專題02 整式和因式分解（講義）（解析版）

專題02整式和因式分解核心知識(shí)點(diǎn)精講1．理解代數(shù)式的意義，能夠進(jìn)行代數(shù)式的求值．2．理解整式的相關(guān)概念，包括單項(xiàng)式、多項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)、同類項(xiàng)的概念．3．理解同類項(xiàng)的合并方法．4．能夠進(jìn)行整式的加減法、乘除法的運(yùn)算，混合運(yùn)算以及化簡求值.5．理解同底數(shù)冪的運(yùn)算．6．掌握因式分解的概念、常用方法，如提公因式法、公式法、分組分解法等．7．能夠理解運(yùn)用因式分解的一般步驟．考點(diǎn)1代數(shù)式及求值1.代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。2.代數(shù)式求值：用數(shù)值代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果?？键c(diǎn)2整式的相關(guān)概念1.單項(xiàng)式：表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。2.單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。注意：單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成。3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。4.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0。5.整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。注意：分母上含有字母的不是整式。6.同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)?？键c(diǎn)3整式的運(yùn)算法則1.合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。2.整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類項(xiàng)。3.整式的乘法：4.整式的除法：考點(diǎn)4冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；③按照運(yùn)算性質(zhì)，只有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運(yùn)算的關(guān)鍵．在運(yùn)用時(shí)要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時(shí)可以適當(dāng)變形為同底數(shù)冪．2．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果．3．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）①底數(shù)a≠0，因?yàn)?不能做除數(shù)；②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應(yīng)用同底數(shù)冪除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．考點(diǎn)5整式的混合運(yùn)算—化簡求值先按運(yùn)算順序把整式化簡，再把對(duì)應(yīng)字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．考點(diǎn)6因式分解1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2.因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）運(yùn)用公式法：（3）分組分解法：（4）十字相乘法：3.因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，再看是否能用公式法，最后觀察多項(xiàng)式的能否繼續(xù)分解?！绢}型1：代數(shù)式及求值】【典例1】（2023秋?溫州）下列各式中，符合代數(shù)式書寫規(guī)則的是（）A．216b B．a(chǎn)×14 C．2y【答案】D【分析】代數(shù)式的書寫要求：①在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常簡寫成“?”或者省略不寫；②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字要寫在字母的前面，當(dāng)系數(shù)為1或﹣1時(shí)，1省略不寫；③在代數(shù)式中出現(xiàn)的除法運(yùn)算，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫，帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)；由此判斷即可．【解答】解：A、216bB、a×14應(yīng)寫成C、2y÷z應(yīng)寫成2yzD、73故選：D．【典例2】（2023秋?東莞市）若x﹣5y＝7，則代數(shù)式2x﹣10y﹣3的值為（）A．17 B．11 C．﹣11 D．10【答案】B【分析】將原式變形后代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：∵x﹣5y＝7，∴2x﹣10y﹣3＝2（x﹣5y）﹣3＝2×7﹣3＝11，故選：B．1．（2023秋?廣州期中）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入x的值為4，則第2022次輸出的結(jié)果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣6【答案】D【分析】輸入的x的值為4，由題意列式計(jì)算后總結(jié)規(guī)律即可．