第03講 6.2.3組合+6.2.4組合數(shù) （解析版）

第03講6.2.3組合+6.2.4組合數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解組合、組合數(shù)的意義。②掌握常見的組合處理方法。③會用組合的相關(guān)方法解決簡單的組合問題。④熟練運用組合數(shù)的相關(guān)公式及性質(zhì)解決與組合有關(guān)的問題。⑤在實際問題中能區(qū)分排列與組合的關(guān)系，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q排列組合的相關(guān)問題。1.掌握組合、組合數(shù)的意義；2.能解決簡單的組合問題；3.并能解決簡單的排列組合綜合問題；知識點01：組合（1）定義：一般地：從個不同的元素中取出()個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.（3）組合與排列的異同相同點:組合與排列都是“從個不同的元素中取出()個元素”.不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區(qū)分某一問題是組合問題還是排列問題,關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),即交換某兩個元素的位置對結(jié)果有沒有影響,若有影響,則是排列問題，若無影響，則是組合問題.知識點02：組合數(shù)與組合數(shù)公式（1）組合數(shù)的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù),用符號表示.（2）組合數(shù)公式或：（，）.規(guī)定：【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)455(2)21(3)19900【詳解】（1）；（2）；（3）知識點03：組合數(shù)的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2：【即學(xué)即練2】（2022下·廣東梅州·高二校考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)知，，所以，所以，得.故選：A.【即學(xué)即練3】（多選）（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）滿足方程的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【詳解】因為，所以或解得：或或或，當(dāng)時，，故舍去；當(dāng)時，，故舍去；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故選:AB題型01組合的概念【典例1】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考期中）下列四個問題屬于組合問題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個數(shù)字中選取個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長【答案】C【詳解】對于A選項，從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，將人選出后，還要安排導(dǎo)游或翻譯的工作，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題；對于B選項，從、、、這個數(shù)字中選取個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)，選出三個數(shù)字之后，還要將這三個數(shù)安排至個位、十位、百位這三個數(shù)位，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題；對于C選項，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運動會開幕式，只需將三名同學(xué)選出，與順序無關(guān)，這個問題為組合問題；對于D選項，從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長，將人選出后，還要安排至班長、副班長兩個職務(wù)，與順序有關(guān)，這個問題為排列問題.故選：C.【典例2】（多選）（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）下列問題是組合問題的是（

）A．把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本B．從7本不同的書中取出5本給某個同學(xué)C．10個人相互發(fā)一微信，共發(fā)幾次微信D．10個人互相通一次電話，共通了幾次電話【答案】BD【詳解】A.因為書不同，每個同學(xué)拿到的也不同，與順序有關(guān)，故不是組合問題；B.從7本不同的書中取出5本給某個同學(xué)，每種取法中取出的書不考慮順序，故是組合問題；C.10個人相互發(fā)一微信，與順序有關(guān)，故不是組合問題；D.因為互相通一次電話與順序無關(guān)，故是組合問題；故選：BD【典例3】（多選）（2023下·高二單元測試）下列是組合問題的是（

）A．平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？B．10支球隊以單循環(huán)進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少場次？C．從10個人中選出3個為代表去開會，有多少種選法？D．從10個人中選出3個為不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？【答案】ABC【詳解】A是組合問題，因為兩點確定一條直線，與點的順序無關(guān)；B是組合問題，因為每兩個隊比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別；C是組合問題，因為三個代表之間沒有順序的區(qū)別；D是排列問題，因為三個人中，擔(dān)任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的．故選:ABC．【典例4】（2022·高二課時練習(xí)）判斷下列問題是組合問題還是排列問題．(1)若集合，則集合的含有3個元素的子集有多少個？(2)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票？(3)從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)；(4)三個人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？(5)把3本相同的書分給5個學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法？【答案】(1)組合問題(2)排列問題(3)組合問題(4)排列問題(5)組合問題【詳解】（1）因為集合的任一個含3個元素的子集與元素順序都無關(guān)，所以它是組合問題．（2）因為車票與起點、終點順序有關(guān)，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車票不同，所以它是排列問題．（3）因為從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)，取出的5本書并不考慮書的順序，所以它是組合問題．（4）因為從5種不同的工作中選出3種，按一定順序分給三個人去做，所以它是排列問題．（5）因為3本書是相同的，把這3本書無論分給哪三個人都不需要考慮順序，所以它是組合問題．【變式1】（2022下·黑龍江齊齊哈爾·高二龍江縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面問題中，是排列問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合【答案】A【詳解】解：對于A，由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則共有種排法，是排列問題；對于B，從40人中選5人組成籃球隊，有種選法，是組合問題；對于C，從100人中選2人抽樣調(diào)查，有種選法，是組合問題；對于D，從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合，有種選法，是組合問題.故選：A.【變式2】（2023上·高二課時練習(xí)）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：(1)從10名學(xué)生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；(2)從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點的坐標(biāo)，求所有不同點的個數(shù)；(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和有多少種；(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．【答案】(1)組合問題(2)排列問題(3)組合問題(4)排列問題【詳解】（1）從10名學(xué)生中任選5名去參觀一個展覽會，選出的學(xué)生不用排序，所以這是組合問題.（2）從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點的坐標(biāo)，由于坐標(biāo)有橫縱坐標(biāo)之分，所以選出的2個不同的數(shù)需要排序，故這是排列問題.（3）從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，求這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和，因為加法滿足交換律，故選出的卡片不用排序，所以這是組合問題.（4）因為四本不同的書送給四個人，要求每人一本，所以這四本書需要排序，故這是排列問題.【變式3】（2023下·高二課時練習(xí)）判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票？(2)把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本；(3)從7本不同的書中取出5本給某個學(xué)生．【答案】(1)排列問題(2)排列問題(3)組合問題【詳解】（1）因為一種火車票與起點、終點順序有關(guān)，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．（2）由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．（3）從7本不同的書中，取出5本給某個學(xué)生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．題型02組合數(shù)的計算、化簡與證明【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）（

）A．74 B．98 C．124 D．148【答案】C【詳解】．故選：C．【典例2】（多選）（2024上·吉林·高二長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，根據(jù)組合公式得到，B正確；C選項，，，故，C正確；D選項，，D錯誤.故選：BC【典例3】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校?）計算：；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用排列數(shù)公式可求得所求代數(shù)式的值；（2）利用組合數(shù)公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）；（2）證明：，，因此，.【變式1】（多選）（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】A：，正確；B：，錯誤；C：，正確；D：，正確；故選：ACD【變式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中?？计谥校?）計算：；（2）求值：.【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）；（2）由組合數(shù)的定義知：，解得，又，或.當(dāng)時；當(dāng)時.所以的值為或.【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）m是自然數(shù)，n為正整數(shù)，且，求證：．【答案】證明見解析【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式，可以得到．題型03組合數(shù)方程與不等式【典例1】（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程的解為（

）A． B． C．且 D．或【答案】D【詳解】因為，則或，解得或，若，可得，符合題意；若，可得，符合題意；綜上所述：或.故選：D.【典例2】（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）（1）解關(guān)于x的不等式．（2）求等式中的n值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程變形為，即，顯然，因此，化簡整理，得，而，解得，所以.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，可得，可得.可得，所以，即，因為，，，，，所以；（2），故，解得.【變式1】（2023上·高二課時練習(xí)）不等式的解為．【答案】【詳解】依題意，所以且，由得，，所以不等式的解為.故答案為：【變式2】（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）若，求m.【答案】或【詳解】依題意，得且，所以，由，可得，即，解得，又因為，所以或.【變式3】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）（1）已知，計算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【詳解】（1）因為，則，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.題型04組合數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例1】（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）（

