拓展1 利用遞推公式求通項公式常用的方法（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】拓展1利用遞推公式求通項公式常用的方法（精講）考點一公式法【例1-1】（2022·青海）已知數(shù)列的前項和，則＝________.【答案】【解析】由于數(shù)列的前項和.當(dāng)時，；當(dāng)時，.滿足.因此，對任意的，.故答案為：.【例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【解析】因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．故答案為：．【例1-3】（2022·廣東）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】①；當(dāng)時，代入①得.當(dāng)時，②；①-②得，整理得，因為，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以.【例1-4】（2022·北京）已知數(shù)列滿足，求的通項公式．【答案】.【解析】對任意的，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，由，可得，上述兩個等式作差可得，，滿足，因此，對任意的，.【一隅三反】1．（2022·上海）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.求數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，；經(jīng)檢驗：滿足；綜上所述：.2．（2022·廣西）設(shè)數(shù)列滿足，且，求．【答案】【解析】當(dāng)時，，即，兩邊同時除以，得，所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以，所以．3．（2023·安徽省舒城中學(xué)）若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則_______．【答案】【解析】數(shù)列是正項數(shù)列，且所以，即時兩式相減得，所以（）當(dāng)時，適合上式，所以4．（2022·福建）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【解析】因為，所以，即．當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然不滿足上式.所以．故答案為：.考點二累乘法【例2-1】（2022·江蘇）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式是【答案】【解析】因為，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故選：A【】例2-2（2022·湖南）已知，，則數(shù)列的通項公式是【答案】n【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列滿足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故選：D﹒2．（2022·全國·高二）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（

）A．

B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：A．3．（2022河北）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式等于___________【答案】【解析】由得：，當(dāng)時，，兩式相減得：，化簡整理得：，當(dāng)時，，即有，解得，因此，，，，，而滿足上式，所以.故答案為：考點三累加法【例3-1】（2022·黑龍江）已知數(shù)列滿足，．(1)求，；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)，(2)【解析】（1），，，.（2）由得：，，又滿足，.【例3-2】（2022·哈爾濱）在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因，則有，于是得，當(dāng)時，，因此，，顯然，滿足上式，所以.故選：C【一隅三反】1．（2022山東）已知在數(shù)列的前項之和為，若，則_______．【答案】【解析】..2．（2022·云南）已知數(shù)列滿足，，，求通項公式．【答案】.【解析】因為，所以，所以，，，……，，所以，因為，所以，所以，因為滿足上式，所以.3．（2021·全國·高二課時練習(xí)）設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列且-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，求an.【答案】an＝n(n∈N*)【解析】-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，可得(an＋1+an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0.因為{an}是首項為1的正項數(shù)列，故an＋1+an為正數(shù)，故nan＋1－(n＋1)an＝0，即＝，所以an＝a1·＝1.且當(dāng)時，符合an＝n，所以an＝n(n∈N*)．綜上可知，an＝n(n∈N*)．考點四構(gòu)造法【例4-1】（2022·寧夏）已知數(shù)列中，，則等于【答案】【解析】所以所以數(shù)列是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C【例4-2】（2022·上海）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【解析】由兩邊取倒數(shù)可得，即．所以數(shù)列是首項為2，公差為3等差數(shù)列.所以，所以．故答案為：.【例4-3】（2022·湖北）已知在數(shù)列中，，，則______．【答案】【解析】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，解得．故答案為：.【例4-4】（2022·江西）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為___________.【答案】．【解析】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．【一隅三反】1．（2022·青海）在數(shù)列中，，，則通項公式______．【答案】【解析】由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則.故答案為：.2．（2022·山西）在數(shù)列中，若，則________.【答案】【解析】取倒數(shù)得: