2023-2024學年北京西城區(qū)十三中初二（上）期中數(shù)學試題及答案

2023北京十三中初二（上）期中數(shù)學考生須知：1．本試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2頁，第Ⅱ卷共4頁．2．本試卷滿分100分，考試時間100分鐘．3．在試卷（包括第卷和第Ⅱ卷）密封線內準確填寫學校、班級、姓名、學號．4．考試結束，將試卷及答題紙一并交回監(jiān)考老師．第Ⅰ卷8小題，每小題2分，共16分）1.在剛過去的10月份中，同學們以飽滿的精神狀態(tài)參加了北京市中學生體育過程性考核．在下列常見的體測項目圖標中，是軸對稱圖形的是（）A.坐位體前屈B.立定跳遠D.引體向上C.仰臥起坐2.下列計算正確的是（）()3A.a2a3=a6B.a2=a6C.(ab)3=a3bD.?(+)=?2aab2a22ab+3.下列四個圖形中，線段是的高的是（）A.B.C.D.4.在生物實驗課上，老師布置了“測量雉形瓶內部底面內徑”的任務．小亮同學想到了以下這個方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒AD，BC的中點O固定，利用全等三角形的性質，只要測得C，D之間的距離，就可知道內徑AB的長度．此方案中，判定和△是全等三角形的依據是（）第1頁/共23頁A.SSSB.C.ASAD.5.一副三角板拼成如圖所示的圖形，那么的度數(shù)為（）A.B.C.90D.D.105?22x+my與x?2yxy的乘積結果中不含項，則的值為（m）6.若B.4?C.2A.4=C=，立柱=，且與橫梁BC垂（點E在BA7.如圖1，某溫室屋頂結構外框為，其中BAD2m直．冬季將至，為了增大向陽面面積，將立柱增高并改變位置，使屋頂結構外框變?yōu)镋F⊥BC，如圖2所示．若此時立柱EF=，則向陽面斜梁增加部分AE的長度為（）A.B.C.1.5mD.2m是等腰直角三角形且()，點()，點()．若A0,2Ba,0C,n(n0)8.在平面直角坐標系中，點=，當1a2時，點C的橫坐標m的取值范圍是（）A.1m2B.2m3C.3m4m4D.第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）1中，點(?)關于軸對稱的點的坐標為________．x9.在平面直角坐標系10.計算：8x3?12x)4x=2________．學校在舉辦了“叩問蒼穹，征途永志”主題活動后，邀請同學們參與設計航天紀念章．小明以正八邊形為邊框，設計了如圖所示的作品，則此正八邊形徽章一個內角的大小為________°．第2頁/共23頁12.如圖，AD∥=EF在上，且要使△≌△CEB，還需添加一個條件為：，，點、________．13.在校運動會舉辦前夕，李老師想設計一款等腰三角形彩旗幡懸掛于賽場上，為同學們加油助威．已知每面彩旗的腰長AC=BC=6，若其底邊AB長度為整數(shù)，則底邊AB長度的最大值為________．⊥=3．若，14.如圖，點O是AB=10，則內一點，BO平分ABC，于點D，連接的面積是________．15.如圖是一個可折疊式的餐桌，其桌面由一個大正方形和四個全等的小正方形構成．當桌角全部打開時a（如圖①，桌面的最大長度為；當桌角全部收起時（如圖②，桌面未被桌角覆蓋部分的長度為．那么，bab________（用含、=，點D是邊BC的中點，連接AD，邊的垂直平分線MN交AD16.如圖1中，第3頁/共23頁于點P，連接BP．PBD（1）當BAC60時，如圖，則=2的度數(shù)為________°；（2）當BAC=時，PBD的度數(shù)為________（用含8小題，共68分．其中17題10分，18-21、26題6分，22-25題7分）17.計算：（1）(x?1x+3?2x)()2(x?2)+x(x?3)2（2）(4x14x1(2x)26x33x2，其中x=?1．+)(?)?+18.先化簡，再求值：19.已知，如圖，點A、E、F、B在同一條直線上，CA⊥DBAB⊥AEFB，=，，CF=．求證：=．甲同學很快給出了自己的解答，請你閱讀他的解法，并補全相應的證明過程及推理依據．證明：∵AEFB=∴+=+即∵=．CA⊥，與DB⊥AB∴A=B=90在RtCAFRt中，________________∴第4頁/共23頁Rt（∴（≌）=20.