考點(diǎn)09 二次函數(shù)應(yīng)用（原卷版）

考點(diǎn)九二次函數(shù)應(yīng)用一、二次函數(shù)的綜合1、函數(shù)存在性問題解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．2、函數(shù)動點(diǎn)問題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點(diǎn)在不同位置運(yùn)動或不同時間段運(yùn)動時對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動點(diǎn)問題，首先要明確動點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動，運(yùn)動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計算．3、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問題．考向一函數(shù)應(yīng)用典例引領(lǐng)1．某體驗(yàn)館建造了一幢“森林”主題場館，如圖是館內(nèi)拋物線形模擬洞穴的橫截面，現(xiàn)需要在洞穴內(nèi)壁架設(shè)平行于地面的鋼架，兩端分別在洞穴最高點(diǎn)兩側(cè)．在鋼架正下方隔離出一片矩形區(qū)域，且在水平地面上．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、水平地面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線與x軸相交于O、E，經(jīng)測量長8米．(1)若在拋物線上，求該拋物線表達(dá)式．(2)在（1）的條件下，若隔離區(qū)矩形區(qū)域的高米，則隔離區(qū)的面積為多少？2．如圖，中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．(1)若兩點(diǎn)的距離為時，求的值？(2)當(dāng)為何值時，的面積最大？并求出最大面積．3．學(xué)校體育器材室有一扇長2米，寬1米的矩形窗戶，現(xiàn)需設(shè)計一個不銹鋼的護(hù)欄．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)提出的設(shè)計方案如下：如圖，底部設(shè)計一條拋物線，拋物線的頂點(diǎn)到底部距離為0.5米，為牢固起見，拋物線上方按相等間距加設(shè)三根不銹鋼管立柱．請你根據(jù)興趣小組同學(xué)的設(shè)計，求出所需三根不銹鋼管立柱的總長度．4．希希開了一家網(wǎng)店，計劃銷售甲、乙兩種商品．若甲商品每件利潤25元，乙商品每件利潤30元，則每周能賣出甲商品200件，乙商品80件，經(jīng)調(diào)查，甲商品零售單價每降價1元，每周可多銷售10件；乙商品零售單價每降價1元，每周可多銷售5件，為了提高銷售量，小明決定把甲、乙兩種商品的零售單價都降價x（x為整數(shù)）元．(1)直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式：_______，_______．(2)求出希希每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W（元）與降價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果每周兩種商品的銷售總量不超過380件，希希每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大是多少？5．乒乓球被譽(yù)為中國國球．2023年的世界乒乓球錦標(biāo)賽中，中國隊(duì)包攬了五個項(xiàng)目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的．甲乙兩人訓(xùn)練打乒乓球，讓乒乓球沿若球臺的中軸線運(yùn)動，圖為從側(cè)面看乒乓球臺的視圖，為球臺，為球網(wǎng)，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，甲從正上方的處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺上的處再彈起到另一側(cè)的處，從處再次彈起到，乙再接球．以所在直線為軸，為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示球與的水平距離，表示球到球臺的高度，將乒乓球看成點(diǎn)，兩次彈起的路徑均為拋物線且形狀不變，段拋物線的解析式為，段拋物線的解析式為．

