFE⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD.(1)求證：平面AFC⊥平面BDFE；(2)若AB＝2CD＝2eq\r(2)，BE＝EF＝2，求BF與平面DFC所成角的正弦值．(1)證明：因?yàn)槠矫鍮DFE⊥平面ABCD，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，AC?平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥平面BDFE.又AC?平面AFC，所以平面AFC⊥平面BDFE.(2)解：設(shè)AC∩BD＝O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，AC⊥BD，AB＝2CD＝2eq\r(2)，所以O(shè)D＝OC＝1，OB＝OA＝2，因?yàn)镕E∥OB且FE＝OB，所以四邊形FEBO為平行四邊形，所以O(shè)F∥BE，且OF＝BE＝2，又因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以O(shè)F⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OF,\s\up14(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，＝(0，1，2)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(1，－1，0)，eq\o(BF,\s\up14(→))＝(0，－2，2)，設(shè)平面DFC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DF,\s\up14(→))·n＝0，,\o(CD,\s\up14(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋2z＝0，,x－y＝0.))不妨設(shè)z＝1，得x＝y(tǒng)＝－2，得n＝(－2，－2，1)．于是cos〈n，eq\o(BF,\s\up14(→))〉＝eq\f(4＋2,\r(8)×\r(9))＝eq\f(\r(2),2).設(shè)BF與平面DFC所成角為θ，則sinθ＝|cos〈n，eq\o(BF,\s\up14(→))〉|＝eq\f(\r(2),2).所以BF與平面DFC所成角的正弦值為eq\f(\r(2),2).3．(2024·中山模擬)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(an（an＋1）,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)bn＝log2eq\f(an＋2,an＋1)；若稱使數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為整數(shù)的正整數(shù)n為“優(yōu)化數(shù)”，試求區(qū)間(0，2020)內(nèi)全部“優(yōu)化數(shù)”的和S.解：(1)由數(shù)列{an}的前n和Sn＝eq\f(an（an＋1）,2)知：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝eq\f(a1（a1＋1）,2)，a1＝S1，所以a1(a1－1)＝0，又a1>0，所以a1＝1.當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(an（an＋1）,2)－eq\f(an－1（an－1＋1）,2)，整理得：(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，＝1，公差d＝1的等差數(shù)列，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝n.(2)由an＝n知，bn＝log2eq\f(an＋2,an＋1)＝log2eq\f(n＋2,n＋1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為b1＋b2＋b3＋…＋bn＝log2eq\f(3,2)＋log2eq\f(4,3)＋log2eq\f(5,4)＋…＋log2eq\f(n＋2,n＋1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(4,3)×\f(5,4)×…×\f(n＋2,n＋1)))＝log2(n＋2)－1，令b1＋b2＋b3＋…＋bn＝k(k∈Z)，則有l(wèi)og2(n＋2)－1＝k，n＝2k＋1－2，由n∈(0，2020)，k∈Z知k<10且k∈N*，所以區(qū)間(0，2020)內(nèi)全部“優(yōu)化數(shù)”的和為＋210)－18＝eq\f(22（1－29）,1－2)－18＝211－22＝2026.4．(2024·汕尾模擬)法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜愛(ài)吃面包的人，他每天都會(huì)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)面包，面包師聲稱自己出售的每個(gè)面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動(dòng)不超過(guò)50g．這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量聽(tīng)從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布．(1)假設(shè)面包師的說(shuō)法是真實(shí)的，從面包師出售的面包中任取兩個(gè)，記取出的兩個(gè)面包中質(zhì)量大于1000g的個(gè)數(shù)為ζ，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)作為一個(gè)擅長(zhǎng)思索的數(shù)學(xué)家，龐加萊每天都會(huì)將買(mǎi)來(lái)的面包稱重并記錄，25天后，得到數(shù)據(jù)如下表，經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包總質(zhì)量為24468g．龐加萊購(gòu)買(mǎi)的25個(gè)面包質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：g)981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966－－－－－盡管上述數(shù)據(jù)都落在(950，1050)上，但龐加菜還是認(rèn)為面包師撒謊，依據(jù)所附信息，從概率角度說(shuō)明理由．附：①若X～N(μ，σ2)，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則由統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)問(wèn)可知：隨機(jī)變量Y～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ，\f(σ2,25)))；②若η～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<η<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<η<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<η<μ＋3σ)＝0.9974；③通常把發(fā)生概率在0.05以下的事務(wù)稱為小概率事務(wù)．解：(1)由題意知，ξ的全部可能取值為0，1，2.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,4).所以ξ的分布列為：ξ012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＝1.(2)記面包師制作的每個(gè)面包的質(zhì)量為隨機(jī)變量X.假設(shè)面包師沒(méi)有撒謊，則X～N(1000，502)．依據(jù)附①，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則Y～N(1000，102)．龐加萊記錄的25個(gè)面包質(zhì)量，相當(dāng)于從X的取值中隨機(jī)抽取了25個(gè)數(shù)據(jù)，這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y＝eq\f(24468,25)＝978.72<1000－2×10＝980，由附②數(shù)據(jù)知，P(Y<980)＝eq\f(1－0.9544,2)＝0.0228<0.05，由附③知，事務(wù)“Y<980”為小概率事務(wù)，所以“假設(shè)面包師沒(méi)有撒謊”有誤，所以龐加萊認(rèn)為面包師撒謊．5．(2024·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝aln(x＋b)－eq\r(x).(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；(2)當(dāng)b>0時(shí)，探討f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：(1)當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，f(x)＝lnx－eq\r(x)，此時(shí)，函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2\r(x))＝eq\f(2－\r(x),2x)，由f′(x)>0得，0<x<4；由f′(x)<0得，x>4，所以f(x)在(0，4)上單調(diào)遞增，在(4，＋∞)上單調(diào)遞減．所以f(x)max＝f(4)＝2ln2－2.(2)當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a,x＋b)－eq\f(1,2\r(x))＝eq\f(－x＋2a\r(x)－b,2\r(x)（x＋b）)，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0對(duì)隨意的x∈(0，＋∞)恒成立，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以此時(shí)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；②當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)h(x)＝－x＋2aeq\r(x)－b，(ⅰ)當(dāng)4a2－4b≤0，即0<a≤eq\r(b)時(shí)，f′(x)≤0對(duì)隨意的x∈(0，＋∞)恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以此時(shí)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；(ⅱ)當(dāng)4a2－4b>0，即a>eq\r(b)時(shí)，記方程h(x)＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝2a>0，x1x2＝b>0，所以x1，x2都大于0，即f′(x)在(0，＋∞)上有2個(gè)左右異號(hào)的零點(diǎn)，所以此時(shí)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.綜上所述a≤eq\r(b)時(shí)，f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；a>eq\r(b)時(shí)，f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)．6．已知平面上一動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t2，－2t)．(1)求點(diǎn)A的軌跡E的方程；(2)點(diǎn)B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為eq\f(2,t).(ⅰ)證明直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(ⅱ)分別以A，B為圓心作與直線x＝－2相切的圓，兩圓公共弦的中點(diǎn)為H，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P，使得|PH|為定值？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)锳的坐標(biāo)為(2t2，－2t)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t2，,y＝－2t，))消去參數(shù)t得：y2＝2x，所以E的方程為y2＝2x.(2)(ⅰ)證明：因?yàn)辄c(diǎn)B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為eq\f(2,t)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t2)，\f(2,t)))，當(dāng)t＝±1時(shí)，直線AB的方程為x＝2；當(dāng)t≠±1時(shí)，直線AB的斜率為kAB＝eq\f(yB－yA,xB－xA)＝eq\