如圖，點A、C、B、D在同一條直線上，BE∥DF，A=F，AB=FD．（1）求證：=．A=110，求的度數(shù)．（2）若FCD25，=的三個頂點的坐標分別是()，()，()．A2,3B0C1,221.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC．1（1）在圖中作出關于y軸對稱的11（2）如果要使以B，CD為頂點的三角形與22.我們在學習整式乘法時發(fā)現(xiàn)，通過計算幾何圖形的面積可以得到一些代數(shù)恒等式．如圖1可以得到+2ab+b2，基于此想法，請回答下列問題：全等，寫出所有符合條件的點D坐標．(a+b)2=a2（1）根據圖2，寫出一個代數(shù)恒等式：．ab的正方形和長、寬分別為ba和的長方形，可以拼出（2）利用圖3中若干張邊長為的正方形，邊長為第5頁/共23頁一個面積為(2a+b)(a+b)的長方形，請你仿照圖2畫出拼圖方式并標注上對應字母．利用這個長方形面積我們可以得到(2a+b)(a+b)=．x（3）實際上，通過計算立體圖形的體積也可以得到一些代數(shù)恒等式．如圖4表示的是一個棱長為的正方體挖去一個小長方體后重新拼出的一個新長方體，根據此圖的變化關系，寫出一個代數(shù)恒等式：23.在十一作業(yè)中同學們參與了“自制角分儀”的活動，下圖是一個同學的作品，他將四根木條順次釘在一．起，其中，==，兩根木條的連接處是可以轉動的．同學們在一起討論這個工具的用途．（1）小羽說用這個工具可以快速作出角平分線．在下面的幾種用法中，能作出MON的平分線的有①OC是MON的平分線②是MON的平分線③OA是MON的平分線（2）對于這個工具的其它用途，小澤發(fā)現(xiàn)可以用它作線段的垂直平分線．請結合右圖補全求證，并給出證明．如圖，已知：，==求證：證明：垂直平分．（3）對于這個工具的其它用途，小高認為通過兩次操作可以用它作平行線．右圖為第1次操作角分儀的擺放方式，請你在此基礎上畫出第2次操作的擺放方式（角分儀的對應頂點依次標記為A，DB，C，第6頁/共23頁24.如圖，已知點M是AB的中點，是過點M的一條直線，且ACM=BDMAE⊥CDBF⊥CD，垂足分別為點E，F(xiàn)．（1）試說明：；（2）猜想MF與CD之間的數(shù)量關系，并說明理由．=(030)，點Q是點P關于直線AB的25.如圖，已知等邊，點P在BC邊上，=120，延長對稱點，點D在上滿足交于點E．（1）直接寫出DAE和AED的度數(shù)（用含（2）探究線段AE、BP、滿足的等量關系，并證明；（3）若AB4，=M為AB中點，連接．當最短時，直接寫出此時BP的值．M(a,b)，我們將經過點(a,0)且垂直于x軸的直線記為直線x=a，26.在平面直角坐標系中，已知點將經過點(b)且垂直于y軸的直線記為直線y=b．x=ay=bQ對于點P給出如下定義，將點P關于直線稱點Q對稱得到點P，再將點P關于直線對稱得到點，為點P關于的“對應點”．對于圖形G給出如下定義，將圖形G關于直線得到圖形W，稱圖形W為圖形G關于M的“對應圖形”．Mx=ay=b對稱得到圖形G，再將圖形G關于直線對稱已知的頂點坐標為()，()，(?)C3A0B4,0第7頁/共23頁（1）如圖，若點()M①由定義知，將點A關于直線x=1對稱得到點(0)，再將點(0)關于直線=對稱，得到點(2)，y1()關于M的對應點為關于M的對應點為．則點A關于M的對應點為(2)．那么，點B4,0，點C②已知點P(?n)和點(?+)，若線段關于的對應線段QQ位于M的內部（不含三角P2n1PP11212n的取值范圍．y的邊上，直接寫出M點橫坐標a的?。?）若軸上存在點D，使得點D關于M的對應點恰好落在值范圍．第8頁/共23頁參考答案第Ⅰ卷8小題，每小題2分，共16分）1.【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，根據軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；選項D能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；故選：D．2.