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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西欽州市示范性高中2025屆高三開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則()A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗,故選:C.2.下列四個(gè)命題中,是真命題的為()A.任意,有 B.任意,有C.存在,使 D.存在,使〖答案〗C〖解析〗由于對(duì)任意,都有,因而有,故A為假命題.由于,當(dāng)x=0時(shí),不成立,故B為假命題.由于,當(dāng)x=-1時(shí),,故C為真命題.由于使成立的數(shù)只有,而它們都不是有理數(shù),因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3,故D是假命題.故選:C.3.若都為非零向量,且,,則向量的夾角為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?,,所以,即,化?jiǎn)得,所以.所以.因?yàn)椋裕蔬x:D.4.下列命題中正確的是()A.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)大于中位數(shù)B.對(duì)一組數(shù)據(jù),如果將它們變?yōu)椋渲?,則平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變C.有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查,如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9,則樣本容量為30D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,,則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A,數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)是3,中位數(shù)是,眾數(shù)等于中位數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,數(shù)據(jù),如果將它們變?yōu)?,其中,則平均數(shù)增加C,標(biāo)準(zhǔn)差不變,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查,如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9,則樣本容量為,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,,則,故D正確.故選:D.5.已知,,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,則點(diǎn)的軌跡方程是()A.() B.()C.() D.()〖答案〗A〖解析〗∵點(diǎn),,∴,又∵動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,∴點(diǎn)的軌跡方程是射線(xiàn):(),故選A.6.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意,函數(shù)的定義域?yàn)镽,,即函數(shù)是R上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),選項(xiàng)A,C不滿(mǎn)足;當(dāng)時(shí),,即有,選項(xiàng)D不滿(mǎn)足,B符合題意.故選:B.7.2020年12月4日,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉教授等人成功構(gòu)建76個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”(命名為“九章”是為了紀(jì)念中國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》),求解數(shù)學(xué)算法高斯玻色取樣只需200秒,而目前世界最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)要用6億年,這一突破使我國(guó)成為全球第二個(gè)實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國(guó)家.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著,其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上衰二丈,無(wú)廣,高一丈.問(wèn)積幾何?”意思為:“今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)”,下底面寬丈,長(zhǎng)丈,上棱丈,與平面平行.與平面的距離為1丈,則它的體積是()A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈〖答案〗B〖解析〗如圖,過(guò)點(diǎn)作平面,垂足為,過(guò)點(diǎn)作平面,垂足為,過(guò)作,交于,交于,過(guò)作,交于,交于,所以,,且四邊形與四邊形都是矩形;所以它的體積(立方丈),故選:B.8.若,,則的最大值為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一:由,,消去得到,令,,則,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最大值為.當(dāng)時(shí),,不成立,當(dāng)時(shí),,故的最大值為.綜上所述:的最大值為.方法二:由,,可消去得到,則,令,,當(dāng)時(shí),,故的最大值為.故選:C.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)則()A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)〖答案〗AD〖解析〗,A正確.因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),B錯(cuò)誤.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),D正確.若,則,由的圖象可知,在上有最大值,沒(méi)有最小值,C錯(cuò)誤.故選:AD.10.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于,兩點(diǎn),為線(xiàn)段的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),則下列說(shuō)法正確的是()A.的最小值為B.當(dāng)時(shí),C.以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切D.當(dāng)最小時(shí),切線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A,依題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為,,,,則,,聯(lián)立,消整理得,則,代入得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的最小值為,故A正確;對(duì)于B,結(jié)合A可得,,由,得,解得,,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由題意得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,焦點(diǎn),設(shè),,在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為,,,則,,,所以以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)相切,故C正確;對(duì)于D,結(jié)合A可得,當(dāng)最小時(shí),不妨取,則可設(shè)切線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,消整理得,則,解得,所以切線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,解得,,即切線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為,故D正確.