北京市房山區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬檢測(cè)試題含解析

PAGE21-房山區(qū)2024年高考其次次模擬檢測(cè)高三數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，那么集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算，再計(jì)算補(bǔ)集得到答案.【詳解】，，解得或，故，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查解不等式，補(bǔ)集的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.在△中，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】依據(jù)正弦定理：，故，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，利用周期公式得到答案.【詳解】，故周期.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，三角函數(shù)周期，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)學(xué)問的綜合應(yīng)用.4.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到，再依據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由題知：雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)闈u近線方程過點(diǎn)，所以過點(diǎn)，即..故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線離心率的求法，依據(jù)題意找到的關(guān)系式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)潔題.5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得到.分別畫出和的圖象可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再綜合和的狀況即可得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】令，得：，分別畫出和的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，令，，，.當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù).所以，所以在為增函數(shù)，又因?yàn)椋裕?故在無零點(diǎn).綜上：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.6.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)運(yùn)算依次推斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則，則若，則，故是充分條件；若，取，則，故不是必要條件.故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和推斷實(shí)力.7.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定義推斷函數(shù)的奇偶性，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則推斷單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在上單增，又為增函數(shù)，所以在上單增，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的推斷以及函數(shù)單調(diào)性的推斷，屬于中檔題.推斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假如不對(duì)稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，假如對(duì)稱常見方法有：（1）干脆法，(正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù))；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（為偶函數(shù)，為奇函數(shù)）.8.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)側(cè)棱的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖可得直觀圖四棱錐，結(jié)合圖形，即可得到最長(zhǎng)的側(cè)棱為，依據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】依據(jù)三視圖可得直觀圖四棱錐，如圖：底面是一個(gè)直角梯形，，，,,且底面，所以，，∴該四棱錐最長(zhǎng)側(cè)棱長(zhǎng)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的問題，關(guān)鍵是畫出直觀圖，結(jié)合圖形即可得到答案，考查學(xué)生的直觀想象和運(yùn)算求解實(shí)力.9.把物體放在冷空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是℃，空氣的溫度是℃，經(jīng)過分鐘后物體的溫度℃可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數(shù)．現(xiàn)有℃的物體，放在℃的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是℃，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】℃的物體，放在℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是℃，則，從而，由此能求出的值．【詳解】由題知，℃的物體，放在℃的空氣中冷卻，4分鐘以后物體的溫度是℃，則，從而，，得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了學(xué)生的閱讀理解實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.10.李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機(jī)蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市供應(yīng)配送服務(wù)，甲、乙、丙、丁四家超市分別須要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分別去了這四家超市配送，那么整個(gè)月他不用去配送的天數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意將剩余天數(shù)編號(hào)，轉(zhuǎn)化條件得李明每逢編號(hào)為3、4、6、7的倍數(shù)時(shí)要去配送，利用分類加法即可得解.【詳解】將月剩余的30天依次編號(hào)為1，2，330，因甲、乙、丙、丁四家超市分別須要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分別去了這四家超市配送，所以李明每逢編號(hào)為3的倍數(shù)的那天要去甲超市配送，每逢編號(hào)為4的倍數(shù)的那天要去乙超市配送，每逢編號(hào)為6的倍數(shù)的那天要去丙超市配送，每逢編號(hào)為7的倍數(shù)的那天要去丁超市配送，則李明去甲超市的天數(shù)編號(hào)為：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天數(shù)編號(hào)為：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天數(shù)編號(hào)不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天數(shù)編號(hào)為：7、14，共2天；所以李明須要配送的天數(shù)為，所以整個(gè)月李明不用去配送的天數(shù)是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了邏輯推理實(shí)力、轉(zhuǎn)化化歸思想與分類探討思想，關(guān)鍵是對(duì)于題目條件的轉(zhuǎn)化與合理分類，屬于中檔題.其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若（），則_________．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法法則可得，由復(fù)數(shù)相等的條件即可得解.【詳解】由題意，由可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.若直線與圓相切，則_________．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合圓的方程可得該圓圓心為，半徑為，再利用圓心到直線的距離等于半徑即可得解.【詳解】由題意圓的方程可轉(zhuǎn)化為，所以該圓圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程的應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________，△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)拋物線定義即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可求△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.【詳解】因?yàn)?，所以焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以依據(jù)拋物線的定義由：，又，所以，解得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.因?yàn)?