【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方以及單項式乘以多項式，熟練掌握各個運算法則逐項計算判斷即可．【詳解】解：A、a2a3=a5a6，本選項錯誤，不符合題意；()3a2=a6，本選項正確，符合題意；B、C、D、(ab)3=a3b3ab，本選項錯誤，不符合題意；32aab?(+)=?2a22ab??2a22ab+，本選項錯誤，不符合題意，故選：B．3.【答案】C【分析】根據三角形高的畫法知，過點B作邊上的高，垂足為E，其中線段是合圖形進行判斷．的高，再結【詳解】解：根據三角形高的畫法知，過點B作邊上的高，垂足為E，則線段是的高，觀察四個選項，所以線段是故選：C．的高的圖是選項．【點睛】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向對邊作垂線，連接頂點與垂足之間的線段．熟記定義是解題的關鍵．4.【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定．根據題意確定全等三角形的判定條件是解題的關鍵．()由題意可證△≌△DOC，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，=，AOB=，=，()∴△≌△DOC，故選：B．第9頁/共23頁5.【答案】D【分析】本題考查了三角形外角性質，三角板中的角度計算，找準題目中的角度準確計算，利用外角性質求解即可．【詳解】解：由題意可知：ABC=45，=，=ABC+ACB=45+60=105．故選：D．6.【答案】Axy【分析】本題考查多項式乘多項式，利用多項式乘多項式運算法則將原式展開，然后合并同類項，使項系數(shù)為零即可解答．(x?2y)(2x+my)【詳解】=2x=2x22+?4?2+(m?4)?222，2x+my與x?2yxy的乘積結果中不含項，∵∴m?4=0，解得：m=4，故選：A．7.【答案】D【分析】本題主要考查30角的直角三角形的性質，掌握30角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．【詳解】解：∵立柱AD垂直平分橫梁BC，B=C=，∴==2=4m，∵B=，∴=2=6m，∴=?=6?4=2m．故選D．8.【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質及全等三角形的判定及性質，過點C作CD⊥BO，根據等腰三角形的性質及全等三角形的判定及性質可得質是解題的關鍵．，熟練掌握三角形的判定及性【詳解】解：過點C作CD⊥BO于點D，如圖：第10頁/23頁C，BOAA，CB90ABOBAO，在△CBD和中，CBD==CB=，≌)，=，，()，()，Ba,0C,n(n0)Om2，2，3m4，故選C．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）()9.【答案】【分析】本題考查了關于x軸對稱的點的坐標特點，根據關于x軸對稱的點的坐標特點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，據此即可得到答案．【詳解】解：點(1)關于軸對稱的點的坐標為()，x故答案為：()．10.【答案】2x2?3x【分析】本題考查了多項式除以單項式，運用相應的運算法則作答即可．【詳解】8x3?12x)4x2=8x34x?12x?3x，24x=2x2故答案為：2x2?3x．【答案】135【分析】本題考查正多邊形的外角和以及內角與外角之間的關系，利用多邊形的外角和求出一個外角的大小，然后再用180度減去外角度數(shù)即可．【詳解】解：∵正八邊形的外角和為360，∴每個外角為3608=45，∴每個內角為180?45=135，故答案為：135．12.【答案】D=B（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有、ASA、、SSS、HL．由AD∥，可得A=C，結合=，添加一組角相等，可判定△≌△CEB．結合已知在圖形上的位置進行選取是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵AD∥，∴A=C，∵=，∴可添加D=B，A=CAD=BCD=B在△AFD和中，，A)∴，故答案為：D=B13.