河南省鄭州市2023-2024學(xué)年高二年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

河南省鄭州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若/（x）=sinx-cosa,則/等于（）

A.cosx-sinaB.cosx+sintz

C.cosxD.sinx

2.已知隨機變量X滿足。（2-2X）=4,下列說法正確的是（）

A.O（X）=-1B.D（X）=1

C.D（X）=4D.D（X）=2

3.五行是中國古代的一種物質(zhì)觀，多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.

現(xiàn)將“金木、水、火、土”排成一排，貝上土、水”相鄰的排法種數(shù)為（）

A.12B.24C.48D.72

4.已知由樣本數(shù)據(jù)（^.,7,）（/=1,2,3,--,10）組成一個樣本，可得到回歸直線方程為y=2x+a,

且手=3,y=4.7,則樣本點（4,7）的殘差為（）

A.0.3B.-0.3C.1.3D.-1.3

5.某校乒乓球社團為了解喜歡乒乓球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查.

已知抽查的男生、女生人數(shù)均為6加（根eN*）,其中男生喜愛乒乓球運動的人數(shù)占男生人數(shù)的

21

女生喜愛乒乓球運動的人數(shù)占女生人數(shù)的不若本次調(diào)查得出“有99.5%的把握認(rèn)為喜愛

32

乒乓球運動與性別有關(guān)”的結(jié)論，則冽的最小值為（）

n(ad-bc￥

附：參考公式及數(shù)據(jù)：/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.20B.21C.22D.23

6.函數(shù)/（月=/-3x在區(qū)間（m,2）上有最小值,則”?的取值范圍是（）

試卷第1頁，共6頁

A.[-3,1)B.(-3,1)C.(-2,1)D.[-2,1)

7.不等式3A：42A幻+6A；的解集為（）

A.{3,4,5}B.{3,4,5,6}C.{x|3<x<5)D.{x|3<x<61

2023]?2025

8.設(shè)”聲!—,c=In------,則（)

20242024

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

二、多選題

9.下列說法中，正確的是（）

A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1

B.在樣本數(shù)據(jù)=1,2,3,…,10）中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為夕=3尤-1,

去除一個樣本點（4，兀）后，得到的新線性回歸方程一定會發(fā)生改變

C.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越低

D.已知隨機變量4~N（0,〃），若P9>2）=0.2,貝?。?24442）=0.6

10.已知函數(shù)〃x）=ox-lnx,則“/（x）有兩個零點”的一個充分不必要條件是（）

12

A.0<。<—B.0<tz<—

ee

C.0<tz<-D.0<。<—

2e4e

11.楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》、《日用算法》

和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱

這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，

由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.根據(jù)以上材料，以下說法正確的

是（）

試卷第2頁，共6頁

A.第2024行中，第1012個數(shù)最大

B.楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為256

C.記第〃行的第，個數(shù)為％,則￡2"4=3"

Z=1

D.在“楊輝三角”中，記每一行第4(AeN*)個數(shù)組成的數(shù)列稱為第左斜列，該三角形數(shù)

陣前2024行中第左斜列各項之和為C；025

三、填空題

12.曲線y=xe'在點(l,e)處切線的斜率為.

13.某班教室一排有6個座位，如果每個座位只能坐1人，現(xiàn)安排三人就座，恰有兩個空位

相鄰的不同坐法有種.(用數(shù)字作答)

14.在4尻C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%人患了流感.假設(shè)這三個

地區(qū)的人口數(shù)的比為5:7:8,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任取一人，則這個人患流感的概率

是；如果此人患流感，此人選自A地區(qū)的概率.

四、解答題

15.已知二項式'x+jj(〃eN*)的二項展開式中二項式系數(shù)之和為256.

(1)求展開式中一的系數(shù)；

試卷第3頁，共6頁

(2)求展開式中所有的有理項.

