2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形測(cè)評(píng)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE5第一章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,則角B的大小為()A.30° B.45° C.135° D.45°或135°解析由正弦定理,得,則sinB=.因?yàn)锽C>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.答案B2.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,則的值為()A. B. C. D.解析由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,∴AC=3.由正弦定理得.答案D3.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出A,C的距離是50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為()A.50m B.50m C.25m D.m解析在△ABC中,∠ABC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理,得,即,解得AB=50m.答案A4.在△ABC中,cos2(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則△ABC的形態(tài)為()A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析∵cos2,∴,∴cosB=,∴,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC為直角三角形.故選B.答案B5.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,則角A=()A. B. C. D.解析∵a=1,sinAcosC+(sinC+b)cosA=0,∴sinAcosC+sinCcosA=-bcosA,∴sin(A+C)=sinB=-bcosA,∴asinB=-bcosA,由正弦定理可得sinAsinB=-sinBcosA,∵sinB>0,∴sinA=-cosA,即tanA=-.∵A∈(0,π),∴A=.故選D.答案D6.某海輪以30nmile/h的速度航行,在點(diǎn)A測(cè)得海面上油井P在南偏東60°方向,向北航行40min后到達(dá)點(diǎn)B,測(cè)得油井P在南偏東30°方向,海輪改為北偏東60°的航向再行駛80min到達(dá)點(diǎn)C,則P,C間的距離為()A.20nmile B.20nmileC.30nmile D.30nmile解析如圖,在△ABP中,AB=30×=20(nmile),∠APB=30°,∠BAP=120°.依據(jù)正弦定理,得,即,解得BP=20nmile.在△BPC中,BC=30×=40(nmile),由已知得∠PBC=90°,所以PC==20(nmile),即P,C間的距離為20nmile.答案B7.一角槽的橫斷面如圖所示,四邊形ADEB是矩形,且α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,則DE的長(zhǎng)為()A.210mm B.200mmC.198mm D.171mm解析由題圖可知,∠ACB=α+β=50°+70°=120°.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502-2×90×150×-=44100,解得AB=210.故DE的長(zhǎng)為210mm.故選A.答案A8.已知△ABC的三邊分別為a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,則△ABC的外接圓的直徑為()A.4 B.5 C.5 D.6解析∵S△ABC=acsinB,∴c=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=25,則b=5.由正弦定理,得2R==5(R為△ABC外接圓的半徑).答案C9.如圖,在△ABC中,B=45°,D是邊BC上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長(zhǎng)為()A. B.5C. D.5解析在△ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,所以∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=.答案C10.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,則A=()A.30° B.60° C.120° D.150°解析由正弦定理及已知得,a2=b2+bc+c2,∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA==-,又0°<A<180°,∴A=120°.答案C11.在△ABC中,A=,b=2,其面積為2,則=()A. B. C. D.解析由題意可得S△ABC=bcsinA=×2×c×=2,解得c=4.依據(jù)余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2×2×4×=12,所以a=2.依據(jù)正弦定理=2R,則.故選A.答案A12.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,則△ABC的面積是()A. B. C. D.解析∵sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,∴2sinBcosA=6sinAcosA.當(dāng)cosA=0時(shí),A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面積公式,得S=bc=;當(dāng)cosA≠0時(shí),由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.依據(jù)正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理的推論,得cosC==cos,解得a=1,b=3,所以此時(shí)△ABC的面積為S=absinC=.綜上可得△ABC的面積為,故選D.答案D二、填空題(每小題5分,共20分)13.在△ABC中,sin,AB=1,BC=3,則AC=.

解析∵sin,AB=1,BC=3,∴cosB=1-2sin2=1-2×,∴由余弦定理可得AC==2.答案214.如圖,在△ABC中,BD·sinB=CD·sinC,BD=2DC=2,AD=2,則△ABC的面積為()解析過(guò)點(diǎn)D分別作AB和AC的垂線,垂足分別為E,F.∵由BD·sinB=CD·sinC,可得DE=DF,則AD為∠BAC的平分線,∴=2.又cos∠ADB+cos∠ADC=0,即=-,解得AC=2,∴在△ABC中,cos∠BAC=,∴sin∠BAC=,∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=.答案15.如圖所示,某海島上一視察哨A上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東60°的C處,12時(shí)20分測(cè)得船在海島北偏西60°的B處,12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5km的E港口,假如輪船始終勻速直線前進(jìn),則船速為km/h.