【答案】【分析】本題考查了三角形三邊關系，根據三角形三邊關系可得0角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”是解題的關鍵．【詳解】解：依題意得：，進而可求解，熟記：“三0，底邊AB長度為整數(shù)，底邊AB長度的最大值為，故答案為：．14.【答案】15【分析】過O作⊥于點E，根據角平分線的性質求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵．【詳解】解：過O作⊥于點E，第12頁/23頁ABC，⊥BO于點D，∵平分∴==3，121AB=103=15∴的面積為：，2故答案為：15．15.【答案】【分析】本題考查了整式混合運算的應用，根據圖形求出小正方形的邊長，再計算出大正方形的邊長，然后根據陰影部分面積等于大正方形的面積減去4個小正方形的面積列式計算即可．a?b【詳解】解：由題意得，小正方形的邊長為，4a?bab∴大正方形的邊長為b+2=+，4222?2++?+ab22aba22abb2a22abb2+?4=?=ab，∴桌面未被桌角覆蓋的陰影部分面積是444故答案為：．16.【答案】①..90?##+【分析】本題考查了三角形內角和定理，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質．（1）根據等腰三角形的性質及點D是邊BC的中點，邊的垂直平分線MN交AD于點P，得到，再由ABC=60，即可得出結果；AP=BP，BAP=ABP30=（2）根據等腰三角形的性質及點D是邊BC的中點，邊的垂直平分線MN交AD于點P，得到180?AP=BP，==，再由=，即可得出結果．221）=，是等腰三角形，點D是邊BC的中點，邊的垂直平分線MN交AD于點P，=APBP，BAC=60，180?60==，2BAP=ABP=30，第13頁/23頁PBD=ABC?ABP=30故答案為：；，（2），=是等腰三角形，BCMN交AD于點P，點D是邊的中點，邊的垂直平分線APBP，=BAC=，180?==90?，22==，2PBD=ABC?ABP=90?故答案為：90?．，8小題，共68分．其中17題10分，18-21、26題6分，22-25題7分）17.1）?x+2x?32（2）2x2?7x+4【分析】本題考查了整式混合運算，重點是多項式乘多項式法則以及完全平方公式的運用；（1）先算乘法，再合并同類項；()2=a22ab+b去括號，再算加減；2（2）先用完全平方公式ab【小問1原式x=2+3x?x?3?2x2=?x+2x?32；【小問2=x2?4x+4+x2?3x原式2．18.【答案】12x+2x?1，92【分析】此題主要考查了整式化簡求值，先利用整式的乘法和除法運算法則運算，再合并同類項，再把已知數(shù)據代入得出答案．【詳解】解：原式16x=2?1?4x+2x2=12x+2x?12=12(?+2(?)?1=9．2將x=?1代入，原式19.【答案】；；AF=BE；CE=；HL；全等三角形對應角相等【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，靈活運用垂直的性質根據三角形全等的判定方法證明第14頁/23頁Rt≌，即可得出結論．【詳解】證明：∵AEFB，=∴，+=+即AFBE．=∵CA⊥，DB⊥AB∴A=B=90，在RtCAF與Rt，中，=，CE?Rt≌∴∴，=（2）13520.1）見解析）根據BE∥DF，可得ABE=D，再證和△FDC全等即可；（2）利用全等三角形的性質，求出E，根據EBD=E+A【小問1即可解決問題．證明：∵BE∥DF，∴ABE=D，和△FDC中，在ABE=AB=FDA=F∴，∴=；【小問2解：∵，∴E=FCD=，∴EBD=E+A=25+110=135．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于中考?？碱}型．21.1）見解析；)、(?)、1．（2）(0,3）由關于y軸對稱的點的坐標的特征先確定A，B，C三點的坐標，再描點，連線即可；111（2）根據全等三角形的判定可畫出圖形，根據圖形可直接寫出符合條件的點D坐標．【小問1△ABC即為所求；1解：如圖1，11第15頁/23頁【小問2解：如圖2所示，點D的坐標為(3)或(?)