2022年初升高暑期數(shù)學(xué)講義13 充分必要條件、全稱量詞與存在量詞（重難點(diǎn)突破）【含答案】

專題13充分必要條件、全稱■詞與存在量詞

一、考情分析

＜充分條件

必要條件

充分必要條件

應(yīng)用——小集合與大集合

全稱量詞

詼期

含有全稱量詞與存在量詞命題的否定

二、考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件

(1)一般地，“若P，則為真命題，是指由〃通過推理可以得出力這時(shí)，我們就說，由〃可以推出q,

記作p=q，并且說，P是4的充分條件，夕是p的必要條件.

(2)幾點(diǎn)說明

若片q則夕是q的充分條件，。是。的必要條件

。是。的充分不必要條件片且@p

。是g的必要不充分條件加q且q=>p

。是。的充要條件片q

。是q的既不充分也不必要條

3q且Fp

件

知識(shí)點(diǎn)二充要條件

⑴如果“若“，則4”和它的逆命題“若0則P”均是真命題，即既有P=g,又有q=p,就記作P=q,此

時(shí)，〃既是q的充分條件，也是夕的必要條件，我們就說〃是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.

(2)如果〃是g的充要條件，那么g也是p的充要條件.概括地說，如果〃00那么〃與4互為充要條

件.

知識(shí)點(diǎn)三全稱量詞和存在量詞

(1)全稱量詞有：所有的，任意一個(gè)，任給，用符號(hào)“上”表示；存在量詞有：存在一個(gè)，至少有一個(gè).

有些，用符號(hào)“旦表示.

(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立"用符號(hào)簡(jiǎn)記為：上巨

M,0工).

(3)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.“存在M中元素切，使〃出))成立“用符號(hào)簡(jiǎn)記為：#巨

M,Wo).

知識(shí)點(diǎn)四含有一個(gè)量詞的命題的否定

一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：

(1)全稱量詞命題p：PxRM,p(x),它的否定「p：或￡M,-?p(x)；

(2)存在量詞命題p：p(x),它的否定一'p：-w(x).

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

命題命題的否定

VxEM,p(x)

BxoEM,p(xo)

三、題型突破

重難點(diǎn)題型突破1充分必要條件的判斷

例1.(1)、(2022?安徽阜陽?高一期末)“acbvO"是ua4>b4n的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

由ua<b<0n可以推出“/>/”,由“/>/”得u\at>\b\n,不能推出ua<b<0n,利用充分條

件與必要條件的概念即可求得結(jié)果.

【詳解】

由'〈人<0”可以推出“/>/”,由“/>/”得,不能推出“avb<0”，所以

,la<b<0,'是的充分不必要條件.

故選：A.

⑵、“丁-2%-3=0”是“x=3”的()條件

A,充分不必要B,必要不充分C.充要D.既不必要也不充分

【答案】B

【分析】

解一元二次方程，根據(jù)大范圍是必要條件，小范圍是充分條件進(jìn)行判斷

【詳解】

由W-2x-3=0可得（十一3）"+1）=0,即x=3或x=-L貝IJV-2x-3=0"是"1=3”的必要不充分

條件

故選：B

【變式訓(xùn)練1-1】、（2022?北京?北理工附中高二階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，成立的一個(gè)必要不充分

條件是（）

A.a>b-\B.a2>h2C.a>b+\D.a3>b3

【答案】A

【解析】

【分析】

欲求成立的必要而不充分的條件，即選擇一個(gè)能推出的選項(xiàng)，但不能推出對(duì)選項(xiàng)逐一

分析即可.

【詳解】

解：“a>b”能推出,但“。>匕-1”不能推出“a>b”,故A滿足題意；

“a>b”不能推出“標(biāo)>〃，，，故選項(xiàng)B不是“a>b”的必要條件，不滿足題意；B不正確.

“a>b”不能推出+，故選項(xiàng)C不是“a>b”的必要條件，不滿足題意；C不正確.

“。>與”能推出“/>護(hù)"，且“">從，，能推出，故是充要條件，不滿足題意；D不正確；

故選：A.

【變式訓(xùn)練1-2］、（2022?浙江?義烏市福田書院高二期末）ua>b>0n是從>（），，的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

由充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)镚>b>0能推出">從>0而/>0不能推出例如（-5）’>32>0,

不能推出-5>3>0,所以"。>人>0”是“/>〃”的充分不必要條件，

故選：A

重難點(diǎn)題型突破2充分必要條件的應(yīng)用（求參數(shù)的取值范圍）

例2.（1）、（2022,江蘇?高一）已知條件p:2A-1&XW2,^:-5<x<3,p是g的充分條件，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是.

【答案】[-2,內(nèi)）

【解析】

【分析】

設(shè)4=何2"1"<2}.8={H-5W3},則AqB,再對(duì)A分兩種情況討論得解.

【詳解】

iEA={x|2^-l<x<2},8={H-5W3},

因?yàn)椤ㄊ莙的充分條件，所以4三8.