）A．84 B．120 C．126 D．210【答案】D【詳解】因為，所以．故選：D【典例2】（2023下·山東濟寧·高二統(tǒng)考期中）若，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．3或6【答案】D【詳解】因為，所以或，解得或.經(jīng)檢驗符合題意故選：D【典例3】（多選）（2023下·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┤?，則正整數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】因為，所以，即或，解得或3，經(jīng)檢驗均滿足要求.故選：AC【典例4】（2023下·河北邢臺·高二邢臺一中校考階段練習(xí)）若（），則.【答案】4【詳解】由題意可知，解得，或，解得，舍去，綜上：.故答案為：4【變式1】（2023下·江蘇徐州·高二徐州高級中學(xué)?？计谥校┤?，則的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【詳解】若，則，所以,解得.故選:C.【變式2】（多選）（2023下·山西運城·高二統(tǒng)考期中）若，則的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【詳解】因為，所以或，解得或8.故選：BC【變式3】（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）若，則的值為.【答案】210【詳解】，，即，，=210，故答案為：210.題型05有限制條件的組合問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（

）A．8個 B．12個 C．18個 D．24個【答案】C【詳解】當(dāng)首位為2時，這樣的五位數(shù)有個；當(dāng)首位為1時，這樣的五位數(shù)有個.綜上，這樣的五位數(shù)共有個.故選：C.【典例2】（2024上·上海·高二?？计谀?020年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負抵消，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有個.【答案】18【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.由分類加法計數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故答案為：18【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某校為促進拔尖人才培養(yǎng)開設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個學(xué)科競賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學(xué)科的競賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報名方法數(shù)為．【答案】96【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競賽課程，則有：種情況，剩下2名同學(xué)在選擇物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)四個學(xué)科競賽課程時有：①2名同學(xué)選擇1個學(xué)科競賽則有：種情況，②2名同學(xué)各選擇1個學(xué)科競賽則有種情況，所以恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報名方法數(shù)為：種情況，故答案為：96.【變式1】（2024上·海南海口·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀3種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．180種 D．240種【答案】C【詳解】甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀3種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種.故選：C【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實驗艙?問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有（

）A．60 B．66 C．72 D．80【答案】C【詳解】5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有種安排方法，若甲乙在同一實驗艙的種數(shù)有種，故甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有種.故選：C.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6中選取4個數(shù)字，組成各個數(shù)位上的數(shù)字既不全相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為.【答案】105【詳解】由題意可知，只用2個不同的數(shù)字時，有（種）選法，按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個，比如數(shù)字1和2，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1222，1122，1112，所以共有（個）符合要求的四位數(shù).只用3個不同的數(shù)字時，有（種）選法，按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個，比如數(shù)字1，2，3，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1123，1223，1233，所以共有（個）符合要求的四位數(shù).故符合要求的四位數(shù)總共有（個）.故答案為：105題型06排列、組合的綜合應(yīng)用【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個數(shù)為（

）A． B． C．216 D．【答案】D【詳解】由題意，末尾是或，不同偶數(shù)個數(shù)為，末尾是，不同偶數(shù)個數(shù)為，所以共有個.故選：D【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）A．450種 B．72種 C．90種 D．360種【答案】A【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）2022年11月，第五屆中國國際進口博覽會即將在上海舉行，組委員會準(zhǔn)備安排5名工作人員去A，B，C，D這4所場館，其中A場館安排2人，其余場館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為．【答案】60【詳解】分為兩步，第一步：安排2人去A場館有種結(jié)果，第二步：安排其余3人到剩余3個場館，有種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為．故答案為：60.【典例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）2023年杭州亞運會需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別擔(dān)任語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能擔(dān)任語言服務(wù)工作，則不同的選法共有種.【答案】252【詳解】解：先從甲、乙之外的6人中選取1人擔(dān)任語言服務(wù)工作，再從剩下的7人中選取2人擔(dān)任人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，則不同的選法共有種.故答案為：252【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（

）A．36種 B．30種 C．24種 D．12種【答案】B【詳解】若每名大學(xué)生只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少去1名，則不同的安排方法有種，若甲、乙安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有種，所以甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有種.故選：B.【變式2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）國際高峰論壇上，組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這3個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團，且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為（

