專題03實際問題與反比例函數(shù)重難點題型專訓（7大題型）

專題03實際問題與反比例函數(shù)重難點題型專訓（7大題型）【題型目錄】題型一銷售問題題型二行程問題題型三物理問題題型四幾何圖形問題題型五工程問題題型六表格問題題型七反比例函數(shù)實際綜合問題【經(jīng)典例題一銷售問題】1．（2023·安徽合肥·合肥市廬陽中學統(tǒng)考三模）由于機器設備老化，某工廠去年1月份開始對部分生產(chǎn)設備進行技術升級，邊升級邊生產(chǎn)．去年110月其利潤（萬元）與月份之間的變化如圖所示，設備技術升級完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，設備技術升級完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列說法正確的是（

）

A．由圖象可知設備技術升級完成前的五個月處于虧損狀態(tài)，升級后開始盈利B．由圖象可知設備技術升級完成前后共有6個月的利潤超過100萬元C．由圖象可知設備技術升級完成后每月利潤比前一月增加30萬元D．由圖象可知設備技術升級完成后最大利潤超過200萬元/月【答案】C【分析】根據(jù)該圖象因變量代表的意義即可判斷A；求出反比函數(shù)的表達式，結(jié)合圖象即可判斷B，求出5月份的利潤，即可判斷C；求出一次函數(shù)的表達式，再求出10月份的利潤，即可判斷D．【詳解】解：A：由圖象可知設備技術升級完成前的五個月利潤逐漸下降，升級后利潤開始增加；故A不正確，不符合題意；B、設該反比例函數(shù)的表達式為，將點代入得：，∴設該反比例函數(shù)的表達式為，把代入得：，∵y隨x的增大而減小，∴設備技術升級完成前有1個月的利潤超過100萬元，由圖可知，設備技術升級完成后，y隨x的增大而增大，∴設備技術升級完成后有3個月的利潤超過100萬元，綜上：設備技術升級完成前后，一共有4個月的利潤超過100萬元；故B不正確，不符合題意；C、把代入得：，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴設備技術升級完成后每月利潤比前一月增加（萬元），故C正確，符合題意；D、設設備技術升級完成后的表達式為，把，代入得：，解得：，∴，∴y隨x的增大而增大，當時，y取最大值，此時，故D不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是正確理解函數(shù)圖象，掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）為了環(huán)保，某工廠在一段時間內(nèi)限產(chǎn)并投入資金進行治污改造，如圖描述的是月利潤（萬元）關于月份之間的變化關系，治污改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污改造完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，則下列說法：①5月份該廠的月利潤最低；②治污改造完成后，每月利潤比前一個月增加30萬元；③該廠8月份的月利潤與2月份相同；④治污改造前后，共有6個月的月利潤不超過120萬元．其中正確的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，進而分別分析得出答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得，5月份該廠的月利潤最低為60萬，故①正確，符合題意；治污改造完成后，從5月到7月，利潤從60萬到120萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故②正確，符合題意；設反比例函數(shù)解析式為：，代入得，故，當，解得：，則只有3月，4月，5月，6月，7月共5個月的利潤不超過120萬元，故此④錯誤，不符合題意．設一次函數(shù)解析式為：，則，解得，故一次函數(shù)解析式為：，把代入，解得，則治污改造完成后的第8個月，該廠月利潤達到150萬，把代入，得，故該廠8月份的月利潤與2月份相同，此選項③正確，符合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應用，正確得出函數(shù)解析是解題關鍵．3．（2022下·浙江·八年級階段練習）根據(jù)某商場對一款運動鞋五天中的售價與銷量關系的調(diào)查顯示，售價是銷量的反比例函數(shù)（統(tǒng)計數(shù)據(jù)見下表）．已知該運動鞋的進價為元/雙，要使該款運動鞋每天的銷售利潤達到元，則其售價應定為元．售價x（元/雙）200250300400銷售量y（雙）30242015【答案】300【分析】由表中數(shù)據(jù)可得銷量與售價之間的函數(shù)解析式，根據(jù)題意有，將解析式代入解分式方程即可求解．【詳解】由表中數(shù)據(jù)得，∴，則銷量與售價之間的函數(shù)解析式為．由題意，得，把代入，得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的根．∴售價應定為300元．故答案為：300．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的實際應用，分式方程的實際應用．理解題意，掌握利潤=(售價成本)×銷售量是解答本題的關鍵．4．（2020上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）調(diào)查顯示，某商場一款運動鞋的售價是銷量的反比例函數(shù)（調(diào)查獲得的部分數(shù)據(jù)如下表）．售價（元/雙）銷售量（雙）已知該運動鞋的進價為元/雙，要使該款運動鞋每天的銷售利潤達到元，則其售價應定為元．【答案】300【分析】先利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)“利潤（售價進價）銷量”建立方程，然后解方程即可得．【詳解】由題意，設，將代入得：，解得，則，設要使該款運動鞋每天的銷售利潤達到元，其售價應定為元，則，整理得：，解得，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，故答案為：300．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、分式方程的應用，正確求出售價與銷量之間的反比例函數(shù)關系式是解題關鍵．5．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）柚子含有極為豐富的維生素，胡蘿卜素，鈣、鉀、鐵等微量元素，可以預防血栓、糖尿?。吵袕墓r(nóng)處進購柚子的成本價為3元千克，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元千克）之間的關系如圖所示，其中為反比例函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分．(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)當銷售單價為多少元時，該超市每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)(2)當銷售單價為10元時，該超市每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元【分析】（1）利用待定系數(shù)法分段求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式合起來即可求出整個函數(shù)解析式；（2）設利潤為w元，分段表示出利潤的表達式，求出各段的利潤最大值進行比較即可．【詳解】（1）解：當時，設y與x的函數(shù)關系式為，把帶入中得：，∴；當時，設y與x的函數(shù)關系式為，把代入中得，∴，∴，綜上所述，；（2）解：設利潤為w元，當時，，∵函數(shù)中，當時，y隨x增大而減小，∴當最大時，最小，即最大，∴當時，；當時，，∵，∴，∴，∴當，w有最大值980；∵，∴當銷售單價為10元時，該超市每天的銷售利潤最大，最大利潤是980元．【點睛】本題考查了分段函數(shù)的實際應用，是反比例和一次函數(shù)的綜合題，求出分段函數(shù)解析式是做出本題的關鍵．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）某水果店去年2月至5月份銷售甲乙兩種新鮮水果，已知甲種水果每月售價與月份x之間存在的反比例函數(shù)關系如表所示．時間x/月份2345售價/（元/千克）1286甲種水果進價為3元/千克，銷售量P（千克）與x之間滿足關系式；乙種水果每月售價與月份x之間滿足，對應的圖象如圖所示．乙種水果進價為元/千克，平均每月銷售160千克．

