專題03 二次根式（講義）（解析版）

專題03二次根式核心知識(shí)點(diǎn)精講1．理解二次根式的意義，能用區(qū)分什么是最簡二次根式，會(huì)找出同類二次二次根式．2．理解并掌握二次根式的性質(zhì)．3．理解并掌握非負(fù)數(shù)的概念與?？碱}型．4．掌握二次根式的加減乘除以及混合運(yùn)算方法．5.理解根式的估值和運(yùn)用。6.掌握二次根式的化簡求值的方法．考點(diǎn)1二次根式的有關(guān)概念1.二次根式一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號(hào)“”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2.最簡二次根式若二次根式滿足：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式?；胃綖樽詈喍胃降姆椒ê筒襟E：（1）如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。（2）如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。3.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式?？键c(diǎn)2二次根式性質(zhì)1.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：（2）（3）積的算術(shù)平方根：（4）商的算術(shù)平方根：考點(diǎn)3非負(fù)數(shù)1.非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。如果a是非負(fù)數(shù)，那么可以表示為。2.常見非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)=1\*GB3①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：；=2\*GB3②實(shí)數(shù)的平方：；=3\*GB3③二次根式：；=4\*GB3④如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么每個(gè)非負(fù)數(shù)為0。如考點(diǎn)4二次根式的運(yùn)算1.二次根式的加減法：先將各根式化為最簡根式，然后合并被開方數(shù)相同的二次根式。2.二次根式的乘法：3.二次根式的除法：4.二次根式混合運(yùn)算：二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去括號(hào)）。考點(diǎn)5估值估值通常在無理數(shù)中使用。一般采用夾逼法確定無理數(shù)所在的范圍，具體地說，先確定無理數(shù)的被開方數(shù)，找出與被開方數(shù)相鄰的兩個(gè)能開得盡方的整數(shù)，對(duì)其進(jìn)行開方，即可確定這個(gè)無理數(shù)在那兩個(gè)整數(shù)之間?？键c(diǎn)6二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．【題型1：二次根式的有關(guān)概念】【典例1】（2023秋?梅州區(qū)校級(jí)）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．?3 B．32a C．a(chǎn)2+2【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A．?3，被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，二次根式無意義，故此選項(xiàng)不合題意；B．32aC．a(chǎn)2D．a(chǎn)2故選：C．【典例2】（2023秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）要使二次根式x?2有意義，x的值不可以取（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．【解答】解：∵x﹣2≥0，∴x≥2．故選：A．【典例3】（（2023秋?信宜市期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A．13 B．4 C．36 D．【答案】D【分析】根據(jù)開平方根的知識(shí)以及分母有理化的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題即可．【解答】解：A、13B、4=C、36=D、7是最簡二次根式．故選：D．1．（2023?惠城區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知12+m是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．11【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得被開方數(shù)是16，進(jìn)而求出答案．【解答】解：若12+m是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是4，故選：B．2.（2023秋?信宜市期中）若二次根式x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值可以是（）A．5 B．0 C．1 D．﹣5【答案】A【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x﹣2≥0，解得x≥2，∴x的取值可以是5．故選：A．3.（2023秋?龍崗區(qū)校級(jí)月考）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A．12 B．2 C．13 D．【答案】B【分析】應(yīng)用最簡二次根式的定義：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：A．因?yàn)?2=23，所以12不是最簡二次根式，故AB．因?yàn)?是最簡二次根式，故B選項(xiàng)符合題意；C．因?yàn)?3中被開方數(shù)13是分?jǐn)?shù)，所以13D．因?yàn)?.1=110=10故選：B．4.（2023秋?信宜市期中）下列二次根式中，能與3合并的是（）A．12 B．12 C．20 D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡，再根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、12=4×3=23B、12=2C、20=4×5=25D、9=3，不能與3故選：A．5．（2023秋?南山區(qū)校級(jí)期中）已知最簡二次根式a+2與18是同類二次根式，則a的值為（）A．16 B．0 C．2 D．不確定【答案】B【分析】先把18化簡為32，再利用最簡二次根式的定義和同類二次根式的定義得到a+2＝2，從而得到a的值．【解答】解：∵18=32而最簡二次根式a+2與18是同類二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故選：B．