2023年新教材高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)641平面幾何中的向量方法 課時(shí)分層練習(xí)題帶答案解析

6.4.1平面幾何中的向量方法（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力

提升）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

I.（2022春?山西運(yùn)城?高一統(tǒng)考期中）在平面四邊形ABC。中，AC=（-2,3）,BD=（6,4）,

則該四邊形的面積為（）

A.>/52B.25/52C.13D.26

【答案】C

【分析】根據(jù)淺1.揚(yáng)判斷AC與關(guān)系，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形面積為對(duì)角線乘積

的一半即可求解.

【詳解】M=T2+12=0，???AC?L8D,

所以四邊形ABCD面積為：||AC|-|BD|=1xxV36+16=13.

2.（2022?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，若貝！"3C的形狀是（）

A.NC為鈍角的三角形

B.為直角的直角三角形

C.銳角三角形

D./A為直角的直角三角形

【答案】D

【分析】由條件求得AB/C=0,可得故NA=',由此可得.ABC的形狀.

【詳解】在2ABe中,AB-BC+AB2=AB^AB+BC）=AB-AC=O，ABLAC

=則3ABe為直角三角形，

3.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）若4B=3a,CD=-5a，且卜。卜|BC\，則四邊形ABCD是

A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形

【答案】C

【解析】由題意可知48〃CO，且IAB國(guó)CO|,而對(duì)角線|A力|=|8C|,由此可知四邊形為等

腰梯形.

【詳解】解：???A8=3a,C0=—5a,

???AB〃CO，143國(guó)81，

VI/1DMBC\,

，四邊形ABC。是等腰梯形，

4.(2022春?浙江杭州?高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知M是AA8C內(nèi)的一點(diǎn)，且

ABAC=2s/3^BAC=30,若AW8CC4和

114

AM48的面積分別為則-+一的最小值是

，xy

A.20B.18C.16D.9

【答案】B

【詳解】試題分析：利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得be的值，利用三角形的面積公式求得x+y

1414

的值，進(jìn)而把一+一轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求得一+一的最小值即可.

xyxy

因?yàn)锳BAC=2G，NBAC=30，

所以告be=2G,be-4,「.S^BC=x+)'+；=；bcsi〃NBAC=1,/.x+〉=g,

—+—=2(—+—)x(x+y)=2(5+—+—)>2(5+2J—x—)=18.

xyxyxy

5.(2022春?四川內(nèi)江?高一四川省資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在㈤?C中，

1--3一

AN=qNC,P是8N上的一點(diǎn)，若42=石48+陽(yáng)4。，則實(shí)數(shù)m的值為()

【答案】D

3

［分析】本題主要利用向量的線性運(yùn)算人尸=/MN+(1-X)AB^AP=-AB+4mAN即可求解.

【詳解】解：由題意得：

AN=-NC

3

,\AC=4AN

3

AP=—AB+mAC

11

3

:.AP=—AB+4mAN

11

設(shè)8尸=28N，貝iJ

AP-AB=MAN-AB)=2AN-AAB

AP=AAN+(1-A)AB

又由AB，AN不共線

2

2=47nm=一

11

.3,解得：，

]—/t=—

11

6.(2022?高一課時(shí)練習(xí))在四邊形ABC。中，若A8+C7)=(MB.AO=0,則該四邊形為()

A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

【答案】B

??UUUUUU

【分析】由4y+CO=0結(jié)合向量的加減法法則可得A5=OC，再由AbAO=0得AB，股，

從而可判斷出四邊形的形狀.

【詳解】由AB+CD=0得A8=OC，

所以AB=DC,AB//DC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

uuuUUU

又4&4￡)=0，所以

所以四邊形A8CO為矩形

二、多選題

7.(2022春?重慶九龍坡?高一重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是

()

A.AB=PB-PC-CA

B.已知非零向量a,c滿足〃.方=°.°,則〃=c

C.(ab)c=a(.bc)

D.已知點(diǎn)G為"IBC內(nèi)一點(diǎn)，滿足G4+G8+GC=0，則G為45c的重心

【答案】AD

【分析】對(duì)A,由向量加(減)法的運(yùn)算法則即可判斷；

對(duì)B,變形成。?僅-。)=0,即可根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)判斷；

對(duì)C,結(jié)合向量數(shù)量積為常數(shù)這一性質(zhì)，即可判斷；

對(duì)D,以GAG8為邊作平行四邊形，由G4+GB+GC=0得到G到頂點(diǎn)與到對(duì)邊中點(diǎn)比為

2:1,即可利用三角形重心的性質(zhì)判斷.

