2024-2025學(xué)年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷和答案

2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共10小題，每小題3分，共1.若2.，且，則______.______.3.已知正實(shí)數(shù)，，c4.已知函數(shù)，則的最小值為______.時(shí)，y有最大值，則a的值為______.，，則的最大值為______.，當(dāng)5.已知中，上的一點(diǎn)D，，且中，GEAB上，連結(jié)交于OGOC共線，的面積為的面積為6.T為線段，，，，則______.7.如圖，在，______.8.已知整數(shù)x，，z滿足，則的最小值為______.9.x，，z是大于1的正整數(shù)，且為整數(shù)，則______.10.EA為圓O的兩條切線，連結(jié)DE交圓于點(diǎn)B，則______.，，二、解答題：本題共2小題，共16分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11.本小題8分已知，矩形OAPB的AB頂點(diǎn)分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)的面積為與矩形的BP，分別交于D，第1頁(yè)，共頁(yè)判斷并證明直線與的關(guān)系.求k的值.若F分別為直線和反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，M為中點(diǎn)，求OM的最小值.12.本小題8分如圖，在求證：中，DO是外心，延長(zhǎng)交于，于證明：，ODC四點(diǎn)共圓.若，求第2頁(yè)，共頁(yè)答案和解析1.【答案】【解析】，，，，，是方程的兩個(gè)根，，故答案為根據(jù)觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，可把方程組轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果．的形式，其中x，是其兩個(gè)不等的本題考查了解方程組，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．關(guān)鍵是觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，得到x，是方程的兩個(gè)根，得到結(jié)果．2.【答案】【解析】解：原式第3頁(yè)，共頁(yè)故答案為：改寫為將，改寫為，…，再利用裂項(xiàng)相消法即可解決問題．本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能將改寫為，改寫為，…，及熟知裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵．3.【答案】18【解析】解：構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即，，，，滿足，，，，，則由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知當(dāng)，，G四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為長(zhǎng)，當(dāng)當(dāng)ACEG四點(diǎn)共線時(shí)，在中故答案為本題利用幾何法求解，通過構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即則由勾股定理可知，即，，，同理可得，第4頁(yè)，共頁(yè)，所以可知當(dāng)，，G四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為本題主要考查二次根式最值問題，用幾何法構(gòu)造直角三角形，結(jié)合最短路徑問題是解決問題的關(guān)鍵．4.【答案】1或7【解析】解：由題意，的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，時(shí)，又當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)最大值為或，不合題意；②當(dāng)最大值為或，，均不合題意；，③當(dāng)最大值為不合題意或綜上，或故答案為：1或依據(jù)題意，由時(shí)，的對(duì)稱軸是直線時(shí)，，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)，當(dāng)，進(jìn)而分類討論即可判斷得解．本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．5.【答案】第5頁(yè)，共頁(yè)【解析】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接AOO作于，，設(shè)，則，，，點(diǎn)AOOC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與圓O相切時(shí)，有最大值，此時(shí)：，是等邊三角形，，，，，，又又，，四邊形AOEB是平行四邊形，，四邊形AOEB是矩形，，故答案為：第6頁(yè)，共頁(yè)由題意可得點(diǎn)A在以O(shè)為半徑，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)O相切時(shí)，有最大值，由，即“HL可證，可得，可證四邊形AOEB是矩形，可得可求解．本題考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．6.