專題04有理數(shù)及其運(yùn)算重難點(diǎn)題型-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊重難題型全歸納及技巧提升專項(xiàng)精練(北師大版)(原卷版+解析)

專題04有理數(shù)及其運(yùn)算重難點(diǎn)題型重難點(diǎn)題型題型1正負(fù)數(shù)意義及應(yīng)用【解題技巧】解決此類問題關(guān)鍵是明確正負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際意義從而進(jìn)一步求解.1.（2022?諸暨市期中）下列各對量中，不具有相反意義的是（）A．勝3局與負(fù)3局 B．轉(zhuǎn)盤逆時(shí)針轉(zhuǎn)3圈與順時(shí)針轉(zhuǎn)5圈 C．收入3000元與增加3000元 D．氣溫升高4℃與氣溫降低10℃2.（2022?灤州市期末）如圖所示的是某用戶微信支付情況，﹣100表示的意思是（）A．發(fā)出100元紅包B．收入100元C．余額100元D．搶到100元紅包3．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)期中）下列選項(xiàng)中，具有相反意義的量是（）A．勝2局與負(fù)3局 B．前進(jìn)與后退C．盈利3萬元與支出3萬元 D．向東行30米與向北行30米4.（2022?綦江區(qū)期末）綦江區(qū)永輝超市出售的三種品牌大米袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字樣，從超市中任意拿出兩袋大米，它們的質(zhì)量最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg5.（2022?渝中區(qū)校級(jí)月考）紐約與北京的時(shí)差為﹣13小時(shí)（正數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)，負(fù)數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間晚的時(shí)數(shù)），當(dāng)北京9月12日8時(shí)，紐約的時(shí)間是（）A．9月11日5時(shí)B．9月11日19時(shí) C．9月12日19時(shí)D．9月12日21時(shí)6.（2022·福建三明市·七年級(jí)期末）小明練習(xí)跳繩，以1分鐘跳165個(gè)為目標(biāo)，并把5次1分鐘跳繩的數(shù)量記錄如下（超過165個(gè)的部分記為“＋”，少于165個(gè)的部分記為“－”）：－11，－6，－2，＋4，＋10（1）小明在這5次跳繩練習(xí)中，1分鐘最多跳多少個(gè)？（2）小明在這5次跳繩練習(xí)中，1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多幾個(gè)？（3）小明在這5次跳繩練習(xí)中，累計(jì)跳繩多少個(gè)？題型2有理數(shù)的相關(guān)概念【方法點(diǎn)撥】解決此類問題需理解并熟記有理數(shù)相關(guān)概念，如①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；②正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)亦可稱為有理數(shù)；③只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；④在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)；⑤數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值；⑥一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.1．（2022射洪縣射洪中學(xué)外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）下列說法正確的是（）A．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) B．正整數(shù)包括自然數(shù)和零C．零是最小的整數(shù) D．非負(fù)數(shù)包括零和正數(shù)2.（2022?日照期中）下列說法正確的是（）①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都是正數(shù)②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是1④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0．A．①④ B．②③ C．③④ D．②④3.（2022·成都市初一期中）下列說法中，正確的A.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D．非正數(shù)就是指0、負(fù)整數(shù)和所有分?jǐn)?shù)4.（2022·廣東省初一月考）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是：A.負(fù)分?jǐn)?shù)都是負(fù)有理數(shù)B.分?jǐn)?shù)中除了正分?jǐn)?shù)就是負(fù)分?jǐn)?shù)C.有理數(shù)中除了分?jǐn)?shù)就是小數(shù)D.有限小數(shù)是分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)5.（2022?東至縣期末）下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；⑤?π2不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；⑥⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)．其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為（）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)6.（2021·廣東·七年級(jí)期中）下列說法中不正確的是（）A．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)B．整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)C．非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)題型3數(shù)集問題性質(zhì)：有理數(shù)的分類。注：數(shù)集關(guān)系中有包含關(guān)系時(shí)，數(shù)的分類不可重復(fù)解題技巧：此類題型是有理數(shù)分類題型的拓展，一般用框圖表示數(shù)據(jù)分類的集合關(guān)系，多會(huì)出現(xiàn)有重合甚至包含邏輯的框圖。此時(shí)，先填寫有重合和被包含部分的框圖，再填寫單一框圖部分的數(shù)據(jù)。