2025年高考數(shù)學總復習 62 第八章 第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系、距離公式

第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系、距離公式考試要求：1．能根據(jù)兩條直線的方程判定這兩條直線平行或垂直．2．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．自查自測知識點一兩直線的位置關(guān)系1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(×)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(×)(3)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－1k，且線段AB的中點在直線l上．(√2．(教材改編題)若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于()A．4 B．－4C．1 D．－1A解析：因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，所以23＝m6≠1－13．若直線ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于()A．－6 B．4C．－10 D．－4D解析：因為ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10.因為垂足為(1，b)，所以10×1－4×b+2＝0，24．已知直線l1：3x＋4y－5＝0與直線l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點是()A．－1，13C．1，13 B解析：3x+核心回扣1.兩條直線的位置關(guān)系(1)利用斜率關(guān)系判斷對于不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1k2＝－1特別地，當兩直線的斜率都不存在時，l1∥l2；當一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.(2)利用方程判斷l(xiāng)1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不為0)，l1∥l2A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1與l2重合A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C12.兩條直線的交點坐標已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點P的坐標是方程組A1x知識點二三種距離公式1．點A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為()A．25 B．55C．5 D．2C解析：點A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝2－2．在平面直角坐標系中，已知A(4，3)，B(2，1)，C(5，－2)三點，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形C解析：因為|AB|2＝(4－2)2＋(3－1)2＝8，|AC|2＝(4－5)2＋(3＋2)2＝26，|BC|2＝(2－5)2＋(1＋2)2＝18，所以AB2+BC2＝|AC|2，所以△ABC是直角三角形．故3．(教材改編題)已知直線l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為________．2解析：由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又當a＝1時，l1與l2重合，不符合題意，所以a＝－1.此時l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，所以l1與l2之間的距離d＝－1核心回扣1.兩點間的距離公式(1)條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)結(jié)論：|P1P2|＝(x(3)特例：點P(x，y)到原點O(0，0)的距離|OP|＝x22．點到直線的距離公式點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝|Ax3．兩條平行直線間的距離公式兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝|C【常用結(jié)論】直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．應(yīng)用1過點(1，0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0A解析：因為所求直線與直線x－2y－2＝0平行，所以設(shè)所求直線方程為x－2y＋c＝0.又直線經(jīng)過點(1，0)，代入直線方程得c＝－1，故所求直線方程為x－2y－1＝0.應(yīng)用2經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為________．4x－3y＋9＝0解析：(方法一)由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0.由方程組2可解得交點為－53，79，代入4x－3y＋m＝0，故所求直線方程為4x－3y＋9＝0.(方法二)由題意可設(shè)所求直線方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0(*)．又因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入(*)式，得所求直線方程為4x－3y＋9＝0.兩直線的平行與垂直1．(2024·濟寧模擬)直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能確定C解析：直線2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直線x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－12，則k1≠k2，且k1k2≠－1，所以兩條直線相交但不垂直2．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為()A．－10 B．－2C．0 D．8A解析：因為l1∥l2，所以kAB＝4－mm+2＝－2，解得m＝－8，此時直線l1為2x＋y＋12＝0，符合題意．又因為l2⊥l3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m3．已知兩條直線l1：x＋ysinα＋1＝0和l2：2xsinα＋y＋1＝0，若l1∥l2，則α的值為________．kπ±π4，k∈Z解析：(方法一)當sinα＝0時，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2當sinα≠0時，k1＝－1sinα，k2＝－2sin要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±所以α＝kπ±π4，k∈Z，此時兩直線的斜率相等，且兩直線不重合綜上，當α＝kπ±π4，k∈Z時，l1∥l2(方法二)由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，所以sinα＝±22又B1C2－B2C1≠0，所以sinα－1≠0，即sinα≠1.