【解答】解：輸入的x的值為4，第1次輸出結(jié)果為：12第2次輸出結(jié)果為：12第3次輸出結(jié)果為：1﹣5＝﹣4；第4次輸出結(jié)果為：12第5次輸出結(jié)果為：12第6次輸出結(jié)果為：﹣1﹣5＝﹣6；第7次輸出結(jié)果為：12第8次輸出結(jié)果為：﹣3﹣5＝﹣8；第9次輸出結(jié)果為：12……，（2022﹣2）÷6＝336…4，則第2022次輸出的結(jié)果是﹣6，故選：D．2．（2023秋?天河區(qū)）如果式子3a﹣2b的值為10，則6a﹣4b+2的值為（）A．20 B．22 C．26 D．36【答案】B【分析】把代數(shù)式6a﹣4b+2進(jìn)行變形，然后代數(shù)即可．【解答】解：6a﹣4b+2＝2（3a﹣2b）+2＝2×10+2＝22．故選：B．3．（2023秋?深圳）已知a＝﹣1，則a2﹣4的值為﹣3．【答案】﹣3．【分析】把a(bǔ)＝﹣1代入a2﹣4，計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)a＝﹣1時(shí)，a2﹣4＝（﹣1）2﹣4＝1﹣4＝﹣3，故答案為：﹣3．4．（2023秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）已知x﹣2y＝3，則代數(shù)式x﹣2y+4的值為7．【答案】7．【分析】將x﹣2y＝3代入即可求解．【解答】解：∵x﹣2y＝3，∴x﹣2y+4＝3+4＝7．故答案為：7．5．（2023秋?深圳校級(jí)期中）如圖，長為y（cm），寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為5cm．（1）從圖可知，每個(gè)小長方形的較長邊的長是（y﹣15）cm（用含y的代數(shù)式表示）．（2）求陰影A和陰影B的周長和（用含x的代數(shù)式表示）．（3）當(dāng)y＝30時(shí)，用含x的代數(shù)式分別表示陰影A，B的面積，并比較A，B面積的大?。敬鸢浮浚?）（y﹣15）；（2）（4x+10）cm；（3）陰影A的面積為15（x﹣10）cm2，陰影B的面積為15（x﹣15）cm2，陰影A＞陰影B面積．【分析】（1）觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為（y﹣15）cm；（2）由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計(jì)算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為2（2x+5）cm；（3）利用長方形的面積公式分別求得陰影A，B的面積，將y＝30代入計(jì)算陰影A，B的面積，比較大小即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）從圖可知，每個(gè)小長方形的較短邊的長是5cm，∴每個(gè)小長方形的較長邊的長是：y﹣5×3＝（y﹣15）cm．故答案為：（y﹣15）；（2）由圖形可知，陰影A的長為（y﹣15）cm，寬為（x﹣10）cm，陰影B的長為15cm，寬為x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，∴陰影A和陰影B的周長和為：2（y﹣15+x﹣10）+2（15+x﹣y+15）＝（4x+10）cm．（3）由（2）知：陰影A的長為（y﹣15）cm，寬為（x﹣10）cm，陰影B的長為15cm，寬為x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，則陰影A的面積為（y﹣15）（x﹣10）cm2，陰影B的面積為15（x﹣y+15）cm2，當(dāng)y＝30時(shí)，陰影A的面積為15（x﹣10）cm2，陰影B的面積為15（x﹣15）cm2，∵15（x﹣10）﹣15（x﹣15）＝15x﹣150﹣15x+225＝75＞0，∴陰影A＞陰影B面積．6．（2023秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）某商場銷售的外套每件原價(jià)200元，圍巾每條原價(jià)30元．“雙十一”購物節(jié)到了，該商場決定舉行促銷活動(dòng)，向客戶提供了兩種優(yōu)惠方案：方案①買一件外套送一條圍巾；方案②外套和圍巾都按定價(jià)的80%付款．現(xiàn)甲客戶要到商場購買外套40件，圍巾x條（x＞40）．若該客戶按方案①購買，共需付款（30x+6800）元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購買，共需付款（24x+6400）元（用含x的式子表示）；【答案】（30x+6800）；（24x+6400）；【分析】根據(jù)方案①、方案②的優(yōu)惠方法列出代數(shù)式解答即可；【解答】解：若該客戶按方案①購買，共需付款200×40+30（x﹣40）＝8000+30x﹣1200＝（30x+6800）元；若該客戶按方案②購買，共需付款200×40×80%+30x×80%＝（24x+6400）元；故答案為：（30x+6800）；（24x+6400）；【題型2：整式的相關(guān)概念】【典例3】（2023秋?香洲區(qū)校級(jí)）下列說法中，不正確的是（）A．﹣ab2c的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是4 B．2xy﹣1是整式 C．2r+πr2是三次二項(xiàng)式 D．6x2﹣3x+1的項(xiàng)是6x2，﹣3x，1【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，可判斷A；根據(jù)整式的定義，可判斷B；根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)和項(xiàng)，可判斷C；根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)，可判斷D．