【詳解】對(duì)A,PB-PC-CA=AC+CP+PB=AB，故A正確;

對(duì)B,ab=ac^a\b-c)=O,根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)可知，瓦c關(guān)系不確定，故B不正確;

對(duì)C,(a?b)c=a(b-c),向量數(shù)量積為常數(shù)，關(guān)系不確定，故C不正確；

對(duì)D,由圖，G8DC為平行四邊形，其對(duì)角線交于E,

由G4+G8+GC=0=GB+GC=AG=GO=2GE，

故G到頂點(diǎn)與到對(duì)邊中點(diǎn)比為2:1,

由三角形重心的性質(zhì)可得，G為以的重心，故D正確.

8.(2022?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知A,B,C,。四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,3),(2,4),

(0,2),則此四邊形不可能為()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】BCD

【分析】根據(jù)眶意，求出向量A3、OC的坐標(biāo)，由此可得A8//OC且,8卜由向量

平行的意義分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，4,B,C,。四點(diǎn)坐標(biāo)分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),

則AB=(3,3),OC=(2,2),故M//OC且卜〃卜，4，

又4,B,C,。四點(diǎn)不共線，故此四邊形為梯形，即不可能為菱形、矩形、正方形，

三、填空題

10.(2022春?陜西西安?高一陜西師大附中?？计谥?已知。=(2,7),6=(X,-3),且°與方夾

角為鈍角，則x的取值范圍___________.

【答案】卜I”費(fèi)且加-養(yǎng)

【分析】根據(jù)a與加夾角為鈍角列不等式組，由此求得工的取值范圍.

ab-2x-21<0

【詳解】由于4與方夾角為鈍角，所以，

2x(-3)工7xx

解得“礙且…?

所以x的取值范圍是卜■且工工-,

11.（2022春?河北滄州?高一泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知向量。=（1,勿,

^=（1,-2）（2G/?）,若￡與5的夾角為銳角，則義的取值范圍為.

【答案】（Y，—2）D[2,；）

【分析】由a與坂的夾角為銳角，故a力＞0且a與坂不共線，得到不等式組，求出義的取值

范圍.

【詳解】因?yàn)閍與方的夾角為銳角，則且a與E不共線（平行），則有所

以解得：Ae（-oo,-2）u|^-2,y

12.（2021春?湖北武漢?高一漢陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）向量。=（2,3）與向量。=（-1,乃的夾角

為鈍角，則x的取值集合為

【答案】（70,-京35-13，令2

【解析】由題意可得〃力＜0,且d與人不共線，由此求得4的取值集合.

【詳解】解：???向量夕=（2,3）,b=（-l,x）,若向量G與向量6夾角為鈍角,

，a/=—2+3x＜0，且d與B不共線，

即x。且？工二即”名且"

32332

13.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）在JSC中，若OA.O3=O8OC=OCO4,則。是拉。的

心.

【答案】垂

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及減法法則可得08_LC4,OC1AB,OALCB,即可求

解.

【詳解】由。4OB=O8O6得一℃）=0,所以O(shè)BC/i=0，因此OA_LC4，同理

OC±AB,OA±CB,因此O是.ABC的垂心，

14.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）已知A,B,C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（l,2）,B（4,l）,

C（0,—l）,則認(rèn)的形狀為.

【答案】等腰直角三角形

【分析】求出向量A8,AC,計(jì)算數(shù)量積㈱.泥，計(jì)算它們的模后可判斷三角形形狀.

【詳解】由已知，得從3=(4-1/-2)=(3,-1),AC=(0-1,-1-2)=(-1,-3),

/.AfiAC=3x(-l)+(-l)x(-3)=0,

???A8_LAC，ZA=90°,

又卜8卜國(guó)=阿

???ABC是等腰直角三角形.

15.(2022?高一課時(shí)練習(xí))若A地位于8地正西方向5km處，C地位于8地正北方向5km處,

則C地相對(duì)于B地的位移是.