【答案】3【解析】解：如圖，過T作DT交于，，為線段中點(diǎn)，，在和≌中，，，，，面積，，，，第7頁(yè)，共頁(yè)，，，故答案為：先畫出圖形，過T作延長(zhǎng)DT交于由，得，再證明，得≌，得，，，由面積，，，，，最后再計(jì)算即可．本題考查了平行線的性質(zhì)，利用中線倍長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．7.【答案】30【解析】解：梅涅勞斯定理：如圖，，證明：過A作交M，則，，；塞瓦定理：如圖，，證明：根據(jù)上述梅涅勞斯定理，可得出，在在中，是梅涅線，中，是梅涅線，①②第8頁(yè)，共頁(yè)根據(jù)梅涅勞斯定理，在，中，是梅涅線，，，，，，，根據(jù)塞瓦定理可得，，，而，，故答案為：根據(jù)梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出即可得解．和，從而得出，再利用本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等內(nèi)容，在初中競(jìng)賽、自招、強(qiáng)基等題目中，梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容．8.【答案】118第9頁(yè)，共頁(yè)【解析】，，，，，，，即故答案為：根據(jù)，得出，從而得出結(jié)論．本題考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握完全全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．9.【答案】12【解析】、y、z是大于1的正整數(shù)，是分?jǐn)?shù)，為假分?jǐn)?shù)，為整數(shù)，且分子分母能互相約分，，①當(dāng)，時(shí)，分子中定有，分母中有7才能進(jìn)行約分，當(dāng)時(shí)，，故符合題意，，②分母中有才能進(jìn)行約分，時(shí)，不是整數(shù)，故不符合題意，時(shí)，分子中定有，分母中有才能進(jìn)行約分，時(shí)，，時(shí)，分子中定有，當(dāng)③，當(dāng)?shù)?0頁(yè)，共17頁(yè)不是整數(shù)，故不符合題意，…………其余情況依次討論均不符合題意故答案為：根據(jù)、yz的條件和三個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積為整數(shù)，得出x、、z的值，進(jìn)而求和．本題考查了分式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分類討論得到、yz的值．10.【答案】【解析】解：連接OAODOC，設(shè)，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，，，，是等邊三角形，，，，是的切線，，，，，，，，，∽，，同理可證：得出：∽，，第頁(yè)，共17頁(yè)，，，，是直徑，，，，，，，，，，，，連接OAODOC，作，證是等邊三角形，得出，證∽，∽，得出，得出是直徑，再解直角三角形，求出m，即可．本題考查切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)．作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．11.【答案】如圖1，，理由如下：由題意得，，，第12頁(yè)，共17頁(yè)，，，，，，，∽，，；如圖，作于G，，，，，，；舍去，如圖，第13頁(yè)，共17頁(yè)取點(diǎn)，，則直線與直線O對(duì)稱，于H，連接FH，連接EO，并延長(zhǎng)交則，是的中點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，OM最小，作直線y軸與Q，且使QR與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，作于，作，則的最小值是的長(zhǎng)，直線的解析式為：設(shè)直線QR的解析式為：整理得，，，由，，，，舍去，第14頁(yè)，共17頁(yè)，，，，，，，【解析】可表示出，，從而得出，從而，，進(jìn)而表示出和，進(jìn)而得，從而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；出，進(jìn)而證得∽；作于G，可推出取點(diǎn)，，則直線與直線關(guān)于O對(duì)稱，連接，并延長(zhǎng)交于H，連接FH，則，可得出當(dāng)最小時(shí)，OM最小，作直線，交yQ，且使QR與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，作直線QR的解析式為：，由于R，則的最小值是的長(zhǎng)，可設(shè)整理得，，從而得出求得m的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程組之間的關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線．12.【答案】根據(jù)題意，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓O，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接OCCDAF，F(xiàn)C，是直徑，，，為垂心，第15頁(yè)，共17頁(yè)，，，，，是平行四邊形，，，，，，設(shè)半徑為，，，又，；為垂心，，，，，，，，，、、DO四點(diǎn)共圓；設(shè)，，，在直角中，，，，，，，在直角即：中，，，在直角即：中，，，第16頁(yè)，共17頁(yè)，，在中，，即：，，或舍去，【解析】由垂心，得到垂直關(guān)系，結(jié)合圓周角度數(shù)為，得到圓心角的度數(shù)，得到AFCD是平行四邊形，從而得到