天津市第四十二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性學(xué)情調(diào)查試題含解析

PAGE16-天津市第四十二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性學(xué)情調(diào)查試題（含解析）一、選擇題：1.無(wú)論m為何值，直線恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程變形為，從而可求得答案【詳解】直線方程可變形為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)直線方程的變形，屬于基礎(chǔ)題2.已知向量，，分別是直線、的方向向量，若，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴．選D．3.已知點(diǎn)為線段上一點(diǎn)且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè),依據(jù)C為線段上一點(diǎn)且，由求解.【詳解】設(shè)為線段上一點(diǎn)且，，即.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，，若，，且平面，則實(shí)數(shù)、、分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積與垂直的關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理即可得出．【詳解】∵⊥，∴，解得．∴．∵平面，∴，，∴，化為，解得，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積與垂直的關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理，屬于中檔題．5.已知，，，，則向量與之間的夾角為（）.A. B. C. D.以上都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】由，兩邊平方得到，然后再由，，整理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，兩邊平方得：，即，所以，因?yàn)椋?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算以及夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.若兩條平行直線與之間距離是，則（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出，再利用兩條平行線間的距離求出，從而可得的值.【詳解】由題意直線與平行，則兩條直線的斜率相等，即，又直線間的距離為，即，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行的性質(zhì)、兩條平行線間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7.已知直線與直線相互垂直，垂足為，則的值為（）A.20 B.－4 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合直線垂直關(guān)系，得到a的值，代入垂足坐標(biāo)，得到c的值，代入直線方程，得出b的值，計(jì)算，即可．【詳解】直線的斜率為,直線的斜率為,兩直線垂直,可知，將垂足坐標(biāo)代入直線方程，得到，代入直線方程，得到，所以，故選B．【點(diǎn)睛】考查了直線垂直滿意的條件，關(guān)鍵抓住直線垂直斜率之積為-1，計(jì)算，即可，難度中等．8.過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是()A B.或C. D.或【答案】D【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=x，即4x﹣3y=0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x+y=a．則3+4=a，得a=7．∴直線方程為x+y﹣7=0．∴過(guò)點(diǎn)M（3，4）且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．故選：D9.已知直線的方程是，的方程是，則下列各圖形中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,對(duì)應(yīng)l2也符合,10.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心為C，其坐標(biāo)為，分析可得要求圓的半徑，且點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，求出a、b的值，即可得C的坐標(biāo)，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：依據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心為C，其坐標(biāo)為，圓的圓心為，半徑，若要求圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則要求圓的半徑且點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則有，解得：，即要求圓的圓心為；則要求圓的方程為；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還涉及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，考查解題分析和計(jì)算實(shí)力.11.“”是“為圓方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】分析】依據(jù)圓的一般方程表示圓的條件和充分必要條件的推斷可得選項(xiàng).【詳解】方程表示圓需滿意或，所以“”是“為圓方程”的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程和充分條件與必要條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.12.下列命題正確的是（）A.是向量，不共線的充要條件B.在空間四邊形中，C.在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，D.設(shè)，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面【答案】B【解析】【分析】由向量共線和充分必要條件的定義可推斷A；由向量的加減和數(shù)量積的定義可推斷B；由向量數(shù)量積的定義計(jì)算可推斷C；由四點(diǎn)共面的條件可推斷D．【詳解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共線，比如共線向量，的模分別是2，3，故A不正確；在空間四邊形ABCD中，（）????（）?（）??0，故B正確在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，1×1×cos120°，故C錯(cuò)誤；設(shè)A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線和向量數(shù)量積的定義、以及四點(diǎn)共面的條件，考查運(yùn)算實(shí)力和推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：13.已知直線l的傾斜角是直線y＝x＋1的傾斜角的2倍，且過(guò)定點(diǎn)P(3,3)，則直線l的方程為_(kāi)________【答案】【解析】【分析】先求出條件中所給的直線的傾斜角是，依據(jù)要求的直線的傾斜角是它的二倍，得到要求的直線的傾斜角是，即直線與橫軸垂直，又知直線過(guò)的點(diǎn)，寫(xiě)出直線的方程．【詳解】∵直線的傾斜角是45°，直線傾斜角是直線的兩倍，∴要求直線的傾斜角是，∵直線過(guò)點(diǎn)，∴直線的方程是，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系，考查兩條直線的斜率的關(guān)系，考查過(guò)定點(diǎn)和已知直線的斜率的方程的寫(xiě)法，屬于基礎(chǔ)題．14.圓的圓心到直線的距離為，則__________．【答案】【解析】分析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得結(jié)果.詳解：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，圓心到直線的距離為，解得，故答案為0.點(diǎn)睛：本題主要考查圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心，以及得到直線距離公式，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于簡(jiǎn)潔題.15.圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的圓的一般方程是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，由已知條件建立方程組，解之可得答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，則圓心是，由題意知，解得所以所求圓的一般方程是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的方程，運(yùn)用待定系數(shù)法設(shè)圓的一般方程，建立方程組是一種常用的方法，屬于基礎(chǔ)題.16.過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)、距離相等的直線方程是________.【答案】或【解析】【分析】分兩種狀況探討：①所求直線與直線平行；②所求直線過(guò)線段的中點(diǎn).由此可求得所求直線的方程.【詳解】分以下兩種狀況探討：①所求直線與直線平行，由于直線的斜率為，且所求直線過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，所求直線方程為，即；②所求直線過(guò)線段的中點(diǎn)，由于所求直線過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，所求直線的方程為.綜上所述，所求直線方程為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查到兩點(diǎn)等距離的直線方程的求解，解題時(shí)要留意所求直線與平行和所求直線過(guò)線段的中點(diǎn)這兩種狀況進(jìn)行分類(lèi)探討，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.17.已知直線過(guò)點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖像，求出端點(diǎn)處的斜率，從而求出斜率的范圍，進(jìn)而求出傾斜角的范圍即可.【詳解】解：如圖所示：設(shè)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)直線的斜率為，直線過(guò)點(diǎn)時(shí)直線的斜率為，則，，，所以要使直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為：,所以傾斜角的取值范圍.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求直線的斜率問(wèn)題，斜率與傾斜角的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：18.已知直線.（1）若直線的傾斜角為，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若直線在x軸上的截距為，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若直線與直線平行，求兩平行直線與之間的距離.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)直線，得到，再依據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解.（2）依據(jù)直線，令得，再求解.（3）依據(jù)直線與直線平行，則有求解，然后依據(jù)兩平行直線間的距離公式求解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€，所以，又因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，解得.（2）因?yàn)橹本€，令得，，解得.（3）因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線，兩平行直線與之間的距離.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦得傾斜角，斜率，截距以及兩直線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.19.如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)向量加減法運(yùn)算法則可得，依據(jù)計(jì)算可得的長(zhǎng)度；（2）依據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1），因?yàn)?，同理可得，所以．?）因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕援惷嬷本€與所成角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，考查了利用空間向量計(jì)算線段的長(zhǎng)度，考查了異面直線所成角的向量求法，屬于中檔題.20.如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)可證得結(jié)論；（2）依據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；（3）利用共線向量和向量線性運(yùn)算表示出，依據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長(zhǎng)即為所求結(jié)果.【詳解】（1）以為原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，