【解答】解：A、﹣ab2c的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是4，故A正確，不符合題意；B、2xy﹣1是整式，故B正確，不符合題意；C、2r+πr2是二次二項(xiàng)式，故C不正確，符合題意；D、6x2﹣3x+1的項(xiàng)是6x2，﹣3x，1，故D正確，不符合題意；故選：C．【典例4】（2023秋?中山市期中）在代數(shù)式①x+yx；②?x5+y32；③0.25m2n4；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)整式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式；幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．則①x+yx②?x③0.25m2n4符合整式的定義，它是整式；④2021符合整式的定義，它是整式；⑤1+3⑥2π綜上，②③④⑥是整式，共4個(gè)，故選：D．1.（2023秋?茂名）下列說法正確的是（）A．12πB．﹣4x2y的系數(shù)為4 C．8是單項(xiàng)式 D．3是單項(xiàng)式3（x+y）的系數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)、系數(shù)和單項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式的定義對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：A．12B．﹣4x2y的系數(shù)為﹣4，不符合題意；C．8是單項(xiàng)式，符合題意；D．3（x+y）是多項(xiàng)式，不符合題意．故選：C．2．（2023秋?東莞市校級(jí)）單項(xiàng)式?27x2y3A．?27，5 B．27，5 C．?27【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)及次數(shù)的定義解答即可．【解答】解：單項(xiàng)式?27x2y3z的系數(shù)是故選：C．3．（2023秋?東莞市）單項(xiàng)式﹣πr2的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A．﹣1和2 B．﹣1和3 C．﹣π和2 D．﹣π和3s【答案】C【分析】直接利用單項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)的定義分析得出答案．【解答】解：單項(xiàng)式﹣πr2的系數(shù)和次數(shù)分別是：﹣π，2．故選：C．4．（2023秋?東莞市校級(jí)期中）單項(xiàng)式?5ab4c2【答案】?5【分析】單項(xiàng)式前面的數(shù)字因數(shù)即為單項(xiàng)式的系數(shù)，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：單項(xiàng)式?5ab4故答案為：?5【題型3：整式的運(yùn)算法則】【典例5】（2022秋?花都區(qū)期末）計(jì)算13a2?（﹣6ab）的結(jié)果是【答案】﹣2a3b．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：13a2?（﹣6ab=13×（﹣6）＝﹣2a3b．故答案為：﹣2a3b．1．（2023秋?惠州期中）若單項(xiàng)式am﹣1b2與12abn+5A．3 B．6 C．﹣9 D．9【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式am﹣1b2與12abn+5的和仍是單項(xiàng)式，可得單項(xiàng)式am﹣1b2與12【解答】解：∵單項(xiàng)式am﹣1b2與12∴單項(xiàng)式am﹣1b2與12∴m﹣1＝1，n+5＝2，解得m＝2，n＝﹣3，∴nm＝（﹣3）2＝9，故選：D．A．16x3y B．18x【答案】D【分析】先算乘方，再算除法，即可解答．【解答】解：（x2y）3÷（2xy）3＝x6y3÷8x3y3=18x故選：D．3.（2023秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）添括號(hào)：a﹣b+c＝a﹣．【答案】（b﹣c）．【分析】根據(jù)添括號(hào)法則可以解答本題．【解答】解：a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），故答案為：（b﹣c）．【題型4：冪的運(yùn)算】【典例6】（2023春?高州市期中）已知3m＝4，3n＝10，求3m+n的值．【答案】40．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則可知3m+n＝3m?3n，代入已知計(jì)算即可．【解答】解：∵3m＝4，3n＝10，∴3m+n＝3m?3n＝4×10＝40．【典例7】（2023?南山區(qū)三模）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．a(chǎn)+2a＝3a2 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6【答案】A【分析】先根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算，再判斷即可．【解答】解：A．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項(xiàng)符合題意；B．a(chǎn)+2a＝3a，故本選項(xiàng)不符合題意；C．（ab）3＝a3b3，故本選項(xiàng)不符合題意；D．（﹣a3）2＝a6，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．1.（2023秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．2m2+m2＝3m4 B．m2?m4＝m8 C．（m2）4＝m6 D．（mn）2＝m2n2【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方法則運(yùn)算判斷即可．