）A．306 B．198 C．268 D．378【答案】B【詳解】由題可知選出的3個媒體團的構(gòu)成有如下兩類：①選出的3個媒體團中只有一個國內(nèi)媒體團，有種不同的提問方式；②選出的3個媒體團中有兩個國內(nèi)媒體團，有種不同的提問方式．綜上，共有種不同的提問方式．故選：B.【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】由題意可知，當(dāng)志愿組有3名男生，2名女生時，有種方法；當(dāng)志愿組有4名男生，1名女生時，有種方法，由分類計數(shù)原理得，共有種不同的選法.故答案為：.【變式4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種.【答案】42【詳解】根據(jù)題意，分兩類情況：①若取出2個球全是同一種顏色，有3種可能，若為紅色只需把它們放入藍和黃即可，有（種），此時有（種）；②若取出的2個球為兩種顏色的球，有（種），若為一紅一黃，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，有3種方法，此時共有（種），因此不同的放法有種.故答案為：42.題型07與幾何圖形有關(guān)的組合問題【典例1】（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．32【答案】C【詳解】從到共有條最短路徑，從到共有條路徑，故小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為.故選：C【典例2】（2023下·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，小華從圖中處出發(fā)，先到達處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（

）

A．25條 B．48條 C．150條 D．512條【答案】C【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．故選：C.【典例3】（多選）（2023下·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）在某城市中，兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)，甲隨機沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從地出發(fā)到地，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有41條C．若甲途經(jīng)地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)地，且不經(jīng)過地，則不同的路徑共有8條【答案】AC【詳解】由圖可知，從地出發(fā)到地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，則不同的路徑共有條，故A正確、B錯誤；若甲途經(jīng)地，則不同的路徑共有條，故C正確；若甲途經(jīng)地，且不經(jīng)過地，則不同的路徑共有，故D錯誤；故選：AC.【變式1】（2023上·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在某城市中，A，B兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地，途經(jīng)C地，則不同的路線有（

）A．90種 B．105種 C．260種 D．315種【答案】B【詳解】由題可知，不同的路線有種．故選：B.【變式2】（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┠硵?shù)學(xué)興趣小組用紙板制作正方體教具，現(xiàn)給圖中的正方體展開圖的六個區(qū)域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有種不同的涂色方法.【答案】【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個對面，、為左右兩個對面，、為上下兩個對面，

先涂有種涂法，當(dāng)與同色，再涂有種涂法，若與同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，若與不同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，則有種涂法；當(dāng)與不同色，則涂有種涂法，涂有種涂法，此時與必同色且只有一種涂法，也只有種涂法，則有，綜上可得一共有種涂法.故答案為：【變式3】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，湖面上有4個相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有多少種不同的方案？

【答案】16【詳解】由題意知要將4個相鄰的小島A，B，C，D連接起來，共有個位置可以建設(shè)橋梁，從這6個位置中選3個建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個位置可能是僅連接或或或三個小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（種）不同的方案.題型08分組、分配問題【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有五個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（

）A．420 B．460 C．480 D．520【答案】C【詳解】求不相同的選擇種數(shù)有兩類辦法：恰有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不同有種方法，4個學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有種方法，所以不相同的選擇種數(shù)有（種）.故選：C【典例2】（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校閼c祝3.8婦女節(jié)，東湖中學(xué)舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.(1)一共有多少不同的分組方案？(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓(xùn)練，經(jīng)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？【答案】(1)(2)【詳解】（1）隊伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，①若兩組都是3女2男，則先將6女平均分成兩組共種方式，再將4男平均分成兩組共種方式，所以兩組都是3女2男的情況有種；②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，所以總情況數(shù)為種.故一共有種不同的分組方案；（2）總共可分為三種情況，如下：①若上場且不上場：先將全排列，共有種方式，再把捆綁后和全排列共有種方式，所以上場且不上場共有種不同的排列方式；②若上場且也上場：（i）若在1號位，先將全排列，共有種方式，再從中選兩人，有種方式，則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，所以在1號位共有種不同的方式；（ii）若在2號位，再將全排列，且可位于3，4號位或4，5號位，共有種方式，再從中選兩人進行排列，有種方式，所以在2號位或3號位共有種不同的方式；（iii）若在3號位，再將全排列，且可位于1，2號位或4，5號位，共有種方式，再從中選兩人進行排列，有種方式，所以在2號位或3號位共有種不同的方式；（iiii）若在4號位，將全排列，且可位于1，2號位或2，3號位，共有種方式，再從中選兩人進行排列，有種方式，所以在4號位共有種不同的方式.所以上場且也上場共有種不同的方式；③若中有一人上場且上場：上場且不在5號位，則可位于1，2，3，4號位，有種方式，再從中選一人，有種方式，中的一人和共4人全排列，共種方式，所以中有一人上場且上場共有種不同的排列方式.綜上所述，共有種排列方式.【典例3】（2023下·河南鄭州·高二?？计谥校┮阎獜淖蟮接矣?個空格.(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數(shù)，要求每個數(shù)都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？(2)若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？【答案】(1)96(2)16800【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①第三個格子不能填0，則0有4種選法；②將其余的4個數(shù)字全排列，安排在其他四個格子中，有種情況，則一共有種不同的填法；（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、將7個小球分成5組，有2種分法：若分成2－2－1－1－1的5組，有種分法，若分成3－1－1－1－1的5組，有種分組方法，則有（）種分組方法，②、將分好的5組全排列，對應(yīng)5個空格，有種情況，則一共有種放法.【典例4】（2022下·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？计谥校?位同學(xué)報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學(xué)恰報1個項目.(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項目，同學(xué)乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？【答案】(1)144(2)1560(3)252【詳解】（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，所以共有.（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個項目，即可得共有；（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項目共有種，同學(xué)乙參加項目共有種；甲參加項目同時乙參加項目共有種，根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有種.【典例5】（2023·高二課時練習(xí)）將四個小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，根據(jù)下列條件求不同放法的種數(shù)．(1)四個小球不同，每個盒子各放一個；(2)四個小球相同，每個盒子各放一個；(3)四個小球不同，四個盒子恰有一個空著；(4)四個小球相同，四個盒子恰有一個空著．【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12（4）先將小球分組，再選出空盒，選出放入2個小球的盒子，從而得到答案.【詳解】（1）四個小球不同，每個盒子各放一個，屬于全排列問題，則不同的放法有種；（2）四個小球相同，每個盒子各放一個，每個小球放入任何一個盒子，都為同1種情況，故不同的放法有1種；（3）四個小球不同，四個盒子恰有一個空著，則有一個盒子放入了2個小球，先將四個不同的小球分為3組，有種情況，選出一個空盒，有種情況，再將分好的3組小球，與對應(yīng)的3個盒子進行全排列，共有種選擇，綜上：四個小球不同，四個盒子恰有一個空著，選擇方法有種；（4）四個小球相同，四個盒子恰有一個空著，則有一個盒子放入了2個小球，先將四個不同的小球分為3組，則只有1種分法，即2，1，1，選出一個空盒，有種情況，將分好的3組小球，放入3個盒子中，選出放入2個小球的盒子，有種情況，綜上：四個小球相同，四個盒子恰有一個空著，一共有種選擇.【變式1】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會在鄭州國際會展中心拉開帷幕．世界5G大會是全球5G領(lǐng)域國際性盛會，也是首次在豫舉辦．本次大會以“5G變革共繪未來”為主題，以持續(xù)推動5G不斷演進創(chuàng)新為目標(biāo)．現(xiàn)場邀請全球有影響力的科學(xué)家、企業(yè)家、國際組織負責(zé)人等參會，并進行高層次、高水平交流研討．為確保大會順利進行，面向社會招聘優(yōu)秀志愿者，參與大會各項服務(wù)保障工作．