，又，所以，，所以，故△（為坐?biāo)原點(diǎn)）的面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，解題關(guān)鍵依據(jù)拋物線定義用拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示焦半徑的長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知正方形的邊長(zhǎng)為，若，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，，因?yàn)?，，解得，所以，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.15.對(duì)隨意兩實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”：給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，，使得成立；②函數(shù)的值域?yàn)椋虎鄄坏仁降慕饧牵渲姓_結(jié)論的序號(hào)是_____________．【答案】①③【解析】【分析】由得，，對(duì)于①，由得，，由肯定值三角不等式即可推斷；（另解：舉例說明，??；）對(duì)于②，，再依據(jù)協(xié)助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可推斷；對(duì)于③，由得，，解出即可推斷．【詳解】解：由得，，對(duì)于①，由得，，即，由肯定值三角不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故①對(duì)；（另解：取，則，則成立；）對(duì)于②，，故②錯(cuò)；對(duì)于③，由得，，即，∴，解得，故③對(duì)；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義問題，解題的關(guān)鍵在于理解新運(yùn)算的含義，屬于中檔題．三、解答題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為正方形，平面平面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由題意，利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直線與平面垂直的判定可得平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）證：平面平面，平面平面，平面，且，平面，在三棱柱中，有，平面，得,是正方形，，而，平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定，考查線面角的求法，考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，屬于中檔題．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．是否存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．【答案】若選①，不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；若選②，存在，使得成等比數(shù)列；若選③，存在，使得成等比數(shù)列．【解析】【分析】由題意得，若存在正整數(shù)（）滿意題意，則；若選①，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求得，，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案；若選②，則當(dāng)時(shí)，，據(jù)此求得，，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案；若選③，則當(dāng)時(shí)，，據(jù)此求得，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案．【詳解】解：若選①，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，，∴，，若成等比數(shù)列，則，則，即，即，解得，均不符合題意，故不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；若選②，則當(dāng)時(shí)，，又符合上式，則，，∴，∴，，若成等比數(shù)列，則，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列；若選③，則當(dāng)時(shí)，，又符合上式，則，，∴，，若成等比數(shù)列，則，則，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列．【點(diǎn)睛】本題主要考查依據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．18.“十一”黃金周某公園迎來了旅游高峰期，為了引導(dǎo)游客有序游園，該公園每天分別在時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)公布實(shí)時(shí)在園人數(shù)．下表記錄了月日至日的實(shí)時(shí)在園人數(shù)：日日日日日日日時(shí)在園人數(shù)時(shí)在園人數(shù)時(shí)在園人數(shù)時(shí)在園人數(shù)通常用公園實(shí)時(shí)在園人數(shù)與公園的最大承載量（同一時(shí)段在園人數(shù)的飽和量）之比來表示游園舒適度，以下稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是萬人．（Ⅰ）甲同學(xué)從月日至日中隨機(jī)選天的下午時(shí)去該公園巡游，求他遇上“舒適”的概率；（Ⅱ）從月日至日中任選兩天，記這兩天中這個(gè)時(shí)間的巡游舒適度都為“舒適”的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）依據(jù)月日至日每天時(shí)的在園人數(shù)，推斷從哪天起先連續(xù)三天時(shí)的在園人數(shù)的方差最大？（只需寫出結(jié)論）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從10月3日起先連續(xù)三天時(shí)的在園人數(shù)的方差最大．【解析】【分析】（Ⅰ）由題意得，在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，由此依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可；（Ⅱ）從月日至日中，這個(gè)時(shí)間的巡游舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，得的取值可能為0，1，2，且聽從超幾何分布，由此可求出答案；（Ⅲ）依據(jù)方差的定義視察波動(dòng)幅度，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：∵以下稱為“舒適”，該公園的最大承載量是萬人，∴在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，（Ⅰ）月日至日的下午時(shí)去該公園巡游，“舒適”的天數(shù)為3天，∴甲同學(xué)遇上“舒適”的概率；（Ⅱ）從月日至日中，這個(gè)時(shí)間的巡游舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，∴的取值可能為0，1，2，且聽從超幾何分布，∴，，，∴的分布列為012∴的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從10月3日【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查古典概型的概率計(jì)算公式，考查方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．19.已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線與直線交于點(diǎn)，求證：，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積等于，并求的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；的取值范圍是.【解析】【分析】（I）依據(jù)橢圓的頂點(diǎn)、離心率以及求得，從而求得橢圓的方程.（II）設(shè)出的坐標(biāo)，求得直線和直線的方程，由此求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而證得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積等于.求得的表達(dá)式，由此求得的取值范圍.【詳解】（I）由于橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以，所以橢圓的方程為.（II）設(shè)則、.依題意可知，且.直線的方程為，直線的方程為.由解得，即.所以兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為.由.由于，且，所以，.也即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)求橢圓方程，考查橢圓中的定值問題，考查橢圓中的范圍問題，屬于中檔題.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）;（3）見解析.【解析】【分析】（1）由分母不等于0解不等式可求得定義域；（2）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義易求出切線方程；（3）先求導(dǎo)推斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最小值，命題得證.【詳解】解：（1）由得，，.所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由得：，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.（3）由（2）得，.當(dāng)時(shí)，與單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.【點(diǎn)睛】本題