【解答】解：A、2m2+m2＝3m2，故原選項(xiàng)不符合題意；B、m2?m4＝m6，故原選項(xiàng)不符合題意；C、（m2）4＝m8，故原選項(xiàng)不符合題意；D、（mn）2＝m2n2，故原選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（2023秋?廣州期中）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3?a5＝a15 B．（a3）5＝a8 C．（a?+1）3＝a3n+1 D．a(chǎn)3+a3＝2a3【答案】D【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則及合并同類項(xiàng)的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、a3?a5＝a8，故A不符合題意；B、（a3）5＝a15，故B不符合題意；C、（a?+1）3＝a3n+3，故C不符合題意；D、a3+a3＝2a3，故D符合題意；故選：D．3．（2023秋?黃埔區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算(23)【答案】﹣1．【分析】根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：(=[＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案為：﹣1．4．（2023春?順德區(qū)期末）計(jì)算：（﹣3b）2＝9b2．【答案】9b2．【分析】根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：（﹣3b）2＝（﹣3）2b2＝9b2．故答案為：9b2．5.（2023秋?中山區(qū)校級(jí)期中）3m＝8，9n＝4，則32m﹣6n的值為（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方將32m﹣6n化為（3m）2÷（9n）3，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵3m＝8，9n＝4，∴32m﹣6n＝（3m）2÷（9n）3＝82÷43＝64÷64＝1．故選：B．6．（2023春?茂名期中）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（﹣3a）2＝6a2 C．（a2）2＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a6【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除，積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪相乘法則，逐項(xiàng)判斷即可求解．【解答】解：A、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故本選項(xiàng)正確，符合題意；B、（﹣3a）2＝9a2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、（a2）2＝a4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、a2?a3＝a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【題型4：冪的運(yùn)算】【典例8】（2023春?寶安區(qū)校級(jí)期中）先化簡，再求值：（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3），其中x＝2．【答案】3x2+4x+10，30．【分析】原式利用完全平方公式，以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣x2+9＝3x2+4x+10，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝12+8+10＝30．1．先化簡，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=1【答案】﹣xy，25【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，算除法，最后代入求出答案即可．【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy＝﹣x2y2÷xy＝﹣xy，當(dāng)x＝﹣10，y=125時(shí)，原式＝﹣（﹣10）2．2．（2023春?禪城區(qū)校級(jí)月考）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中12【答案】x﹣2y；6．【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的式子，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算即可．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2）÷2x＝（2x2﹣4xy）÷2x＝x﹣2y，∵12∴12∴x﹣2y＝6，∴原式＝6．3．（2023春?南山區(qū)期末）先化簡，再求值；x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中x=1【答案】2xy﹣1；﹣3．【分析】直接利用乘法公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式分別化簡，再合并同類項(xiàng)，最后把x、y的值代入得出答案．【解答】解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x＝2xy﹣1；當(dāng)x=115，原式＝2×1＝﹣2﹣1＝﹣3．【題型5：因式分解】【典例9】（2023秋?中山區(qū)校級(jí)期中）下列因式分解變形正確的是（）A．2a2﹣a＝2（a2﹣a） B．