2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測十九平面與平面垂直含解析新人教B版必修第四冊

PAGE十九平面與平面垂直(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)假如直線l,m與平面α,β,γ滿意l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么不成立的是 ()A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥βC.m∥β和l⊥m D.α∥β和α⊥γ【解析】選BCD.由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.2.從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α,β分別作垂線PE,PF,E,F為垂足,若∠EPF=60°,則二面角α-l-β的平面角的大小是 ()A.60° B.120°C.60°或120° D.不確定【解析】選C.若點(diǎn)P在二面角內(nèi),則二面角的平面角為120°;若點(diǎn)P在二面角外,則二面角的平面角為60°.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在四面體ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A-BD-C為直二面角,E是CD的中點(diǎn),則∠AED的度數(shù)為 ()A.45° B.90° C.60° D.30°【解析】選B.如圖,設(shè)AB=BC=CD=AD=a,取BD的中點(diǎn)F,連接AF,CF,則AF⊥BD,CF⊥BD,所以∠AFC是二面角A-BD-C的平面角,由題意知∠AFC=90°,即AF⊥FC由題意可得AF=CF=QUOTEa.在Rt△AFC中,易得AC=a.所以△ACD為正三角形.又因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以AE⊥CD,即∠AED=90°.3.經(jīng)過平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有 ()A.0個(gè) B.1個(gè)C.多數(shù)個(gè) D.1個(gè)或多數(shù)個(gè)【解析】選D.當(dāng)兩點(diǎn)連線與平面α垂直時(shí),可作多數(shù)個(gè)垂面,否則,只有1個(gè).4.設(shè)平面α⊥平面β,在平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b,則 ()A.直線a必垂直于平面βB.直線b必垂直于平面αC.直線a不肯定垂直于平面βD.過a的平面與過b的平面垂直【解析】選C.當(dāng)α⊥β,在平面α內(nèi)垂直交線的直線才垂直于平面β,因此,垂直于平面β內(nèi)的一條直線b的直線不肯定垂直于β.5.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,則BD與CC1 ()A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直【解析】選C.如圖所示,在四邊形ABCD中,因?yàn)锳B=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.6.如圖,正四面體ABCD中,E,F分別是線段AC的三等分點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),G是直線BD上的動點(diǎn),則 ()A.存在點(diǎn)G,使PG⊥EF成立B.存在點(diǎn)G,使FG⊥EP成立C.不存在點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ABD成立【解析】選C.正四面體ABCD中,E,F分別是線段AC的三等分點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),G是直線BD上的動點(diǎn),在A中,不存在點(diǎn)G,使PG⊥EF成立,故A錯(cuò)誤;在B中,不存在點(diǎn)G,使FG⊥EP成立,故B錯(cuò)誤;在C中,不存在點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ACD成立,故C正確;在D中,存在點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ABD成立,故D錯(cuò)誤.二、填空題(每小題4分,共8分)7.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)二面角D1-AB-D的大小是________.

(2)二面角A1-AB-D的大小是________.

【解析】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,則AB⊥AD1.又AB⊥AD,所以∠D1AD即為二面角D1-AB-D的平面角,在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.(2)與第一問同理可得,∠A1AD為二面角A1-AB-D的平面角,所以二面角A1-AB-D的大小為90°.答案:(1)45°(2)90°8.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖),則圖中相互垂直的平面有________對.