所以α＝kπ±π4，k∈Z故當α＝kπ±π4，k∈Z時，l1∥l2判定兩條直線位置關(guān)系的方法(1)已知兩條直線的斜率存在①兩條直線平行?兩條直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不相等；②兩條直線垂直?兩條直線的斜率之積為－1.(2)已知兩條直線的斜率不存在當兩條直線在x軸上的截距不相等時，兩條直線平行；否則兩條直線重合．(3)已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.該方法可避免對斜率是否存在進行討論．兩直線的交點與距離問題【例1】(1)(2024·濱州模擬)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A．95 B．C．2910 D．C解析：因為36＝48≠－125，所以兩直線平行．由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即(2)點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離的最大值為()A．1 B．2C．3 D．2B解析：由y＝k(x＋1)可知直線過定點P(－1，0)，設(shè)A(0，－1)，當直線y＝k(x＋1)與AP垂直時，點A到直線y＝k(x＋1)的距離最大，最大值為|AP|＝2.(3)若點(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為()A．3 B．4C．2 D．6B解析：由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(m，n)與點(1，0)間的距離的平方，得其最小值為點(1，0)到直線l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，即d2＝3+0－利用距離公式應(yīng)注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)應(yīng)用兩平行直線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．提醒：利用幾何意義轉(zhuǎn)化為點與點、點與線的距離求最值．1．直線l1：x＋3y＋m＝0(m>0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為10，則m＝()A．7 B．17C．14 D．17B解析：由兩直線方程可知l1∥l2，直線l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0.因為l1與l2：2x＋6y－3＝0的距離為10，所以2m+34+36＝10，2．(2024·鞍山模擬)已知直線l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，記點P(3，2)到l的距離為d，則d的取值范圍為()A．0，2 BC．[0，2] D．[0，2)B解析：由直線l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0，可得λ(x＋y－3)＋2x－y－3＝0，由x+y即直線l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0過定點A(2，1)，則|PA|＝2－易知直線l：(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ－3＝0無論λ取何值，都不能表示直線l1：x＋y－3＝0，且直線PA與直線l1垂直，此時點P到l1的距離為|PA|＝2，又當直線l過點P，即λ＝－12時，d＝0所以0≤d＜2.對稱問題考向1關(guān)于點的對稱問題【例2】直線3x－2y＝0關(guān)于點13，0對稱的直線方程為A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0B解析：(方法一)設(shè)所求直線上任一點為(m，n)，則其關(guān)于點13，0對稱的因為點23－m，－n在直線3m－所以323－m－2(－n)＝0，化簡得3m－2n－2所以所求直線方程為3m－2n－2＝0.(方法二)在直線3x－2y＝0上任取兩點O(0，0)，M(2，3)，則點O，M關(guān)于點13，0的對稱點分別為O'2所以所求直線方程為y－即3x－2y－2＝0.中心對稱問題的解法設(shè)點P(x1，y1)關(guān)于點Q(x0，y0)的對稱點為P'x2，y2，則易知點由中點坐標公式得x0＝x1+x22，y0＝y(tǒng)1+y22，考向2關(guān)于直線的對稱問題【例3】(1)唐代詩人李頎的《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2＋y2≤2，若將軍從點A(2，0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為()A．2 B．10C．22 D．10B解析：設(shè)點A(2，0)關(guān)于直線x＋y＝3的對稱點為點A′(a，b)，則AA′的中點為a+22，b2，由對稱性可知ba－要使從點A到河岸線再到軍營的總路程最短，則即為點A′到軍營的距離最短，所以“將軍飲馬”的最短總路程為32(2)兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關(guān)于l2對稱的直線方程為()A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0C解析：設(shè)所求直線上任一點M(m，n)，點M關(guān)于直線x－y－2＝0的對稱點為M′(x1，y1)，則n－y1因為點M′在直線3x－2y－6＝0上，所以將(*)式代入，得3(n＋2)－2(m－2)－6＝0，化簡得2m－3n－4＝0，即l1關(guān)于l2對稱的直線方程為2x－3y－4＝0.軸對稱問題的解法設(shè)點P(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱的點為P′(x2，y2)，則易知直線PP′垂直于直線l，且PP′的中點在直線l上，所以kl·kPPy2，即可求得對稱點坐標．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程．解：(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得y+2所以A′－33(2)在直線m上取一點M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設(shè)對稱點M′(a，b)，則2×a+22－3設(shè)直線m與直線l的交點為N，由2x－3y+1＝0又m′經(jīng)過點N(4，3)，所以由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)(方法一)在直線l：2x－3y＋1＝0上任取兩點P(1，1)，Q(4，3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點式可得直線l′的方程為2x－3y－9＝0.(方法二)因為l∥l′，所以設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．因為點A(－1，－2)到兩直線的距離相等，所以由點到直線的距離公式，得－2+6+C22+32＝－2所以直線l′的方程為2x－3y－9＝0.(方法三)設(shè)P(c，d)為直線l′上任意一點，則P(c，d)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－c，－4－d)．