專題02勾股定理的證明的運用（題型與解法）（原卷版）

專題02勾股定理的證明的運用勾股定理現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)方法解決幾何問題的定理之一，我們需要理解并掌握以下四種常見的證明方法，圖形雖然不同，但用到的證明方法都是“面積法”.（一）趙爽弦圖以、為直角邊，以為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于．把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀．∵，∴．∵，∴，∴是一個邊長為的正方形，它的面積等于．∵，．∴是一個邊長為的正方形，它的面積等于．∴．∴．（二）劉徽證明方法——青朱出入圖如圖劉徽證法證法如下：.化簡得：.（三）畢達(dá)哥拉斯證明方法如圖1，將長方形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到長方形A’BC’D’.其中：AB=a，AD=b，BD=c.如圖：連接BD、BD’、DD’.在△DCB和△BA’D’中，∵AB=BA’，∠C=∠BA’D’=90°，BC=A’D’∴△ABD≌△C’D’B（SAS）∴BD=BD’，∠DBC=∠A’D’B∵∠A’BD+∠A’D’B=90°∴∠DBD’=90°即△DBD’為等腰直角三角形.由題意可知：即：化簡得：畢達(dá)哥拉斯圖形還有其它幾種變形，如圖2，圖3所示.圖2圖3圖2證法如下：大正方形面積=四個直角三角形面積和+小正方形面積即：.化簡得：.圖3是由圖2變化位置而來，證法與圖2一致.題型：勾股定理與面積問題如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外作半圓，若QUOTES1=S1=10，S3=8，則S2=如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外作正方形，若QUOTES1=S1=26，S3=18，則S2=如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外分別作等邊三角形，若QUOTES1=S1=16，S3=10，則S2=如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外分別作半圓，若AB=3，AC=4，BC=5，則S陰= .如圖，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作正方形，然后分別以三個正方形的中心為圓心，正方形邊長的一半為半徑作圓，記三個圓的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是()A．S1＋S2＞S3 B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3 D．無法確定中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.如圖14，用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，請你利用這個圖形解決問題：如果大正方形的面積是10，小正方形的面積是2，求(a+b)2的值.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積為如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A.9B.10C.11D.12如圖17所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點E，F(xiàn)是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是()

圖17A.6

B.12

C.24

D.30

勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感. 圖18 圖19他驚喜的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖18或圖19擺放時，都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖18所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.證明:連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a.

∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝QUOTEb2＋QUOTEab，

又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a)，

∴QUOTEb2＋QUOTEab＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a).

∴a2＋b2＝c2.

請參照上述證法，利用圖19完成證明.

將兩個全等的直角三角形按圖19所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+2S2+2S3+S4=________.如圖是小明為學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)文化節(jié)設(shè)計的標(biāo)志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個正方形，點G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面積為10.5，則陰影部分面積為．1．下面圖形能夠驗證勾股定理的有（

）個A．4 B．3 C．2 D．12．在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，則方案正確的是（

）A．甲對 B．乙對 C．兩人都對 D．兩人都不對3．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想C．分類思想 D．方程思想4．下面圖形能夠驗證勾股定理的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A．B．C． D．6．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．下面是一些中外數(shù)學(xué)家與他們在數(shù)學(xué)發(fā)展史上所作出的偉大成就．a(chǎn)．笛卡爾；b．趙爽；c．楊輝；d．萊布尼茨；①用“勾股圓方圖”證明勾股定理；②楊輝三角；③建立微積分理論；④創(chuàng)建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)思想．其中匹配正確的一項是（

