1.4.2角平分線（2）（課件）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課堂（北師大版）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用角平分線的性質(zhì)和判定探索證明三角形三條角平分線的特殊位置關(guān)系及性質(zhì).2.進(jìn)一步提升運(yùn)用角平分線性質(zhì)和其判定解決實(shí)際問題的能力.3.經(jīng)歷“探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明”的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，增強(qiáng)證明意識(shí)和能力，發(fā)展推理能力.

導(dǎo)入新課角的平分線的性質(zhì)角的平分線的判定圖形已知條件

結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB

導(dǎo)入新課

在一個(gè)三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個(gè)學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請(qǐng)?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？ABC思考：三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線會(huì)不會(huì)交于同一個(gè)點(diǎn)呢？講授新課三角形的內(nèi)角平分線一那三角形的三條角平分線又有什么特別的地方呢？接下來開啟我們的探索之旅！請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我猱嬕粋€(gè)三角形，并作出它的三條角平分線.

根據(jù)探索三角形三邊垂直平分線特征的經(jīng)驗(yàn)是不是要將三角形分類討論呢？講授新課

那我們分成三個(gè)組，一、二、三組分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線.觀察分析并進(jìn)行交流討論，三條角平分線有什么特征？一組二組三組

由于三角形的角平分線始終在三角形內(nèi)部，所以不論什么形狀的三角形，三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)始終在三角形內(nèi).講授新課

通過剛才的作圖，我們發(fā)三角形三個(gè)角的平分線交于一點(diǎn).類比之前三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)，三角形角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等嗎？它又有什么特殊性嗎？到三個(gè)頂點(diǎn)距離不一定相等.但是：到三邊距離相等.如何證明：三角形的角平分線交于一點(diǎn)并且到三邊距離相等這一結(jié)論呢？講授新課點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：試試看，你會(huì)寫出證明過程嗎？AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI=PHPG=PIPH=PG點(diǎn)P在∠BCA的平分線上A

B

C

P

F

H

DEIG講授新課已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明結(jié)論證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

講授新課知識(shí)總結(jié)

三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

三角形角平分線定理符號(hào)語言：∵如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F∴∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P,且PD=PE=PF.

講授新課比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形鈍角三角形直角三角形交點(diǎn)性質(zhì)知識(shí)總結(jié)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形外一點(diǎn)交于斜邊的中點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等講授新課MENABCPOD例1：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.12總結(jié)：在一個(gè)三角形中，用r表示內(nèi)心到三邊的距離，C表示周長，S表示面積，則：解：

講授新課

例2.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）一直CD=4cm，求AC長；（2）求證：AB=AC+CD.講授新課（1）解：∵AD是△ABC的角平分線，

DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E，

∴DE=CD=4cm（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）

∵AC=BC，

∴∠B=∠BAC（等邊對(duì)等角）

∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°.∴BE=DE（等角對(duì)等邊）.

在等腰直角三角形BDE中，

講授新課（2）證明：由（1）的求解過程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD.∴AB=AE+BE=AC+CD講授新課方法總結(jié)1.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線把原三角形分割成了三個(gè)小三角形,利用三個(gè)小三角形面積之和等于原三角形的面積,即等積法即可求出交點(diǎn)到三邊的距離.2.已知角平分線上的點(diǎn),要利用角平分線性質(zhì)定理尋找線段相等關(guān)系,有時(shí)可結(jié)合全等三角形、直角三角形來求解.當(dāng)堂檢測1.在一塊三角形的草坪上建一座涼亭,要使涼亭到草坪三邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在(

)A.三角形的三條中線的交點(diǎn)處B.三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處C.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處D.三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)處C當(dāng)堂檢測2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD=3，則DE的長為（）AA.3 B.1.5 C.2 D.63.如圖,在Rt△ABC中,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(

)AA．110°B．120°C．130°D．140°當(dāng)堂檢測4.△ABC是一個(gè)任意三角形,用直尺和圓規(guī)作出∠A,∠B的平分線相交于點(diǎn)O,那么下列說法不正確的是(

)A.點(diǎn)O一定在△ABC的內(nèi)部B.∠C的平分線一定經(jīng)過點(diǎn)OC.點(diǎn)O到△ABC三邊的距離一定相等D.點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離一定相等D當(dāng)堂檢測5.如圖,已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（）A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點(diǎn)B.P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)C.P為AC，AB兩邊上的高的交點(diǎn)D.P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)B當(dāng)堂檢測6.如圖,△ABC的三邊AB,BC,CA長分別是20,30,40,其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)A.1∶1∶1 B.1∶2∶3C.2∶3∶4 D.3∶4∶5C當(dāng)堂檢測FAEDB7、已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴

CD＝DE(角平分線的性質(zhì)).在Rt△CDF和Rt△EDB中,

CD=ED（已證）,

DF=DB

（已知）,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.C當(dāng)堂檢測

8.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分別平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,試求線段OD的長度.解：連接OB,過O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF,設(shè)OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6,當(dāng)堂檢測∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴AC·BC=AB·OE+AC·OD+BC·OF，∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,∴OD的長為2.當(dāng)堂檢測9.如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.（1）△ABC內(nèi)是否存在一點(diǎn)到各邊的距離相等？如果存在，請(qǐng)作出這一點(diǎn)，并說明理由；解：如圖，作∠BAC、∠ACB的平分線，它們的交點(diǎn)P即為符合要求的點(diǎn).作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，垂足分別為E、F、G.∵AP是∠BAC的平分線，∴PE＝PG.∵CP是∠ACB的平分線，∴PF＝PG.∴PE＝PF＝PG；當(dāng)堂檢測（2）求這點(diǎn)到各邊的距離.解：連接BP.設(shè)PE＝PF＝PG＝x.∵S△A