28.2解直角三角形及其應(yīng)用（原卷版）

28.2解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，，，.

④，h為斜邊上的高.注意：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.題型1：解直角三角形1.（2022?慶元縣校級開學(xué)）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝60°，AC＝4．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求AB的長．【變式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（可以使用計算器）（1）c＝8，∠A＝30°；（2）b＝7，∠A＝15°；（3）a＝5，b＝12．【變式12】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解這個直角三角形．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.題型2：解非直角三角形2.（2022秋?嘉峪關(guān)校級期末）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，則cosA的值是（）A． B． C． D．【變式21】（2022秋?臨清市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC長．【變式22】（2021秋?淮陰區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．題型3：解直角三角形與面積問題3.設(shè)a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B和∠C的對邊，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【變式31】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC邊上的高線．（1）求AD的長；（2）求△ABC的面積．【變式32】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四邊形ABCD的面積．題型4：解直角三角形與方案問題（選做）4.如圖，有一塊梯形空地ABCD可供停車，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝53°，AD＝1.6m，CD＝5.2m，現(xiàn)有一輛長4.9m，寬1.9m的汽車需要完全停入梯形區(qū)域，請你設(shè)計一種停車方案，并通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【變式41】為了解決停車難問題，交通部門準備沿12米寬60米長的道路邊規(guī)劃停車位，按每輛車長5米、寬2.4米設(shè)計停車后道路仍有不少于7米的路寬保證兩車可以雙向通過，如下圖設(shè)計方案1：車位長邊與路邊夾角為45°方案2：車位長邊與路邊夾角為30°（1）請計算說明，兩種方案是否都能保證通行要求？（2）計算符合通行要求的方案中最多可以停多少輛車？（3）請你畫示意圖設(shè)計一個滿足通行要求且停車更多的新方案，并計算出最多停放車輛數(shù)．【變式42】如圖，為了求河的寬度，在河對岸岸邊任意取一點A，再在河這邊沿河邊取兩點B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC長為30m．（1）求河的寬度；（即求△ABC中BC邊上的高）（2）請再設(shè)計一種測量河的寬度的方案．（≈1.414，≈1.732）題型5：解直角三角形與綜合5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點D在BC延長線上，且滿足∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC是∠BAD的平分線，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半徑．【變式51】（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點D，點C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長度及陰影部分面積．【變式52】（2022·嵐山模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是圓上的兩點，且AC=BC，∠BAD的平分線AE交⊙O于點E，過E作（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接EC，交AB于點G，若已知AB=5，sin∠EAC=45題型6：解直角三角形與新定義6.通過銳角三角比的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長比與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的我們可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如下圖在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊/腰=BC/AC.我們?nèi)菀字酪粋€角的大小與這個角的正對值也是互相唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