）A．a(chǎn)③；b①；c②；d④ B．a(chǎn)④；b①；c②；d③C．a(chǎn)④；b②；c①；d③ D．a(chǎn)③；b④；c②；d①8．我國清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個正方形用出入相補(bǔ)證明了勾股定理，如圖，設(shè)直角三角形的邊長分別是，斜邊的長為c，作三個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A，C，E三點在一條直線上.若，四邊形與面積之和為13.5，則正方形的面積為_______________.9．小明將4個全等的直角三角形（其中兩直角邊長分別是，）拼成如圖所示的五邊形，則五邊形的面積表示為___________．10．素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測量計算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．11．綜合與實踐：小明制作了2張如圖①的紙片，其中四邊形、均為正方形，他把其中的一張紙片沿對稱軸把它剪開，然后把對稱軸一側(cè)的部分，沿翻折，再繞著的中點旋轉(zhuǎn)，這樣就形成了如圖②的圖形．(1)在圖②中，請先判斷與的數(shù)量關(guān)系，再說明理由．(2)圖①圖形的面積可以表示為______．圖②圖形的面積可以表示為______．從而得數(shù)學(xué)等式：______，化簡證得定理______．(3)在圖②中，，，連接，求圖②中的長．12．計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．(1)如圖2，正方形是由四個邊長分別是a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進(jìn)行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足，，求的值．(3)如圖3，正方形的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進(jìn)行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡）13．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應(yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理據(jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理，請你說說其中的道理．(2)應(yīng)用勾股定理①應(yīng)用場景1——在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．如圖1，在數(shù)軸上找出表示4的點，過點作直線垂直于，在上取點，使，以點為圓心，為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場景2——解決實際問題．如圖2，鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長．14．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．15．（1）用如圖所示的兩個大小完全相同的長方形和一個正方形拼成了一個世界數(shù)學(xué)年會的會徽圖案．①利用圖②證明：②若拼成的大正方形面為169，小正方形的面積為49，求值．（2）若利用圖①拼成如圖③圖形，延長交于點，連接．在（1）中②的條件下，則___________．16．我們運用圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，由此推導(dǎo)出一個重要的結(jié)論，，這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．(1)請你用圖（II）的面積表達(dá)式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）(2)請你用圖（III）提供的圖形組合成一個新的圖形，使組合成的圖形的面積表達(dá)式能夠驗證．畫出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．(3)請你自己設(shè)計一個組合圖形，使它的面積能驗證：，畫出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．17．綜合與實踐．勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．(1)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請你利用這個圖形說明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，．請你利用這個圖形說明．(提示：連接，)18．用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為，斜邊長為．(1)結(jié)合圖①，求證：；(2)如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形．若該圖形的周長為48，．求該圖形的面積．19．我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個長方形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成一個關(guān)的正方形（如圖1），這個長方形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式，稱為勾股定理．愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2），也能驗證這個結(jié)論，請你幫助小明完成驗證的過程．20．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第117頁的部分內(nèi)容．把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點、、在同一條直線上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．(1)請結(jié)合圖，寫出完整的證明過程；(2)如圖，在等腰直角三角形中，，，是射線上一點，以為直角邊在邊的右側(cè)作，使，．過點，作于點，當(dāng)時，則___________．21．勾股定理是解決直角三角形很重要的數(shù)學(xué)定理．這個定理的證明的方法很多，也能解決許多數(shù)學(xué)問題．請按要求作答：(1)用語言敘述勾股定理；(2)選擇圖1、圖2、圖3中一個圖形來驗證勾股定理；(3)利用勾股定理來解決下列問題：如圖4，一個長方體的長為8，寬為3，高為5．在長方體的底面上一點A處有一只螞蟻，它想吃長方體上A與點相對的B點處的食物，則螞蟻需要沿長方體表面爬行的最短路程是多少?（畫出圖形，并說明理由）22．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第117頁的部分內(nèi)容．(1)請結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程；(2)如圖②，在等腰直角三角形中，，，P是射線BC上一點，以為直角邊在邊的右側(cè)作，使，．過點D作于點E，當(dāng)時，則___________．23．綜合與實踐美麗的弦圖中蘊(yùn)含著四個全等的直角三角形．(1)如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖1，試驗證勾股定理；(2)如圖2，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，，求該飛鏢狀圖案的面積；(3)如圖3，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，求的值．24．在學(xué)習(xí)勾股定理時，我們學(xué)會運用圖(I)驗證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：，也可表示為：，即由此推出勾股定理，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．(1)請你用圖(Ⅱ)(2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo))的面積表達(dá)式驗證勾股定理(其中四個直角三角形全等)；(2)請你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗證25．綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高為______．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．26．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理，圖1與圖2都是由四個全等的直角三角形構(gòu)成，圖3是由兩個全等的直角三角形構(gòu)成（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑向外部作半圓，請寫出、和的數(shù)量關(guān)系：___________．27．2000多年來，人們對勾股定理的證明頻感興趣，不但因為這個定理重要、基本還因為這個定理貼近人們的生活實際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形．(1)請你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以為直徑畫圓O，延長交于點E，判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，則圖3中陰影部分的面積為____________（用含a的式子表示）28．閱讀材料，回答問題：(1)中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（如圖）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長分別為和，那么斜邊的長為．”上述記載表明了：在中，如果，，，，那么，，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是_____．(2)對于這個數(shù)量關(guān)系，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖，它是由八個全等的直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進(jìn)行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：，，_____，且_____=_____，，整理得，_____．(3)如圖，把矩形折疊，使點與點重合，折痕為，如果，，求的長．29．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，，，請用a，b，c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：(1)________，__________，___________，則它們滿足的關(guān)系式為___________