當(dāng)A=0時(shí)，2k-\>2,即左A5.符合題意；

當(dāng)時(shí)，由Aq?？傻?%-1之一5,所以人之一2,即一242?=.

22

綜上所述，實(shí)數(shù)的左的取值范圍是“2,+8）.

故答案為：J2,內(nèi)）.

（2）、（2022?全國高一專題練習(xí)）（多選題）可以作為x<T或x>3的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.x<-2B.x<lC.x>4D.x>2

【答案】AC

【解析】

【分析】

由充分不必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】

可以作為xvT或x>3的一個(gè)充分不必要條件是1<-2和工>4.

故選：AC.

【變式訓(xùn)練2-1】.（多選題）命題“X￡[L2],^-6/<0"為真命題的充分不必要條件可以是（）

A.a>4B.a>5C.a>3D.a>2

【答案】AB

【分析】

根據(jù)命題“Txw[l,2],x2—々WO”為真命題，求得d得范圍，然后從集合得角度充分不必要條件對(duì)應(yīng)得

集合是已求a得范圍對(duì)應(yīng)集合的真子集，結(jié)合選項(xiàng)即可得解.

【詳解】

解：由工?1,2],則/力用，

要使在xw[l,2]上恒成立，

則124a,所以a24,

根據(jù)題意可得所求對(duì)應(yīng)得集合是[4”）的真子集，

根據(jù)選項(xiàng)AB符合題意.

故選：AB.

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/*）=%3-級(jí)+。-1有兩人零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件

是（）

A.a-3B.a=2C.a=lD.a=0

【答案】A

【解析】

【分析】

先因式分解得/a）=a-D（d+x+]_a）再分類討論求解當(dāng)/"）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)〃的值，再根據(jù)充分不必要

條件的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可

【詳解】

/*）=%3_1_〃（工_1）=*-1）■2+工+]_4）/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)有兩種情形：

①1是卜=/+1+]_4的零點(diǎn)，則a=3,此時(shí)y=??+x-2有1,2共兩個(gè)零點(diǎn)

②1不是），=/+工+1-。的零點(diǎn)，則判別式1一4（1一a）=0,即a

4

???a=3是f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件

故選：A.

例3.（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知集合4=兇2-?！豆?2+4},B={x|x<l^x>4}.

⑴當(dāng)a=3時(shí)，求Ap|8；

(2)若。>0,且“xtA”是“屋田，的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴AnB={x|-14E或4W5}

⑵(0」)

【解析】

【分析】

(1)借助數(shù)軸即可確定集合A與集合8的交集(2)由于A\Bt根據(jù)集合之間的包含關(guān)系即可求解

(1)

當(dāng)a=3時(shí)，*0,A={x|2-a<x<2+a}={x|-l<x<5},

B={x\x<i^x>4],

AnB={x|-14E或4W5}

⑵

???若。>0,且“xcA"是充分不必要條件，

A={j|2-aWx42+0}3>0),務(wù)8={對(duì)v/v4}

2-a>\

因?yàn)锳,貝小2+a<4

a>0

解得Ovavl.

故a的取值范圍是：(O,l)

【變式訓(xùn)練3-1】.(2021?江蘇省武進(jìn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))已知集合4=卜|〃?-1<%<m2+1},

4=卜—<4}.

(1)當(dāng)m=2時(shí)，求A=B,Ac8；

⑵若"xcA"是“xeB”成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【答案】(l)AuB={x|-2<x<5},AnB={x|l<x<2},(2){w|-l<m^l}

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)交集和并集的定義即可求出；

(2)由xeA是xw6成立的充分不必要條件，可得AR,進(jìn)而得出實(shí)數(shù)，〃的取值范圍

⑴

(1)當(dāng)m=2時(shí)，A={x|l<x<5},b={x\-2<x<?},

/.AuB={M_2<x<5},Ac8={x[l<x<2};

⑵

由xeA是xe3成立的充分不必要條件，得AB,

當(dāng)A=0時(shí)，即〃.IN機(jī)2.1時(shí)，此時(shí)加無解，

A^0,

[tn1>-2.,

?Y,解得T4〃"l，

\tn'+\<2

當(dāng)m=—1時(shí)，A=B=(-2,2),不成立.

故實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為{m\-\<m<\}.

重難點(diǎn)題型突破3全稱命題與存在命題真假的判斷

例4.（1）、（2021?河北唐山?高一期中）（多選題）下列命題中是真命題的是（）

A.若筋yeR,且x+y>2,則x,丁中至少有一個(gè)大于1

B.。+力>0的充要條件是：=-1

b

C.3xe/?,x2-2<0

D.Vxe/?,x2>3

【答案】AC

【解析】

【分析】

對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)X,），中沒有一個(gè)大于1得x+y?2,與x+y>2矛盾可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)

〃=2加=-1時(shí)，必要性不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取x=0判斷；對(duì)于。選項(xiàng)，取工4「萬,石［時(shí)可

判斷

【詳解】

解：對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)》,丁中沒有一個(gè)大于1,即xWl,y<\,則x+y?2,與x+y>2矛盾，故命題

正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，顯然充分性不成立；當(dāng)〃=2,〃=-1時(shí)，a+b>0,此時(shí)￡=-2,必要性不成立，故錯(cuò)誤；

b

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)％=0時(shí)，/一240成立，故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，xe卜石,6］時(shí)，x2<3,故錯(cuò)誤.