1．（2021·福州華南實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）下列各數(shù)：中是正數(shù)有（）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2021·廣西南寧市·南寧三中七年級(jí)期中）將下列各數(shù)填入適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)內(nèi)：，，，2020，0，，，66．（1）整數(shù)集合{______…}；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合{______…}；（3）非負(fù)整數(shù)集合{______…}．3.（2021?郫都區(qū)校級(jí)月考）把下列各數(shù)的序號(hào)填到相應(yīng)的括號(hào)中：①﹣0.3?；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤?27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；（1）整數(shù)集合：{…}；（2）負(fù)數(shù)集合：{…}；（3）非正數(shù)集合：{…}；（4）分?jǐn)?shù)集合：{…}；（5）非負(fù)整數(shù)集合：{…}．4.（2021·綿陽市七年級(jí)期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…5．（2021·江蘇七年級(jí)月考）如圖，每個(gè)橢圓表示一個(gè)數(shù)集，請?jiān)诿總€(gè)橢圓內(nèi)填上6個(gè)數(shù)，其中三個(gè)寫在重疊部分，6.（2021?江陰市期中）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來，中間用逗號(hào)斷開，如：{1，2，﹣3}，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素．如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)﹣a+10也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合．例如集合{10，0}就是一個(gè)和諧集合．（1）請你判斷集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和諧集合？（2）請你再寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）．（3）寫出所有和諧的集合中，元素個(gè)數(shù)最少的集合．題型4利用數(shù)軸求兩點(diǎn)間距離注：距離沒有方向性，所以到某點(diǎn)的距離為a的點(diǎn)一般有兩個(gè)解題技巧：根據(jù)題干要求，先找出參考點(diǎn)位置；某點(diǎn)到參考點(diǎn)的距離為a，意味著這個(gè)點(diǎn)可以在參考點(diǎn)左邊距離為a的位置，也可在參考點(diǎn)右邊距離為a的位置。因此，此類題型一般有多解情況，請注意。最后根據(jù)畫出的數(shù)軸，讀出兩點(diǎn)之間的距離。1．（2021·四川廣元市·九年級(jí)一模）在數(shù)軸上，點(diǎn)，在原點(diǎn)的兩側(cè)，分別表示數(shù)，2，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)．若，則的值為（）A． B． C．或 D．2．（2021·江蘇南通市·九年級(jí)一模）如圖，如果數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離是，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，那么點(diǎn)表示的數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2020·浙江臺(tái)州市·七年級(jí)期中）已知，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為2，且，點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，則點(diǎn)C在數(shù)軸對應(yīng)的數(shù)為_______．4.（2021.綿陽市七年級(jí)期中）已知點(diǎn)O，A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為原點(diǎn)，，，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為m，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為 B．點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)為C．點(diǎn)D所對應(yīng)的數(shù)為 D．點(diǎn)A與點(diǎn)D間的距離為5.（2022·河南·七年級(jí)期末）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的點(diǎn)分別對應(yīng)數(shù)軸上的﹣2和x，那么x的值為_____．6.（2021·廣東廣州市·七年級(jí)期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．題型5有理數(shù)的大小比較解題技巧：（1）正數(shù)與正數(shù)比較，易于比較；（2）正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；（3）負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而?。唬?）如果要比較的數(shù)比較多，建議在數(shù)軸上將每個(gè)數(shù)表示出來，在數(shù)軸上，從左至右，數(shù)值一次增大。當(dāng)有字母時(shí)，且暫時(shí)無法理清大小關(guān)系，可以用特值法進(jìn)行比較。1．（2021·湖南懷化市·七年級(jí)期末）如圖，a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝2b2．（2021·陜西西安市·九年級(jí)一模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若實(shí)數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是___（任填一個(gè)即可）．3．（2021·廣西賀州市·七年級(jí)期末）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用“”連接起來．2，－1.5，－2，3，0，4.54.（2022·沙坪壩區(qū)·七年級(jí)月考）將有理數(shù)﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在數(shù)軸上，并用“＜”連接各數(shù)．