高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊

5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊正弦函數(shù)的圖像【探究】首先我們研究的圖像，從畫函數(shù)

開始.如圖，在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓，O與軸正

半軸的交點為A(1,0)，在單位圓上講點A繞著點O旋轉(zhuǎn)弧度到點B，根據(jù)定義有點B的縱坐標.由此，以為橫坐標，為縱坐標化點，即得到函數(shù)圖像上的點

正弦函數(shù)的圖像【探究】若把軸上這一段分成12等份，讓的值分別為…，

它們所對應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，再按剛才畫點

的方法，就可以畫出自變量取這些值時，圖像上對應(yīng)函數(shù)值的點.

利用信息技術(shù)取到足夠多的點，再將這些點用光滑的曲線連起來，就可以得到比較精確的函數(shù)的圖像.

正弦函數(shù)的圖像【探究】由誘導(dǎo)公式一可知，每經(jīng)過

個單位長度，函

數(shù)會重復(fù)出現(xiàn)，所以只需將內(nèi)的函數(shù)圖像不段復(fù)制平移即可得到的圖像(幾何畫法).

幾何畫法的步驟：建系畫圖12等分圓找橫坐標連線得圖找縱坐標左右平移

五點畫圖法【問題】在確定正弦函數(shù)的圖像形狀時，有哪些關(guān)鍵的點？【答】觀察圖像可知，處于函數(shù)連接處和轉(zhuǎn)折處的五個點起關(guān)鍵作用.

在非精確作圖時，一般選取這五個點快速畫出正弦函數(shù)的圖像來解決問題.

五點畫圖法【三種作圖法的比較】描點法幾何法五點法列表→描點→連線利用單位圓在[0，2π]上取足夠多的點連線描最高點最低點,圖像和坐標軸的三個交點只能取近似值，誤差較大較為精確，但步驟繁瑣實用，高效余弦函數(shù)的圖像【分析】對于函數(shù)，由誘導(dǎo)公式，得到

，而函數(shù)的圖像可以通過正弦

函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到.所以，將正弦函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖像，如圖.

余弦函數(shù)的圖像叫做余弦曲線，它和正弦曲線有相同形狀“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

【1】畫出函數(shù)的簡圖：

【解】如圖：

【2】畫出函數(shù)的簡圖：

【解】如圖：

函數(shù)圖像的平移和對稱變換

【平移】

【對稱】

左加右減，上加下減.【例1】畫出函數(shù)

的簡圖.【解】

取五個關(guān)鍵點列表：

把的圖像向下平移1個單位即可得到的圖像

【例2】用五點法分別畫出函數(shù)和函數(shù)在上的圖像.【解】

取五個關(guān)鍵點列表：

【例3】思考函數(shù)和函數(shù)的關(guān)系,并畫出函數(shù)的圖像.【解】

把函數(shù)圖像在軸下方的部分翻折到軸上方，加上原來上方的部分就可以得到函數(shù)的圖像(藍色部分)，如圖.

【例4】已知函數(shù)

（1）作出函數(shù)的圖像；(2)求方程的解.【解】

(1)當(dāng)時，

當(dāng)時，

所以，圖像如圖所示.

(2)由圖像可知方程的解是

三、當(dāng)堂達標（（課本200頁練習(xí)1~4題）四、小結(jié)1.正、余弦函數(shù)的圖象每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)，因此，只要記住它們在[0，2π]內(nèi)的圖象形態(tài)，就可以畫出正弦曲線和余弦曲線.2.作與正、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象，是解題的基本要求，用“五點法”作圖是常用的方法.五、作業(yè)1.課本213習(xí)題5.4第1題；2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容。5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【導(dǎo)學(xué)1】一般的函數(shù)圖像都有哪些性質(zhì)可以研究？【解答】圖像特點、單調(diào)性、奇偶性、最值(極值)等等【1】周期性：觀察正弦函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)，在圖像上，橫坐標每隔2π個單位

長度，就會出現(xiàn)縱坐標相同的點，這就是正弦函數(shù)值具有的“周而復(fù)始”的

變化規(guī)律.實際上，這一點既可以從定義中看出，也能從誘導(dǎo)公式中得到反映.即自

變量的值加上2π的整數(shù)倍時所對應(yīng)的函數(shù)值，與所對應(yīng)的函數(shù)值相等.數(shù)學(xué)上用周期性來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的規(guī)律.【導(dǎo)學(xué)2】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域和值域是什么？

【解答】定義域都是R，值域都是[-1，1]

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【定義】一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一

個都有，且.那么函數(shù)就叫做

周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

周期函數(shù)的周期不止一個.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函數(shù)的周期.

如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.

根據(jù)上述定義，有如下結(jié)論：【1】正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π【2】余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【周期函數(shù)的理解】①對周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時”，要特別注意其中

“每一個”的要求.如果只是對某些有，那么T就不是的周期.

②自變量本身加的常數(shù)才是最小正周期.如中T不是最小正周

期，因為，所以才是最小正周期.

③周期函數(shù)的周期不唯一.若T是函數(shù)的最小正周期，則也是

函數(shù)的周期.

