七年級數(shù)學(xué)上冊-解題技巧：與絕對值化簡的有關(guān)問題壓軸題五種模型全攻略(原卷版)

專題07解題技巧專題：與絕對值化簡的有關(guān)問題壓軸題五種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一絕對值非負(fù)性的應(yīng)用】 1【考點二利用數(shù)軸化簡絕對值】 3【考點三分類討論化簡絕對值】 6【考點三利用幾何意義化簡絕對值】 10【考點四解含絕對值的方程】 20【典型例題】【考點一絕對值非負(fù)性的應(yīng)用】例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）若，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）若，則，．2．（2023秋·七年級課時練習(xí)）若（，則的值是．3．（2023·河北秦皇島·?？家荒＃┮阎猘，b都是實數(shù)．若，則．4．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）若有理數(shù)，滿足，則.【考點二利用數(shù)軸化簡絕對值】例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡下式：．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）有理數(shù)在數(shù)軸上位置如圖，則化簡的值為（

）A． B． C．0 D．3．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）有理數(shù)x在數(shù)軸上的位置如圖聽示，化簡：．

4．（2023秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果為．5．（2023春·黑龍江大慶·六年級?？茧A段練習(xí)）已知，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是．6．（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【考點三分類討論化簡絕對值】例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）若有理數(shù)a，b滿足，則的值為．2．（2023春·廣東河源·七年級?？奸_學(xué)考試）若，，則n的值為．3．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，則_______；當(dāng)時，則_______．(2)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．(3)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，求的值．4．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．求解下列問題：(1)當(dāng)時，值為______，當(dāng)時，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【考點四利用幾何意義化簡絕對值】例題：（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是_____；表示和1兩點之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，最小距離是_____．(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于與之間，則_____．(5)當(dāng)_____時，的值最小，最小值是_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：如圖，點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，則兩點之間的距離可以表示為．根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示8與的兩點之間的距離是______；(2)若，則______；若，則______；(3)表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對的點到1和-3所對的兩點距離之和．請你利用數(shù)軸，寫出所有符合條件的整數(shù)x，使得．(4)若x表示一個有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請直接寫出最小值．若沒有，說出理由．2．（2022秋·河北保定·七年級校聯(lián)考期中）閱讀下列材料：我們知道，的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離：，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離．這個結(jié)論可以推廣為：表示在數(shù)軸上數(shù)，對應(yīng)點之間的距離．如：數(shù)軸上數(shù)2，5對應(yīng)點之間的距離為；數(shù)軸上數(shù)2，對應(yīng)點之間的距離為；又如：已知，求的值．意為：數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對應(yīng)點之間的距離為2，觀察數(shù)軸可知的值為或3．請運(yùn)用上述的幾何方法解決下列問題：(1)若，則________；(2)若，則________；(3)表示數(shù)軸上數(shù)________與________對應(yīng)點之間的距離；(4)若，則________；(5)若，則滿足條件的所有整數(shù)為________________；(6)若，則的取值范圍為________________________．3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級?？计谥校締栴}提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，那么可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離；就可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請你結(jié)合數(shù)軸研究：的最小值是；(2)請你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．【考點五解含絕對值的方程】例題：（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀材料：我們把絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對值的方程．怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據(jù)絕對值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．（2022秋·福建泉州·七年級?？茧A段練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對值，實際上也可以理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)兩點之間的距離：同理也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離，就表示x在數(shù)軸上對應(yīng)點到的距離，由上面絕對值的幾何意義，解答下面問題：(1)，若，則；(2)請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得；(3)求的最小值，并寫出此時x的取值情況．3．（2022秋·七年級單元測試）問題背景數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，我們知道，它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點與原點（即表示0的點）之間