【答案】西北方向5\/5km

【分析】根據(jù)題意可得/8c是等腰直角三角形，再由直角邊長(zhǎng)可得答案.

UUU_

【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形如圖所示，由圖可知75km，旦NAGC_45,故C地相

對(duì)于8地的位移是西北方向5夜km.

四、解答題

16.(2021.高一課時(shí)練習(xí))用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直.已知四邊形ABC。是菱

形，AC,8。是其對(duì)角線.求證：AC1BD.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】設(shè)A8=a，AD=bf則忖=%|且AC=a+b,初=b-a,即可求得4己8。=0，由此

即可證明結(jié)果.

【詳解】證明：設(shè)A5=a，AD=h.

因?yàn)樗倪呅?BCZ)為菱形，所以M=M，

又AC=AB+AD=a+b,BD=AD-AH=b-a

貝ji4C8O=(a+b｝僅-4)=/-1="一同2=0,故Ac,s。.

所以4CJ.BD.

17.（2021.全國(guó).高一專(zhuān)題練習(xí)）已知位置向量。=（0,-1）/二（3,-3）工=（2,2）的終點(diǎn)分別為

A,8,C,試判斷A48C的形狀.

【答案】A46C為等腰直角三角形

【分析】根據(jù)題意可設(shè)3=。=（0,-1）,O8=〃=（3,-3）,OC=c=（2,2）,根據(jù)平面向量的加

法幾何意義可以求出AB,AC,求出它們的模以及計(jì)算出它們的數(shù)量積，最后可以判斷出AABC

的形狀.

【詳解】OA=a=（0,—l）,OB=b=（3-3）fOC=c=（2,2）,AB=AO+OB=（3-2）,

AC=AO+OC=（2,3）,|4fi|=732+（-2）2=X/13,/4C=V22+32=X/13

ABAC=0nAB_LAC,所以AABC為等腰直角三角形.

18.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知A（—l,-4）,5（5,2）,C（3,4）,判斷并證明以A,B,C為頂

點(diǎn)的三角形是否為直角三角形.若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角.

【答案】ABC是直角三角形，/A8C為直角，證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)A,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)可寫(xiě)出向量B4BC,可利用向量數(shù)量積來(lái)證明是否存在

垂直，即可判斷三角形是否為直角三角形.

【詳解】ABC是直角三角形，/ABC為直角.

證明如下：

???BA=（-l,-4）-（5,2）=（-6,-6）,

8c=（3,4）-（5,2）=（-2,2）,

ABABC=-6x（-2）+（-6）x2=0,；,BA工BC，即/ABC=90.

所以15ABe是直角三角形，NA8C為直角.

19.（2022春?吉林長(zhǎng)春?高一統(tǒng)考期末）己知RSABC中，ZC=90°,設(shè)AC=m,BC=n.

（1）若。為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：AB；

（2）在（1）的條件下，若七為CO的中點(diǎn)，連接4￡并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)，求A尸的長(zhǎng)（用a,n

表示）.

AF=-Jn2+9m2

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）3

【分析】（I）建系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量模長(zhǎng)W=了證明；（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐

標(biāo)，求A2A尸，根據(jù)三點(diǎn)共線可設(shè)A/=4AE，可求得/（孑0）,再結(jié)合向量模長(zhǎng)運(yùn)算求解.

(1)

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊。及C4所在的直線分別為4軸、），軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則

A（O,m）,B（n,O）.

所以卜;"病+/,又因?yàn)椴罚?〃2

所以C￡）=,AA,]^CD=-AB.

22

（2）

（2）因?yàn)镋為CO的中點(diǎn)，所以￡伶"

設(shè)F（x,0）,則AE=（￡，-；m）,AF=（x,-/n）

因?yàn)辄c(diǎn)AE,尸共線，所以存在實(shí)數(shù)4,使AF=/UE，

即（%,-.〃）=丸（3一（加），所以，43

-m=——mA

4

解得x=g,所以陪,0）.所以卜尸卜；1片+9川,BPAF-^sln2+9m2

20.（2022春?山西晉中?高一?？茧A段練習(xí)）用向量法證明以A（l,0）,8（5,-2）,C（8,4）,O（4,6）

為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)矩形.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】分別利用坐標(biāo)計(jì)算AB=DC,ABBC=0即可得證

【詳解】證明：因?yàn)?B=（4,—2）,BC=（3,6）,OC=（4,—2）,

故A8=OC，BC=（3,6）不為零向量，且不與43平行，所以以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形.