5．（2022·湖南益陽·七年級(jí)期末）比較下列各數(shù)的大小，并用“＜”號(hào)連接起來：，，3，，，0．6．（2022·云南昆明·七年級(jí)期末）按要求解答(1)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：，，，（每兩個(gè)1之間逐次增加1個(gè)0），，，，，正有理數(shù)集合：｛…｝；負(fù)數(shù)集合：｛…｝；整數(shù)集合：｛…｝．(2)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下面5個(gè)原數(shù)，然后比較這5個(gè)原數(shù)的大小，用“<”號(hào)連接．，，，，題型6相反數(shù)的性質(zhì)與求法性質(zhì)：a.除0外，一組相反數(shù)一定是一正一負(fù)。b.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)（負(fù)號(hào)的意義就是表示相反量）。c.一組相反數(shù)的和為0。解題技巧：（1）此類題型多為利用相反數(shù)的性質(zhì)求解含字母數(shù)的相反數(shù)。利用性質(zhì)b，直接在這個(gè)數(shù)前面添加“﹣”號(hào)，在利用多重符號(hào)化簡的方法化簡即可。（2）已知兩個(gè)含有字母的數(shù)為相反數(shù)，利用性質(zhì)c，將兩個(gè)數(shù)相加和為0，表示成方程的形式，直接解方程即可。1.（2021?合江縣月考）﹣m的相反數(shù)是，﹣m+1的相反數(shù)是，a-b+c的相反數(shù)是．2．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）2022的相反數(shù)是（

）A． B． C．?2022 D．20223．（2022·廣東湛江·七年級(jí)期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和44.（2021·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若a與b互為相反數(shù)且a≠b，則＝（）A．0 B．1 C．－1 D．0，±15．（2022·廣東惠州市·七年級(jí)月考）若與互為相反數(shù)，則__________．6．（2020·遼寧皇姑初三二模）如果a表示有理數(shù),那么下列說法中正確的是()A．+a和一(-a)互為相反數(shù)B．+a和-a一定不相等C．-a一定是負(fù)數(shù)D．-(+a)和+(-a)一定相等題型7由數(shù)求絕對值與由絕對值求數(shù)1)由數(shù)求絕對值：一定為非負(fù)數(shù)，即2)由絕對值求數(shù)a.絕對值為0的數(shù)僅有1個(gè)，即0；絕對值為正數(shù)的數(shù)有2個(gè)，其互為相反數(shù)；絕對值為負(fù)的數(shù)不存在。b.絕對值相等的兩個(gè)數(shù)，可能相等，也可能互為相反數(shù)。（建議用數(shù)軸區(qū)分，可能會(huì)有多解）1．（2022·遼寧朝陽·七年級(jí)期末）如果，那么的值是__．2．（2021·河北九年級(jí)二模）若，則的值可以是（）A． B． C．2 D．43．（2021·四川綿陽市·東辰國際學(xué)校七年級(jí)期中）若｜x-2｜2x-6，則x=____；4．（2021·內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末）已知，則的值為()A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或45．（2022·廣東潮州·七年級(jí)期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________6.（2022·貴州黔東南·七年級(jí)期末）先閱讀下列解題過程，然后解答后面兩個(gè)問題．解方程：．解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解方程：．(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于的方程，①無解；②只有一個(gè)解；③有兩個(gè)解．題型8絕對值非負(fù)性的應(yīng)用性質(zhì)：，即非負(fù)性，注：a為任意實(shí)數(shù)解題技巧：根據(jù)絕對值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a1．（2021·黑龍江大慶市·九年級(jí)一模）若與互為相反數(shù)，則的值為（）A．1 B．-1 C．5 D．-52．（2021·河北保定市·七年級(jí)期末）如果和互為相反數(shù)，那么的值是（）A． B．2019 C．1 D．3．（2021·東莞外國語學(xué)校九年級(jí)一模）若，則_________．4．（2021·四川成都市·九年級(jí)二模）已知有理數(shù)、滿足，則________．5．（2020·浙江初一課時(shí)練習(xí)）若|x＋1|＋|y－2|＝0，則x－y＝________．6．（2021·山東初一月考試）若，則的值是A． B．48 C．0 D．無法確定題型9有理數(shù)加減法乘除再認(rèn)識(shí)解題技巧：該類題型的實(shí)質(zhì)是有理數(shù)加減乘除法的計(jì)算，通過理解題干條件，利用有理數(shù)加減乘除法運(yùn)算規(guī)律逐一判別即可。1．（2022·廣東省初一月考）如果是有理數(shù)，則下列各式子成立的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．若，則 D．若，且，則2．（2023·全國初一課時(shí)練習(xí)）用“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞0，b＞0，那么a+b0；（2）如果a＜0，b＜0，那么a+b0；（3）如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b0；（4）如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a+b0．3．（2022·吉林省初一期末）已知，，且，則的值為（）A． B． C．或 D．或4．（2022·吉林白城市·七年級(jí)期末）已知數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．5．（2021·廣東汕頭市·九年級(jí)一模）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列判斷正確的是（）A．|a|＜1 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)-b＞0 D．1﹣a＞16．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)期末）在數(shù)軸上，四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D分別表示有理數(shù)a，b，c，d，且，則這四個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的大致位置表示不正確的是（）A． B．