(1)求與x之間的函數(shù)關系式；(2)求與x之間的函數(shù)關系式；(3)若水果店銷售水果時需要繳納元/千克的稅費，問該水果店哪個月銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)為整數(shù)）(2)，且x為整數(shù)）(3)水果店2月份銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大，最大利潤是720元【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)圖象用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)總利潤等于甲乙兩種水果利潤之和列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設與x之間的函數(shù)關系式為，把代入解析式，則，解得，∴與x之間的函數(shù)關系式為為整數(shù)）；（2）解：把代入，得：，解得，∴與x之間的函數(shù)關系式為，且x為整數(shù)）；（3）解：設甲乙兩種水果獲得的總利潤為w，則，=，對稱軸為直線．∵，∴當時，w隨x的增大而減小．∵x為整數(shù)，∴當時，w有最大值，最大值（元），答：水果店2月份銷售甲乙兩種水果獲得的總利潤最大，最大利潤是720元．【點睛】本題考查反比例函數(shù)和二次函數(shù)的應用，關鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．【經(jīng)典例題二行程問題】1．（2023下·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）體育課上，甲、乙、丙、丁四位同學進行跑步訓練，如圖用四個點分別描述四位同學的跑步時間y（分鐘）與平均跑步速度x（米/分鐘）的關系，其中描述甲、丙兩位同學的y與x之間關系的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則在這次訓練中跑的路程最多的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】解；∵甲、丙兩位同學的y與x之間關系的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，∴設這個反比例函數(shù)表達式為，若甲，乙，丙，丁，過乙點作y軸平行線交反比例函數(shù)于點，過丁點作y軸平行線交反比例函數(shù)于點，如圖所示，

∵、、、在反比例函數(shù)圖象上，∴，由圖可知，，，∴，，由題意可知，訓練中跑的路程為：，∴甲和丙訓練跑的路程相等，乙訓練跑的路程小于甲和丙訓練跑的路程，丁訓練跑的路程大于甲和丙訓練跑的路程，∴丁訓練跑的路程最多，故選：D．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的實際應用，理解題意，熟練掌握反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）下面的三個問題中都有兩個變量：①京滬鐵路全程為，某次列車的平均速度y(單位：km/h)與此次列車的全程運行時間x(單位：h)；②已知北京市的總面積為，人均占有面積y(單位：/人)與全市總?cè)丝趚(單位：人)；③某油箱容量是的汽車，加滿汽油后開了時，油箱中汽油大約消耗了．油箱中的剩油量與加滿汽油后汽車行駛的路程．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是()

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】分別求出三個問題中變量與變量之間的函數(shù)關系式即可得到答案．【詳解】解：①由平均速度等于路程除以時間得：，符合題意；②由人均面積等于總面積除以總?cè)丝诘茫海?，符合題意；③由加滿汽油后開了時，油箱中汽油大約消耗了，可知每公里油耗為：，再由油箱中的剩油量等于油箱容量減去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加滿汽油后汽車行駛的路程得：，不符合題意；綜上分析可知，變量y與變量x之間的函數(shù)關系可以用該圖象表示的是①②．故選：A．【點睛】本題主要考查了列函數(shù)關系式，反比例函數(shù)的識別，正確列出三個問題中的函數(shù)關系式是解題的關鍵．3．（2023下·北京通州·九年級統(tǒng)考開學考試）王偉家長將轎車油箱注滿k升油后，轎車行駛的總路程S（單位：千米）與平均耗油量a（單位：升/千米）之問是反比例函數(shù)關系（k是常數(shù)，）．已知某某轎車油箱注滿油后，以平均耗油量為每千米耗油升的速度行駛，可行駛400千米，當平均耗油量為每千米升時，該轎車可以行駛千米．【答案】500【分析】根據(jù)“以平均耗油量為每千米耗油升的速度行駛，可行駛400千米”再利用反比例函數(shù)圖象上的坐標特征即可求出k值，再代入求出S即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵以平均耗油量為每千米耗油升的速度行駛，可行駛400千米，∴，解得：，∴當平均耗油量為升/千米時，該轎車可以行駛的路程(千米)．故答案為：500．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用，熟練掌握反比例函數(shù)的相關知識是解答本題的關鍵．4．（2023上·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）一輛汽車勻速通過某段公路，所需時間t（h）與行駛速度v（km/h）滿足函數(shù)關系，其圖象為如圖所示的一段曲線，且端點為和．若行駛速度不得超過60km/h，則汽車通過該路段最少需要h？【答案】【分析】將點A代入可得k，求出時的t值，汽車所用時間應大于等于這個值．【詳解】解：由題意得，函數(shù)經(jīng)過點把代入，得∴函數(shù)解析式為，把代入，得，∴汽車通過該路段最少需要小時．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．5．（2023下·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）五一假期，小王一家從杭州到溫州自駕游，已知杭州到溫州市區(qū)A處的路程為300千米，小王家的車油箱的容積為55升，小王把油箱加滿后駕駛汽車從杭州出發(fā)．

(1)求汽車行駛的總路程s（單位：千米）與平均耗油量b（單位：升/千米）的函數(shù)表達式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度駕駛汽車到達溫州市區(qū)A處，休整后沿圖示路線繼續(xù)出發(fā)，先到雁蕩山B處，再到楠溪江C處，最后到洞頭D處．由于下雨，從A處開始直到D處小王降低了車速，此時平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始終以此速度行駛，不需加油能否到達洞頭D處？如果不能，至少還需加多少油？【答案】(1)(2)不加油不能到達洞頭D處，還需加油升以上【分析】（1）利用公式：路程總?cè)莘e平均耗油量，即可得的函數(shù)關系式；（2）求出到達溫州市區(qū)A處所需油量與從A處到達洞頭D處所需油量之和，再和55升比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；（2）從杭州到溫州A處，一共耗油升，從處：，一共耗油升，∴不加油不能到達洞頭D處，還需：升答：不加油不能到達洞頭D處，還需加油5升以上．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，理解平均耗油量與行駛路程的關系．6．（2022上·重慶南岸·九年級統(tǒng)考期末）一司機駕駛汽車從甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行駛4h到達目的地，并按照原路返回甲地．(1)返回過程中，汽車行駛的平均速度v與行駛的時間t有怎樣的函數(shù)關系？(2)如果要在3h返回甲地，求該司機返程的平均速度；(3)如圖，是返程行駛的路程s（km）與時間t（h）之間的函數(shù)圖象，中途休息了30分鐘，休息后以平均速度為85km/h的速度回到甲地．求該司機返程所用的總時間．【答案】(1)(2)(3)3.5小時【分析】（1）根據(jù)題意求得總路程為，根據(jù)時間等于路程除以速度列出函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)速度等于路程除以時間即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可知前1.5小時行駛70km，剩余路程除以速度即可求得時間，進而求得總時間【詳解】（1）解：∵一司機駕駛汽車從甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行駛4h到達目的地，∴甲地到乙地的路程為（2）（3）總時間為：【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，一次函數(shù)的應用，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關鍵．【經(jīng)典例題三物理問題】1．（2023上·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）某個亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實現(xiàn)．如圖所示的是該臺燈的電流與電阻的關系圖象，該圖象經(jīng)過點．根據(jù)圖象可知，下列說法正確的是（

