山東省濰坊市安丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE18-山東省濰坊市安丘市試驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)定義，求出，即可得到的值．【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查已知角終邊上一點(diǎn)，利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)兩個(gè)單位向量的夾角為，則（）A.1 B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】由，然后用數(shù)量積的定義，將的模長和夾角代入即可求解.【詳解】，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若,則角的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，依據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.已知D，E是邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【詳解】解：D，E是邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若，可得，x，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，并且，函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為：，當(dāng)或時(shí)，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力．5.已知，是奇函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的肯定值為，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞減C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞增【答案】A【解析】【分析】首先整理函數(shù)的解析式為，由函數(shù)為奇函數(shù)可得，由最小正周期公式可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)考查函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)：.令可得.因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖像的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的肯定值為結(jié)合最小正周期公式可得：，解得：.故函數(shù)的解析式為：.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性；據(jù)此可知，只有選項(xiàng)A的說法正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查協(xié)助角公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性，三角函數(shù)解析式的求解等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.6.在中，，，是邊的中點(diǎn).為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿意，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量基本定理可知，將所求數(shù)量積化為；由模長的等量關(guān)系可知和為等腰三角形，依據(jù)三線合一的特點(diǎn)可將和化為和，代入可求得結(jié)果.【詳解】為中點(diǎn)和為等腰三角形，同理可得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用模長的等量關(guān)系得到等腰三角形，從而將含夾角的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為已知模長的向量的運(yùn)算.7.在中，角，，所對(duì)的邊為，，，且為銳角，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化簡，再利用三角形面積公式，即可得到，由，求得，最終利用余弦定理即可得到答案．【詳解】由于，有正弦定理可得：，即由于在中，，，所以，聯(lián)立，解得：，由于為銳角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（負(fù)數(shù)舍去）故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理，以及面積公式在三角形求邊長中的應(yīng)用，屬于中檔題．8.已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算和平面對(duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得最小值，即可求解.【詳解】由題意，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用問題，依據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9.已知，如下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.； B.四邊形為平行四邊形；C.與夾角的余弦值為； D.【答案】BD【解析】【分析】求出向量坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積、向量共線以及向量模的坐標(biāo)表示即可一一推斷.【詳解】由，所以，，，,對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則，即與平行且相等，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.10.下列各式中，值為的是（）A. B. C.D. E.【答案】BCE【解析】【分析】利用二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】解：不符合，；符合，；符合，；不符合，；符合，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，特別角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.11.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（）A.若，則肯定是等邊三角形B.若，則肯定是等腰三角形C.若，則肯定是等腰三角形D.若，則肯定是銳角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得，可推斷；由正弦定理可得，可推斷；由正弦定理與誘導(dǎo)公式可得，可推斷；由余弦定理可得角為銳角，角不肯定是銳角，可推斷.【詳解】由，利用正弦定理可得，即，是等邊三角形，正確；由正弦定理可得，或，是等腰或直角三角形，不正確；由正弦定理可得，即，則等腰三角形，正確；由正弦定理可得，角為銳角，角不肯定是銳角，不正確，故選AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，以及三角形形態(tài)的推斷，屬于中檔題.推斷三角形態(tài)的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；（3）依據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.12.已知函數(shù)，則下面結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期為C.的最大值為2 D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】首先將化簡為，選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，，故A正確。依據(jù)的周期和最值可推斷B正確，C不正確。依據(jù)可判定D正確。【詳解】，選項(xiàng)A，的定義域?yàn)椋?，故A正確。B選項(xiàng)，的最小正周期為，故B正確。C選項(xiàng)，，故C不正確。D選項(xiàng)，由的圖像，由圖可知：在上單調(diào)遞增，故D正確。故選ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性，同時(shí)考查三角函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題。三、填空題13.在中，角所對(duì)的邊分別為.若,，則角的大小為____________________.【答案】【解析】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了同學(xué)們解決三角形問題的實(shí)力．由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、14.已知，則________【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件，求得值，利用“1”的代換的方法將所求表達(dá)轉(zhuǎn)化為只含的式子，由此求得表達(dá)式的值.【詳解】由得，故.所以，分子分母同時(shí)除以得.故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查“1”的代換以及齊次式的計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題15.已知函數(shù)，若對(duì)隨意都有（）成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)和的取值特點(diǎn)，推斷出兩個(gè)值都是最值，然后依據(jù)圖象去確定最小值.【詳解】因?yàn)閷?duì)隨意成立，所以取最小值，取最大值；取最小值時(shí)，與必為同一周期內(nèi)的最小值和最大值的對(duì)應(yīng)的，則，且，故.【點(diǎn)睛】任何一個(gè)函數(shù)，若有對(duì)任何定義域成立，此時(shí)必有：，.16.設(shè)非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得到，，再依據(jù)向量點(diǎn)積的公式得到向量夾角即可.【詳解】由題設(shè)知，若向量，的夾角為，則，的夾角為.由題意可得，，.∵，，，，向量與的夾角為.故答案為.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及向量夾角的求法，平面對(duì)量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.四、解答題17.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若，，，求證：三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)，使和同向.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的運(yùn)算可得，再依據(jù)平面對(duì)量共線基本定理即可證明三點(diǎn)共線；（2）依據(jù)平面對(duì)量共線基本定理，可設(shè)，由向量相等條件可得關(guān)于和的方程組，解方程組并由的條件確定實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，，所?所以共線，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.（2）因?yàn)榕c同向，所以存在實(shí)數(shù)，使，即.所以.因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，所以解得或又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量共線定理的應(yīng)用，三點(diǎn)共線的向量證明方法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）對(duì)題中等式應(yīng)用正弦定理化簡后即可求出角；（2）首先依據(jù)余弦定理和中線求出邊，再依據(jù)三角形面積公式求出三角形面積即可.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得：，即，又∵，∴，∴，又，所以；（2）由，，知，在中，由余弦定理得，解得，故，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理余弦定理求解三角形，屬于基礎(chǔ)題.19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）求角的大??；（2）已知，且的外接圓的半徑為，若，求的值.【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）化簡得到，依據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案.（2）依據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理得到，聯(lián)立方程得到，再利用余弦定理得到答案.【詳解】（1），，由余弦定理可得，，，.（2），外接圓的半徑為，由正弦定理可得，可得，，①由余弦定理可得：，解得：，②聯(lián)立①②可得：，或，由，可得，，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理解三角形，向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.20.設(shè)向量，，其中，，函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的點(diǎn)）為，在原點(diǎn)右側(cè)與軸的第一個(gè)交點(diǎn)為.（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，且，求邊長.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1），依據(jù)周期得到，代入點(diǎn)得到，得到解析式.（2）解得，依據(jù)得到，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，，將點(diǎn)代入，得，所以，又因，，即函數(shù)的表達(dá)式為.（2）由，即，又，，由，知，所以，由余弦定理知，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，三角函數(shù)解析式，余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.21.已知兩個(gè)不共線的向量，滿意，，.（1）若，求角值；（2）若與垂直，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的使得成立，求正數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量平行得到，解得答案.（2）依據(jù)向量垂直得到，故，得到答案.（3）化簡得到，由得，故，解得答案.【詳解】（1），故，，故角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，故，即，又因?yàn)?，所?即的范圍.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)向量平行求參數(shù)，依據(jù)向量垂直求模，方程解的個(gè)數(shù)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，轉(zhuǎn)化實(shí)力，綜合應(yīng)用實(shí)力.22.已知，，，且，其中.(1)若與的夾角為60