16.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車發(fā)展的方向.為促進(jìn)新能源汽

車發(fā)展，實施差異化交通管理政策，公安部將在2018年上半年，將在全國所有城市全面啟

用新能源汽車專用號牌.2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃》

(2021—2035年)要求深入實施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)

量可持續(xù)發(fā)展.隨著國家對新能源汽車產(chǎn)業(yè)的支持，很多國產(chǎn)新能源汽車迅速崛起，又因其

顏值高、空間大、提速快、用車成本低等特點深得民眾的追捧，目前充電難問題已成為影響新

能源汽車銷量的關(guān)鍵因素，國家為了加快新能源汽車的普及，在全國范圍內(nèi)逐步增建充電樁.

某地區(qū)2019—2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：

年份20192020202120222023

充電樁數(shù)量X/萬臺13579

新能源汽車年銷量了/萬輛2537485872

(1)由上表中新能源汽車年銷售量(用和充電樁數(shù)量(x)的樣本數(shù)據(jù)所畫出的散點圖知，它們

的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，請用所學(xué)統(tǒng)計知識進(jìn)行定量分析；(結(jié)果精確到0.001)；

(2)求V關(guān)于龍的線性回歸方程，且預(yù)測當(dāng)該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時，新能源汽車的年

銷量是多少萬輛？

nn

E(%一可(乂-力E%%一“反

參考公式：相關(guān)系數(shù)"“==反，1“，回歸方程

(z-7)2也(％-才迂仇一河

Vi=ii=iyi=iz=i

才(占-可(乂-了)

y^a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為3=『-----------，石=7-層.參考數(shù)

可2

i=l

555

據(jù)：￡(占-可2=40,￡(力-歹)2=1326,￡X,%=1430,753040?230.3041..

1=1Z=11=1

17.已知函數(shù)/(x)=ax2-(a+4)x+2ha,其中a>0.

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)在(0,4］上的最大值;

⑵討論“X)的單調(diào)性.

18.從2020年開始，新高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了一種新的題型多選題.教育部考試中心通過科

試卷第4頁，共6頁

學(xué)測量分析，指出該題型擴大了試卷考點的覆蓋面，有利于提高試卷的得分率，也有利于提

高試卷的區(qū)分度.新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2個以上選項是正

確的，每一道題考生全部選對得6分.對而不全得3分，選項中有錯誤得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試

卷的多選題中有2個選項正確的概率為P(O<P<1),有3個選項正確的概率為1-P，沒有4

個選項都正確的(在本問題中認(rèn)為其概率為0).在一次模擬考試中：

(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答

案，若小明該題得6分的概率為1，求0；

(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方

案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個，共選2個；③從另

外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若p=\，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，

小明應(yīng)該選擇哪個方案？

19.從函數(shù)的觀點看，方程的根就是函數(shù)的零點，設(shè)函數(shù)的零點為『.牛頓在《流數(shù)法》一書

中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.具體做法如下：先在x軸找初始點

%伉,0),然后作y="x)在點。。(%,/伉))處切線，切線與無軸交于點月(國⑼，再作y=

f(x)在點。處切線(儲軸，以下同)，切線與x軸交于點6(%,0),再作y=

f(x)在點2(%，/(%))處切線，一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：尤。,國產(chǎn)2,…/”.顯然，它們會越

來越逼近，?.于是，求〃近似解的過程轉(zhuǎn)化為求斗，若設(shè)精度為￡,則把首次滿足"-七/<￡

的X”稱為r的近似解.

⑴設(shè)1(力=丁+/+1,試用牛頓法求方程/(力=0滿足精度￡=0.5的近似解(取X°=-1,

且結(jié)果保留小數(shù)點后第二位)；

(2)如圖，設(shè)函數(shù)g(x)=2，；

試卷第5頁，共6頁

2#

PiC)(Po)|x

(i)由以前所學(xué)知識，我們知道函數(shù)8@)=2工沒有零點，你能否用上述材料中的牛頓法加

以解釋？

(ii)若設(shè)初始點為《(0,0),類比上述算法，求所得前〃個三角形

△PoQoC，△月。禺,...-10”_閨的面積和.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.c

【分析】按照導(dǎo)數(shù)四則運算法則求導(dǎo)即可.

【詳解】r(x)=cosx.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)隨機變量線性運算的方差規(guī)律，直接求解即可.

【詳解】根據(jù)隨機變量線性運算的方差結(jié)論，得到〃(2-2X)=4O(X)=4,則。(X)=l.