故選：AC

【變式訓(xùn)練4-1】.（2021?山東省臨沂第一中學(xué)高一期中）（多選題）下列敘述中正確的是（）

A.命題uBxeR,x2+\=0n的否定是“X/xwR,丁+1工0”

B.“孫>0”是"x+y>0”的充要條件

C.已知aeR,則是。<人<0的必要不充分條件

ab

D.若,,l<x<3"的必要不充分條件是“〃?-2vxv〃葉2",則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范是1,3］

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由特稱命題得否定可以判斷A,由充要條件可以判斷BCD

【詳解】

對(duì)于A：命題1e7?,A:2+1=0"的否定是uVxe7?,寸+1工0”,故A正確；

對(duì)于B:個(gè)>0,當(dāng)xv0,yv0時(shí)，不成立；當(dāng)x+y>0,是個(gè)>0也不一定成立；故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C:由推不出但〃vb<0時(shí)成立，故C正確；

abab

對(duì)于D：ul<x<3"的必要不充分條件是"〃?-2vxv〃z+2”,

]>fTt2

一解得故D正確；

{加+223

故選:ACD

重難點(diǎn)題型突破4全稱命題與存在命題的否定

例5.（1）、（2022?河北保定?高二期末）命題X2-2X+3<0"的否定是（）

A.Bx>0,x2-2x+3..0B.3A;,0,x2-2x+3<0

C.Vx>0,x2-2x+3..0D.Dx。丁-21+3<0

【答案】A

【解析】

【分析】

將全稱命題否定為特稱命題即可

【詳解】

命題uVx>0,x2-2x+3<0n的否定是,，Hx>0,x2-2x+3..O".

故選：A

⑵、（2022?山東?高二期末）設(shè)命題〃：立>1,/>2"，則f為（）

A.n2>2nB.3n<l,n2<2n

C.V?>1,n2<TD.3?<1,n2<2n

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可；

【詳解】

解：命題〃:引2>1,>2"為特稱量詞命題，其否定為n2<2n；

故選：C

【變式訓(xùn)練5-1].（2022?江蘇?高一）設(shè)命題則產(chǎn)為（）

A.\fneN.n2>4B.BneNyn2<4

22

C.XfneNtn<4D.BneNyn=4

【答案】C

【解析】

【分析】

存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，需要注意格式的寫法和對(duì)其結(jié)論的否定.

【詳解】

存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即大€”,〃@）的

否定格式為：VxwMJp*）,所以B,D的量詞格式錯(cuò)誤，

而A選項(xiàng)未對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，其正確的寫法為W〃eM〃2?4,

故選：C.

【變式訓(xùn)練5-2】?（2021?湖南?衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）命題存在一個(gè)自然數(shù)〃使〃2>2〃+5

成立.則p的否定的符號(hào)形式及其真假為（）

A.V〃EN,/W2〃+5.真B.V〃EN,n2^2n+5.假

C.VnEN,/>2〃+5.假D.3nEN,/>2〃+5.真

【答案】B

【解析】

【分析】

對(duì)特稱命題的否定為全稱命題，再求解真?zhèn)渭纯?

【詳解】

由于〃：存在一個(gè)自然數(shù)〃使得〃2>2〃+5.

?.?其否定符號(hào)為IP：D〃（〃WN）,〃2?2〃+5,

當(dāng)〃=5時(shí)，52>2x5+5,所以是假命題；

故選：B.

重難點(diǎn)題型突破5全稱命題與存在命題的應(yīng)用(求參數(shù)的取值范圍)

例6.(2021?河南?西平縣高級(jí)中學(xué)高一階.沒練習(xí))已知命題爐+2如；+25+3>0”為^命題.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值的集合A；

(2)若玄e[L3],使得2心-々<0(〃。0)成立，記實(shí)數(shù)"的范圍為集合8,若AflB中只有一個(gè)整數(shù)，求

實(shí)數(shù)〃的范圍.

【答案】(1){/n\-}<m<3}；(2)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)命題為真轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用判別式/<0求解；

(2)分類討論〃的正負(fù)求出集合B,再根據(jù)AflB中只有一個(gè)整數(shù)建立不等式求解.

【詳解】

(1)由條件知，f+2〃次+26+3>0恒成立，

只需.x2+2/ztr+2陽+3=0的△=4〃產(chǎn)-4(2ni+3)<0.

解得-也即A={〃?|T<7〃〈3}.

(2)若3xe[l,3],使得2/u-a<0(〃工0)成立，

也即zxe[\,3],2nx<a,

當(dāng)〃>0,只需