專題12.6正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（拓展提高）

專題12.6正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（拓展提高）一、單選題1．正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它一定經(jīng)過(guò)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將(2，1)代入正比例函數(shù)解析式中，解出k的值，得到正比例函數(shù)的解析式，再進(jìn)行判斷即可；【詳解】∵經(jīng)過(guò)(2，1)，∴將(2，1)代入中，得：，∴，∴函數(shù)解析式為：．∴點(diǎn)(2，1)在函數(shù)的圖象上，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及求解析式，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；2．若正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2，則m的取值范圍是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2【答案】D【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的大小變化規(guī)律判斷k的符號(hào)．【詳解】解：根據(jù)題意，知：y隨x的增大而減小，則k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。?．下列表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（m、n為常數(shù)，且mn≠0）圖象中，一定不正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】A、由一次函數(shù)的圖象可知，m<0，n>0，故n<0，mn>0;由正比例數(shù)的圖象可mn<0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、由一次函數(shù)的圖象可知，m<0，n>0，故n<0，mn>0;由正比例數(shù)的圖象可知mn>0，兩結(jié)論一致，故項(xiàng)正確;C、由一次函數(shù)的圖象可知，m>0，n>0，故n<0，mn<0;由正比例數(shù)的圖象可知mn<0，兩結(jié)論一致，故本選項(xiàng)正確;D、由一次函數(shù)的圖象可知，m>0，n<0故n>0．mn>0;由正比例函數(shù)的圖象可知mn>0，兩論一致，本選項(xiàng)正確。故選：A【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像性質(zhì)是關(guān)鍵4．在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（m，2），點(diǎn)B（5，n）兩點(diǎn)，則m，n一定滿足的關(guān)系式為（）A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝10【答案】D【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），再把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的關(guān)系式．【詳解】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx（k≠0），把A（m，2），點(diǎn)B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，可得，，代入mk＝2得，m?＝2，所以mn＝10．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式：先設(shè)出正比例函數(shù)的解析式為y＝kx，然后把一組對(duì)應(yīng)值代入求出k即可．5．路程，速度，時(shí)間三者之間的關(guān)系式為，當(dāng)其中一個(gè)量是常量時(shí)，另外兩個(gè)變量的函數(shù)圖象不可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分s，v，t是常量，確定函數(shù)的屬性，根據(jù)屬性判斷圖像即可【詳解】當(dāng)v是常量時(shí)，s是t的正比例函數(shù)，A是可能的，不符合題意；當(dāng)t是常量時(shí)，s是v的正比例函數(shù)，B是可能的，不符合題意；當(dāng)t是常量時(shí)，v是s的正比例函數(shù)，D是不可能的，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像，正比例函數(shù)的圖像，熟練掌握各類函數(shù)的根本屬性是解題的關(guān)鍵．6．如圖是某蓄水池的橫斷面的示意圖，分深水區(qū)和淺水區(qū)，如果向這個(gè)蓄水池中以固定的水流量（單位時(shí)間注水的體積）注水（注滿水后停止注水），那么下列圖中能大致表示水的深度h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的圖象的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及注水深度h與水體積之間的關(guān)系求解．【詳解】解：∵在底面積不變的情況下，水的深度h與注水時(shí)間t之間是成正比例的，∴在底面積不變的情況下，水的深度h與注水時(shí)間t之間是一次函數(shù)關(guān)系，∴在底面積不變的情況下，水的深度h與注水時(shí)間t之間的圖象是射線或線段，∵深水區(qū)的底面積小于整個(gè)水池的底面積，∴第一根線比第二根線要陡，并且兩根線不會(huì)與坐標(biāo)軸平行，∴C圖象是正確的，其他都是錯(cuò)誤的，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的定義式及圖象特征是解題關(guān)鍵．二、填空題7．正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第______象限．【答案】二、四【分析】由題目可知，該正比例函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，且系數(shù)為負(fù)，故函數(shù)圖象過(guò)二、四象限．【詳解】由題意，y＝2x，可知函數(shù)過(guò)二、四象限．故答案為：二、四【點(diǎn)睛】一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)系的位置關(guān)系，要求學(xué)生可根據(jù)函數(shù)式判斷出函數(shù)圖象的位置．8．如果正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4）和（，－3），那么的值等于__________．【答案】．【分析】正比例函數(shù)的一般形式為y=kx，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4）和（a，3），那么相關(guān)點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比相等，列式求值即可．【詳解】解：設(shè)y=kx，

∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4）和（a，3），

∴k==，

解得：a=．

故答案為：．【點(diǎn)睛】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用到的知識(shí)點(diǎn)為：正比例函數(shù)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比為正比例函數(shù)的比例系數(shù)．9．如果函數(shù)（為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，－2），那么隨著的增大而_______．【答案】增大．【分析】根據(jù)題意知此函數(shù)為正比例函數(shù)，則根據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)知道此函數(shù)過(guò)一三象限，得出y隨著x的增大而增大．【詳解】正比例函數(shù)的性質(zhì)∶當(dāng)時(shí)，正比例函數(shù)自變量的值逐漸增大時(shí)，的值也隨著逐漸增大；當(dāng)時(shí)，正比例函數(shù)自變量的值逐漸增大時(shí)，的值隨著逐漸減小．根據(jù)題意代入點(diǎn)（－1，－2），得：，∴y隨著x的增大而增大．【點(diǎn)睛】此題考查正比例函數(shù)的圖像的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值也隨著逐漸增大；當(dāng)k<0時(shí)，正比例函數(shù)自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值隨著逐漸減?。?0．當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，不等式mx+4＞0始終成立，則m的取值范圍是______．【答案】﹣＜m＜4．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可解答．【詳解】令y=mx，由不等式mx+4＞0得到y(tǒng)＞﹣4，即在﹣1≤x≤3內(nèi)，y＞﹣4恒成立．①當(dāng)m＞0時(shí)，把（﹣1，﹣4）代入y=mx，得﹣4=﹣m，此時(shí)m=4，則0＜m＜4．②當(dāng)m＜0時(shí)，把（3，﹣4）代入y=mx，得﹣4=3m，此時(shí)m=﹣，則﹣＜m＜0．③當(dāng)m=0時(shí)，得到：4＞0，不等式mx+4＞0始終成立．綜上所述：m的取值范圍是﹣＜m＜4．故答案為：﹣＜m＜4．【點(diǎn)睛】考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)，需要注意正比例函數(shù)的增減性．11．函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________；點(diǎn)_________（填“在”或“不在”）該函數(shù)圖象上．【答案】不在【分析】函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將其代入即可得到k的值．把x=2代入求出y的值，看y的值是否等于5即可【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴1＝3k，解得：．則k的值為:．∵當(dāng)x=2時(shí)，，∴點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上．故答案為：，不在．【點(diǎn)睛】本題考查的是正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知正比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．12．已知，在正比例函數(shù)的圖象上，則___________.（填“”或“”或“”）.【答案】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的增減性解答.【詳解】∵<0，∴y隨著x的增大而減小，∵1<2，∴>，故答案為：>.【點(diǎn)睛】此題考查了正比例函數(shù)的增減性：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，熟練掌握正比例函數(shù)的增減性是解此題的關(guān)鍵.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線與正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)，的取值范圍是__________.（寫出一個(gè)即可）【答案】【分析】根據(jù)，正比例函數(shù)必定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合代入D，B的坐標(biāo)求出值即可求解．【詳解】解：因?yàn)锳BCD為正方形，A∴B，D若直線經(jīng)過(guò)D時(shí)，解得：若直線經(jīng)過(guò)B時(shí)，解得：∴若直線與正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)的圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合求出的取值是解題的關(guān)鍵．14．如圖，10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l，將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為_(kāi)______________【答案】【分析】設(shè)直線和十個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過(guò)A作AB⊥OB于B，過(guò)A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標(biāo)即可得到該直線的解析式．【詳解】解：設(shè)直線l和10個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過(guò)A作AB⊥OB于B，過(guò)A作AC⊥OC于C，∵正方形的邊長(zhǎng)為1,∴OB=3，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，∴兩邊面積都為分別是5，∴三角形ABO面積是7，∴OB?AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直線經(jīng)過(guò)，設(shè)直線方程為y=kx（k≠0），則3=k，解得k=，∴直線l解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作AB⊥y軸，作AC⊥x軸，根據(jù)題意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面積公式求出AB的長(zhǎng)．三、解答題15．已知點(diǎn)（2，﹣4）在正比例函數(shù)y＝kx的圖象上．（1）求k的值；（2）若點(diǎn)（﹣1，m）也在此函數(shù)y＝kx的圖象上，試求m的值．