(1)當(dāng)球在球網(wǎng)左側(cè)距球網(wǎng)時到達(dá)最高點(diǎn)，求：①的解析式；②球過球網(wǎng)時球與的距離；(2)若球第二次的落點(diǎn)在球網(wǎng)右側(cè)處，球再次彈起最高為，乙的球拍（看作線段）在的正上方處，，若將球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范圍．6．如圖1，某噴泉公司生產(chǎn)的可升降式噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線，如圖2，以圓形水池中心O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，堅直方向?yàn)檩S，1米為1個單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，噴頭的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)水柱滿足到水池中心水平距離為3米時，即時，水柱達(dá)到最大高度5米，求第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式；(2)若圓形水池的半徑為7米，在（1）的條件下噴出的水柱是否會落在水池外（不考慮水柱落到水面后造成的迸濺），請通過計算說明．7．某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬元，去年比前年的年增長率為，預(yù)計今年比去年的年增長率為，設(shè)今年的總產(chǎn)值為萬元．(1)求與的關(guān)系式；(2)當(dāng)時，求今年的總產(chǎn)值為多少萬元？8．綜合與實(shí)踐【問題背景】以函數(shù)的角度來看待和解決問題．（1）通過觀察以下一位數(shù)的積：，，…，，．其中每個式子中的兩數(shù)之和為10，推測在這些式子中，乘積最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出結(jié)果）（2）通過觀察以下兩位數(shù)的積：，，…，，．其中每個式子中的兩數(shù)之和為30，推測在這些式子中，乘積最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出結(jié)果）【初步探討】以問題（2）為例，設(shè)第一個數(shù)為x，寫出你對問題（2）的猜想（包括條件和結(jié)論）．嘗試用二次函數(shù)的知識證明你對問題（2）的猜想；【實(shí)踐應(yīng)用】（3）物理電路理論知識中有以下幾個結(jié)論：串聯(lián)電路的總電阻等于各串聯(lián)電阻之和；并聯(lián)電路總電阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)電阻的倒數(shù)之和；電壓一定的情況下，電流與電阻成反比關(guān)系．在如圖1所示的電路中，Ω，Ω，滑動變阻器的最大電阻Ω，其等效電路圖如圖2所示，其中，在滑片從a端滑到b端的過程中，設(shè)Ω，請你結(jié)合電路知識以及函數(shù)知識來說明，當(dāng)兩支路的電阻相等時，電流表示數(shù)最小，并求出電流表示數(shù)的最小值．變式拓展9．湖南農(nóng)業(yè)大區(qū)零陵區(qū)土地資源豐富，近年來，該區(qū)利用農(nóng)業(yè)特色資源優(yōu)勢，大力發(fā)展特色種植，帶動農(nóng)民門口致富，尤其是各種水果的種植馳名省內(nèi)外．下面是一家果農(nóng)所遇到的問題，請你閱讀下面材料幫忙解決果農(nóng)所遇到的問題.信息及素材素材一在專業(yè)種植技術(shù)人員的正確指導(dǎo)下，果農(nóng)對紐荷爾臍橙的種植技術(shù)進(jìn)行了研究與改進(jìn)，使產(chǎn)量得到了增長，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年紐荷爾臍橙平均每株產(chǎn)量是50千克，2022年達(dá)到了72千克，每年的增長率是相同的．素材二一般采用的是長方體包裝盒．(1)任務(wù)1：求紐荷爾臍橙產(chǎn)量的年平均增長率；(2)任務(wù)2：為了放下適當(dāng)數(shù)量的紐荷爾臍橙，現(xiàn)有邊長為的正方形紙板，將四角各裁掉一個正方形，折成無蓋長方體紙盒．折成的長方體盒子側(cè)面積（四個側(cè)面的面積之和）有沒有最大值？如果沒有，說明理由；如果有，求出此時剪掉的正方形邊長．10．如圖，在矩形中，，，從點(diǎn)開始沿向終點(diǎn)以的速度移動，與此同時，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間是．(1)t為何值時，？(2)t為何值時，的長度為？(3)設(shè)五邊形的面積為，當(dāng)t為何值時，五邊形的面積最?。孔钚∶娣e為多少？11．如圖1是汝南北城古橋，斑駁的橋面上書寫著歷史的痕跡．古橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)到水面的距離是．

(1)按如圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式（無需寫出取值范圍）；(2)一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點(diǎn)時，橋下水位剛好在處，有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．12．某公司共有個生產(chǎn)車間，分別生產(chǎn)與兩種不同的產(chǎn)品，其中個生產(chǎn)車間生產(chǎn)產(chǎn)品（其中為正整數(shù)，且），剩余的生產(chǎn)車間生產(chǎn)產(chǎn)品．今年每個生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)車間的平均收入（單位：萬元）與車間數(shù)量（個）之間的關(guān)系如圖所示．(1)求當(dāng)時，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若已知今年公司產(chǎn)品的年總收入（單位：萬元）與車間數(shù)量（個）的關(guān)系為：（x為正整數(shù)且），設(shè)公司年總收入為（單位：萬元），求關(guān)于的函數(shù)解析式．（注：公司年總收入=產(chǎn)品的年總收入產(chǎn)品的年總收入）(3)請問公司今年的總收入能超過萬元嗎？說明理由．13．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外活動中設(shè)計了一個彈珠投箱子的游戲（無蓋正方體箱子放在水平地面上）．現(xiàn)將彈珠抽象為一個動點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，正方形為箱子正面示意圖）．某同學(xué)將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線（單位長度為）的一部分，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線形狀相同的拋物線運(yùn)動，且無阻擋時彈珠最大高度可達(dá)，請判斷彈珠能否彈出箱子，并說明理由．14．某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子的頂端A處安裝一個噴頭向外噴水．柱子在水面以上部分的高度為3m．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最大高度為4m，如圖所示．(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求在第一象限部分的拋物線解析式（不必寫出自變量取值范圍）；(2)張師傅在噴水池維修設(shè)備期間，噴水池意外噴水，如果他站在與池中心水平距離為處，通過計算說明身高的張師傅是否被淋濕？(3)如果不計其他因素，為使水不濺落在水池外，那么水池的直徑至少為多少時，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？15．2022年第一季度我省總值約為10000億元，第三季度的總值約為11025億元．(1)假定第二季度、第三季度我省總值的增長率相同，求這個增長率；(2)若保持這樣的增長率不變