2024-2025版高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價二數(shù)列素養(yǎng)評價檢測含解析新人教A版必修5

PAGE單元素養(yǎng)評價(二)(其次章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.數(shù)列-2,1,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE…的一個通項公式為()A.an=(-1)n+1QUOTE B.an=(-1)nQUOTEC.an=(-1)nQUOTE D.an=(-1)n+1QUOTE【解析】選C.依據(jù)題意,數(shù)列-2,1,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE…的前5項可以寫成(-1)1×QUOTE,(-1)2×QUOTE,(-1)3×QUOTE,(-1)4×QUOTE,(-1)5×QUOTE,則數(shù)列的一個通項公式可以為an=(-1)n×QUOTE.2.在等差數(shù)列{an}中,若a3=2,a6=4,則等差數(shù)列{an}的公差d= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為在等差數(shù)列{an}中,a3=2,a6=4,所以等差數(shù)列{an}的公差d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知等比數(shù)列{an}前9項的積為512,且a8=32,則a2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依據(jù)題意,等比數(shù)列{an}前9項的積為512,即a1a=(a5)9=512,解得:a5=2,則a2a8=QUOTE=4,若a8=32,則a2=QUOTE.4.若1,a,3成等差數(shù)列,1,b,4成等比數(shù)列,則QUOTE的值為 ()A.±QUOTE B.QUOTE C.1 D.±1【解析】選D.由題知2a=1+3,所以a=2.由b2=4得b=±2,所以QUOTE=±1.5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a8=15-a5,則S9等于 ()A.18 B.36 C.45 D.60【解析】選C.因為a2+a8=15-a5,a2+a8=2a5,所以a5=5,所以S9=QUOTE×2a5=45.6.在等差數(shù)列{an}中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的兩根,則{an}的前12項的和為 ()A.6 B.18 C.-18 D.-6【解析】選C.在等差數(shù)列{an}中,a6,a7是方程x2+3x-1=0的兩根,所以a6+a7=-3,所以{an}的前12項的和為S12=QUOTE(a1+a12)=QUOTE(a6+a7)=QUOTE×(-3)=-18.7.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n+a,則數(shù)列{QUOTE}的前n項和為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.9n-1【解析】選A.依題意,等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n+a,所以a1=3+a,a2=(9+a)-(3+a)=6,a3=(27+a)-(9+a)=18,所以QUOTE=a1×a3得a=-1,所以a1=2,q=3,所以數(shù)列{QUOTE}的首項為4,公比為9,所以數(shù)列{QUOTE}的前n項和Tn=QUOTE=QUOTE.8.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=QUOTE(n∈N*),則滿意an+1>an>0的n的最大值為 ()A.11 B.12 C.13 D.24【解析】選A.an=QUOTE(n∈N*),n≤12時an>0且單調(diào)遞增,n≥13時,an<0.則滿意an+1>an>0的n的取值為n≤11,n的最大值為11.9.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箍,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是勻稱改變的,其質(zhì)量為M,現(xiàn)將該金枝截成長度相等的10段,記第i段的質(zhì)量為ai(i=1,2,…,10).且a1<a2<a3<…<a10,若80ai=7M,則i= ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選A.由題意知由細(xì)到粗每段的質(zhì)量成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則QUOTE,可以求得a1=QUOTE,d=QUOTE,所以金杖總質(zhì)量為M=10×QUOTE+QUOTE×QUOTE=15,因為80ai=7M,所以80×QUOTE=105.解得i=4.10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=a3,且a3≠0,則QUOTE= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為S3=a3,且a3≠0,所以3a1+3d=a1+2d,化為-2a1=d≠0.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.11.已知數(shù)列{an}滿意log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+…+a10=1,則log2(a101+a102+…+a110)的值等于 ()A.10B.100C.210D.2100【解析】選B.由題意log2an+1-log2an=1,整理得:QUOTE=2(常數(shù)),且a1+a2+…+a10=1,則QUOTE=1,解得:a1=QUOTE,所以a101=a1·2100=QUOTE,則log2(a101+a102+…+a110)=log2QUOTE=log22100=100.12.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,且S9是S3與S6的等差中項,則 ()A.a2,a5,a8成等差數(shù)列 B.a2,a8,a5成等差數(shù)列C.a2,a4,a6成等差數(shù)列 D.a2,a6,a4成等差數(shù)列【解析】選B.因為S9是S3與S6的等差中項,所以2S9=S3+S6,若q=1,則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,與題設(shè)沖突,q≠1.又依題意S3+S6=2S9可得QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,整理得q3(2q6-q3-1)=0.由q≠0得方程2q6-q3-1=0.(2q3+1)(q3-1)=0,因為q≠1,q3-1≠0,所以2q3+1=0,所以q3=-QUOTE,q6=QUOTE.因為a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=QUOTEa1q,a8=a1q7=q6·a1q=QUOTEa1q,則a2+a5=2a8,則a2,a8,a5成等差數(shù)列.二、填空題(每小題5分,共20分)13.公差為2的等差數(shù)列{an}中,a1,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}的前10項和為.