或1；【點睛】本題考查了軸對稱的性質，全等三角形的判定等，解題關鍵是牢固掌握關于坐標軸對稱的點的坐標的特征并能靈活運用．(a+b+c)2=a2+b2+c+2ab+bc+2ac222.1）（2）拼圖見解析，2a2+5ab+b23x?x=x(x+)(x?)（3）【分析】本題考查了整式的混合運算：（1）依據大正方形的面積等于小圖形的面積之和即可求解；（2）根據新長方形的邊長畫出圖形，再根據圖形得出等式即可求解；（3）依據原幾何體的體積與新幾何體的體積相等建立等式即可；利用直接法或間接法分別求出幾何圖形的面積或體積，然后根據他們的面積或體積相等列出等式是解題的關鍵．【小問1abc=(++)2解：由圖可得，正方形的面積，正方形的面積a=2+b2+c2+2ab+2ac+bc，第16頁/23頁(a+b+c)2=a2+b2+c=a22+2ab+bc+2ac，(a+b+c)2+b2+c2+2ab+bc+2ac．故答案為：【小問2如圖：(+)(+)=2abab2a2++5abb2．【小問3由圖4得：原幾何體的體積33，新幾何體的體積，x3?x=x(x+)(x?)，?x=xx+1x?)．故答案為：()(x323.1）①③（2），，證明見解析（3）見解析【分析】本題考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的判定及平行線的性質，三角形全等的判定與性質．（1）根據全等三角形的判定SSS判斷即可；（2）根據垂直平分線的判定解答即可；（3）根據線段垂直平分線的性質及平行線的性質解答即可．【小問1解：①如圖所示；在和中，AD=ABCD=CBAC=AC，)，=，即=NOC，∴OC是MON的平分線，故①正確；②中和不全等，不能得出=，故②錯誤；類比①的證法，可得出③中=NOA，即OC是MON的平分線，故③正確；≌，第17頁/23頁故答案為：①③；【小問2結論：垂直平分，證明：∵ADAB，∴點A在BD的垂直平分線上，∵=，=∴點C在的垂直平分線上，∴垂直平分BD；【小問3解：同意；理由如下，如圖所示：第1次操作為，作BAD的角平分線，連接BD；第2次操作為，將角分儀點A與AC,BDC交點的重合，作BAD的角平分線且與AB重合，由（2）可知、垂直平分，垂直平分BD，⊥，BD⊥BD，∥BD．24.1）見解析（2）猜想：2CD，理由見解析．=）由題意可得、=AEM=BFM=90，再結合ACM=BDM運用即可證明結論；（2）由題意可得AEM=BFM90，再根據=可得=FM=，進而證明S)可得DF=CE，然后根據線段的和差以及等量代換即可解答．【小問1解：∵點M是AB的中點，∴，=⊥CD⊥CD∵∴，AEM=BFM90．=在△和中，第18頁/23頁AEM=BFM=90=AM=AM∴S)．【小問2解：猜想：2CD．理由如下：=⊥CD⊥CD∵∴∵∴，AEM=BFM=90．，=FM=．在△ACE和==中，ACM==∴S)．∴DF=CE．=CD+CE=EF+CF∵，∴CD=EF．=+FM=∵．∴2CD．=【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、全等三角形的判定等知識點，靈活運用全等三角形的判定與性質定理是解答本題的關鍵．25.1）60?，=60+=（2）PC=AE+BP，證明見解析（3）1）利用等邊三角形的性質可得BAC60，結合角的和差運算可得==60?，再利用，可得三角形的外角的性質可得AED=60+；BCCF=BPAQ=，再證明≌（2）連接，在上截取，連接．證明AP=AF，F(xiàn)AC=PAB=，可得===．再證明△，可得AE=PF，再結合線段的和差可得結論；1（3）如圖，過M作⊥于S，連接，，則=90==2，證明，MP21=BS=BM=13，結合當S，P重合時，MP最小，則最小，從而可=，求解，MS2得答案．第19頁/23頁【小問1解：∵為等邊三角形，=(030)，BAC=60，而∴∴=60?，=120，∵∴AED=120?60?=60+；()【小問2PC=AE+BP；證：連接，在BC上截取CF=BP，連接．∵點Q是點P關于直線AB的對稱點，∴∵∴∴=，QAB=PAB=．BAC=60，QAC=QAB+BAC=60+=AEQ，AQ=，Q=180?QAC?=60?．∵為等邊三角形，∴=，B=C=60．與△ACF中∵=，B=C=60，BP