故選：B.

3.C

【分析】利用捆綁法計算即可求解.

【詳解】將“土、水”綁在一起，當(dāng)做一個整體，有A；=2種排法，

將該整體與“金、木、火”全排列，共有A：=24種排法，

所以共有2x24=48種排法.

故選：C

4.A

【分析】先將中心丘,亍)代入回歸方程求出將x=4代入回歸方程求得e=6.7,結(jié)合殘差

的定義即可求解.

【詳解】由題意知，將點(3,4.7)代入步=2》+4,

得&=—1.3,所以9=2X-L3,

將x=4代入"2x-1.3,解得學(xué)=6.7,

所以樣本點(4,7)的殘差為7-6.7=0.3.

故選：A

5.D

【分析】依題意，作出2x2列聯(lián)表，計算/的值，依題意，須使/的值不小于小概率0.005

對應(yīng)的M。05,求解不等式即得.

【詳解】依題意，作出2x2列聯(lián)表：

男生女生合計

答案第1頁，共10頁

喜愛乒乓球運動4m3m7m

不喜愛乒乓球運動2m3m5m

合計6m6m12m

12m(4m-3m-2m-3m)212m

則力2

35

因本次調(diào)查得出“有99.5%的把握認(rèn)為喜愛乒乓球運動與性別有關(guān)”的結(jié)論，故得

叫27.879,

35

解得加222.98,因加eN*,故機的最小值為23.

故選：D.

6.D

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，求出加的范圍即可.

【詳解】求導(dǎo)/''(x”3x2-3=3(x+l)(x-l),令/(無)=0,得》=±1.

易知函數(shù)在(f,-1),(1,y)單調(diào)遞增，在(T1)單調(diào)遞減，且〃-2)=-2,/(-1)=2,/(1)=-2,

/(2)=2,由圖象知一24%<1

故選：D.

7.A

【分析】利用排列數(shù)公式將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.

【詳解】易知x23,XGN.

因為A；=x(x_l)(%_2),A*=(x+l)x,=x(x-l),

所以原不等式可化為3x(xT)(x-2)W2x(x+l)+6x(x-l),

所以34xW5,

答案第2頁，共10頁

所以原不等式的解集為{3,4,5}.

故選：A

8.B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-ln(x+l)(O?x?l),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可比較6,c,由

2023

eV竭〉/ce?！?]1，可比較b,從而得到答案

1y

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=x—ln(x+l)(0<x<l),所以/，⑴句一^—=丹〉0,即/(X)在

1+X1+X

(0,1)上單調(diào)遞增，

所以〃一1—)〉"0)=0，即^——ln(l+—)>0,即一1—>ln些，所以6>c,

20242024202420242024

2023

又因為e麗〉e。7，所以。>6,貝lja>6>C,

故選：B

9.AD

【分析】對于A選項，根據(jù)線性相關(guān)性判斷；對于B選項，當(dāng)點再回歸直線上時來判斷；

對于C選項，根據(jù)殘差點分布特征判斷；對于D選項，運用正態(tài)分布對稱性解題即可.

【詳解】對于A選項，根據(jù)線性相關(guān)性判斷，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系

數(shù)的絕對值越接近于1,則A正確；

對于B選項，當(dāng)點在回歸直線上時，去掉后，回歸方程不改變，故B錯誤；

對于C選項，根據(jù)殘差點分布特征，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明

波動越小，說明模型的擬合精度越高，故C錯誤；

對于D選項，運用正態(tài)分布對稱性，隨機變量，~N(0,〃)，若尸4>2)=0.2,貝I]

P?<-2)=0.2,則尸(「24，。2)=1-02x2=0.6,故D正確.

故選：AD.

10.CD

【分析】令函數(shù)/■(x)="-lnx=0,分離常數(shù)。，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得。的

取值范圍，根據(jù)充分條件和必要條件的概念選出正確答案.

【詳解】由題意知/(力="-1=0有兩個相異實根，即y=a與g(x)=￥的圖像有兩個

交點.