【題型2：二次根式性質(zhì)】【典例4】（2023秋?坪山區(qū)期中）若y=x?2+2?x+4，則y【答案】16．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x和y的值，再計(jì)算即可．【解答】解：∵y=x?2∴x﹣2≥0且2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝4，∴yx＝42＝16．故答案為：16．【典例5】（2023春?番禺區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）A．22=±2 B．(?2)2=?2 【答案】C【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：A．22B．(?2)C．3?8D．3?8故選：C．1．（2023秋?南山區(qū)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．(?3)2=?3 B．23+42=6【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的加減法，二次根式的性質(zhì)，二次根式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：A、(?3)B、23與42無法合并，故該項(xiàng)不正確；C、27÷D、39故選：C．2．（2023?越秀區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列各式中，正確的是（）A．（a+1）2＝a2+1 B．（2a）3＝6a3 C．(?4)2=4 【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式，冪的乘方與積的乘方，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)求出的結(jié)果找出選項(xiàng)即可．【解答】解：A．（a+1）2＝a2+2a+1，故本選項(xiàng)不符合題意；B．（2a）3＝8a3，故本選項(xiàng)不符合題意；C．(?4)D．16=故選：C．3．（2023?番禺區(qū)一模）下列計(jì)算正確的是（）A．22=2 B．(?2)2=?2 C．3【答案】A【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義進(jìn)行化簡．【解答】解：A．正確；符合題意．B.(?2)C.3?8D.(?2)故選：A．4．（2023春?東莞市校級(jí)）已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：(b?1)2【答案】a﹣1．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由數(shù)軸可知a＜1＜b，∴b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|b﹣1|﹣|a﹣b|＝b﹣1+a﹣b＝a﹣1．【題型3：非負(fù)數(shù)】【典例6】1.（2023春?新會(huì)區(qū)校級(jí)）若a、b為實(shí)數(shù)，且|a?1|+b+1A．﹣1 B．1 C．0 D．±1【答案】A【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，a﹣1＝0，b+1＝0，解得a＝1，b＝﹣1，則ab＝﹣1，故選：A．1．（2023春?東莞市）若a+1+b?1=0，則a1011+A．2 B．0 C．1 D．﹣2【答案】B【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出a與b的值，然后代入代數(shù)式a1011+b1011中．【解答】解：∵a+1∴a+1＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a1011+b1011＝（﹣1）1011+11011＝﹣1+1＝0．故選：B．2．（2023春?雷州市校級(jí)）若|x?3|+y+4=0，則（x+y）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x?3=0y+4=0解得：x=3y=?4則（x+y）2＝（﹣1）2＝1．故選：D．3．（2023春?南山區(qū)校級(jí)月考）a?b?3+|2a?4|=0，則a+bA．a(chǎn)+b＝﹣1 B．a(chǎn)+b＝1 C．a(chǎn)+b＝2 D．a(chǎn)+b＝3【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，從而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵a?b?3+|2a?4|=0，a?b?3∴a?b?3=0，|2a?4|=0∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故選：B．【題型4：二次根式的運(yùn)算】【典例7】（2023?茂南區(qū)三模）下列計(jì)算正確的是（）A．23?3=2 C．（﹣a）2?a＝a3 D．（a2）3＝a5【答案】C【分析】利用二次根式的減法的法則，二次根式的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、23?3B、21÷3=213C、（﹣a）2?a＝a3，故C符合題意；D、（a2）3＝a6，故D不符合題意；故選：C．1．（2023秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）(?5A．5 B．﹣5 C．5 D．?【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接計(jì)算即可得到答案．【解答】解：(?5故選：A．2．（2023秋?坪山區(qū)期中）下列計(jì)算正確的是（）A．(?2)2=?2 B．43?33=1 【答案】D【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的加減運(yùn)算法則分別計(jì)算，進(jìn)而得出答案．【解答】解：A.(?2)B.43?33C.2+D.212=2故選：D．3．（2023?南山區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：（1﹣π）0+|2?3|?12+（【答案】1．【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1﹣π）0+|2?3|?12+（＝1+3?2?＝1+3?＝1．【題型5：估值】【典例8】（2023春?東莞市）規(guī)定用符號(hào)[x]表示一個(gè)數(shù)的整數(shù)部分，例如[3.65]＝3，[3]＝1，按此規(guī)定[13?1]＝2【答案】2．【分析】先求出13的范圍，再求出13?【解答】解：∵9＜13＜16，∴9＜∴3＜13∴3﹣1＜13∴2＜13∴[13?故答案為：2．1.10的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y，則y（x+10A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由于3＜10＜4，由此可確定10的整數(shù)部分x，接著確定小數(shù)部分【解答】解：∵3＜10∴10的整數(shù)部分x＝3，小數(shù)部分y=10∴y（x+10）＝（10?3）（3故選：A．2．（2023春?天河區(qū)期末）閱讀下列材料：因?yàn)?＜5＜9，即2＜5＜3，所以5的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為5?2，若規(guī)定實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分記為[m]，小數(shù)部分記為{m}，可得[5]＝2，{5}=【答案】3?5【分析】根據(jù)題意即可得到5?5【解答】解：{5?5}＝5?5?故答案為：3?53.已知m=2+1，求m+1【答案】2．【分析】把m直接代入進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)無理數(shù)的估算求出即可．【解答】解：把m=2m+1∵4＜8＜9，∴4＜∴2＜8∵22∴2＜m+1所以m+1故答案為：2．【題型6：二次根式的化簡求值】【典例9】（2023春?海珠區(qū)期末）若，則式子的值為2024．【答案】2024．【分析】把代數(shù)式化為的形式，再把的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：，．故答案為：2024．1．（2023春?潮陽區(qū)校級(jí)期中）我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設(shè)有理數(shù)，滿足，則；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④【答案】【分析】利用有理化因式進(jìn)行變形計(jì)算后即可判斷．【解答】解：①，故正確；②，，，故錯(cuò)誤；③，，，，故正確；④，而，，故錯(cuò)誤；⑤，故正確；正確的有①③⑤．故選：．2．（2023春?香洲區(qū)校級(jí)期中）若，，則1．【答案】1．【分析】利用平方差公式化簡，再代入數(shù)值計(jì)算即可求解．【解答】解：，，，故答案為：1．一．選擇題（共7小題）1．化簡：A． B． C．4 D．2【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，即可得到答案．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握是解題關(guān)鍵．2．下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【解答】解：、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；、，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根、立方根，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義是解此題的關(guān)鍵．3．實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是A．0 B． C． D．【分析】利用已知條件確定出，，的符號(hào)，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義化簡運(yùn)算即可．【解答】解：由題意得：，，，，，原式．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，正確利用上述法則與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．4．下列說法：①的相反數(shù)是．②若，則．③若，則的倒數(shù)是，④若，則，其中正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：①的相反數(shù)是，正確；②若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．③若，則的倒數(shù)是，正確；④若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．5．下列各式計(jì)算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)、進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)進(jìn)行判斷．【解答】解：．與不能合并，所以選項(xiàng)不符合題意；．原式，所以選項(xiàng)不符合題意；．原式，所以選項(xiàng)不符合題意；．原式，所以項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．6．下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的加法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：．與不能合并，所以選項(xiàng)不符合題意；．，所以選項(xiàng)不符合題意；．，所以選項(xiàng)符合題意；．，所以選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．7．一個(gè)長方形，面積為，一邊長為，那么這條邊的鄰邊長為A． B． C． D．【分析】用長方形的面積除以一邊的長即可求得另一邊的長．【解答】解：由題意得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解二次根式的除法法則，難度不大．二．填空題（共5小題）8．當(dāng)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)可列出不等式，解出即可得出的范圍．【解答】解：有意義，，解得：．即當(dāng)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式有意義的條件，解答本題關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，難度一般．9．代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【分析】直接利用二次根式的定義得出，進(jìn)而求出答案．【解答】解：代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，解得：，的取值范圍是：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出的取值范圍是解題關(guān)鍵．10．化簡：．【分析】首先判斷得出，進(jìn)而將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，化簡求出即可．【解答】解：有意義，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡，正確判斷得出二次根式的整體符號(hào)是解題關(guān)鍵．