）A．當時，B．與的函數(shù)關系式是C．當時，的取值范圍是D．當時，【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用，由待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即可得到結(jié)論．由待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式是解決問題的關鍵．【詳解】解：設I與R的函數(shù)關系式是，∵該圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴I與R的函數(shù)關系式是，故選項B不符合題意；當時，，當時，，∵反比例函數(shù)I隨R的增大而減小，當時，，當時，，故選項A，D不符合題意；∵時，，當時，，∴當時，I的取值范圍是，故C符合題意．故選：C．2．（2023下·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）在地球引力作用下，大量氣體聚集在地球周圍，形成數(shù)千公里的大氣層，大氣層是地球生物賴以生存必不可少的條件，大氣層由于重力作用形成了大氣壓．海拔高度不同，大氣壓強也不同，如圖是大氣壓強隨海拔高度變化的關系圖象，觀察圖象可知，下列說法正確的是（

）A．大氣壓強與海拔高度成反比例函數(shù)關系B．隨著海拔高度的增大，大氣壓強也隨之增大C．海拔高度為時，大氣壓強約為D．海拔高度為時，大氣壓強為【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)圖象的變化趨勢即可判斷B；根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可判斷C；根據(jù)圖象趨勢即可判斷D．【詳解】解：A、根據(jù)圖象可知圖象經(jīng)過，，，，，，橫坐標與縱坐標的積不相等，所以結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；B、根據(jù)圖象可以看出，隨著海拔高度的增大，大氣壓強也隨之減小，所以結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；C、根據(jù)圖象可以看出，當時，大氣壓強，所以結(jié)論正確，故此選項符合題意；D、根據(jù)圖象可以看出，，，所以結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．3．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）如表記錄了一組物理試驗數(shù)據(jù)，已知當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的壓強（單位：）是氣體體積（單位：）的函數(shù)，則與的函數(shù)關系式是．（單位：）（單位：）【答案】【分析】觀察表格發(fā)現(xiàn)，從而確定兩個變量之間的關系即可．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：，故與的函數(shù)關系式為，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是能夠觀察表格并發(fā)現(xiàn)兩個變量的乘積為常數(shù)，難度不大．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）物理學中，在壓力F不變的情況下，某物體承受的壓強P與它的受力面積S成反比例函數(shù)關系，則下表中壓強與的大小關系為：．（填“”，“”或“”）【答案】＞【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)反比例數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵壓強P與它的受力面積S成反比例函數(shù)關系，設，依題意，∴反比例數(shù)解析式為：，，∴隨的增大而減小，∵，∴，故答案為：＞．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023下·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期末）周末，小明與同學一行人去戶外露營，在淇河濕地公園上遇到一片十幾米寬的濕地，為了節(jié)省時間，并安全通過，他們根據(jù)所學物理知識——當壓力不變時，壓強與受力面積成反比例函數(shù)關系，在濕地上用一些大小不同的木板鋪設了一條臨時通道，已知木板所受壓力不變時，木板對濕地的壓強與木板面積的對應值如下表．木板面積11．522．534木板對濕地的壓強600400300240200150(1)求反比例函數(shù)的表達式及自變量S的取值范圍；(2)在如圖所示的平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象；

(3)當木板面積為時，壓強是________；(4)結(jié)合圖形，如果要求壓強不超過4000Pa，木板的面積至少要多大？【答案】(1)．(2)見解析；(3)3000；(4)．【分析】（1）設P與S之間的反比例函數(shù)關系式為，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先描點，再連線畫出對應的函數(shù)圖象即可；（3）把代入（1）所求關系式中進行求解即可；（4）把代入代入（1）所求關系式中進行求解即可．【詳解】（1）解：由表可知：P與S之間為反比例函數(shù)，設P與S之間的反比例函數(shù)關系式為，將代入得，解得，∴P與S之間的反比例函數(shù)關系式為；（2）解：畫出函數(shù)圖象如圖所示：

（3）解：當時，，故答案為：3000；（4）解：當時，，由函數(shù)圖象可知，P隨S增大而減小，∴當壓強不超過時，木板面積至少．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應用，正確求出對應的函數(shù)關系式是解題的關鍵．6．（2023·江蘇鹽城·?？既＃╅喿x與思考下面是小宇同學的一篇數(shù)學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務，今天是2023年6月8日

（星期四），在下午數(shù)學活動課上，我們“騰飛”小組的同學參加了一次“探索電壓一定時，輸出功率P與電阻R函數(shù)關系的數(shù)學活動”．

第一步，我們設計了如圖所示的電路，電壓為定值6V不變．第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數(shù)倍的變化．第三步，我們根據(jù)物理知識P＝UI，通過測量電路中的電流計算電功率．第四步，計算收集數(shù)據(jù)如下：R/Ω…246810…P/W…18964.53…第五步，數(shù)據(jù)分析，以R的數(shù)值為橫坐標，P的數(shù)值為縱坐標建立平面直角坐標系，在該坐標系中描出以表中數(shù)對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．數(shù)據(jù)分析中，我發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)可能有明顯錯誤，重新實驗，證明了我的猜想正確，并對數(shù)據(jù)進行了修改，實驗結(jié)束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數(shù)學日記．任務：(1)上面日記中，數(shù)據(jù)分析過程，主要運用的數(shù)學思想是；（單選）A．數(shù)形結(jié)合B．類比思想C．分類討論D．方程思想(2)你認為表中哪組數(shù)據(jù)是明顯錯誤的；并直接寫出P關于R的函數(shù)表達式；(3)在下面平面直角坐標系中，畫出此函數(shù)的圖象；