故選:ACD.11.已知函數(shù)部分圖象如圖所示,將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C.函數(shù)奇函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)函數(shù)的部分圖象,可得A=2,,∴ω=2,對(duì)于A選項(xiàng),結(jié)合五點(diǎn)法作圖,可得,故A正確,,將函數(shù)的圖象平移后得到函數(shù)的圖象,則,對(duì)于B選項(xiàng),由,得到的對(duì)稱(chēng)軸為,顯然不是其對(duì)稱(chēng)軸,故,故B錯(cuò)誤,對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)顯然不是奇函數(shù),故C錯(cuò)誤,對(duì)于D選項(xiàng),,的遞增區(qū)間即的遞減區(qū)間,令,解得,故的遞增區(qū)間是,當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間是,故D正確,故選:AD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為,則有,解得:,所以.13.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,2),則___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)P(1,2),所以,所以.14.某學(xué)校圍棋社團(tuán)組織高一與高二交流賽,雙方各挑選業(yè)余一段、業(yè)余二段、業(yè)余三段三位選手,段位越高水平越高,已知高二每個(gè)段位的選手都比高一相應(yīng)段位選手強(qiáng)一些,比賽共三局,每局雙方各派一名選手出場(chǎng),且每名選手只賽一局,勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利,在比賽之前,雙方都不知道對(duì)方選手的出場(chǎng)順序.則第一局比賽高一獲勝的概率為_(kāi)_____,在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗設(shè)為高一出場(chǎng)選手,為高二出場(chǎng)選手,其中表示段位,則第一局比賽中,共有,共9個(gè)基本事件,其中高一能取得勝利的基本事件為,,,共3個(gè),所以第一局比賽高一獲勝的概率為,在一場(chǎng)三局比賽中,共有不同種安排方法,其中高一能獲勝的安排方法為,,,,,,共6種,故在一場(chǎng)比賽中高一獲勝的概率為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.(1)求角A的大??;(2)D是線(xiàn)段上的點(diǎn),且,,求的面積.解:(1)因?yàn)?,由正弦定理?因?yàn)椋?,所以,?因?yàn)椋?,?(2)設(shè),因?yàn)?,所?因?yàn)椋?,,,在中,由正弦定理可知,即,即,化?jiǎn)可得,即,,所以.16.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;(2)若既存在極大值,又存在極小值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),求導(dǎo)得,則,而,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,即.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,求?dǎo)得,當(dāng)時(shí),,由,得,由,得,則函數(shù)在上遞增,在上遞減,函數(shù)只有極大值,不合題意;當(dāng)時(shí),由,得或,①若,即,由,得或,由,得,則函數(shù)在上遞增,在上遞減,因此函數(shù)的極大值為,極小值為,符合題意;②若,即,由,得或,由,得,則函數(shù)上遞增,在上遞減,因此函數(shù)的極大值為,極小值為,符合題意;③若,即,由在上恒成立,得在上遞增,函數(shù)無(wú)極值,不合題意,所以的取值范圍為.17.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,過(guò)棱的中點(diǎn)E作于點(diǎn),連接.(1)證明:;(2)若,求平面與平面所成角的正弦值.(1)證明:∵四邊形為矩形,∴,∵平面,平面,∴,又,平面,∴平面,又平面,∴.∵,點(diǎn)E是的中點(diǎn),∴.又,平面,∴平面.平面,∴.又,,平面,∴平面,平面,∴.(2)解:如圖,因兩兩垂直,故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A0,0,0,P0,0,1,,D∴,.由(1)可知,可看成平面的一個(gè)法向量,可看成平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面的所成角為,∴,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.18.在一場(chǎng)乒乓球賽中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”,具體賽制為:首先,四人通過(guò)抽簽兩兩對(duì)陣,勝者進(jìn)入“勝區(qū)”,敗者進(jìn)入“敗區(qū)”;接下來(lái),“勝區(qū)”的兩人對(duì)陣,勝者進(jìn)入最后決賽;“敗區(qū)”的兩人對(duì)陣,敗者直接淘汰出局獲第四名,緊接著,“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣,勝者晉級(jí)最后的決賽,敗者獲第三名;最后,剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽,勝者獲得冠軍,敗者獲第二名.甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為,且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若,經(jīng)抽簽,第一輪由甲對(duì)陣乙,丙對(duì)陣丁;①求甲獲得第四名的概率;②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望;(2)除“雙敗淘汰制”外,也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”:抽簽決定兩兩對(duì)陣,勝者晉級(jí),敗者淘汰,直至決出最后的冠軍.哪種賽制對(duì)甲奪冠有利?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)①記“甲獲得第四名”為事件,則;②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量,則的所有可能取值為2,3,4,連敗兩局:,可以分為:連勝兩局,第三局不管勝負(fù);負(fù)勝負(fù);勝負(fù)負(fù);,;故的分布列如下:234故數(shù)學(xué)期望;(2)“雙敗淘汰制”下,甲獲勝的概率,在“單敗淘汰制”下,甲獲勝的概率為,由,且所以時(shí),,“雙敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利;時(shí),,“單敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利;時(shí),兩種賽制甲奪冠的概率一樣.19.牛頓(1643-1727)給出了牛頓切線(xiàn)法求方程的近似解:如圖設(shè)是y=fx的一個(gè)零點(diǎn),任意選取作為的初始近似值,過(guò)點(diǎn)x0,fx0作曲線(xiàn)y=fx的切線(xiàn),與軸的交點(diǎn)為橫坐標(biāo)為,稱(chēng)為的1次近似值,過(guò)點(diǎn)x1,fx1作曲線(xiàn)y=fx的切線(xiàn),與軸的交點(diǎn)為橫坐標(biāo)為,稱(chēng)為的2次近似值.一般地,過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)y=fx的切線(xiàn),與軸的交點(diǎn)為橫坐標(biāo)為,就稱(chēng)為的次近似值,稱(chēng)數(shù)列為牛頓數(shù)列.(1)若的零點(diǎn)為
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