答案第3頁，共10頁

g，(x)=,當(dāng)xe(O,e),g,(%)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)尤e（e,+8）,g,（x）＜0,g（無）單調(diào)遞減.

g(e)=L當(dāng)x-0,g(x)f-s

當(dāng)Xf+oo,g(%)>0,所以

e

又因為CD是的真子集，所以答案選CD.

故選：CD.

11.BC

【分析】利用（。+6）”的展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷AB；求出q=C『，再利用（1+2）"

展開式的特征可判斷C；利用C：+C：+1=C：：；可判斷D.

【詳解】對于A,因為楊輝三角的第〃行就是（a+4”的展開式的二項式系數(shù),

即C：,C；,…,C：,當(dāng)〃為偶數(shù)時中間一項最大，因為“=2024,

所以C；o24，C；°24,…,C言：中間一項最大，且為第1013個數(shù)最大，故A錯誤；

對于B,楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為C；+C；+…+C；=2'=256,故B正確；

對于C,記第〃行的第，個數(shù)為生，則q=C；

n+1n+\

則￡21%=32'-（丁=《2°+&2+-+（3；2"=（+2）"=3",故C正確；

i=li=l

.vjInI

對于D,因為~而

r\\n-ry.（r+1）!（〃一/一1）!

二加（1I1）（"+1）!'L

r\{n-r—^\n-rr+\）（r+l）!（?-r）!，，+1"

所以上22時，該三角形數(shù)陣前2024行中第左斜列各項之和為

c3+c3+C;；+…+c柒4=C+c3+ct；+…+c晶4=c￡，

笈=1時，該三角形數(shù)陣前2024行中第1斜列各項之和為2024,而C￡s=2025,

所以C￡s只適用于左22,故D錯誤.

故選：BC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是利用（。+，）”的展開式的二項式系數(shù)性質(zhì)解題.

12.2e

答案第4頁，共10頁

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入X=1計算可得.

【詳解】解：因為y=xe，，所以y'=（l+x）e，，所以川1=（1+1戶=2e

即曲線y=xe，在點（l,e）處切線的斜率為2e.

故答案為：2e

13.72

【分析】由已知可得，將安排三人就座看成3個坐著人的座位和3個空座位排隊，利用捆綁

法和插空法結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的計算可得答案.

【詳解】由題意，可看成3個坐著人的座位和3個空座位排隊，

恰有兩個空座位相鄰，故和另外一個空座位均不相鄰，

先安排3個坐著人的座位，共有A；=3x2xl=6種坐法，產(chǎn)生4個空位，

然后安排空座位到空中，相鄰的兩個空位捆綁在一起，看做一個元素，有C；=4種坐法，然

后再從剩余的3個空中選擇一個，將剩余的一個空座位安上，有C；=3種坐法,

所以共有6x4x3=72種坐法.

故答案為：72.

9730

14.0.0485/

200091

【分析】利用全概率公式可求這個人患流感的的概率；利用條件概率公式可求如果此人患流

感，此人選自A地區(qū)的概率.

【詳解】記事件。:選取的這個人患了流感，記事件氏此人來自A地區(qū)，記事件廠:此人來

自3地區(qū)，記事件G:此人來自C地區(qū)，

則O=OUEU尸，且G、E、尸彼此互斥,

57X

由題意可得P（E）=^=0.25,尸仍）=力=0.35,尸（G）=4=0.4,

P（D|E）=0.06,P（r>|F）=0.05,P（Z）|G）=0.04,

由全概率公式可得尸（。）=尸（E）.尸（叫E）+P（尸）.尸（Z>/）+P（G）?尸（￡）|G）

=0.25x0.06+0.35x0.05+0.4x0.04=0.0485；

30

由條件概率公式可得尸（叫=篇=筆，若辭

97

答案第5頁，共10頁

故答案為：0.0485；—.

15.(1)1792

(2)256/1792，,112

【分析】(1)根據(jù)二項式系數(shù)之和的公式建立方程，可求解”的值，從而求出展開式的通項

公式，令x的指數(shù)為4,即可求解；

(2)根據(jù)(1),令x的指數(shù)為整數(shù)，求出r的值，進(jìn)而可以求解.