【答案】（1）2；（2）2【分析】（1）結(jié)合點(diǎn)（2，4）在正比例函數(shù)y＝kx的圖象上，根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，列方程并求解，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到正比例函數(shù)的解析式；結(jié)合題意，通過(guò)計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)（2，4）在正比例函數(shù)y＝kx的圖象上∴4＝2k解得：k＝2；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得：正比例函數(shù)的解析式為y＝2x∵點(diǎn)（1，m）在函數(shù)y＝2x的圖象上∴當(dāng)x＝1時(shí)，m＝2×（1）＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)、坐標(biāo)的性質(zhì)，從而完成求解．16．如圖，一次函數(shù)y＝（m﹣3）x﹣m＋1圖象分別與x軸正半軸、y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A、B．（1）求m的取值范圍；（2）若該一次函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后可得某正比例函數(shù)的圖象，試求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式．【答案】（1）m＞3；（2）y＝2x【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的象限可得m的取值范圍；（2）根據(jù)圖象平移規(guī)則“左加右減，上加下減”求得平移后的解析式，然后根據(jù)正比例函數(shù)的特征求得m值即可解答．【詳解】解：（1）如圖，一次函數(shù)y＝（m﹣3）x﹣m＋1圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴m﹣3＞0，且﹣m+1＜0，解得：m＞3，即m的取值范圍為m＞3；（2）將該一次函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后可得y＝（m﹣3）x﹣m＋5，由題意得：﹣m+5=0，解得：m=5，∴這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y＝2x．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．17．已知函數(shù)，y＝kx（k為常數(shù)且k≠0）；（1）當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，則函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)函數(shù)圖象過(guò)第一、三象限時(shí)，k；（3）k，y隨x的增大而減?。唬?）如圖，在（1）的條件下，點(diǎn)A在圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B（2，0），求△OAB的面積．【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．【分析】（1）將，代入即可求的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)與的關(guān)系，可得；（3）根據(jù)正比例函數(shù)的圖象特點(diǎn)可確定，隨的增大而減小時(shí)；（4）求出，，則的面積．【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，，故答案為；（2）函數(shù)圖象過(guò)第一、三象限，，故答案為；（3）隨的增大而減小，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，，故答案為；（4），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，，，，的面積．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握的取值與函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)在該一次函數(shù)圖象上，求a的值；（3）已知點(diǎn)在該一次函數(shù)圖象上，設(shè)，判斷正比例函數(shù)的圖象所在的象限，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）a的值是－1或－3；（3）在第二、四象限．【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)，進(jìn)而求得k、b的值，即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將點(diǎn)代入一次函數(shù)，即可求得a的值；（3）根據(jù)點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，由可得，據(jù)此可以判斷m的取值，結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，根據(jù)題意得：，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，∴，解得或，即a的值是－1或－3；（3）正比例函數(shù)的圖象在第二、四象限．理由：∵點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，，∴，∴m＜0，∴正比例函數(shù)的圖象在第二、四象限．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用函數(shù)的思想解答．19．已知：正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A在第四象限，過(guò)A作AH⊥x垂足為H，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，S△AOH＝3．（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)及此正比例函數(shù)解析式；（2）在x軸上能否找到一點(diǎn)P使S△AOP＝5，若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）A（3，2），y＝x；（2）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）或（5，0）【分析】（1）結(jié)合題意，得；再結(jié)合△AOH的面積為3，通過(guò)計(jì)算得AH的值以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入y＝kx，經(jīng)計(jì)算即可得到答案；（2）設(shè)P（t，0），結(jié)合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）如圖，∵過(guò)A作AH⊥x垂足為H，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3∴∵△AOH的面積為3∴∴AH＝2∵點(diǎn)A在第四象限∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx，得3k＝2解得：∴正比例函數(shù)解析式為y＝x；（2）設(shè)P（t，0），即∵△AOP的面積為5∴∴t＝5或t＝5∴能找到一點(diǎn)P使S△AOP＝5，P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）或（5，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、正比例函數(shù)、一元一次方程、坐標(biāo)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．20．小融同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)