(4)請直接寫出：若P大于10W，R的取值范圍為．【答案】(1)B(2)(3)圖見詳解(4)【分析】（1）通過類比思想發(fā)現(xiàn)各數(shù)據(jù)之間的對應關系；（2）根據(jù)與的積是定值發(fā)現(xiàn)有問題的一組數(shù)據(jù)；（3）將描出的點用光滑的曲線連接即可；（4）根據(jù)計算出的取值范圍．【詳解】（1）通過類比思想發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的關系正確與否．故選：．（2）通過前四組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：與的積都是36定值，發(fā)現(xiàn)最后一組有問題；與關系式是：，（3）圖象如圖：（4）當時，即，解得．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的具體應用，理解題意是這類題目的突破口．【經(jīng)典例題四幾何圖形問題】1．（2023上·湖北隨州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知四邊形是矩形，邊在x軸上，邊在y軸上，雙曲線過的中點E，且與邊交于點D，若的面積為，則k的值是（）A．5 B．10 C．15 D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，設點E坐標為，B點的坐標為，則點D的坐標為，根據(jù)面積公式代入坐標列出方程解出k值即可，熟知利用數(shù)形結(jié)合思想，表示出相關點的坐標，是解題的關鍵．【詳解】解：設點E坐標為，∵E是的中點，∴B點的坐標為，則點D的坐標為，的面積為，，∴，，解得：．故選：B．2．（2023上·吉林長春·九年級長春市第八十七中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點D，與對角線，邊交于點E，F(xiàn)，連接，點E為的中點，的面積為2，則k的值為（）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】首先設，表示出，再根據(jù)D，E，F(xiàn)都在雙曲線上，依次表示出坐標，再由，轉(zhuǎn)化為，列出等式即可求得．【詳解】解：設，∵矩形，∴，∵矩形，E為的中點，則E也為的中點，∵點B在x軸上，∴E的縱坐標為，∵點E在反比例函數(shù)上，∴，∵E為的中點，∴點，∴點，∵的面積為2，，∴，∴，解得：．故選：C．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，根據(jù)中點坐標公式表示出各點坐標是解題的關鍵．3．（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）把一塊含角的三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標系中，其中角的頂點在軸上，斜邊與軸的夾角，若，當點同時落在一個反比例函數(shù)圖像上時，．【答案】【分析】題考查反比例函數(shù)求，涉及反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理等知識，過作軸，過作軸，如圖所示，表示出和，利用反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)列方程求解得到，代入即可得到答案，數(shù)形結(jié)合，求出反比例函數(shù)圖像上點的坐標是解決問題的關鍵．【詳解】解：過作軸，過作軸，如圖所示：在中，，，則，在中，，則，，，，，在中，，，則，，設，則，則，解得，，點落在一個反比例函數(shù)圖像上，．4．（2023上·四川成都·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，直線交反比例函數(shù)另一支圖象于點B，過A、B兩點分別作軸于M，軸于N，連接，則四邊形面積為．【答案】9【分析】本題考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，設點，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性質(zhì)，求得點，則可得到，利用三角形面積公式，即可解答，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關鍵．【詳解】解：設點，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性質(zhì)，求得點，可得到，四邊形面積為，故答案為：9．5．（2023上·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象和都在第一象限內(nèi)，軸，且，點的坐標為．(1)若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求此反比例函數(shù)的解析式；(2)若將向下平移個單位長度，兩點的對應點恰好同時落在反比例函數(shù)圖象上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；（1）根據(jù)已知求出與點坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）表示出相應的平移后與坐標，將之代入反比例函數(shù)表達式即可求解．【詳解】（1）過作于，，，點．，，，∵，∴，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，解得，，反比例函數(shù)的解析式為；（2）點，將向下平移個單位長度，，兩點同時落在反比例函數(shù)圖象上，，．6．（2023上·湖北襄陽·九年級校考期中）如圖，，關于原點對稱，為反比例函數(shù)圖象上異于的一個點．過作垂直于軸于點．(1)若的坐標為，則的坐標為______；(2)若的面積為，則的值為______；(3)在（）的條件下，若的縱坐標為，求的面積．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】()根據(jù)關于原點對稱的性質(zhì)求解即可；()利用待定系數(shù)法求解；()求出直線的解析式，可得直線交軸一點，再利用分割法求出的面積；此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【詳解】（1）∵點與關于原點對稱，∴點，故答案為：；（2）∵，的面積為，∴，解得：，故答案為：；（3）∵的圖象過，∴，∵若的縱坐標為，∴點，設直線解析式為，與軸交于點，如圖，∴，解得：，∴直線解析式為，∴點，∴，∴．【經(jīng)典例題五工程問題】1．（2023春·安徽·九年級統(tǒng)考期末）冉冉錄入一篇文章，錄入時間y（分鐘）與錄字速度x（字/分鐘）之間的關系如圖所示；(1)求y與x間的函數(shù)表達式；(2)若冉冉將原有錄入速度提高20%【答案】(1)y=(2)125字/分鐘【分析】（1）根據(jù)錄入的時間=錄入總量÷錄入速度即可得出函數(shù)關系式；（2）設冉冉實際用了t分鐘，則原計劃用時t+2分鐘，由題意得關于t的分式方程，解方程即可求出t的值．【詳解】（1）解：設y=把150，10代入y=∴k=1500，∴y與x的函數(shù)表達式為y=1500（2）設冉冉實際用了t分鐘，則原計劃用時t+2分鐘，原來的錄入速度為x字/分鐘由題意得，t+2=1500整理得：x=1500∵錄入速度提高了20%，則實際錄入速度為1+20則1+20%x=1500解得：t=10，經(jīng)檢驗t=10是原方程的解，∴冉冉原錄入速度為：150010+2答：冉冉原來的錄入速度為125字/分鐘．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用、解分式方程，根據(jù)工作量得到等量關系是解決本題的關鍵．2．（2023春·九年級課時練習）某空調(diào)生產(chǎn)廠的裝配車間計劃在一段時期內(nèi)組裝9000臺空調(diào)．（1）在這段時期內(nèi)，每天組裝的數(shù)量m（臺/天）與組裝的時間t（天）之間有怎樣的函數(shù)關系？（2）原計劃用2個月時間（每月按30天計算）完成這一任務，但由于氣溫提前升高，廠家決定這批空調(diào)提前10天完成組裝，那么裝配車間每天至少要組裝多少臺空調(diào)？比原計劃多多少？【答案】（1）m=9000【分析】（1）首先根據(jù)題意，因總工作量為9000臺空調(diào)，故每天組裝的臺數(shù)m與生產(chǎn)時間t之間成反比例關系，即m·t=9000；（2）計算出當t=50時，m=180；當t=60時，m=150；比較即可得答案．【詳解】解：（1）每天組裝的臺數(shù)m（單位：臺/天）與生產(chǎn)時間t（單位：天）之間的函數(shù)關系：m=9000（2）當t=50時，m=9000所以，這批空調(diào)提前10天上市，那么原裝配車間每天至少要組裝180臺空調(diào)，原計劃用2個月時間（每月按30天計算）完成這一任務，則每天組裝150臺，即比原計劃多：180?150=30臺．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的解析式、性質(zhì)與運用，解題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式，進一步根據(jù)題意求解答案．3．（2023春·全國·九年級專題練習）某蓄水池員工對一蓄水池進行排水，該蓄水池每小時的排水量V(m3/(1)該蓄水池的蓄水量為_________m3(2)如果每小時排水量不超過2000m3，那么排完水池中的水所用的時間(3)由于該蓄水池員工有其他任務，為了提前2小時排完水池中的水，需將原計劃每小時的排水量增加25%，求原計劃每小時的排水量是多少m3【答案】(1)18000(2)t≥9(3)1800【分析】（1）此題根據(jù)函數(shù)圖象為雙曲線的一支，可設V=k（2）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，即可得出答案；（3）設原計劃每小時的排水量是xm【詳解】（1）解：設V=k∵點（6，3000）在此函數(shù)圖象上，∴蓄水量為6×3000＝18000m3．故答案為：18000．（2）蓄水池每小時的排水量V(m3/h)∵每小時排水量不超過2000m∴根據(jù)反比例函數(shù)的增減性可知，t≥9時，每小時排水量不超過2000m故答案為：t≥9．（3）設原計劃每小時的排水量是xm18000x解得：x=1800，經(jīng)檢驗：x=1800是所列方程的解，答：原計劃每小時的排水量是1800m3【點睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象中獲取信息，分式方程的應用，根據(jù)等量關系式，列出分式方程，是解題的關鍵．4．（2023春·全國·九年級專題練習）某運輸公司承擔某項工程的運送土石方任務．已知需要運送的土石方總量為4×104立方米，設運輸公司每天運送的土石方為V(立方米/天)，完成任務所需要的時間為（1）V與t之間有怎樣的函數(shù)關系？（2）運輸公司共派出20輛卡車，每輛卡車每天可運送土石方100立方米，工程進行了8天后，如果需要提前4天才能完成任務，那么該運輸公司至少需要增派多少輛同樣的卡車才能按時完成任務？【答案】（1）V=40000t；（2）至少需要增派【分析】（1）根據(jù)工作量×時間=土石方總量可得Vt=10（2）20輛卡車完成任務需20天，工程進行了8天后，需要提前4天完成任務，設需要增加x輛卡車，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：（1）∵V?t=40000，∴V=40000∴V是t的反比例函數(shù)；（2）運輸公司共派出20輛卡車，每輛卡車每天可運送土石方100立方米，需要40000÷(20×100)=20天才能完成任務，工程進行了8天后，需要提前4天完成任務，設需要增加x輛卡車，40000?20×100×8=(20?8?4)×(20+x)×100，解得：x=10，答：公司至少需要增派10輛同樣的卡車才能按時完成任務．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)和一元一次方程的應用，解題的關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出函數(shù)解析式．5．（2023春·浙江杭州·九年級期中）某空調(diào)生產(chǎn)廠的裝配車間計劃在一段時期內(nèi)組裝9000臺空調(diào)，設每天組裝的空調(diào)數(shù)量為y（臺/天），組裝的時間為x（天）.（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）原計劃用60天完成這一任務，但由于氣溫提前升高，廠家決定這批空調(diào)至少要提前10天完成，那么裝配車間每天至少要組裝多少臺空調(diào)？【答案】（1）y=9000【分析】（1）直接利用每天組裝的空調(diào)數(shù)量為y（臺/天），組裝的時間為x（天），總數(shù)為9000，進而得出答案；（2）利用反比例函數(shù)的增減性進行求解．【詳解】解：（1）由題意得：xy=9000，即y=9000∴y與x之間的函數(shù)關系式為y=9000（2）由題意，得0<x≤60?10，即0<x≤50，對于函數(shù)y=9000∵k=9000>0，∴當0<x≤50時，y的值隨x值的增大而減小∴y≥900050答：裝配車間每天至少要組裝180臺空調(diào)．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，正確利用反比例函數(shù)增減性進行分析是解題關鍵．6．（2023春·山東青島·九年級校聯(lián)考期末）在工程實施過程中，某工程隊接受一項開挖水渠的工程，所需天數(shù)y(天)與每天完成工程量x米的函數(shù)關系圖象如圖所示，是雙曲線的一部分．(1)請根據(jù)題意，求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)若該工程隊有2臺挖掘機，每臺挖掘機每天能夠開挖水渠30米，問該工程隊需要用多少天才能完成此項任務？(3)如果為了防汛工作的緊急需要，必須在10天內(nèi)完成任務，那么每天至少要完成多少米？【答案】(1)y＝1200x【分析】(1)根據(jù)圖像找到反比例圖象上點的坐標，代入反比例函數(shù)的解析式即可求出答案；(2)由第一問可計算出工程的總工作量，再根據(jù)題目中的工作效率，可計算出所需的工作時間；(3)第一問中可計算出工作的總量，再由條件中的工作時間，可計算出工程所需的工作效率.【詳解】解：(1)設y＝kx∵點(24，50)在其圖象上，∴所求函數(shù)表達式為y＝1200x(2)由圖象，知共需開挖水渠24×50＝1200(m)；2臺挖掘機需要1200÷(2×30)＝20天；(3)1200÷10＝120(m)．故每天至少要完成120m．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵.【經(jīng)典例題六表格問題】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市景范中學校?？计谥校愃彻緦ⅰ胞愃礁鞭r(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．駕駛員根據(jù)平時駕車去往杭州市場的經(jīng)驗，得到v、t的一組對應值如下表：（千米/小時）50607580（小時）6543.75(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可知該公司到杭州市場的路程為___________千米；(2)求出平均速度v（千米/小時）關于行駛時間（小時）的函數(shù)表達式；(3)汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由．【答案】(1)300(2)(3)不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)即可得s的值；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v是t的反比例函數(shù)，設，利用待定系數(shù)法求出k即可；（3）根據(jù)時間t=2.5，求出速度，即可判斷．【詳解】（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，∵∴s=300，∴該公司到杭州市場的路程為300千米；故答案為：300；（2）解：由表格中的數(shù)據(jù)可以看出每一對v與t的對應值乘積為一定值，將每一對對應值作為點的坐標在平面直角坐標系中做出對應的圖象是雙曲線的一部分，設，∵v=75時，t=4，∴k=75×4=300，∴；（3）解：不能．理由如下：∵107.5=2.5（小時），∴t=2.5時，，∵120＞100，∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達杭州市場．【點睛】本題是反比例函數(shù)的應用題，考查了反比例函數(shù)的待定系數(shù)法求解析式及應用函數(shù)解析式解決實際問題，建立反比例函數(shù)模型是解題的關鍵．2．（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）某經(jīng)銷商出售一種進價為4元/升的液體原料，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品日銷售價x元/升與日銷售量y（升）滿足反比例函數(shù)，部分數(shù)據(jù)如下表：x（元/升）3456y（升）200150120100(1)求y關于x的函數(shù)關系式；(2)已知如圖所示的長方體容器中裝滿了液體原料，記日銷售后長方體中剩余液體的高度為