解析輪船從C到B用時(shí)80分鐘,從B到E用時(shí)20分鐘,而船始終勻速前進(jìn),由此可見,BC=4EB.設(shè)EB=x,則BC=4x,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°.在△AEC中,由正弦定理,得,∴sinC=.在△ABC中,由正弦定理,得,∴AB=.在△ABE中,由余弦定理,得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos30°=+25-2××5×,故BE=.∴船速v=(km/h).答案16.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=,a=,則b2+c2的取值范圍是.

解析由正弦定理=2,得b=2sinB,c=2sinC,則b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)=4-2cos2B-2cos2C=4-2cos[(B+C)+(B-C)]-2cos[(B+C)-(B-C)]=4-4cos(B+C)cos(B-C)=4+4cosAcos=4+2cos.又0<B<,則-<2B-,即-1<2cos≤2,所以3<4+2cos≤6,即b2+c2的取值范圍是(3,6].答案(3,6]三、解答題(共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知=2,若cosB=,且△ABC的周長(zhǎng)為5,求邊b的長(zhǎng).解因?yàn)?2,所以=2,即c=2a.又因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為5,所以b=5-3a.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accosB,即(5-3a)2=(2a)2+a2-4a2×,解得a=1,所以b=2.18.(本小題滿分12分)(2024·全國(guó)Ⅰ高考,文18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知B=150°.(1)若a=c,b=2,求△ABC的面積;(2)若sinA+sinC=,求C.解(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos150°,解得c=-2(舍去),c=2.從而a=2.△ABC的面積為×2×2×sin150°=.(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+sinC=sin(30°-C)+sinC=sin(30°+C).故sin(30°+C)=.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.19.(本小題滿分12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AC與BD為其對(duì)角線,已知BC=1,且cos∠BCD=-.(1)若AC平分∠BCD,且AB=2,求AC的長(zhǎng);(2)若∠CBD=45°,求CD的長(zhǎng).解(1)∵對(duì)角線AC平分∠BCD,即∠BCD=2∠ACB=2∠ACD,∴cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=-,∵cos∠ACB>0,∴cos∠ACB=.∵在△ABC中,BC=1,AB=2,cos∠ACB=,∴由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB,可得AC2-AC-3=0,解得AC=或AC=-(舍去),∴AC的長(zhǎng)為.(2)∵cos∠BCD=-,∴sin∠BCD=.又∵∠CBD=45°,∴sin∠CDB=sin(180°-∠BCD-45°)=sin(∠BCD+45°)=(sin∠BCD+cos∠BCD)=,∴在△BCD中,由正弦定理,可得CD==5,即CD的長(zhǎng)為5.20.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b2=ac,且cosB=.(1)求的值;(2)設(shè),求a+c的值.解(1)由cosB=,得sinB=.由b2=ac及正弦定理,得sin2B=sinAsinC.于是.(2)由,得accosB=.由cosB=,得ac=2,即b2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=b2+2accosB=5,∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,∴a+c=3.21.(本小題滿分12分)在海港A正東39nmile處有一小島B,現(xiàn)甲船從A港動(dòng)身以15nmile/h的速度駛向B島,同時(shí)乙船以6nmile/h的速度向北偏西30°的方向駛離B島,不久之后,丙船則向正東方向從B島駛出,當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),在乙船觀測(cè)發(fā)覺丙船在乙船南偏東60°方向,問此時(shí)甲、丙兩船相距多遠(yuǎn)?解設(shè)在行駛th后,甲船到達(dá)C處,乙船到達(dá)D處,丙船到達(dá)E處,此時(shí)甲、乙兩船相距最近,由題意,得CD2=CB2+BD2-2CB·BD·cos60°=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1404t+1521=351(t-2)2+117,所以當(dāng)t=2時(shí),CD2最小,即CD取得最小值,也即此時(shí)甲、乙兩船相距最近,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB,則∠BDF=30°,∠DBE=120°,所以∠BDE=30°,∠DEB=180°-120°-30°=30°,故△BDE為等腰三角形.所以BE=BD=6t=6×2=12(nmile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-15×2=21(nmile).答:甲、乙兩船相距最近時(shí),甲、丙兩船相距21nmile.22.(本小題滿分12分)已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且acosC+c=b.(1)求A;(2)如a=1,△ABC的周長(zhǎng)L的取值范圍.解(1)acosC+c=b變形得2acosC+c=2b,利用正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2