C． D．題型10有理數(shù)加、減法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用解題技巧：與利用正負(fù)數(shù)求平均數(shù)方法類似。（1）選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，超過標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)；（2）對處理后的正負(fù)數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算；（3）最后還需要將處理后的正負(fù)數(shù)還原為實(shí)際數(shù)。（4）根據(jù)題意列出算式；（5）進(jìn)行有理數(shù)加減法運(yùn)算，可利用運(yùn)算律進(jìn)行簡算；（6）比較結(jié)果，得出結(jié)論。1．（2021·浙江杭州市·七年級(jí)期末）如圖是一個(gè)二階幻圓模型，現(xiàn)將-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分別填入圓圈內(nèi)，使橫、縱向以及內(nèi)外圓圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，則的值是____________．2．（2021·江蘇南京市·中考真題）北京與莫斯科的時(shí)差為5小時(shí)，例如，北京時(shí)間13：00，同一時(shí)刻的莫斯科時(shí)間是8：00，小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當(dāng)?shù)貢r(shí)間9：00~17：00之間選擇一個(gè)時(shí)刻開始通話，這個(gè)時(shí)刻可以是北京時(shí)間（）A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：003．（2021·浙江金華市·九年級(jí)二模）如圖，兩支溫度計(jì)的讀數(shù)分別是某一時(shí)刻小明家陽臺(tái)與室內(nèi)的氣溫，那么這一刻陽臺(tái)的氣溫比室內(nèi)氣溫低（）A．5℃ B．12℃ C．7℃ D．℃4．（2021·云南昆明市·）小夏同學(xué)通過撿、賣廢品，既保護(hù)了環(huán)境，又積攢了零花錢．下表是他某個(gè)月的部分收支情況（單位：元）：日期收入（+）或支出（﹣）結(jié)余注釋2日3.58.5賣廢品3日﹣4.54.0買圓珠筆、鉛筆芯4日■﹣1.2買科普書，同學(xué)代付但由保存不當(dāng)，“4日”的收入或支出被墨水涂污了，請你算出“4日”的收入或支出以及“1日”的結(jié)余，分別是（）A．5.2，5 B．﹣5.2，5 C．﹣5，﹣5 D．﹣5.2，﹣55．（2021·浙江溫州市·七年級(jí)期中）國內(nèi)汽油價(jià)格每月會(huì)有兩次調(diào)整，如果以今年6月底的油價(jià)為基準(zhǔn)，漲價(jià)記為正方向，7月至10月的油價(jià)調(diào)整情況記錄如下（單位：元/噸）：時(shí)間7月上旬7月下旬8月上旬8月下旬9月上旬9月下旬10月上旬10月下旬油價(jià)調(diào)整0000（1）7月至10月之間，今年_______（填時(shí)間）的調(diào)價(jià)令油價(jià)與基準(zhǔn)價(jià)格相差最大．（2）到10月底，油價(jià)能否回到基準(zhǔn)價(jià)格？請說明理由．6．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·七年級(jí)期末）10袋小麥稱重后記錄如圖所示（單位：千克）．10袋小麥一共多少千克？如果每袋小麥以90千克為標(biāo)準(zhǔn)，10袋小麥總計(jì)超過多少千克或不足多少千克？題型11.有理數(shù)的乘除法在實(shí)際問題中的應(yīng)用解題技巧：（1）根據(jù)題意列出算式；（2）進(jìn)行有理數(shù)乘除法運(yùn)算，可利用運(yùn)算律進(jìn)行簡算；（3）比較結(jié)果，得出結(jié)論。對原本無數(shù)量關(guān)系的問題巧妙的賦某些特定值，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問題，然后通過對整數(shù)的正負(fù)號(hào)進(jìn)行討論，使問題得到解決。用賦值法解決此類問題時(shí)，關(guān)鍵是對操作過程中的某一個(gè)量進(jìn)行賦值（通常為±1），通過對操作過程的量化，討論理數(shù)正負(fù)號(hào)變化規(guī)律，最終求解出具體問題。1.（2022·四川成都·七年級(jí)期末）元旦節(jié)期間，某商場對顧客實(shí)行這樣的優(yōu)惠政策：若一次購物不超過200元，則不予折扣；若一次購物超過200元不超過500元，則按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠：若一次購物超過500元，其中500元按上述八折優(yōu)惠外，超過500元的部分給予七折優(yōu)惠．小明的媽媽兩次購物分別付款192元和384元，如果她合起來一次性購買同樣多的商品，那么她可以節(jié)約______元．2．（2022四川成都市·麓山師大一中七年級(jí)月考）在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的混合運(yùn)算后，小明和小剛玩算“24點(diǎn)”游戲游戲規(guī)則：從一副撲克牌（去掉大，小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號(hào)），使得運(yùn)算結(jié)果為24或－24．其中紅色撲克牌代表負(fù)數(shù)，黑色撲克代表正數(shù)，J，Q，K分別代表11，12，13．小明抽到的四張牌分別是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色撲克牌），小明湊成的等式為，小亮抽到的四張牌分別是紅桃5、黑桃5、方塊5、梅花1，請寫出小亮湊成的“24點(diǎn)”等式_______．3．（2021·北京平谷區(qū)·九年級(jí)二模）母親節(jié)來臨之際，小凡同學(xué)打算用自己平時(shí)節(jié)省出來的50元錢給母親買束鮮花，已知花店里鮮花價(jià)格如表：百合薰衣草玫瑰薔薇向日葵康乃馨12元/支2元/支5元/支4元/支15元/支3元/支母親節(jié)期間包裝免費(fèi)小凡想用媽媽喜歡的百合、玫瑰、康乃馨這三種花組成一個(gè)花束，若三種花都要購買且50元全部花凈，請給出一種你喜歡的組成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支數(shù)分別為_______．4．（2021·湖南常德市·七年級(jí)期中）小方利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：輸入…12345…輸出……那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)為8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)為___________．