又AB8C=4x3-2x6=0，所以A8J.BC，故以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

21.（2022春.四川成都.高一統(tǒng)考期末）已知平面四邊形48co中，

IAB|=|AD\=2\DC\=2,|fiC|=>/3,向量AB,AO的夾角為?.

(1)求證：AB工BC；

(2)點(diǎn)E是線段BC中點(diǎn)，求EVED的值.

5

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.

【分析】(1)畫(huà)出示意圖，根據(jù)邊的關(guān)系可得NA8C=g,因而A8_L8C.

(2)以8為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)工面向量數(shù)量積的坐標(biāo)

運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖如下圖所示

由題意可知|A8|=|4￡>|=2,ZBAD*,

所以三角形ABD為等邊三角形，

則,4=2,又口。=1,忸q=G,

所以+忸。2=|網(wǎng)2,

即△38為直角三角形，且NC=g,N8=f,

26

所以ZA8C=：+二=:，

所以48_L8C;

(2)根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

y

BEC

因?yàn)辄c(diǎn)E是線段中點(diǎn)，所以石［告,0

則A（O,2）,D（G1）,

則班=-且,2,EL

\/，住》

所以E4.ED--為-

J12）

3-

=-----F2

4

5

【能力提升】

一、單選題

1.（2022秋?河南洛陽(yáng)?高一宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)G是“

IA.IULIUULLUUUKI

的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N兩點(diǎn)，且AM=”8，AN=yAC^

則2x+y的最小值為（）

A,三逑B.謔

C.3+2上D.4yli

33

【答案】A

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得AG［《AA/+；AN）,由G,N三點(diǎn)共線,知

卜卜3,再根據(jù)基本不等式中的“乘1法”，即可得解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)G是ABC的重心，且AM=.rAB，AN=yAC^

月亍以AG=2x"!■（A8+AC）=L（■!■HM十'AN）,

323xy

因?yàn)镸,G,N三點(diǎn)共線,所以:（‘+!）=],即_L+J_=3,

3xyxy

所以21+），=:（24+川（，+，）=:（2+生+上+1）2!（3+2近），

3xy3yx3

2尤v

當(dāng)且僅當(dāng)一=2，即y=VIi時(shí)，等號(hào)成立，

yx

所以2x+y的最小值為山也.

AR

2.（2022?高一單元測(cè)試）已知非零向量AS和AC滿足「一[+]—?BC=0,且

\]AB\\AC\）

ABAC1

同國(guó)=5,則刖:為（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.三邊均不相等的三角形

【答案】A

ABAC

【分析】根據(jù)向量加法和線性運(yùn)算可知向量二至+6與N84C的平分線共線，根據(jù)

AB\AC\

AHAr

+

（網(wǎng)I—l⑼l_IBC=0可知N8AC的平分線與N8AC對(duì)邊垂直，由此可知△ABC是等腰三角

ABAC1

形；再由網(wǎng).同=5和向量數(shù)最積的定義可求出N8AC的大小，從而可判斷AABC的形

狀.

ABAC

【詳解】同即AB方向上的單位向量，同即A。方向上的單位向量,

ABAC

向量網(wǎng).困與NBA。的平分線共線,

ABAC

又由同?3C=0可知NBAC的平分線與N8AC對(duì)邊垂直,

則△ABC是等腰三角形，即AB=4C,

A。一八“11

網(wǎng)網(wǎng)“如"Ac—???8S〃AC=5，

VABACe（0,n）,ABAC=5,

???△ABC為等邊三角形.

3.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）已知向量〃表示“向東航行3km”，向量b表示“向南航行3km”，則

q+b表?。ǎ?/p>

A.向東南航行6kmB.向東南航行3&km

C.向東北航行30kmD.向東北航行6km

【答案】B

【分析】如圖，設(shè)OA=a，OB=b，以Q4，。8為鄰邊作平行四邊形3c8,由平行四邊形

法則可知OC=a+〃，根據(jù)。04=08可得平行四邊形04cB是正方形，從而得到答

案.