④并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期.例如，對于函數(shù)

所有非零實數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小

正周期.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【例1】求下列函數(shù)的周期：

【解】

奇偶性【探究】觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點O對稱，余弦曲線

關(guān)于y軸對稱.所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).【注意】①判斷函數(shù)的奇偶性時，一定要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，

只要定義域不關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)肯定不具備奇偶性.②由奇偶性我們知道正弦曲線關(guān)于原點(0,0)對稱，余弦曲線關(guān)于y軸(x=0)

對稱.③正弦曲線和余弦曲線即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

【2】求下列函數(shù)的周期

【注意】本題也可以直接用公式求解：

【3】下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？【解】(1)奇函數(shù)

(2)偶函數(shù)(3)奇函數(shù)(4)奇函數(shù)探究與發(fā)現(xiàn)

探究與發(fā)現(xiàn)

單調(diào)性【探究】由于正弦函數(shù)是周期函數(shù)，我們可以先在它的一個周期的區(qū)間里如

討論它的單調(diào)性，再利用它的周期性，將單調(diào)性擴展到整個定義域.

如圖可以看到：當(dāng)由增大到

時，曲線逐漸上升，的值由1減小到-1.的值變化情況如圖所示：

這也就是說，正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都單調(diào)遞增，其值從-1增大到1；在每一個閉區(qū)間上都單調(diào)遞減，其值從1減小到-1.

由上述結(jié)果結(jié)合正弦函數(shù)的周期性我們可以知道：單調(diào)性余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都單調(diào)遞增，其值從-1增大到1；在每一個閉區(qū)間上都單調(diào)遞減，其值從1減小到-1.

同樣的道理結(jié)合余弦函數(shù)的周期性我們可以知道：

最大值與最小值【整理】從上述對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性的討論中容易得到：①正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值1，

當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值-1；

②余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值1，

當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值-1；

【拓展】①正弦、余弦函數(shù)圖像上最大值處一般稱為波峰，最小值處稱為波谷.②正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都不是定義域上的單調(diào)函數(shù).③正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.RR[-1，1][-1，1]最小正周期為2π最小正周期為2π奇函數(shù)偶函數(shù)

【正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)對比】例3.下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量的集合，并求出最大值、最小值．（１），

∈R；

，

∈R．（２）例4.不通過求值，指出下列各式的大?。?1);(2)

cos;cos分析：可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大?。疄榇?，先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，

然后再比較大?。?.

求函數(shù)

，∈［－２π，２π］的單調(diào)遞增區(qū)間．分析：令=當(dāng)自變量

的值增大時，

的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增．三、當(dāng)堂達標（（課本207頁練習(xí)1~5題）四、小結(jié)1.

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性。

2.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）直接利用相關(guān)性質(zhì)；（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間。五、作業(yè)1.課本213頁習(xí)題5.4的2、3、4、5、6、10、11題；2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容。5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊

5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象？【思考】根據(jù)研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應(yīng)該如何研究正切函數(shù)的

圖象和性質(zhì)？能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎？【解答】(1)應(yīng)先作出正切函數(shù)的圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識，

再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格表述.(2)對于正切函數(shù)，也可以從其定義出發(fā)研究它的性質(zhì)，再利用性質(zhì)研究

其圖象.【問題】正切函數(shù)的定義域是什么？

【解答】由正切函數(shù)的定義可知，它的定義域是

如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象？【正切函數(shù)的性質(zhì)】【1】周期性：

由誘導(dǎo)公式可知，

正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.

【2】奇偶性：

由誘導(dǎo)公式可知，

正切函數(shù)有奇偶性，是奇函數(shù).

表明正切函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱表明正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象？【問】你能證明正切函數(shù)的周期性嗎？【答】①當(dāng)k是偶數(shù)時，

②當(dāng)k是奇數(shù)時，

綜上，有

由周期函數(shù)的定義可知，正切函數(shù)的周求是是它的最小正周期.

【再問】這有什么用？【再答】可以先研究正切函數(shù)在之間的圖象和性質(zhì)，再加以拓展.

如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象？【問】如何畫出函數(shù)的圖象？【答】如圖，設(shè)，在坐標系中畫出角的終邊與單

位圓的交點.過點B作軸的垂線，垂足為M；過點A(1，0)作軸的垂線與角的終邊交于點T，則

由此可見，當(dāng)時，線段AT的長度就是角的正切值，利用線段AT畫出函數(shù)的圖象如圖所示.

觀察可知，函數(shù)圖象呈類似于指數(shù)型的增長，向右上方無限接近直線如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象？【問】如何畫出正切函數(shù)的全部圖象？【答】利用奇偶性和對稱性，把函數(shù)在之間的部分進行復(fù)制平移即可.

我們把正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線。從圖象可以看出，正切曲線是被與y軸平行的一系列直線所隔開的無數(shù)個形狀相同的曲線組成的

如何研究正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象？【問】正切函數(shù)的圖象有怎樣的特征？【答】①圖象關(guān)于原點對稱②圖象在軸上方的部分下凹；在軸下方的部分上凸.②圖象被相互平行的直線隔開，圖象無限

接近這些直線，但永不相交。??

正切函數(shù)和正弦余弦函數(shù)一樣，都可以畫出一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，然后進行左右平移，就可以得到全部的圖象。

或者也可以類比正弦余弦函數(shù)用三點兩線法.正切函數(shù)的單調(diào)性和值域【單調(diào)性】觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

由周期性可知，正切函數(shù)在每個區(qū)間上都單調(diào)遞增

【問】由正切函數(shù)是奇函數(shù)，可以得到它的圖象關(guān)于原點對稱。結(jié)合圖象，還能

發(fā)現(xiàn)其它的對稱中心嗎？有對稱軸嗎？【答】正切函數(shù)的圖象有無數(shù)個對稱中心，包括