5．（2021·浙江臺(tái)州市·中考真題）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標(biāo)有“15滴/毫升”．輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升．（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間．6．（2022·四川·石室中學(xué)七年級(jí)期中）居民生活中使用天然氣實(shí)行階梯式計(jì)價(jià)，用戶每月用氣量在20立方米及以內(nèi)的為第一級(jí)基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格收?。怀^20立方米且不超過30立方米的部分為第二級(jí)氣量基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格的1.5倍收?。撼^30立方米的部分為第三級(jí)氣量基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格的1.8倍收取．為節(jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號(hào)的氣表讀數(shù)．1月2月3月4月5月6月7月氣表讀數(shù)（立方米）433450468485500514535（1）直接寫出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_______立方米．（2）已知小明家2月份的氣費(fèi)為36元，試求他家6月份需交氣費(fèi)多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請客，用氣量明顯增加，比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費(fèi)多少元？題型12新定義運(yùn)算解題技巧：該類題型會(huì)定義一種我們未學(xué)習(xí)過的運(yùn)算規(guī)則，我們只需要照定義的運(yùn)算規(guī)則，將題干寫成有理數(shù)之間的運(yùn)算即可。然后在直接按照有理數(shù)的運(yùn)算法則求解最終答案。1．（2022·全國初一課時(shí)練習(xí)）定義新運(yùn)算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．2．（2022·常州市第二十四中學(xué)初三月考）定義一種新的運(yùn)算：a?b=，如2?1==2，則（2?3）?1=（）A．B．C．D．3．（2022·河南南陽市·七年級(jí)期中）幻方是一種將數(shù)字填在正方形格子中，使每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和相等的方法．幻方歷史悠久，是中國傳統(tǒng)游戲．如圖是一個(gè)3×3的幻方的一部分，則a+b＝_____．﹣6a﹣8﹣5b﹣94．（2021·湖南永州市·七年級(jí)期末）若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，則的值等于（）A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！5．（2021·吉林省初一月考）已知、為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算，滿足．（1）_________；（2）求的值．（3）新運(yùn)算是否滿足加法交換律，若滿足請說明理由：若不滿足，請舉出一個(gè)反例．6．（2021·湖南張家界市·七年級(jí)期末）規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，兩數(shù)a，b通過“※”運(yùn)算得(a－2)×2＋b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7．根據(jù)上面規(guī)定解答下題：（1）求6※(－4)的值；（2）6※(－4)與(－4)※6的值相等嗎？請說明理由．題型13有理數(shù)的簡算解題技巧：（1）有理數(shù)的簡便運(yùn)算一般運(yùn)用加法（乘法）的運(yùn)算律或減法（除法）的性質(zhì)，達(dá)到簡便運(yùn)算的目的。（2）利用乘方的運(yùn)算性質(zhì)，將可以湊整的部分先放在一起簡化運(yùn)算，再求湊整后部分的乘方運(yùn)算。1．（2021·深圳市龍崗區(qū)龍崗街道新梓學(xué)校七年級(jí)月考）計(jì)算：|－1|＋|－|＋|－|＋…＋|－|＋|－|＝___________．2．（2021·大慶市第五十一中學(xué)初一開學(xué)考試）計(jì)算()2017×0.62017的結(jié)果是()A． B．－ C．1 D．－3．（2022·鄭州市中原區(qū)第一中學(xué)七年級(jí)月考）閱讀下面文字：對于(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)可以如下計(jì)算：原式＝[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]＝[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]＝0+(﹣1)＝﹣1上面這種方法叫拆項(xiàng)法，你看懂了嗎？仿照上面的方法，計(jì)算：4．（2022·全國初一課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算解法一：原式=．解法二：原式=．解法三：原式的倒數(shù)為故原式=300．上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的．請你選擇合適的解法解答下列問題：計(jì)算：5．（2022·廣東中山市·七年級(jí)期中）運(yùn)用簡便方法計(jì)算。（1）（2）6．（2022·全國初一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：．題型14乘方的應(yīng)用解題技巧：（1）末尾數(shù)字問題：此類題型通常乘方運(yùn)算種的冪比較大，且無簡單計(jì)算方法，直接計(jì)算幾乎無法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)的末尾數(shù)字。因此，在解這類時(shí)，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過多計(jì)算幾組末尾數(shù)字，找出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。（2）此類題型的難點(diǎn)在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型。基本步驟為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。1．