【詳解】如圖，設(shè)0A=a，0B=b，則O4=OB=3,OA±OB,以0A,。8為鄰邊作平行

四邊形。48,

由平行四邊形法則可知OC=a+b.04=03,?,?平行四邊形QACB是正方形，

???0C方向?yàn)闁|南方向.

?：0A=0B=3，：.OC=3sflkm.

二、多選題

4.（2022秋?山東青島?高一?？茧A段練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體A8C0-AqGA中，四邊形

ABCD為正方形,A8=2,A4,=x/2,E,尸分別為A8,BC的中點(diǎn).則（）

B.點(diǎn)A、E、/、G四點(diǎn)共面

c.直線c?與平面陰CC所成角的正切值為&D.三棱錐E-cm的體積為日

【答案】BCD

【分析】利用反證法判斷A；利用直線平行判斷B；利用線面角的定義判斷C；利用錐體體

積公式判斷D.

【詳解】對(duì)于A,假設(shè)AE_L。尸.由題總知8C1平面946,平面"46,

：.A,ElBCt又BCT。尸二尸，平面43c。，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知與平面ABC。不垂

直，故假設(shè)不成立，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,連接石尸，AC,AG，由于E,r分別為48,的中點(diǎn)，.?.所〃AC,又因?yàn)?/p>

長(zhǎng)方體488—知AG'/AC,二.￡尸"AG，所以點(diǎn)A、E、尸、G四點(diǎn)共面，故8

正確；

對(duì)于C由題意可知。C_L平面BBCC，:/。。。為直線G。與平面BqGC所成角，在直角

℃2

△OCG中，CC、=6,8=2,則1@11/0"=云=&=伉故C正確;

對(duì)于。，連接OE,&E,AB=AD=2,則

利用等體積法知:

%-C=Vc「DEF=],SvDEF，℃=￡'5X&=?故。正確

5.（2022春?福建福州?高一校聯(lián)考期末）G是“IBC的重心，4?=2,AC=4,ZCAB=\20,P

是二ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.GA+GB+GC=O

B.AC在"方向上的投影向量等于相

4

C.GA=；

3

D.AP?（8尸+CP）的最4、值為-5

【答案】ACD

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)判斷A,根據(jù)投影向量的定義判斷B,根據(jù)向

量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)點(diǎn)G為“WC的重心時(shí)，

如圖所示：四邊形8DCG為平行四邊形，根據(jù)重心性質(zhì)可得AG=2G。

貝|JG4+G8+GC=GA+GO=G4+2GO=0，-A正確；

對(duì)于B,?.?4（7在46方向上的投影為|4485120。=4乂（-￡|=一2,

???4C在橫方向上的投影向量為-A3，，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,???G是#3C的重心，

???68=-；的+阻=-；（朋+即+檢）=；（248-檢），AG=1（/fi+

???G8AG="（2A8一4Cj（AB+AC）="（2A/+48Ae-AC）

i「r144

=-8+2x4xl--1-16所以G8GA=m，???C正確；

對(duì)于D,如下圖，

P

/\\

A

取BC的中點(diǎn)O,連接尸Q,PA,取4)中點(diǎn)"，連接AM,則PA+PQ=2PM，

4D=i(4?+4C),

AD2=^AB2+2ABAC+AC2j=^-x(4-8+16)=3,則

AP(j?P+CP)=/^(PB+PC)=2/<4PD=2xl^/<4+PD)2-(E4-PD)^

.2|?2?23今3

=2PM'--DA=2PM顯然當(dāng)RM重合時(shí)，PM~=0>AP(5P+6)取最小值—5,

**.D正確.

三、填空題

6.（2022春?上海長(zhǎng)寧?高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀┰贘WC中，。為中線AM上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=3,則0HOB+OC）的取值范圍是.

【答案】[—去0]

【分析】根據(jù)平面向量運(yùn)算法則得到O8+OC=2OM，利用數(shù)量積公式得到

OA(OB+OC)=2OAOM,?|OA|=x(0<x<3),從而得到OA(QB+OC)=

結(jié)合0WxW3求出取值范圍.