﹣a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） C．﹣a2﹣2a﹣1＝﹣（a+1）2 D．a(chǎn)2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）【答案】C【分析】利用提公因式法、公式法和十字相乘法進(jìn)行分解，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、2a2﹣a＝a（2a﹣1），故A不符合題意；B、﹣a2﹣4不能因式分解，故B不符合題意；C、﹣a2﹣2a﹣1＝﹣（a+1）2，故C符合題意；D、a2﹣5a﹣6＝（a+1）（a﹣6），故D不符合題意；故選：C．【典例10】（2023秋?荔灣區(qū)期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1+2x） D．x2﹣4＝（x+2）（【答案】D【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，依據(jù)分解因式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C．等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．1．（2023秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）若多項(xiàng)式x2+mx﹣35分解因式為（x﹣7）（x+5），則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易確定m的值．【解答】解：∵多項(xiàng)式x2+mx﹣35分解因式為（x﹣7）（x+5），即x2+mx﹣35＝（x﹣7）（x+5），∴x2+mx﹣35＝x2﹣2x﹣35，系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，∴m＝﹣2，故選：B．2．（2023秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）下列因式分解，正確的是（）A．a(chǎn)2﹣9b2＝（a+9b）（a﹣9b） B．x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2） C．x2﹣y2＝（x﹣y）2 D．﹣a2+a＝﹣a（a+1）【答案】B【分析】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝（a+3b）（a﹣3b），不符合題意；B、原式＝（x﹣4）（x+2），符合題意；C、原式＝（x+y）（x﹣y），不符合題意；D、原式＝﹣a（a﹣1），不符合題意．故選：B．3．（2022秋?廉江市期末）下列各式由左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．a(chǎn)（m+n）＝am+an C．（a+b）2＝a2+b2 D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x【答案】A【分析】利用因式分解的定義判斷即可．【解答】解：A、符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C、等號(hào)左右兩邊式子不相等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．4．（2023春?寶安區(qū)期中）下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．x2B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x D．a(chǎn)2﹣9＝（a﹣3）（a+3）【答案】D【分析】利用因式分解的定義判斷即可．【解答】解：A、右邊不是整式的積的形式（含有分式），不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2是整式乘法，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；C、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；D、符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．一．選擇題（共6小題）1．下列式子中，單項(xiàng)式有（）①3x②x+y2③1x④x3﹣2xy2+3；⑤24；⑥a．A．①③⑤ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的定義逐個(gè)判斷即可得到答案．【解答】解：代數(shù)式①3x2π；②x+y2；③1x2；④x3﹣2xy2+3；⑤24故選：C．2．已知a2﹣5＝2a，則代數(shù)式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【答案】A【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)把原式化簡，整體代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：原式＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（3a﹣3）＝a2+3a﹣2a﹣6﹣3a+3＝a2﹣2a﹣3，∵a2﹣5＝2a，∴a2﹣2a＝5，則原式＝5﹣3＝2，故選：A．3．下列各式中，計(jì)算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．a(chǎn)5﹣a4＝a C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2×a4＝a6【答案】D【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，冪的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、x2與x3不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；B、a5與﹣a4不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故B不符合題意；C、（a2）3＝a6，故C不符合題意；D、a2×a4＝a6，故D符合題意；故選：D．