（2022·貴州畢節(jié)）觀察下列算式:用你所發(fā)現(xiàn)規(guī)律寫出的末位數(shù)字是()A．3 B．9 C．7 D．12．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：，；計(jì)算機(jī)也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0~來表示0~15，滿十六進(jìn)一，它與十進(jìn)制對應(yīng)的數(shù)如下表：十進(jìn)制012…891011121314151617…十六進(jìn)制012…891011…例：十六進(jìn)制對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，那么十六進(jìn)制中對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為（）A．28 B．62 C．238 D．3343．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)期末）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)（只有數(shù)碼0和1），它們兩者之間可以互相換算，例如將，換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：；．按此方式，將二進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)和將十進(jìn)制數(shù)13轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的結(jié)果分別為（）A．17， B．9， C．9， D．17，4．（2021·浙江溫州市·七年級(jí)期中）如圖所示的計(jì)算流程圖中，輸入的x值為整數(shù)，若要使輸出結(jié)果最小，則應(yīng)輸入x的值為_____．5．（2021·婁底市第二中學(xué)七年級(jí)期中）求1+2+22+23+…+22016的值，令S＝1+2+22+23+…+22016，則2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．參照以上推理，計(jì)算5+52+53+…+52016的值．6．（2021·重慶市大坪中學(xué)校七年級(jí)月考）閱讀材料，解決問題：由，，，，，，，，．．．．．．不難發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字以3、9、7、1為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由此可以得到：因?yàn)?，所以個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為1；因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，應(yīng)為3．（1）請你仿照材料，分析求出的個(gè)位數(shù)字及的個(gè)位數(shù)字；（2）請?zhí)剿鞒龅膫€(gè)位數(shù)字；（3）請直接寫出的個(gè)位數(shù)字．題型15新定義運(yùn)算（乘方）【解題技巧】正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的有理數(shù)混合運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算.1．（2021·江蘇省初一期中）已知m≥2，n≥2，且m、n均為正整數(shù)，如果將mn進(jìn)行如圖所示的“分解”，那么下列四個(gè)敘述中正確的有（）①在25的“分解”結(jié)果是15和17兩個(gè)數(shù)．②在42的“分解”結(jié)果中最大的數(shù)是9．③若m3的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是23，則m＝5．④若3n的“分解”結(jié)果中最小的數(shù)是79，則n＝5．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·漣水金城外國語學(xué)校初一期中）規(guī)定兩數(shù)之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：因?yàn)椋裕?）根據(jù)上述規(guī)定，填空：__________，__________，=__________；（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：，小明給出了如下的證明：設(shè)，則，即，所以，即，所以，請你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式：3．（2022·全國七年級(jí)）請認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問題．如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因?yàn)橹笖?shù)式22＝4，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log24＝2；②因?yàn)橹笖?shù)式42＝16，所以以4為底16的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log416＝2.（1）請根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對數(shù)式：①62＝36；②43＝64；（2）將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：①log525＝2；②log327＝3；（3）計(jì)算：log2324．（2021·山東臨沂市·九年級(jí)一模）定義運(yùn)算：若，則，例如，則．運(yùn)用以上定義，計(jì)算：______．5．（2022·銀川市第三中學(xué)初一期中）閱讀理解與計(jì)算：（1）用“”定義新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)，都有．例如：．則①填空：；②當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，求的值；（2）已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，試求的值．6．（2021·浙江七年級(jí)期中）（概念學(xué)習(xí)）規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等．類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”記作，讀作“的圈4次方”．一般地，把記作讀作“a的圈n次方”（初步探究）（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：________，________．（2）關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是________A．