因為點P′在直線l：2x－3y＋1＝0上，所以2(－2－c)－3(－4－d)＋1＝0，所以2c－3d－9＝0，即直線l′的方程為2x－3y－9＝0.課時質(zhì)量評價(四十七)1．已知直線l1經(jīng)過點A(2，a－1)，B(a，4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于()A．－2 B．2C．－1 D．1C解析：直線l1的斜率k1＝a－1－42－a＝a－52－a，直線l2的斜率k2＝－2，2．若直線l1：ax－(a＋1)y＋1＝0與直線l2：2x－ay－1＝0垂直，則實數(shù)a＝()A．3 B．0C．－3 D．0或－3D解析：因為直線l1與直線l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.3．在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于()A．23 B．25C．2 D．4B解析：因為菱形四條邊都相等，且對邊平行，所以每條邊上的高也相等．因為直線x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之間的距離為1－3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之間的距離為c1于是有c1－c24．直線l與直線y＝1、直線x－y－7＝0分別交于P，Q兩點，線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率是()A．23 B．3C．－23 D．－C解析：設(shè)P(a，1)，Q(b，b－7)，由線段PQ的中點坐標為(1，－1)，得a解得a＝－2，b＝4，所以P(－2所以直線l的斜率k＝1－5．設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合B解析：由題意可知，直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分別為－sinAa，又在△ABC中，asinA＝bsinB，所以－sin6．(多選題)已知直線l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直線l2：(m＋1)x＋my－1＝0，且l1⊥l2，則()A．直線l1恒過定點－B．直線l2恒過定點(1，1)C．m＝0或m＝1D．m＝0或m＝－3AC解析：由直線l1的方程可得m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，令x+y故直線l1恒過定點－13，13，由直線l2的方程可得m(x＋y)＋(x－1)＝0，令x+y故直線l2恒過定點(1，－1)，故選項B不正確；因為直線l1：mx＋(m－3)y＋1＝0與直線l2：(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m＋1)＋m(m－3)＝0，即m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝1，所以選項C正確，選項D錯誤．7．若將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m＋n＝________．345解析：由題可知紙的折痕應(yīng)是點(0，2)與點(4，0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7，3)與點(m，n)連線的中垂線，于是3+n2＝2×7+8．(2024·鞍山模擬)若實數(shù)a，b，c，d滿足(b－a2＋lna)2＋(c－d－2)2＝0，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為________．2解析：因為(b－a2＋lna)2＋(c－d－2)2＝0，所以b－a2＋lna＝0，c－d－2＝0，即b＝a2－lna，d＝c－2，令f(x)＝x2－lnx，g(x)＝x－2.設(shè)直線y＝x＋m與曲線y＝f(x)＝x2－lnx相切于點P(x0，y0)，由f(x)＝x2－lnx，得f′(x)＝2x－1x則f′(x0)＝2x0－1x0.由2x0－1x0＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，所以f(x所以P(1，1)，則點P到直線y＝x－2的距離d＝1－而(a－c)2＋(b－d)2的幾何意義為曲線y＝f(x)上的點(a，b)與直線y＝x－2上點(c，d)的距離的平方，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值為22＝2.故答案為2.9．已知△ABC的頂點A(5，1)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為2x－y－5＝0，邊AC上的高BH所在的直線方程為x－2y－5＝0.(1)求頂點C的坐標；(2)求△ABC的面積．解：(1)設(shè)C(m，n)，因為直線AC與直線BH垂直，且點C在直線2x－y－5＝0上，所以n－1m－5＝－2(2)設(shè)B(a，b)，由題意知，Ma+所以a解得a＝－1，b＝－3故kBC＝3+34+1＝65，直線BC：y－即6x－5y－9＝0.又因為|BC|＝4+點A到直線BC的距離d＝6×所以S△ABC＝12×6110．已知兩點A(－4，8)，B(2，4)，點C在直線y＝x＋1上，則|AC|＋|BC|的最小值為()A．213 B．9C．74 D．10C解析：依題意，設(shè)B(2，4)關(guān)于直線y＝x＋1對稱的點為B′(m，n)，所以n－4所以B′(3，3)．如圖，連接AB′交直線y＝x＋1于點C′，連接BC′，在直線y＝x＋1上任取點C，連接AC，BC，B′C，顯然，直線y＝x＋1垂直平分線段BB′，則有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，當且僅當點C與點C′重合時取等號，所以(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－3211．(新定義)數(shù)學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A(2，0)，B(0，4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標是()A．(－4，0) B．(0，－4)C．(4，0) D．(4，0)或(－4，0)A解析：設(shè)C(m，n)，由重心坐標公式，得△ABC的重心為2+m3，4+n3，代入歐拉線方程得2+m3－4+易得AB邊的中點為(1，2)，kAB＝4－00－2＝－2，線段AB的垂直平分線的方程為y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y+3＝0，x－y+2＝0，解得x＝－1，y＝1.所以△ABC的外心為(－1，1)，則(m＋1)2聯(lián)立①②，解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.當m＝0，n＝4時，點B，C重合，舍去，所以頂點C的坐標是(－4，0)．12．若直線l1：y＝kx＋1與直線l2關(guān)于點(2，3)對稱，則直線l2恒過定點________，l1與l2的距離的最大值是________．(4，5)42解析：因為直線l1：y＝kx＋1恒過定點(0，1)，又兩直線關(guān)于點(2，3)對稱，所以兩直線經(jīng)過的定點也關(guān)于點(2，3)對稱，所以直線l2恒過定點(4，5)，所以l1與l2的距離的最大值就是兩定點之間的距離，即為4－13．在平面直角坐標系中，P是曲線y＝x＋4x(x>0)上的一個動點，則點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________4解析：由y＝x＋4x(x>0)，