4．若單項(xiàng)式am﹣1b2與12abn+5A．3 B．6 C．﹣9 D．9【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式am﹣1b2與12abn+5的和仍是單項(xiàng)式，可得單項(xiàng)式am﹣1b2與12【解答】解：∵單項(xiàng)式am﹣1b2與12∴單項(xiàng)式am﹣1b2與12∴m﹣1＝1，n+5＝2，解得m＝2，n＝﹣3，∴nm＝（﹣3）2＝9，故選：D．5．下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1+2x） D．x2﹣4＝（x+2）（【答案】D【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，依據(jù)分解因式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C．等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．若a﹣b＝5，ab＝3，則代數(shù)式ab2﹣a2b的值是（）A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75【答案】B【分析】首先將ab2﹣a2b提取公因式﹣ab得ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b），然后將a﹣b＝5，ab＝3整體代入即可．【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣3×5＝﹣15．故選：B．二．填空題（共5小題）7．單項(xiàng)式﹣9x3y2的系數(shù)是﹣9．【答案】﹣9．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義來選擇，單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)．【解答】解：單項(xiàng)式﹣9x3y2的系數(shù)是﹣9．故答案為：﹣9．8．單項(xiàng)式﹣3abc2的次數(shù)是4．【答案】4．【分析】直接根據(jù)單項(xiàng)式的有關(guān)概念解答即可．【解答】解：單項(xiàng)式﹣3abc2的次數(shù)是4，故答案為：4．9．x2?x3＝x5；(?13a)2=19a2；（﹣2b【答案】x5；19a2；﹣8【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：x2?x3＝x5；(?1（﹣2b2）3＝﹣8b6．故答案為：x5；19a2；﹣810．當(dāng)a+b＝2，ab＝﹣3時(shí)，則a2b+ab2＝﹣6．【答案】﹣6．【分析】利用提取公因式法進(jìn)行因式分解，再將a+b＝2，ab＝﹣3代入計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣3，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案為：﹣6．11．分解因式：m2﹣5m＝m（m﹣5）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】原式提取公因式即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝m（m﹣5），故答案為：m（m﹣5）三．解答題（共4小題）12．先化簡，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．【答案】8x﹣3，原式＝13．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4）＝4x2+4x+1+x2﹣4﹣5x2+4x＝8x﹣3，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝8×2﹣3＝16﹣3＝13．13．先化簡，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2﹣3x2y），其中x，y滿足（x﹣1）2+|2+y|＝0．【答案】18x2y﹣6xy2；﹣60．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)得到最簡結(jié)果，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出x，y的值，代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝15x2y﹣5xy2﹣xy2+3x2y＝18x2y﹣6xy2．∵（x﹣1）2+|2+y|＝0，∴x﹣1＝0，2+y＝0，∴x＝1，y＝﹣2．當(dāng)x＝1，y＝﹣2時(shí)，原式＝﹣36﹣24＝﹣60．14．分解因式：（1）t2﹣6t+9．（2）4a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．【答案】（1）（t﹣3）2；（2）（2a+b）（2a﹣b）（x﹣y）．【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣y），進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）t2﹣6t+9＝（t﹣3）2；（2）4a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝4a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（4a2﹣b2）＝（2a+b）（2a﹣b）（x﹣y）．15．把下列多項(xiàng)式分解因式．（1）6x2y+12xy；（2）2a3﹣8ab2；（3）（x﹣1）（x﹣3）+1．