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)B．對于任何正整數(shù)n，1=1C．D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（3）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式___；___；___（4）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式是________（5）算一算：．題型16科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)【解題技巧】（1）科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．（2）近似數(shù)和有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．1．（2021·江蘇南京市·九年級(jí)二模）2021年5月15日，中國首次火星探測任務(wù)天問一號(hào)探測器成功在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸．為了探測數(shù)據(jù)安全有效傳回地球，我國臺(tái)測控站聯(lián)網(wǎng)組陣，測控能力更強(qiáng)，能夠?qū)崿F(xiàn)火星距地球最遠(yuǎn)公里時(shí)的測控通信．用科學(xué)記數(shù)法表示是_________．2．（2021·廣東廣州市·九年級(jí)二模）2021年5月11日，第七次全國人口普查結(jié)果公布，全國人口共1411778724人．用科學(xué)記數(shù)法表示1411778724精確到億位的近似值為（）．A． B． C． D．3．（2021·北京門頭溝區(qū)·九年級(jí)二模）在學(xué)習(xí)強(qiáng)國平臺(tái)中，5月16日發(fā)布的“第一觀察——天問落火”欄目的閱讀量截止到5月17日中午，就已經(jīng)達(dá)到了10895538人次，將10895538精確到萬，得（）A．1089 B．1090 C．1089萬 D．1090萬4．（2020·上海初一期末）位于浦東的“中國館”總建筑面積約為1601000平方米，這個(gè)數(shù)字保留兩個(gè)有效數(shù)字可寫為__________________平方米．5．（2020·湖南省初三模擬）據(jù)《人民日報(bào)》“9組數(shù)據(jù)看懂新中國成立70周年的滄桑巨變”一文報(bào)道，我國國民生產(chǎn)總值從1952年679億元到2018年900309億元，從一窮二白到世界第二大經(jīng)濟(jì)體．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)字900309（精確到萬位）是（）A．9×105 B．9.0×105 C．9.00×105 D．9.003×1046．（2022·四川廣安·二模）2022年北京冬奧會(huì)取得圓滿成功，中國代表團(tuán)以9金4銀2銅的驕人成績位居世界第三！它不僅為各國體育健兒提供了展示自我的競技場所，而且也為促進(jìn)世界和平、增進(jìn)相互了解、實(shí)現(xiàn)文化交融、傳遞文明友誼搭建了最好的學(xué)習(xí)交流平臺(tái)．它將“帶動(dòng)3億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”成為北京冬奧會(huì)最大遺產(chǎn)成果．?dāng)?shù)字3億用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．30×107專題04有理數(shù)及其運(yùn)算重難點(diǎn)題型重難點(diǎn)題型題型1正負(fù)數(shù)意義及應(yīng)用【解題技巧】解決此類問題關(guān)鍵是明確正負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際意義從而進(jìn)一步求解.1.（2022?諸暨市期中）下列各對量中，不具有相反意義的是（）A．勝3局與負(fù)3局 B．轉(zhuǎn)盤逆時(shí)針轉(zhuǎn)3圈與順時(shí)針轉(zhuǎn)5圈 C．收入3000元與增加3000元 D．氣溫升高4℃與氣溫降低10℃【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：A、勝3局與負(fù)3局，具有相反意義，故本選項(xiàng)不合題意；B、轉(zhuǎn)盤逆時(shí)針轉(zhuǎn)3圈與順時(shí)針轉(zhuǎn)5圈，具有相反意義，故本選項(xiàng)不合題意；C、收入3000元與增加3000元，不具有相反意義，故本選項(xiàng)符合題意；D、氣溫升高4℃與氣溫降低10℃，具有相反意義，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，確定一對具有相反意義的量．2.（2022?灤州市期末）如圖所示的是某用戶微信支付情況，﹣100表示的意思是（）A．發(fā)出100元紅包 B．收入100元 C．余額100元 D．搶到100元紅包【分析】根據(jù)相反意義的量可以用正負(fù)數(shù)來表示，正數(shù)表示收到，則負(fù)數(shù)表示發(fā)出，據(jù)此解答即可．【解答】解：由題意可知，﹣100表示的意思是發(fā)出100元紅包．故選：A．【點(diǎn)評】考查用負(fù)數(shù)表示相反意義的量，理解正負(fù)數(shù)的意義是解決問題的前提．3．（2022·浙江杭州市·七年級(jí)期中）下列選項(xiàng)中，具有相反意義的量是（）A．勝2局與負(fù)3局 B．前進(jìn)與后退C．盈利3萬元與支出3萬元 D．向東行30米與向北行30米【答案】A【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，可得答案．【詳解】解：A、勝2局與負(fù)3局具有相反意義的量，符合題意；B、前進(jìn)與后退具有相反意義，但沒有量，故不符合題意；C、盈利與支出不具有相反意義，故不符合題意；D、東和北不具有相反意義，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義．解本題的根據(jù)是掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)是互為相反意義的量．4.（2022?綦江區(qū)期末）綦江區(qū)永輝超市出售的三種品牌大米袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字樣，從超市中任意拿出兩袋大米，它們的質(zhì)量最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，分別求出每種品牌的大米袋質(zhì)量最多相差多少，再比較即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：它們的質(zhì)量相差最多的是標(biāo)有（10±0.3）kg的；其質(zhì)量最多相差（10+0.3）﹣（10﹣0.3）＝0.6（kg）．