【詳解】因?yàn)锳M是J3C的中線，所以O(shè)B+OC=2QM，

故。4(08+00=20403,

因?yàn)锳M=3,設(shè)|Q4|=x(OW3),則|OM|=3-X,

2

所以0A.(OB+Odz-ZxG-xHf-GAzR-19

2

3-19

故當(dāng)x時(shí)，OA（OB+OC）取得最小值，最小值為一5,

當(dāng)x=0或3時(shí)，OA-(OB+OC)=2Lr-|l-1=0.

7.（2022春?江蘇南通?高一金沙中學(xué)?？计谀┤鐖D，正八邊形ABCDEPG”中，若

AE=ZAC+pAFeR）,則義+〃的值為

【答案】五

【分析】以HD、8F所在的宜線分別為“、￥軸建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形的中心。即為

坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AC交＞'軸與"點(diǎn)，由正八邊形的性質(zhì)可得軸，AOM'JWF為等腰直

角三角形，設(shè)8=2,求出F、A、C、E點(diǎn)坐標(biāo)及4E、AF、4c坐標(biāo)，根據(jù)

AE=2AC+//4F的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

如圖，以加＞、所所在的直線分別為不、），軸建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形的中心。即為坐

ZAO8=NCOS=ZAO〃=NEOO=D=45,

標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)4C交）'軸與M點(diǎn),

ZABC=180-45=135，所以NBAC=22.5，

^HAC=^HAB-ZCAB=\35-22.5=112.5，所以N/MC+ZA/7O=180,

即ACL軸，AOM.MOC為等腰直角三角形，

設(shè)。。=2,則。￡）=0/=QE=6W=OC=2,F（0,2）,

所以4W=OM=MC=VI,所以A（->2-&）,。與E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),

所以法反應(yīng)）,

AE=（2&.2⑹，A產(chǎn)=（立2+&）,AC=（2&,0）,

由AE=AAC+pAF得（272,272）=A（2>/2,0）+〃（①2+夜），

2人=2&+何,h=2-42

即2應(yīng)=〃（2+應(yīng)廣解得）=2&-2‘

所以2+〃=2&-2+2-&=應(yīng).

8.(2022春?重慶沙坪壩.高一重慶八中?？计谀?互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平

面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.如

圖，在斜坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)尸作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a,b分別作為點(diǎn)

尸的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，記尸(。力)，若斜坐標(biāo)系中坐標(biāo)原點(diǎn)為。，x軸正方向和)，軸正方向的夾

角為6=60。，點(diǎn)”(2,1),N(l,2),則AOMN的面積為.

【分析】設(shè)與x軸方向相同的單位向量為與y軸方向相同的單位向量為s，則可表示出

OMQN,NM,即可計(jì)算出模，進(jìn)而求出面積.

【詳解】設(shè)與x軸方向相同的單位向量為白，與y軸方向相同的單位向量為e；,

則OM=2et+e2,ON=q+2e2,

則NM=OM-ON=(2-\)e.4-(1-2)e2,

222

所以=(e,-e2)=e,+e2-2e,e2=lf所以|MN|=1,

2

\OM^=(2q+,)2=4el\del-e2+e,=7,所以二近，

2

=(q+2e2)=e1~+4e}e2+4e2~=7f所以|ON|二幣?

故&曬=31X=學(xué)

9.(2022春?江蘇無(wú)錫?高一統(tǒng)考期末)點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的三條邊上任意一

點(diǎn)，則|%+28+尸。|的最小值為.

【答案】G

【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)40,6),8(-1,0)。1,0)且P(乂6(1+1)),應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算

求4+P8+FC坐標(biāo)，應(yīng)用坐標(biāo)公式求模即可.

【詳解】不妨假設(shè)尸在A8上且A。6),B(-l,0),C(l,0),如下圖示，

所以，尸在y=?x+l)且TWxWO,設(shè)P(x,6(x+1)),

則方=(-乂-心)，PB=(-1-X,->/3(X4-1)),PC=(1-X,-V3(X+1)),

所以PA+PB+PC=(-3x,-3x/3x-2>/3)，

&.\PA+PB+PC\=j9/+3(3x+2)：

當(dāng)x=時(shí)，IPA+P5+PCI的最小值為技

10.（2022春?浙江?高一期中）已知平面向量a，〃，￡滿足忖=1,1卜2,2c=bc^

則c-a+c-h的最小值為.