【答案】（1）6xy（x+2）；（2）2a（a+2b）（a﹣2b）；（3）（x﹣2）2．【分析】（1）先提公因式6xy即可；（2）先提公因式2a，再用平方差公式因式分解即可；（3）先用整式的乘法法則及加法運(yùn)算，再用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝6xy（x+2）；（2）原式＝2a（a2﹣4b2）＝2a（a+2b）（a﹣2b）；（3）原式＝x2﹣3x﹣x+3+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．一．選擇題（共7小題）1．關(guān)于多項(xiàng)式x2y2﹣2x2y﹣xy+4，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．該多項(xiàng)式是四次四項(xiàng)式 B．二次項(xiàng)的系數(shù)為﹣1 C．該多項(xiàng)式不含一次項(xiàng) D．三次項(xiàng)為2x2y【答案】D【分析】根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)，項(xiàng)數(shù)，一次項(xiàng)，二次項(xiàng)，三次項(xiàng)的定義一一判斷．【解答】解：多項(xiàng)式x2y2﹣2x2y﹣xy+4是四次多項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，不含一次項(xiàng)，三次項(xiàng)是﹣2x2y，故A，B，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．2．已知x2＝2y+7，y2＝2x+7，且x≠y，則xy的值為（）A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣7【答案】C【分析】兩式相減，由平方差公式求出x﹣y＝﹣2，兩式相加，由完全平方公式即可求出xy的值．【解答】解：∵x2＝2y+7，y2＝2x+7，∴x2﹣y2＝2（y﹣x），∴（x+y）（x﹣y）＝﹣2（x﹣y），∵x≠y，∴x+y＝﹣2，∵x2+y2＝2（x+y）+14，∴（x+y）2﹣2xy＝2（x+y）+14，∴（﹣2）2﹣2xy＝2×（﹣2）+14，∴xy＝﹣3，故選：C．3．若a＝2022×2023﹣1，b＝20222﹣2022×2023+20232，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＞b D．無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式的變形，將b化簡，進(jìn)而與a比較即可求解．【解答】解：a＝2022×2023﹣1，b＝20222﹣2022×2023+20232＝（2022﹣2023）2+2022×2023＝2022×2023+1，故a＜b．故選：A．4．使（x2+p）（x2﹣qx+4）乘積中不含x2與x3項(xiàng)，則p+q的值為（）A．﹣4 B．﹣8 C．﹣2 D．8【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，合并同類項(xiàng)，根據(jù)不含x2與x3項(xiàng)，令這兩項(xiàng)的系數(shù)等于0即可．【解答】解：（x2+p）（x2﹣qx+4）＝x4﹣qx3+4x2+px2﹣pqx+4p＝x4﹣qx3+（4+p）x2﹣pqx+4p，∵不含x2與x3項(xiàng)，∴﹣q＝0，4+p＝0，∴p＝﹣4，q＝0，∴p+q＝﹣4，故選：A．5．若k+1012﹣1＝1022，則k的值為（）A．100 B．101 C．200 D．204【答案】D【分析】利用平方差公式解方程即可．【解答】解：∵k+1012﹣1＝1022，∴k＝1022﹣1012+1＝（102+101）（102﹣101）+1＝203+1＝204，故選：D．6．若x2+x﹣2＝0，則x3+2x2﹣x+2021等于（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【分析】將x2+x﹣2＝0變形為x2＝﹣x+2，x2+x＝2，代入x3+2x2﹣x+2021即可求解．【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2＝﹣x+2，x2+x＝2，∴x3+2x2﹣x+2021＝x?x2+2x2﹣x+2021＝x?（﹣x+2）+2x2﹣x+2021＝x2+x+2021＝2+2021＝2023．故選：A．7．若多項(xiàng)式2x2+ax﹣6能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5【答案】A【分析】先分解，再對(duì)比求出a．【解答】解：∵多項(xiàng)式2x2+ax﹣6能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故選A．二．填空題（共4小題）8．4個(gè)數(shù)a，b，c，d排列成abcd，我們稱之為二階行列式．規(guī)定它的運(yùn)算法則為：abcd=ad﹣bc．若x?2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意可以將x?2x+3x+1x?2【解答】解：∵x?2x+3∴（x﹣2）（x﹣2）﹣（x+3）（x+1）＝13，x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝13，﹣8x＝12，解得，x=?3故答案為：?39．一個(gè)自然數(shù)除了1和它本身以外的因數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的真因數(shù)．在自然數(shù)a的真因數(shù)前面加上負(fù)號(hào)，定義其為a的假因數(shù)．若a的所有假因數(shù)的乘積大于a本身，則稱a為“飛躍數(shù)”．如12的所有假因數(shù)乘積是（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣6）＝144，大于12本身，故12是一個(gè)“飛躍數(shù)”．規(guī)定沒有假因數(shù)的自然數(shù)不是“飛躍數(shù)”．