【解析】因?yàn)镈A⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5對.答案:5三、解答題(每小題14分,共28分)9.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=QUOTEPD.證明:平面PQC⊥平面DCQ.【證明】由四邊形ABCD為正方形,可得CD⊥AD,又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CD,PD⊥AD,因?yàn)锳D∩PD=D,所以CD⊥平面AQPD,因?yàn)镻Q?平面AQPD,所以CD⊥PQ.如圖所示,取PD的中點(diǎn)E,連接QE.則DE∥AQ,且DE=AQ,從而四邊形AQED是平行四邊形,則QE∥AD,所以QE⊥PD,所以DQ=QP.設(shè)QA=1,則AB=1,PD=2.在△DQP中,有DQ=QP=QUOTE,PD=2.所以DQ2+QP2=PD2,故∠PQD=90°,即DQ⊥PQ.又CD∩DQ=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.10.(2024·全國Ⅱ卷)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】(1)因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥BB1,又AA1∥BB1,所以MN∥AA1,在正△ABC中,M為BC的中點(diǎn),則BC⊥AM,又因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為矩形,所以BC⊥BB1,因?yàn)镸N∥BB1,所以MN⊥BC,又MN∩AM=M,MN,AM?平面A1AMN,所以BC⊥平面A1AMN,又因?yàn)锽1C1∥BC,所以B1C1⊥平面A1AMN,又因?yàn)锽1C1?平面EB1C1F,所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.(2)連接NP,因?yàn)锳O∥平面EB1C1F,平面AONP∩平面EB1C1F=NP,所以AO∥NP,依據(jù)三棱柱上下底面平行,平面A1NMA∩平面ABC=AM,平面A1NMA∩平面A1B1C1=A1N,所以O(shè)N∥AP,故四邊形ONPA是平行四邊形,設(shè)△ABC邊長是6m(m>0),可得:ON=AP,NP=AO=AB=6m,因?yàn)镺為△A1B1C1的中心,且△A1B1C1邊長為6m,所以O(shè)N=QUOTE×6m×sin60°=QUOTEm,故ON=AP=QUOTEm,易證得EF∥BC,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得EP=m,在B1C1上截取B1Q=EP=m,故QN=2m,因?yàn)锽1Q=EP,且B1Q∥EP,所以四邊形B1QPE是平行四邊形,所以B1E∥PQ,由(1)知B1C1⊥平面A1AMN,故∠QPN為B1E與平面A1AMN所成的角,在Rt△QPN中,依據(jù)勾股定理可得:PQ=QUOTE=QUOTE=2QUOTEm,所以sin∠QPN=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)用a,b,c表示空間中三條不同的直線,γ表示平面,則下列命題為真命題的是 ()A.若a⊥b,b⊥c,則a∥cB.若a∥b,a∥c,則b∥cC.若a∥γ,b∥γ,則a∥bD.若a⊥γ,b⊥γ,則a∥b【解析】選BD.對于A,正方體從同一頂點(diǎn)引出的三條直線a,b,c,滿意a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A錯(cuò)誤;對于B,若a∥b,a∥c,則b∥c,所以B正確;對于C,平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系可能是平行、相交或者異面,所以C錯(cuò)誤;對于D,由垂直于同一平面的兩條直線平行,知D正確.2.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動點(diǎn)C運(yùn)動形成的圖形是 ()A.一條線段B.一條直線C.一個(gè)圓D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又因?yàn)锽C?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以動點(diǎn)C運(yùn)動形成的圖形是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點(diǎn).3.將角A為60°,邊長為a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,則折疊后A與C之間的距離為 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選C.設(shè)折疊后點(diǎn)A到A1的位置,取BD的中點(diǎn)E,連接A1E,CE.則BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC為二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因?yàn)锳1E=CE,所以△A1EC是等邊三角形.所以A1E=CE=A1C=QUOTEa.4.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成四面體ABCD,則在四面體ABCD中,下列命題正確的是 ()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC【解析】選D.在題圖①中因?yàn)椤螧AD=90°,AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=45°.因?yàn)锳D∥BC,所以∠DBC=45°.又因?yàn)椤螧CD=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.在題圖②中,此關(guān)系仍成立.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.因?yàn)锽A?平面ADB,所以CD⊥AB.因?yàn)锽A⊥AD,CD∩AD=D,所以BA⊥平面ACD.因?yàn)锽A?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在四面體P-ABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分別是棱AB,BC,CA的中點(diǎn),則下列結(jié)論中不成立的是 ()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDF⊥平面ABC【解析】選D.因?yàn)镈,F分別為AB,AC的中點(diǎn),則DF為△ABC的中位線,則BC∥DF,依據(jù)線面平行的判定定理,可知BC∥平面PDF,A成立.又E為BC的中點(diǎn),且PB=PC,AB=AC,則BC⊥PE,BC⊥AE,依據(jù)線面垂直的判定定理,可知BC⊥平面PAE.因?yàn)锽C∥DF,所以DF⊥平面PAE,B成立.又DF?平面PDF,則平面PDF⊥平面PAE,C成立.要使平面PDF⊥平面ABC,已知AE⊥DF,則必需有AE⊥PD或AE⊥PF,由條件知此垂直關(guān)系不肯定成立.二、填空題(每小題4分,共16分)5.如圖,在三棱錐P-ABC內(nèi),側(cè)面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,則PB=________.

【解析】因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC,交線為AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),PA?平面PAC,所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中點(diǎn),E是PC上的點(diǎn),且EF⊥BC,則QUOTE=________.

【解析】在三棱錐P-ABC中,因?yàn)镻A⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC.因?yàn)镋F?平面PAC,所以EF⊥AB,因?yàn)镋F⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,因?yàn)镕是AC的中點(diǎn),E是PC上的點(diǎn),所以E是PC的中點(diǎn),所以QUOTE=1.答案:17.如圖所示,AB為圓O的直徑,點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A,B),直線PA垂直于圓O所在的平面,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).有以下四個(gè)命題:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________.(填上全部正確命題的序號)

【解析】因?yàn)镻A?平面MOB,所以①不正確;因?yàn)镸O∥PA,而且MO?平面PAC,所以②正確;OC不垂直于AC,所以③不正確;因?yàn)锽C⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以④正確.答案:②④8.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊,使平面ABD⊥平面ACD,則折疊后BC=________.

【解析】因?yàn)樵谠鰽BC中,AD⊥BC,所以折疊后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中∠BDC=90°,BD=CD=QUOTE,所以BC=QUOTE=1.答案:1三、解答題(共38分)9.(12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求證:平面PDC⊥平面PAD.【證明】因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因?yàn)镃D⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因?yàn)镃D?平面PDC.所以平面PDC⊥平面PAD.10.(12分)已知三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC.(1)求證:AB⊥BC.(2)若AB=BC,過點(diǎn)A作AF⊥PB于點(diǎn)F,連接CF,求證:平面PBD⊥平面AFC.【證明】如圖所示:(1)取AC的中點(diǎn)D,連接PD,BD,因?yàn)镻A=PC,所