【答案】|-x/3

【分析】令OH=a，OB=b，OC=c，。8的中點(diǎn)為。，4B的中點(diǎn)為E,。。的中點(diǎn)為凡a

與人的夾角為6,由題意，計(jì)算。=5，,耳=6,判斷出點(diǎn)。的軌跡為以。。為直徑的圓,

利用向量基底表示，^2（|C-^+|C-^）=2（|AC|\|SC|2）^^

2（|c-a「+|c-〃「）=4|詞'+3,然后轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值進(jìn)而求解

2（F_a『+F_q2）最小值，

【詳解】令OA=a，OB=b，OC=cf。8的中點(diǎn)為。，的中點(diǎn)為E,。。的中點(diǎn)為尸，

a與b的夾角為氏連接CA、CB、CD、CO、EE由忖=1,忖=2,了=。⑦，得I=ix2xcos6,

cos"；,因?yàn)橄?0,同，所以61,在Q4B中，由余弦定理得網(wǎng)=技

又由2c、bc，得l二°，所以點(diǎn)C的軌跡為以°。為直徑的圓?

那陣一仆2（阿+同

因?yàn)?

(IRHiinnV(inmiuinviiiirp|UiU|2

=2[EC+^AB\+1I=4|CE|+|AB|

=4CE+3>4^EF-^+3=7-2>/3,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、尸共線，且點(diǎn)。在點(diǎn)￡、尸之間時(shí)，等號(hào)成立.

所以c-a+c-b的最小值為5-6.

11.(2022春?甘肅天水?高一天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知A,8為平面上兩個(gè)定點(diǎn)，

且同=2,該平面上的動(dòng)線段PQ的端點(diǎn)P,Q滿足,小5,灑.海=6，AQ=2PA,則

動(dòng)線段PQ所形成圖形的面積為.

【答案】60

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)40,0),8(2,()),P(x,y),求出P點(diǎn)軌跡，再求出Q

點(diǎn)軌跡，然后可求得線段PQ形成的圖形面積.

ULU

【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)4。。，8(2,0),P(x,y),則AP=(x,y),

AB=(2,0),

由得爐+y2s25,

又APAB=6,即2]=6,x=3,所以y2&]6,-4Wy?4,

動(dòng)點(diǎn)尸在直線x=3上，且滿足TKyW4,即線段CO上，|cq=8,

由的掃過(guò)的三角形的面積為gx8x3=12,

設(shè)QC%，%)，則由AQ=2PA=-2AP得設(shè),%)=-2(乂y)=(-6,-2y),

所以%二-6,%=-2)，，

所以動(dòng)點(diǎn)Q在直線x=-6上，且-8K%K8,即線段MN上，|MN|=16,

線段4。掃過(guò)的三角形面積為gx6xl6=48,

2

所以線段PQ所形成圖形面積為12+48=60.

故答案為：60.

四、解答題

12.(2022春?廣西柳州?高一校考階段練習(xí))在*WC中，C4=6,A8=8,ZBAC=\D

為邊中點(diǎn).

(1)求ADC8的值；

⑵若點(diǎn)P滿足CP=2C4(2wR),求PBPC的最小值；

【答案】(1)14(2)最小值為-9

【分析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AC、48所在的直線為X、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)

系求出A。、C8的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；

(2)根據(jù)點(diǎn)P在4。上，設(shè)尸(乂0),求出心、Pd的坐標(biāo)，則?從PC=(-X,8)?(6T,0),

利用二次函數(shù)配方求最值可得答案.

【詳解】(1)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AC、A8所在的直線為工、y軸的正方向建立平面直

角坐標(biāo)系，

所以4(0,0),5(0,8),C(6,0),

。為邊中點(diǎn)，所以0(3,4),25=(3,4),或=(-6,8),

則4Z>C8=-18+32=14：

(2)若點(diǎn)尸滿足CP=/lC4(/leR),則點(diǎn)尸在AC上，

由⑴，設(shè)P(x,O),則P8=(T,8),PC=(6-X,0),

則PBPC=(-x,8)(6-x,O)=(x-3)2-9,

所以當(dāng)x=3時(shí)。&PC的最小值為-9.