11．實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【分析】依據(jù)數(shù)軸即可得到，，，即可化簡．【解答】解：由題可得，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決問題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)．12．計(jì)算．【分析】先化成最簡二次根式，然后計(jì)算即可．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的計(jì)算，先化成最簡二次根式是解題關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)為正整數(shù)）滿足（其中為正整數(shù)），則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因?yàn)椋?，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為．請(qǐng)解答下列問題：（1）的“青一區(qū)間”是；的“青一區(qū)間”是；（2）若無理數(shù)為正整數(shù)）的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值；（3）實(shí)數(shù)，，滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”．【分析】（1）仿照題干中的方法，根據(jù)“青一區(qū)間”的定義求解；（2）先根據(jù)無理數(shù)和的“青一區(qū)間”求出的取值范圍，再根據(jù)為正整數(shù)求出的值，代入即可求解；（3）先根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，，兩式相減可得，再根據(jù)“青一區(qū)間”的定義即可求解．【解答】解：（1），，，，的“青一區(qū)間”是，的“青一區(qū)間”是，故答案為：，；（2）無理數(shù)的“青一區(qū)間”為，，，即，的“青一區(qū)間”為，，，即，，，為正整數(shù)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的值為2或；（3），，，，，，，，兩式相減，得，，的算術(shù)平方根為，，，的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根、立方根、不等式、解方程等知識(shí)點(diǎn)，題目較為新穎，解題的關(guān)鍵是理解題目中“青一區(qū)間”的定義．14．計(jì)算：；【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；【解答】解：原式．15．計(jì)算：（1）；（2）【分析】（1）先算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去絕對(duì)值，把二次根式化簡，再合并即可；（2）先用平方差公式，計(jì)算二次根式除法，再化為最簡二次根式，最后合并即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)的運(yùn)算法則．一．選擇題（共4小題）1．下列二次根式中，不是最簡二次根式是A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用最簡二次根式的定義分析得出答案．【解答】解：、是最簡二次根式，不合題意；、是最簡二次根式，不合題意；、是最簡二次根式，不合題意；、，不是最簡二次根式，符合題意．故選：．2．下列二次根式中，可以與合并的是A． B． C． D．【答案】【分析】先化簡選項(xiàng)中各個(gè)二次根式，然后找出被開方數(shù)為2的二次根式即可．【解答】解：、，被開方數(shù)是5，不能與合并，故本選項(xiàng)不符合題意；、，被開方數(shù)是2，能與合并，故本選項(xiàng)符合題意；、被開方數(shù)是3，不能與合并，故本選項(xiàng)不符合題意；、，被開方數(shù)是5，不能與合并，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．3．要使二次根式有意義，的值可以是A． B．0 C．1 D．2【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行解題即可．【解答】解：由題可知，，即．故在這個(gè)選項(xiàng)中只有2符合．故選：．4．能與相乘得1的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式乘除混合運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算即可求解．【解答】解：，，選項(xiàng)中計(jì)算結(jié)果為的符合題意，．，不合題意，．，符合題意，．，不合題意，．，不合題意．故選：．二．填空題（共4小題）5．若與是同類二次根式，則可能是12（答案不唯一）（寫出一個(gè)即可）．【答案】12（答案不唯一）．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：，與是同類二次根式，若與是同類二次根式，則可能是12，故答案為：12（答案不唯一）．6．化簡：．【答案】．【分析】先根據(jù)二次根式的除法法則，把二次根式寫成兩個(gè)二次根式相除的形式，然后再開方和分母有理化即可．【解答】解：原式，故答案為：．7．已知，則．【答案】．【分析】利用整體代入的射線解決問題即可．【解答】解：，當(dāng)時(shí)，原式．故答案為：．8．如果有意義，那么字母的取值范圍是且．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，，，解得，且，故答案為：且．三．解答題（共3小題）9．計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）11．【分析】（1）先根據(jù)零指數(shù)冪、絕對(duì)值的意義和二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后合并即可；（2）先根據(jù)完全平方公式和二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后合并即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．10．設(shè)的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．【分析】根據(jù)估算的整數(shù)部分為3，則，同樣得，然后把、代入代數(shù)式，利用平方差公式計(jì)算．【解答】解：的整數(shù)部分為3，則，的整數(shù)部分為6，則．把、代入代數(shù)式，則有．故答案為2．11．閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應(yīng)問題：．應(yīng)用：用上述類似的方法化簡下列各式：（1）；