①求h關于x的函數(shù)關系式；②物價局規(guī)定此液體原料的日銷售價最高不能超過8元/升，若該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天，則長方體容器中剩余液體原料多少升？【答案】(1)(2)①；②500升【分析】（1）要確定y與x之間的函數(shù)關系式，通過觀察表中數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)x與y的乘積是相同的，都是600，所以可知y與x成反比例，用待定系數(shù)法求解即可；（2）①用兩種方式表示日銷售量即可列方程求解；②根據(jù)題意先求出日銷售利潤，再求出最大銷售量，進一步可得出結(jié)論．【詳解】（1）反比例函數(shù)能表示其變化規(guī)律．設y關于x的函數(shù)關系式為（0）將，代入得，∴；（2）①液體原料的日銷售量為升，∴，∴，②設此液體原料的日銷售利潤為W（元），由題意可得，∵，∴當時，W有最大值，此時最大日銷售量為，∵該液體原料按最大日銷售利潤銷售20天，∴長方體容器中剩余液體原料為（升）【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，兩個變量的積是定值，也考查了根據(jù)實際問題和反比例函數(shù)的關系式求最大值，解答此類題目的關鍵是仔細理解題意．3．（2023春·九年級課時練習）2021年某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)線的投入維護資金x（萬元）與產(chǎn)品成本y（萬元/件）的對應關系如下表所示：投入維護資金x（萬元）2.5344.5產(chǎn)品成本y（萬元/件）7.264.54(1)請你認真分析表中數(shù)據(jù)，從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪一個函數(shù)能表示其變化規(guī)律，給出理由，并求出其解析式．(2)2022年，按照這種變化規(guī)律：①若生產(chǎn)線投入維護資金5萬元，求生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成本．②若要求生產(chǎn)線產(chǎn)品成本降低到3萬元以下，求乙生產(chǎn)線需要投入的維護資金．【答案】(1)反比例函數(shù)，理由見解析，(2)①3.6萬元/件；②6萬元以上【分析】（1）設利用待定系數(shù)法求出解析式，再代入一組對應值驗證，得到不是一次函數(shù)關系；再設（k為常數(shù)，），求出解析式代入對應值驗證即可；（2）①將x=5代入計算可得；②將y=3代入計算可得．【詳解】（1）設（k，b為常數(shù)，），∴，解這個方程組得，∴．當時，．∴一次函數(shù)不能表示其變化規(guī)律．設（k為常數(shù)，），∴，∴，∴．當時，；當時，；當時；∴所求函數(shù)為反比例函數(shù)．（2）①當時，，∴甲生產(chǎn)線生產(chǎn)出的產(chǎn)品成本為3.6萬元/件．②當時，，∵，∴x，∴需要投入維護資金6萬元以上．【點睛】此題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際問題，正確掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)并求出解析式是解題的關鍵．4．（2023春·全國·九年級專題練習）某公司生產(chǎn)一種醫(yī)療器械，平均每臺器械的生產(chǎn)時間為6分鐘．為了提高生產(chǎn)效率，該公司引進一批新的生產(chǎn)設備，安裝后需要進行調(diào)試．已知生產(chǎn)每臺醫(yī)療器械所需的平均時間y（單位：分鐘）與調(diào)試次數(shù)x（單位：次）的函數(shù)關系是（k為非0常數(shù)），調(diào)試次數(shù)x，調(diào)試后平均每臺醫(yī)療器械生產(chǎn)所需時間y及相應的k的數(shù)據(jù)如下表：x1234…y13874…k12141812…(1)如果要使表中有盡可能多的數(shù)據(jù)滿足函數(shù)關系，則函數(shù)解析式為______；(2)如果要使k與其表中相應具體數(shù)據(jù)的差的平方和最小，求此時的函數(shù)解析式；(3)要使這種器械的生產(chǎn)效率提高60%，你認為調(diào)式多少次比較合適？【答案】(1)y=+1(2)此時函數(shù)關系式為y=+1；(3)調(diào)式5次比較合適．【分析】（1）由表中的數(shù)據(jù)看出，12出現(xiàn)次數(shù)最多，k取12，據(jù)此可求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意得到k與其表中相應具體數(shù)據(jù)的差的平方和為w=4(x14)2+24，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設生產(chǎn)效率提高60％后，需a分鐘生產(chǎn)1臺器械，根據(jù)題意列分式方程，求解得到a=，再代入兩個解析式，進一步求解即可．【詳解】（1）解：要盡可能多的數(shù)據(jù)滿足函數(shù)關系，由表中的數(shù)據(jù)看出，12出現(xiàn)次數(shù)最多，∴k取12，∴函數(shù)關系式為y=+1，故答案為：y=+1；（2）解：依題意知：k與其表中相應具體數(shù)據(jù)的差的平方和為w=(k12)2+(k14)2+(k18)2+(k12)2=4k2112k+808=4(x14)2+24，∴當k=14時，原式w取最小值，∴此時函數(shù)關系式為y=+1；（3）解：設生產(chǎn)效率提高60％后，需a分鐘生產(chǎn)1臺器械，則=60%，解得：a=，經(jīng)檢驗是原方程的解，將y=代入y=+1，得：=+1，解得：x=，經(jīng)檢驗是原方程的解，將y=代入y=+1，得：=+1，解得：x=，經(jīng)檢驗是原方程的解，綜合考慮，調(diào)式5次比較合適．【點睛】本題考查了反比例的應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，分式方程的應用，解決問題的關鍵是掌握圖象和解析式的關系，讀懂表格中的數(shù)據(jù)．5．（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知某品牌運動鞋每雙進價120元，為求合適的銷售價格進行了4天的試銷，試銷情況如下表：第1天第2天第3天第4天售價x（元/雙）150200250300銷售量y（雙）40302420（1）表中數(shù)據(jù)x、y滿足什么函數(shù)關系式？請求出這個函數(shù)關系式；（2）若每天銷售利潤為3000元，則單價應定為多少元？【答案】（1）y＝；（2）若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為240元．【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以判斷x與y的函數(shù)關系，本題即可解決；（2）根據(jù)題意列出方程進行求解即可得到答案.【詳解】解：（1）由表中數(shù)據(jù)得：xy＝6000，∴y＝，∴y是x的反比例函數(shù)，y與x之間的函數(shù)關系式為y＝；（2）由題意得，（x﹣120）?＝3000，∴解得，x＝240；經(jīng)檢驗，x＝240是原方程的根，∴單價應定為240元.答：若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為240元．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵在于能夠準確找到等量關系列出方程求解.6．（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）某廠從2011年起開始投入技改資金，經(jīng)技術改進后，其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表所示：年度2011201220132014投入技改資金/萬元2.5344.5產(chǎn)品成本/（萬元/件）7.264.54（1）請認真分析表中的數(shù)據(jù)，從你學過的一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示其變化規(guī)律，并求出它的表達式；（2）按照這種變化規(guī)律，2015年已投入技改資金5萬元．①預計產(chǎn)品成本每件比2014年降低多少萬元？②如果打算在2015年把每件產(chǎn)品的成本降低到3.2萬元，那么還需投入技改資金多少萬元？（精確到0.01萬元）【答案】（1）反比例函數(shù)能表示其變化規(guī)律，表達式為：y=；（2）①0.4萬元；②0.63萬元【分析】（1）從題很容易看出x與y的乘積為定值，應為反比例關系，由此即可解決問題；（2）①直接把x=5萬元代入函數(shù)解析式即可求解；②直接把y=3.2萬元代入函數(shù)解析式即可求解．【詳解】（1）設y=kx+b，（k、b為常數(shù)，k≠0），∴，解這個方程組得，∴y=?1.5x+10.5，當x=2.5時，可得y=6.75≠7.2，∴一次函數(shù)不能表示其變化規(guī)律，設y=，（k為常數(shù)，k≠0），∴7.2=，∴k=18，∴y=，當x=3時，y=6；當x=4時，y=4.5；當x=4.5時，y=4；∴所求函數(shù)為反比例函數(shù)y=；（2）①當x=5時，y=3.6，4?3.6=0.4（萬元），∴比2014年降低0.4萬元；②當y=3.2時，x=5.625，5.625?5=0.625≈0.63（萬元），∴還需要投入技改資金約0.63萬元，答：要把每件產(chǎn)品的成本降低到3.2萬元，還需投入技改資金約0.63萬元．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應的函數(shù)值，要注意用排除法確定函數(shù)的類型．7．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）小明到眼鏡店調(diào)查了近視眼鏡鏡片的度數(shù)和鏡片焦距的關系，發(fā)現(xiàn)鏡片的度數(shù)（度）是鏡片焦距（厘米）（）的反比例函數(shù)，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：眼鏡片度數(shù)（度）…鏡片焦距（厘米）…（1）求與的函數(shù)表達式；（2）若小明所戴近視眼鏡鏡片的度數(shù)為度，求該鏡片的焦距．【答案】（1），；（2）該鏡片的焦距為．【分析】（1）根據(jù)圖表可以得到眼鏡片的度數(shù)與焦距的積是一個常數(shù)，因而眼鏡片度數(shù)與鏡片焦距成反比例函數(shù)關系，即可求解；（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，設與的函數(shù)表達式為把，代入中，得∴與的函數(shù)表達式為．（2）當時，答：該鏡片的焦距為．【點睛】考查了反比例函數(shù)的應用，正確理解反比例函數(shù)的特點，兩個變量的乘積是常數(shù)，是解決本題的關鍵．【經(jīng)典例題七反比例函數(shù)實際綜合問題】1．（2022·廣東·九年級統(tǒng)考競賽）2021年新冠肺炎疫情防控形勢依然嚴峻，嚴格按照防疫要求進行個人防護和環(huán)境消殺是防控的重點．已知某種環(huán)境消殺使用的消毒液中含有有效成分，每將個單位的溶解在一定量水中，則消毒液的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數(shù)關系式近似為，其中當時，，當時，．若多次溶解，則某一時刻水中的濃度為每次溶解的在相應時刻溶解的濃度之和．根據(jù)科學實驗，當消毒液的濃度不低于4（克/升）時，它才能有效消毒．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．一次投放4個單位的，在2分鐘時，消毒液的濃度為克/升B．一次投放4個單位的，有效消毒時間可達8分鐘C．若第一次投放2個單位的，6分鐘后再投放2個單位的，第8分鐘消毒液的濃度為5克/升D．若第一次投放2個單位的，6分鐘后再投放2個單位的，接下來的4分鐘能夠持續(xù)有效消毒【答案】C【分析】根據(jù)題意，對于題意根據(jù)當時，，當時，，當時，，當時，，根據(jù)題意求得時的函數(shù)值，即可判斷A，令根據(jù)上述函數(shù)關系式，求得的取值范圍，進而判斷B選項，根據(jù)當時，求得函數(shù)關系式，求得當時的函數(shù)值即可判斷C選項，根據(jù)C選項的解析式求得的最小值即可判斷D選項．【詳解】對于A，由題意可得，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，故A正確，對于B，當時，，解得，故，當時，，解得，故，綜上所述，，若一次投放4個單位的，消毒時間可達8分鐘，故B正確，對于C，當時，，當時，，故C錯誤，對于D，∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴有最小值，∴接下來的4分鐘能夠持續(xù)消毒，故D正確．故選C【點睛】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的應用，類比反比例函數(shù)求解是解題的關鍵．2．（2020下·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考期中）兩個反比例函數(shù)，在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，點、、……反比例函數(shù)圖像上，它們的橫坐標分別是、、……，縱坐標分別是1，3，5，…，共2020個連續(xù)奇數(shù)，過點、、……分別作軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖像交點依次是、、……，則等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039【答案】A【分析】主要是找規(guī)律，找出規(guī)律即可求出本題答案，先根據(jù)已知條件求出分別為1、3、5時的值，即可求出當時的值，再將其代入中即可求出．【詳解】解：當時，、、…分別為6、2、…將、、…代入，得：、、…，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖像是雙曲線；圖像上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．3．（2022上·重慶銅梁·九年級重慶市巴川中學校校考開學考試）瑞泰工程組安排甲、乙、丙、丁四輛貨車用于一批建筑材料運輸，已知這四輛貨車每一次的運貨量都保持不變且為整數(shù)（單位：噸），乙車每次運貨量比甲車高，丙車每次運貨量比甲車多12噸，甲、丙兩車運輸2次的貨物總量與丁車獨自運輸3次的貨物量相等、當甲、乙、丙、丁四輛貨車運輸次數(shù)之比為恰好運完這一批建筑材料，此時甲車共運輸了120噸，則這批建筑材料最多有噸．【答案】376【分析】設甲車每次運噸，可得乙車每次運（噸，丙車每次運噸，丁車每次運噸，由，，，都是整數(shù)，知是6的倍數(shù)，最小為6，設這一批建筑材料共噸，運完這一批建筑材料，丁車運輸次，可得，，，故時，最大為376噸．【詳解】解：設甲車每次運噸，乙車每次運貨量比甲車高，丙車每次運貨量比甲車多12噸，乙車每次運（噸，丙車每次運噸，甲、丙兩車運輸2次的貨物總量與丁車獨自運輸3次的貨物量相等，丁車每次運噸，，，，都是整數(shù)，是6的倍數(shù)，最小為6，設這一批建筑材料共噸，運完這一批建筑材料，丁車運輸次，則甲車運輸次，乙車運輸次，丙車運輸次，甲車共運輸了120噸，，，根據(jù)題意得：，當最小時，取最大值，時，最大為（噸，這批建筑材料最多有376噸，故答案為：376．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，根據(jù)題意設位置時，列出關系式是解題的關鍵．4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，過點C(3,4)的直線交軸于點A，∠ABC=90°，AB=CB，曲線過點B，將點A沿軸正方向平移個單位長度恰好落在該曲線上，則的值為．【答案】4【分析】分別過點B、點C作軸和軸的平行線，兩條平行線相交于點M，與軸的交點為N．將C(3,4)代入可得b=2，然后求得A點坐標為(1,0)，證明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A點向上平移后落在上，即可求得a的值.【詳解】分別過點B、點C作軸和軸的平行線，兩條平行線相交于點M，與軸的交點為N，則∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=2，所以y=2x2，令y=0，則0=2x2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM，BN=CM，∵C(3，4)，∴設AN=m，CM=n，則有，解得，∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲線過點B，∴k=4，∴，∵將點A沿軸正方向平移個單位長度恰好落在該曲線上，此時點A移動后對應點的坐標為(1，a)，∴a=4，故答案為4.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及了待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，點的平移等知識，正確添加輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想靈活運用相關知識是解題的關鍵.5．（2023上·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，的邊垂直于軸，垂足為點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，交于點．若點的坐標為，且．

(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)設點是線段上的動點（不與點、重合），過點且平行軸的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入到中，即可求出值，進而求出反比例函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)點，，點為的中點，求出點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線的表達式，設點，由題意得到，得，進而得到關于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：點在反比例函數(shù)的圖象上，，，∴反比例函數(shù)的表達式為．（2）解：如圖，

，，，點是的中點，，設直線解析式為，，，直線解析式為，點在線段上且不與，重合，設點，，點在反比例函數(shù)上，設點，，，，，當時，最大，最大值為．【點睛】本題為一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應用，考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，熟知相關知識并靈活運用是解題關鍵．6．（2023上·浙江溫州·九年級校聯(lián)考開學考試）確定有效消毒的時間段背景素材預防傳染病，某校定期對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物釋放階段，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與釋放時間x（min）成一次函數(shù)；釋放后，y與x成反比例如圖1所示，且2min時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）達到最大值．某興趣小組記錄部分y（mg）與x（min）的測量數(shù)據(jù)如表1．滿足的自變量x（min）的取值范圍為有效消毒時間段．x…123…y…34…

表1問題解決任務1確定y關于x的一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達式．任務2初步確定有效消毒時間段即自變量x的取值范圍．任務3若實際生活中有效消毒時間段要求滿足，其中a為常數(shù)，請確定實際生活中有效消毒的時間段．【答案】任務1：；；任務2：；任務3：或．【分析】任務1：利用待定系數(shù)法求解即可；任務2：求得時，對應的x的值，根據(jù)圖象即可求解；任務3：分當和、時，三種情況討論，求解即可．【詳解】任務1：解：設當藥物釋放階段（即）時，設，把，代入，得，解得，∴；設當藥物釋放后（即）時，設，把代入，得，解得，∴；任務2：把分別代入，得，解得，由圖象，得；任務3：（1）當時，把代入，得，解得；把代入，得，滿足題意；．（2）時，把代入，得，解得（舍去）；∴無解；（3）時，（即）①把代入，得，解得；把代入，解得，滿足要求（），∴；②把代入，得，解得；把代入，解得，滿足要求（），∴．綜上，或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，理解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關鍵．【培優(yōu)檢測】1．（2023上·全國·九年級專題練習）某種蓄電池的電壓（單位：）為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數(shù)關系．當時，，則當時，的值是（）A．4 B．5 C．10 D．0【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義直接求解即可．【詳解】解：由題意，設，∴，∴；∴當時，．故選：A．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的應用，理解反比例函數(shù)的定義是解題關鍵．2．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）．