13.(2023?高一單元測(cè)試)在即.ABC中，已知斜邊8C=a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A

為中點(diǎn)，求BP-CQ的最大值.

【答案】0

【分析】BP=AP-AB^CQ=AQ-AC,根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律以及定義化簡(jiǎn)即得結(jié)果.

【詳解】由題意作出圖形，如圖，

因?yàn)镹84C=90，所以A8AC=0，

因?yàn)?P=_4Q,BP=AP-AB^CQ=AQ-ACt

所以8PCQ=(AP—A3)(AQ—AC)

=(_AQ_AB)(AQ_AC)

=-AQ2+AQ-AC-ABAQ+ABAC

=-(T+AQ\AC-A^ABAC

=-a2+AQBC

=-a2+^PQBC

=-a2+a2cos(PQ、BC^,

故當(dāng)8S(PQ,BC)=1,即尸。與8c同向時(shí)，8PCQ取得最大值0.

14.(2022秋.陜西西安?高一高新一中?？计谀?試用向量的方法證明：在ABC中,

a=bcosC+ccosB.

【分析】設(shè)AB=c,BC=a,C4=人，從而得出〃+力+3=0，化簡(jiǎn)整理可得

a=-b-c>兩邊同時(shí)與a作內(nèi)積，利用向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】設(shè)AB=c,8C=a,C4=b,從而得出q+〃+c=0，

:.a=-h-c=?*(_^_^)=b-ac=abcosC+accosB-a2,

/.a=bcosC4-ccosB,得證.

15.(2022?高一單元測(cè)試)已知A8-AC=0，M是BC的中點(diǎn)

(1)若，求向量與向量48+AC的夾角的余弦值；

(2)若0是線段上的任意一點(diǎn)，且,耳二2,牛2,求OVOB+OCOA的最小值.

【答案】(1)9;(2)-?.

【分析】(1)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出數(shù)據(jù)，寫(xiě)出向量48-AC與向量A8+AC的坐標(biāo)，代入

夾角公式，計(jì)算得答案；

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)，寫(xiě)出各個(gè)向量的坐標(biāo)，代入OAOB+OCOA計(jì)算得關(guān)于x的目標(biāo)函

數(shù)，結(jié)合x(chóng)的取值范圍，求得最小值.

(1)

因?yàn)锳5AC=0,所以A8/4C,

以A為原點(diǎn)，A8所在直線為x軸，AC所在直線為>軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

令=則C（0,a）,B（2?,0）,所以A8-AC=（2a,-a）,A8+AC=（勿⑷,

設(shè)向量AB人。與向量48?人。的夾角為。，

((

A8-ACj4B+A0_4a2-a23

所以cos。=

|Afi-AC|-|/\fi+AC|\[5a-\/5a5

(2)

因?yàn)榫W(wǎng)=2|AC|=2,所以C(O,lj,8(2,0),M[

設(shè)0同["[05，

所以，O4O8+OC0A

=OA\OB+OC)=2OAOM

--上翡用冶

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)，O4OB+OCO4取得最小值-J

16.（2022?浙江?高一校聯(lián)考期中）在AABC中,已知A8=3,AC=1,Ar-C=T,設(shè)點(diǎn)

P為邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)。為線段CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AQ=/AC（/vO）.

⑴當(dāng)"T且尸是邊8c上的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)尸。與AB交于點(diǎn)M,求線段CM的長(zhǎng)；

（2）若PA，Q+3=APAB,求同。|的最小值.

【答案】（1）羋；Q）2H6-26?

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M是三角形C8。的重心，結(jié)合三角形重心的向量表示以及數(shù)量級(jí)運(yùn)算,

即可求得結(jié)果；

（2）設(shè)CP=4CB（0W441）,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合題意，求得，與2的關(guān)系，再求

得關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系，求該函數(shù)的最小值即可.

【詳解】（1）設(shè)AB=a，AC=b^當(dāng)f=T，P是8C的中點(diǎn)時(shí)，則M是△C8。的重心，

CM=g（C8+CQ）=#—3b）,

\CM\=#"36)2=；,9+9-6Q1)=平.

(2)設(shè)CP=4CB(OV；141),則AP=/la+(l-；l)b,AQ=tb

2

APAB=[Aa+(l-A)b]a=^a+(l-^ba=lOA-\t

PAPQ=