現(xiàn)從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務(wù)組”、“物料組”、“機動組”四個不同的崗位工作，每人去一個組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】根據(jù)題意可知6人中選派4人參與選派方式共有種，其中甲、乙都不參與的選派方式共有種，其中甲、乙至少有一人參加且甲去“簽到組”的選派方式共有種，所以甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種.故答案為：【變式2】（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護人員，醫(yī)護人員甲是其中一名．(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫(yī)護人員甲不參加項救護活動的選法種數(shù)；(2)這6名醫(yī)護人員將去3個不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數(shù)．【答案】(1)25(2)72【詳解】（1）分兩類：①甲參加項救護活動，再從其余5人中選一人參加A，選法數(shù)為，②甲不參加救護活動，則從其余5人中任選兩人參加救護活動，選法數(shù)為，所以共有選法種數(shù)為20+5=25；（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫(yī)護人員有：，第二步：安排兩名女醫(yī)護人員同去的男醫(yī)護人員有：，第三步：剩余兩名男性醫(yī)護人員去另外一地有：，所以共有不同的分配方案數(shù)為：．【變式3】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先將個不同的小球分為三組，確定每組小球的數(shù)量，然后將三組小球放【詳解】解：（1）將個不同的小球分為三組，每組的小球數(shù)量分別為、、或、、，然后再將這三組小球放入三個盒子中，因此，不同的放法種數(shù)為種；（2）每個小球有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可知，將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，不同的放法種數(shù)為種；（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為種；（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，等價于將個相同的小球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數(shù)為種.【變式4】（2023下·浙江·高二杭州市蕭山區(qū)第五高級中學(xué)校聯(lián)考期中）盒子中有個不同的白球和個不同的黑球.(1)若將這些小球取出后排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，共有多少種不同的排法？(2)隨機一次性摸出個球，使得摸出的三個球中至少有個黑球，共有多少種不同的摸球結(jié)果？(3)將這些小球分別放入另外三個不同的盒子，使得每個盒子至少一個球，共有多少種不同的放法？（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：將個不同的白球和個不同的黑球排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，只需先將個不同的黑球進行排序，然后將個不同的白球插入黑球在中間所形成的空位中，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.（2）解：隨機一次性摸出個球，使得摸出的三個球中至少有個黑球，則黑球得個數(shù)可以是或或，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的摸球結(jié)果種數(shù)為種.（3）解：先將這個小球分為組，則這三組小球的個數(shù)分別為、、或、、，再將這三組小球分配給三個盒子，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.【變式5】（2023下·河北石家莊·高二校聯(lián)考期中）現(xiàn)有7本不同的書準(zhǔn)備分給甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？【答案】(1)(2)【詳解】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.（2）首先將7本書分成3本、2本、2本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）計算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【分析】利用組合和排列數(shù)公式計算【詳解】故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)組合的定義即可結(jié)合組合數(shù)求解.【詳解】由于，所以從1到9共9個數(shù)任取4個數(shù)得一個有序數(shù)組，所有個數(shù)為．故選：A．3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有A．4種 B．10種 C．18種 D．20種【答案】B【詳解】分兩種情況：①選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友，有C42＝6種方法；②選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友，有C41＝4種方法．所以不同的贈送方法共有6＋4＝10(種)．4．（2024上·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合排列組合即可求解.【詳解】將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個人，所以不同的分配方案有，故選：D5．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）為了支援與促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的方法種數(shù)為（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【詳解】五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故共有：36種分派方法，故選：．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）“雍容華貴冠群芳，百卉爭妍獨占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有極高的觀賞價值．某花房擬在一側(cè)種植紅、紫、白、藍、黃、黑6色牡丹，種植時，黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，白牡丹和藍牡丹相鄰．若白牡丹與黑牡丹不相鄰，則不同的種植方法共有（