（1）sad60o=_____________；sad90o=________________。

（2）對于0°<A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是_____________?！咀兪?1】定義：在△ABC中，∠C=30°，我們把∠A的對邊與∠C的對邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即thiA=∠A的對邊∠C的對邊=BC已知：在△ABC中，∠C=30°．（1）若∠A=45°，求thiA的值；（2）若thiA=3，則∠A=°；（3）若∠A是銳角，探究thiA與sinA的數(shù)量關(guān)系．【變式62】對于一個三角形，設(shè)其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若x、y、z滿足x2+y2＝z2，我們定義這個三角形為美好三角形．（1）△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝80°，則△ABC（填“是”或“不是”）美好三角形；（2）如圖，銳角△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝60°，AC＝2，⊙O的直徑是22，求證：△ABC是美好三角形；（3）已知△ABC是美好三角形，∠A＝30°，求∠C的度數(shù)．解直角三角形的應(yīng)用在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.題型7：解直角三角形的應(yīng)用坡度與坡角7.（2022?徐州二模）如圖是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為18m，它的坡角為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點B處9m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)；）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在背水坡改造的施工過程中，此處房屋是否需要拆除？【變式71】如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和壩底寬（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732【變式72】濟南市緯十二路的一座過街天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天橋底部正前方7米處（PB的長）有一文化墻PM，若新坡面下A處與文化墻之間需留下至少3米寬的人行道，問文化墻是否需要拆除？請說明理由．（約為1.732）題型8：解直角三角形的應(yīng)用仰角和俯角8.如圖，在城市改造時，要拆除建筑物AB，在離它21米遠的建筑物CD頂端C測得A的仰角45°，B的俯角30°，在點B的35米處有一文物，問：此文物是否在危險區(qū)內(nèi)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【變式81】計算：在一次數(shù)學(xué)社團活動課上，同學(xué)們測量一座古塔CD的高度，他們首先在A處安置測量器，測得塔頂C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前進100米到達B處，此時測得塔頂C的仰角∠CGE＝60°，已知測量器高1.5米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出古塔CD的高度．（保留根號）【變式82】（2022?羅城縣模擬）如圖，某測量隊采用無人機技術(shù)測量無法直達的A，B兩處的直線距離，已知在無人機的鏡頭O處測得A、B的俯角分別為45°和50°，無人機的飛行高度OC為238米，點A、B、C在同一直線上，求AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）．題型9：解直角三角形的應(yīng)用方向角9.游艇在湖面上以12千米/小時的速度向正東方向航行，在O處看到燈塔A在游艇北偏東60°方向上，航行1小時到達B處，此時看到燈塔A在游艇北偏西30°方向上，求此時游艇與燈塔的距離AB．【變式91】（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【變式92】已知海島A的周圍6km的范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在B處測得海島A在北偏東30°的方向；向正北方向航行6km到達C處，又測得該島在北偏東60°的方向，如果海輪不改變航向，繼續(xù)向正北航行，有沒有觸礁的危險？一、單選題1．（2022九下·定海開學(xué)考）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為a，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosa B．4sina C．4tana D．42．如圖，從點D觀測建筑物AC的視角是（）A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE3．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠A＝60°.若⊙O是△ABC的外接圓，則⊙O的半徑長為（）A．3 B．23 C．33 4．數(shù)學(xué)實踐活動課中小明同學(xué)測量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，小明在坡底點E處測得建筑物頂端C處的仰角為45°，他沿著斜坡行走13米到達點F處，在F測得建筑物頂端C處的仰角為35°，小明的身高忽略不計.則建筑物的CD高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米5．如圖，某學(xué)校操場旗桿上高高飄揚著五星紅旗，數(shù)學(xué)小組想測量旗桿的高度，在離旗桿底部4米的A處，用高1.5米的測角儀DA測得旗桿頂點C的仰角為α，則旗桿的高度BC為（）米A．4sinα+1.5 B．4cosα+1二、填空題6．某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂?shù)狞cB處，已知點B到山腳的垂直距離為100m，則山的坡度為.7．如圖是攔水壩的橫斷面，堤高BC為5米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為米.8.某斜坡坡角a的正弦值sina=129．如果一個直角三角形斜邊上的高將斜邊分成的兩條線段的長分別為2cm和8cm，那么這個直角三角形較短的一條直角邊的長是cm．三、解答題10．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測得古塔頂端點D的仰角為45°，再沿著BA的方向后退20m至C處，測得古塔頂端點D的仰角為30°.求該古塔BD的高度（3≈1.73211．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解這個直角三角形.12．（2021九上·莘縣期中）如圖，禁漁期間，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行．我漁政船迅速沿北偏東30°方向去攔截，經(jīng)歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截．求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留根號)．四、綜合題13．（2021九上·萊蕪期末）如圖，AB是⊙O的直徑，OC是半徑，連接AC，BC．延長OC至點D，使∠CAD=∠B，過點D作DM⊥AD交AC的延長線于點M．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AD=6，tan∠CAD=1214．如圖，已