A．函數(shù)解析式為 B．蓄電池的電壓是C．當時， D．當時，【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象，并結(jié)合物理學科中的電流等于電壓除以電阻的知識點即可求解．【詳解】解：設，∵圖象過，∴，∵，∴蓄電池的電壓是，∴選項A、B錯誤，不符合題意；當時，，∴選項C錯誤，不符合題意；當時，，由圖象可知：當時，，∴選項D正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的實際應用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象，并利用物理學科中電流、電壓、電阻之間的關系是解本題的關鍵．3．（2023下·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）在地球引力作用下，大量氣體聚集在地球周圍，形成數(shù)千公里的大氣層，大氣層是地球生物賴以生存必不可少的條件，大氣層由于重力作用形成了大氣壓．海拔高度不同，大氣壓強也不同，如圖是大氣壓強隨海拔高度變化的關系圖象，觀察圖象可知，下列說法正確的是（

）A．大氣壓強與海拔高度成反比例函數(shù)關系B．隨著海拔高度的增大，大氣壓強也隨之增大C．海拔高度為時，大氣壓強約為D．海拔高度為時，大氣壓強為【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)圖象的變化趨勢即可判斷B；根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可判斷C；根據(jù)圖象趨勢即可判斷D．【詳解】解：A、根據(jù)圖象可知圖象經(jīng)過，，，，，，橫坐標與縱坐標的積不相等，所以結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；B、根據(jù)圖象可以看出，隨著海拔高度的增大，大氣壓強也隨之減小，所以結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意；C、根據(jù)圖象可以看出，當時，大氣壓強，所以結(jié)論正確，故此選項符合題意；D、根據(jù)圖象可以看出，，，所以結(jié)論錯誤，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．4．（2023下·山西長治·九年級校考階段練習）隨著科技的進步，我國的生物醫(yī)藥行業(yè)發(fā)展迅速，最近某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示（當時，y與x成反比例）．根據(jù)圖中信息可知，血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續(xù)時間為（

）

A．4小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】C【分析】先求出正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，令，確定兩個函數(shù)自變量的值，其差就是持續(xù)的時間．【詳解】設正比例函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為，把分別代入解析式，得，解得，故函數(shù)的解析式為，當時，，解得，故持續(xù)時間為（小時），故選C．【點睛】本題考查了正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式的確定，應用，熟練掌握解析式的確定和應用是解題的關鍵．5．（2023·廣東江門·?？既＃┠硞€亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來實現(xiàn)．如圖是該臺燈的電流（）與電阻（）的關系圖象，該圖象經(jīng)過點．根據(jù)圖象可知，下列說法：①與的函數(shù)關系式是（）；②時，；③當時，；④當時，的取值范圍是．錯誤的個數(shù)有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】觀察圖象是反比例函數(shù)，設函數(shù)解析式為，代入點，即可求得解析式，進而觀察函數(shù)圖象，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷②③④【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象是反比例函數(shù)，設函數(shù)解析式為，代入點，得，∴與的函數(shù)關系式是，故①錯誤；觀察函數(shù)圖象，隨著的增大而減小，則時，，故②錯誤③當時，，故③錯誤④當時，,則當時，的取值范圍是．故④正確，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的實際應用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．6．（2022上·山西呂梁·九年級?？茧A段練習）某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨?，氣體的體積的取值范圍．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求解，即可得到答案．【詳解】解：設反比例函數(shù)解析式，由圖象可知，反比例函數(shù)經(jīng)過點，，，在第一象限內(nèi)，P隨V的增大而減小，當時，，氣球內(nèi)的氣壓大于時，氣球?qū)⒈?，，此時，氣體的體積的取值范圍為，故答案為：，【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，根據(jù)圖象上的已知點的坐標求出函數(shù)解析式是解題關鍵．7．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小瑞利用杠桿原理稱藥品質(zhì)量（杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂）：如圖，當左盤藥品為m克時，右盤砝碼重20克；當左盤砝碼重5克時，右盤藥品為n克．則m與n滿足的關系式為．

【答案】【分析】根據(jù)動力×動力臂=阻力×阻力臂，分別利用兩幅圖分別列式為，則，，則，即可得到答案．【詳解】解：如圖，

由圖1可得，則，由圖2可得，則，∴，故答案為：【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的應用，準確列出等式是解題的關鍵．8．（2023上·山東青島·九年級?？计谥校轭A防流感，某學校對教室進行“藥熏消毒”．消毒期間，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時間之間的函數(shù)關系如圖所示．已知在藥物燃燒階段，與成正比例，燃燒完后與成反比例．現(xiàn)測得藥物燃燒完，此時教室內(nèi)每立方米空氣含藥量，當每立方米空氣中含藥量低于時，對人體無毒害作用．那么從消毒開始，經(jīng)過后教室內(nèi)的空氣才能達到安全要求．

【答案】【分析】設藥物燃燒后與之間的解析式為，把點代入即可，把代入反比例函數(shù)解析式，求出相應的，此題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．【詳解】解：設藥物燃燒后與之間的解析式為，把點代入得，解得：，∴關于的函數(shù)關系式為：，當時，由得：，所以分鐘后教室內(nèi)的空氣才能達到安全要求，故答案為：．9．（2022上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）飲水機中原有水的溫度為，通電開機后，飲水機自動開始加熱(此過程中，水溫與開機時間分滿足一次函數(shù)關系)，當加熱到時自動停止加熱，隨后水溫開始下降(此過程中，水溫與開機時間x分成反比例函數(shù)關系)，當水溫降至時，飲水機又自動開始加熱，……如此循環(huán)下去(如圖所示)．那么開機后分鐘時，水的溫度是．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出當時，水溫與開機時間x的函數(shù)關系式；由點，利用待定系數(shù)法即可求出當時，水溫與開機時間的函數(shù)關系式，再將代入該函數(shù)關系式中求出x值即可，由，將代入反比例函數(shù)關系式中求出y值即可得出結(jié)論．【詳解】解：當時，設水溫與開機時間的函數(shù)關系為：，依據(jù)題意，得，解得：，故此函數(shù)解析式為：；在水溫下降過程中，設水溫y與開機時間x的函數(shù)關系式為：，依據(jù)題意，得：，解得：，∴，當時，，解得：，∵，∴當時，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式．10．（2023上·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖是6個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是1和2，每個臺階凸出的角和凹入的角的頂點記作（n為1~11的整數(shù)），函數(shù)的圖象為L．（1）若L過點，則；（2）若L過，則L一定過另一點，則；（3）若L使得這些點分布在它的兩側(cè)，且一側(cè)5個點一側(cè)6個點，請寫出符合要求的k的所有整數(shù)值：．【答案】12917【分析】（1）先確定的坐標，然后根據(jù)反比例函數(shù)即可確