）A．24種 B．20種 C．12種 D．22種【答案】B【詳解】求不同的種植方法需要兩步，第一步：將黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，共（種）方法；第二步：將相鄰的白牡丹和藍牡丹看作一個整體，與紅牡丹、黃牡丹一起排在黑牡丹與紫牡丹中間，共（種）方法，其中，白牡丹與黑牡丹不相鄰的排法有（種），所以不同的種植方法共有（種）．另解：求不同的種植方法需要3步，第一步：將黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，共（種）方法；第二步：在黑牡丹和紫牡丹中間種植紅牡丹和黃牡丹，共（種）方法；第三步：將相鄰的白牡丹和藍牡丹看作一個整體，在紅牡丹和黃牡丹的前、中、后三個空位種植，且白牡丹與黑牡丹不相鄰，共（種）方法，所以不同的種植方法共有（種）．故選：B7．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（

）A．300 B．432 C．600 D．864【答案】B【詳解】楊教授站中間，只有1種方法；四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)；兩名女生放在兩邊方法數(shù)，每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為.故選：B.8．（2024·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)教師節(jié)活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．66 D．80【答案】C【詳解】因為丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個項目，共有種不同的安排方法.又因為甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A，B，C，D，分2類：①丁參加項目A，共有2種不同的安排方法；②丁參加B，C，D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A，剩下兩人參加剩下的2個項目，共有種不同安排方法；綜上所述：共有種不同的安排方法.故選：C.二、多選題9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法【答案】ACD【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；對于B，先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，B錯誤；對于C，“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；對于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，D正確.故選：ACD.10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）下列人員的坐法種數(shù)為24的是（

）A．4把椅子排成一排，4人隨機就座B．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰C．4人均不坐在寫著自己名字的座位上D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰【答案】AB【詳解】A項中，4把椅子排成一排，4人隨機就座的坐法種數(shù)為，故A正確；B項中，利用“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為，故B正確；C項中，第一個人有3種選擇，然后第一個人坐的座位名字對應(yīng)的人也有3種選擇，剩余兩人只有1種選擇，所以共有9種坐法，故C錯誤；D項中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰的坐法種數(shù)為，故D錯誤.故選：AB.三、填空題11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某班準(zhǔn)備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準(zhǔn)備表演3個歌唱類節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則不同的排法有種．【答案】84【詳解】若前2個節(jié)目都是語言類節(jié)目，此時后3個為歌唱類節(jié)目，有種情況；若前2個節(jié)目中恰有1個是語言類，有1個是歌唱類，則有種情況，剩余的3個節(jié)目進行全排列，則有種情況，則共有種情況．綜上，有種不同的排法，故答案為：8412．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個長方體的兩個頂點，，是邊長為3米的大正方形的兩個頂點，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點沿著圖中的線段爬到點，再從點沿著長方體的棱爬到點，則小貓從點爬到點可以選擇的最短路徑共有條.

【答案】【詳解】小貓要從點爬到點，需要先從點爬到點，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有條，再從點爬到點的路徑共6條，用分步乘法計數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6=120條.故答案為：120.四、解答題13．（2024上·全國·高三期末）現(xiàn)有10個運動員名額，作如下分配方案.(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？【答案】(1)945(2)84【詳解】（1）根據(jù)平均分配規(guī)律，則平均分配5個組共有種方案.（2）10名運動員排成一排，中間形成9個空隙，選6個位置插入隔板，則分成7組，故分配方案共有種.14．（2024下·全國·高一隨堂練習(xí)）將4個編號分別為1，2，3，4的小球放入4個編號分別為1，2，3，4的盒子中．（1）有多少種放法？（2）每盒至多一球，有多少種放法？（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？（4）每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？（5）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12.【詳解】（1）根據(jù)題意，每個小球有4種放法，則4個小球有44＝256種放法，（2）根據(jù)題意，每盒至多一球，即每個盒子都只能放1個球，有＝24種放法，（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：在4個球中任選2個，放入1個盒子中，有＝24種放法，在剩下的3個盒子中，任選2個，放入剩下2個兩個小球，有＝6種放法，則有6×24＝144種放法；（4）根據(jù)題意，分2步進行分析：在4個小球中任選1個，放入編號相同的盒子中，有＝4種放法，剩下3個小球放入編號不同的盒子中，有2種放法，則有4×2＝8種不同的放法，（5）根據(jù)題意，在4個盒子中選出1個，放入2個小球，有4種選法，在剩下的3個盒子中，任選2個，分別放入1個小球，有＝3中選法，則有4×3＝12種不同的放法．B能力提升1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛好，美育中心精心準(zhǔn)備了大家非常喜愛的中華文化傳承系列的第二課堂活動課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個項目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個項目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種【答案】C【詳解】恰有2名學(xué)生選課相同，第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有種