【解析】由題意,(a1+4)2=a1(a1+10),解得a1=8,所以S10=8×10+QUOTE×2=170.答案:17014.在等比數(shù)列{an}中,Sn表示前n項和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q等于.

【解析】在等比數(shù)列{an}中,因為a3=2S2+1,a4=2S3+1,所以a4-a3=2S3+1-(2S2+1)=2(S3-S2)=2a3,所以a4=3a3,所以q=QUOTE=3.答案:315.若數(shù)列{an}滿意QUOTE-QUOTE=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為調(diào)和數(shù)列,已知數(shù)列QUOTE為調(diào)和數(shù)列,且x1+x2+…+x20=200,則x5+x16=.

【解析】由數(shù)列QUOTE為調(diào)和數(shù)列,可得QUOTE-QUOTE=xn+1-xn=d(n∈N*,d為常數(shù)),所以{xn}是公差為d的等差數(shù)列,又x1+x2+…+x20=200=QUOTE(x1+x20),所以x1+x20=20,又x5+x16=x1+x20,所以x5+x16=20.答案:2016.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,即依據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及常數(shù)x(0<x<1)確定實際銷售價格c=a+x(b-a),這里,x被稱為樂觀系數(shù).閱歷表明,最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中項,據(jù)此可得最佳樂觀系數(shù)x的值等于.

【解析】因為c-a=x(b-a),b-c=(b-a)-x(b-a),(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中項,所以[x(b-a)]2=(b-a)2-x(b-a)2,所以x2+x-1=0,解得x=QUOTE,因為0<x<1,所以x=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(共70分)17.(10分)設(shè){an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列,且a1=1.(1)若a1,a2,a3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;(2)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,當(dāng)q=2時,令bn=log2(Sn+1),求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【解析】(1)因為{an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列,且a1=1.a1,a2,a3成等差數(shù)列,所以2a2=a1+a3,所以2q=1+q2,解得q=1,所以數(shù)列{an}的通項公式an=1.(2)因為Sn為數(shù)列{an}的前n項和,當(dāng)q=2時,所以Sn=QUOTE=2n-1,因為bn=log2(Sn+1)=log22n=n,所以bn+1-bn=n+1-n=1.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.18.(12分)(2024·全國Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}和{bn}滿意a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}和{bn}的通項公式.【解析】(1)由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=QUOTE(an+bn).又因為a1+b1=1,所以QUOTE是首項為1,公比為QUOTE的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因為a1-b1=1,所以QUOTE是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)知,an+bn=QUOTE,an-bn=2n-1.所以an=QUOTE[(an+bn)+(an-bn)]=QUOTE+n-QUOTE,bn=QUOTE[(an+bn)-(an-bn)]=QUOTE-n+QUOTE.19.(12分)正項等比數(shù)列{an}中,已知a3=4,a4=a2+6.(1)求{an}的前n項和Sn;(2)對于(1)中的Sn,設(shè)b1=S1,且bn+1-bn=Sn(n∈N*),求數(shù)列{bn}的通項公式.【解析】(1)設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則由a3=4及a4=a2+6得4q=QUOTE+6,化簡得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-QUOTE(舍去),于是a1=QUOTE=1,所以Sn=QUOTE=2n-1,n∈N*.(2)由已知b1=S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(n∈N*),所以當(dāng)n≥2時,由累加法得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+…+21)-(n-1)+1=QUOTE-n+2=2n-n,又b1=1也適合上式,所以{bn}的通項公式為bn=2n-n,n∈N*.20.(12分)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常數(shù)λ,使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.【解析】(1)由題意可得QUOTE,解得a1=1,q=3,所以an=3n-1,Sn=QUOTE=QUOTE.(2)假設(shè)存在常數(shù)λ,使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列,因為S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=QUOTE,此時Sn+QUOTE=QUOTE×3n,則QUOTE=3,故存在常數(shù)QUOTE,使得數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列.21.(12分)在數(shù)列{an}中,Sn為{an}的前n項和,2Sn+2n=3an(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=QUOTE,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明Tn<QUOTE.【解析】(1)因為2Sn+2n=3an,所以2Sn+1+2(n+1)=3an+1,兩式相減得an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),因為2S1+2=3a1,解得a1=2.所以數(shù)列{an+1}是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an=3n-1.(2)bn=QUOTE=QUOTE,所以Tn=QUOTEQUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…