則從2到100的自然數(shù)中，“飛躍數(shù)”的個(gè)數(shù)是33．【答案】33．【分析】根據(jù)題目要求，找出25個(gè)自然數(shù)不是飛躍數(shù)，排除，根據(jù)飛躍數(shù)還有一個(gè)要求a的所有假因數(shù)的乘積大于a本身，確定從2到100的自然數(shù)中的飛躍數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題目要求，要想成為飛躍數(shù)，其本身要有除了1和它本身以外的因數(shù)，從2到100的自然數(shù)中，因數(shù)只有1和它本身的自然數(shù)共25個(gè)：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97251自然數(shù)不是飛躍數(shù)，排除，題干中飛躍數(shù)還有一個(gè)要求：a的所有假因數(shù)的乘積大于a本身，故a的因數(shù)除去1和本身以外的個(gè)數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)個(gè)，且偶數(shù)個(gè)的個(gè)數(shù)大于2，若等于2，則假因數(shù)乘積等于a不是飛躍數(shù)，綜上則從2到100的自然數(shù)中，飛躍數(shù)是：12，18，20，24，28，30，32，40，42，44，45，48，50，52，54，56，60，63，66，68，7072，75，76，78，80，84，88，90，92，96，98，99共33個(gè)．故答案為：33．10．因式分解：2a2?2a+1【答案】2(a?1【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．【解答】解：原式＝2（a2﹣a+1＝2(a?111．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代數(shù)式x2+y2的值是10．【答案】10．【分析】首先把x2﹣y2因式分解，根據(jù)x﹣y＝2，求出x+y的值，再求出x，y的值，代入x2+y2進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝8，∴（x+y）（x﹣y）＝8，∵x﹣y＝2①，∴x+y＝4②，①+②得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝1，把x＝3，y＝1代入x2+y2得：x2+y2，＝32+12，＝9+1，＝10，故答案為：10．三．解答題（共2小題）12．在日歷中，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．（1）圖①是2023年11月份的月歷，我們用如圖所示的“Z”字型框架任意框住月歷中的5個(gè)數(shù)（如圖①中的陰影部分），先將位置b，d上的數(shù)相乘，再將位置a，e上的數(shù)相乘，最后把他們的積相減．例如：6×20﹣5×21＝15，3×17﹣2×18＝15，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都等于15．（2）設(shè)“Z”字型框架中位置c上的數(shù)為x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示b?d＝（x﹣7）（x+7），利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．【答案】（1）15，15，15；（2）（x﹣7）（x+7），見解答過程．【分析】（1）利用有理數(shù)的相應(yīng)的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）分別表示出a，b，d，e，再結(jié)合題意進(jìn)行運(yùn)算即可求證．【解答】解：（1）6×20﹣5×21＝120﹣105＝15，3×17﹣2×18＝51﹣36＝15，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都等于15；故答案為：15，15，15；（2）由題意得：a＝x﹣8，b＝x﹣7，d＝x+7，e＝x+8，∴示b?d＝（x﹣7）（x+7），∴bd﹣ae＝（x﹣7）（x+7）﹣（x﹣8）（x+8）＝x2﹣49﹣x2+64＝15．故答案為：（x﹣7）（x+7）．13．觀察下列算式特征，并完成相應(yīng)任務(wù)．（x+4）（x+3）＝x2+7x+12；（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10；（x﹣2）（x﹣1）＝x2﹣3x+2．（1）任務(wù)一：發(fā)現(xiàn)與表達(dá)請(qǐng)用含字母的算式表示以上算式的一般特征：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．（2）任務(wù)二：問題與解決如果x2+mx+8＝（x+a）（x+b），其中m，a，b均為整數(shù)，則m的取值有D．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)（3）任務(wù)三：拓展與猜想若（ax+m）（bx+n）＝abx2+px+q，則p＝an+bm，q＝mn．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則判斷即可；（2）判斷出ab＝8，求出整數(shù)解，可得結(jié)論；（3）利用乘法公式展開即可．【解答】解：（1）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．故答案為：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+8，∴ab＝8，m＝a+b，∵m，a，b均為整數(shù)，∴a＝1，b＝8或a＝2，b＝4或a＝﹣1，b＝﹣8或a＝﹣2，b＝﹣4，∴m＝a+b的值有四種可能．故答案為：D．（3）∵（ax+m）（bx+n）＝abx2+（an+bm）x+mn＝abx2+px+q∴p＝（an+bm），q＝mn．故答案為：an+bm，mn．1．（2023?廣