【詳解】(1)由二項式系數(shù)和為2",則2"=256,解得"=8；

則展開式的通項公式為=C；(2尤廣?[=C；2".xT,r=0,l,2,3,4,5,6,7,8,

4

令8-7=4,解得r=3,所以展開式中含的系數(shù)為C>25=1792；

4

(2)由(1)可知，48--reZ,且r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,則r=0,3,6,

則展開式中的有理項分別為C，愛*8=256/,C^-25-X4=1792X4,C?-22-x°=112.

16.(1)答案見解析

⑵"5.75x+19.25；157.25萬輛

【分析】(1)先求出，結(jié)合題意中的公式計算即可求解;

(2)根據(jù)最小二乘法計算B，進(jìn)而求出力,寫出線性回歸方程+將x=24代入方

程即可下結(jié)論.

-1—1

【詳解】(1)由題知》=《'(1+3+5+7+9)=5,j=-x(25+37+48+58+72)=48,

5_5_5

又2區(qū)-x)2=40,￡(%-y)2=1326,￡x,%=1430,

i=lz=li=\

所以

因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.999,非常接近1,

所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系;

答案第6頁，共10頁

&=1—^=48—5.75x5=19.25,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=5.75x+19.25.

當(dāng)尤=24時，,=5.75x24+19.25=157.25,

故當(dāng)充電樁數(shù)量為24萬臺時，該地區(qū)新能源汽車的年銷量為157.25萬輛.

17.(l)-4+41n2

(2)答案見解析

【分析】(1)當(dāng)。=1時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而得最值；

(2)求得仆)=(“1產(chǎn)—1),對實數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化,

綜合可得出函數(shù)/(無)的單調(diào)性.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=x2-5x+21nx,

則_f(x)=2x-5+"2XT)(X2),

XX

所以，當(dāng)0<x<：或x>2時，r(x)>0,則函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)(<x<2時，r(x)<0,則函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

故函數(shù)/(X)在和(2,4)上單調(diào)遞增，在&上單調(diào)遞減，

191

又/(-)=---2In2,/(4)=-4+4In2,/(4)>f(~],

242

所以，函數(shù)/(x)在(0,4]上的最大值為-4+4U12；

(2)函數(shù)/(無)=加-(a+4)x+21nx的定義域為(0,+oo),

,

/(x)=2flx-(a+4)+-=2-—(。+4"+2='-2)紅一1),

21

當(dāng)。>0時，由/''(x)=o,可得占=—,%=：，

a2

1O

當(dāng)0<。<4時，當(dāng)彳<x<—時，/'(x)<0,此時，函數(shù)單調(diào)遞減,

2a

1o

當(dāng)0<x<：或x>*時，止匕時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

2a

答案第7頁，共10頁

當(dāng)Q=4時，對任意的x>0,/(x)>0,

此時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

O1

當(dāng)。>4時，當(dāng)—<x<時，此時，函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減，

a2

當(dāng)0<x<o,或x>51時，f'(x)>0,止匕時，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)0<a<4時，函數(shù)/(x)在(0,￡|、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

減；

當(dāng)。=4時，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0>4時，函數(shù)〃x)在(0,￡|、&,+"上的單調(diào)遞增，在仔,；］上單調(diào)遞減.

18.⑴;

(2)答案見解析

【分析】

(1)根據(jù)條件概率公式求解即可；(2)分別求出方案①，方案②，方案③的得分或者得

分期望值，然后根據(jù)得分情況選擇方案即可.

【詳解】(1)

(1)根據(jù)題意可知，不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件4,“有3個選項正確”

為事件也，“小明該題得6分”為事件3,則尸(8)=尸(84)=尸(4)*尸(⑸4)=。x*=',

解得。=9；

4

(2)

若小明選擇方案①，則小明的得分為3分，

若小明選擇方案②，記小明該題得分為X,

則X的可能取值為0,3,6,對應(yīng)概率為：

尸(x=o)=尸㈤)晟+尸區(qū)17

—X―I-------XT

12312336

147

尸(X=3)=/

3618

答案第8頁，共10頁

C1515

尸(X=6)=尸(4)T=一x—=一

'"c；12336

171457?

故E(X)=0xw+3x忑+6X^=W=2，

36363o36

若小明選擇方案③，記小明該題得分為匕