故選：D．【點(diǎn)評】利用正負(fù)數(shù)的意義，判別（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的意義是關(guān)鍵．5.（2022?渝中區(qū)校級(jí)月考）紐約與北京的時(shí)差為﹣13小時(shí)（正數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)，負(fù)數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間晚的時(shí)數(shù)），當(dāng)北京9月12日8時(shí)，紐約的時(shí)間是（）A．9月11日5時(shí)B．9月11日19時(shí) C．9月12日19時(shí)D．9月12日21時(shí)【分析】根據(jù)題意，得紐約比北京時(shí)間要晚13個(gè)小時(shí)，也就是9月11日19時(shí)．【解答】解：紐約時(shí)間是：9月12日8時(shí)﹣13小時(shí)＝9月11日19時(shí)．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．解決本題的關(guān)鍵是理解紐約與北京的時(shí)差為﹣13小時(shí)，即紐約比北京時(shí)間要晚13個(gè)小時(shí)．6.（2022·福建三明市·七年級(jí)期末）小明練習(xí)跳繩，以1分鐘跳165個(gè)為目標(biāo)，并把5次1分鐘跳繩的數(shù)量記錄如下（超過165個(gè)的部分記為“＋”，少于165個(gè)的部分記為“－”）：－11，－6，－2，＋4，＋10（1）小明在這5次跳繩練習(xí)中，1分鐘最多跳多少個(gè)？（2）小明在這5次跳繩練習(xí)中，1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多幾個(gè)？（3）小明在這5次跳繩練習(xí)中，累計(jì)跳繩多少個(gè)？【答案】（1）175個(gè)；（2）21個(gè)；（3）820個(gè)．【分析】（1）用165加上超過的最大的數(shù)字+10，即可解題；（2）用超過的最大數(shù)字+10，減去少于165最多的數(shù)字-11即可；（3）先用，再將超過和不足165的所有數(shù)字相加計(jì)算即可．【詳解】解：（1）（個(gè)）答：1分鐘最多跳175個(gè)．（2）10－（－11）＝21（個(gè)）答：1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多21個(gè)．（3）（個(gè)）答：累計(jì)跳繩820個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查正、負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及有理數(shù)的加減法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型2有理數(shù)的相關(guān)概念【方法點(diǎn)撥】解決此類問題需理解并熟記有理數(shù)相關(guān)概念，如①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；②正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)亦可稱為有理數(shù)；③只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；④在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)；⑤數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值；⑥一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.1．（2022射洪縣射洪中學(xué)外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）下列說法正確的是（）A．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) B．正整數(shù)包括自然數(shù)和零C．零是最小的整數(shù) D．非負(fù)數(shù)包括零和正數(shù)【答案】D【分析】按照有理數(shù)的分類進(jìn)行選擇．【詳解】解：A、正數(shù)、負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為有理數(shù)；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；2.（2022?日照期中）下列說法正確的是（）①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都是正數(shù)②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是1④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0．A．①④ B．②③ C．③④ D．②④【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義和特點(diǎn)，絕對值、相反數(shù)的定義及性質(zhì)，對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【答案】解：①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤；②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，正確；③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是1或﹣1，錯(cuò)誤④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是0，正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)問題，牢固掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、倒數(shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．3.（2022·成都市初一期中）下列說法中，正確的A.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D．非正數(shù)就是指0、負(fù)整數(shù)和所有分?jǐn)?shù)【答案】B【解析】A錯(cuò)誤，有理數(shù)還包含0；B正確，有理數(shù)包含正數(shù)和分?jǐn)?shù)；C錯(cuò)誤，漏掉了0；D錯(cuò)誤，非正數(shù)指0和負(fù)數(shù)?！军c(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．4.（2022·廣東省初一月考）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是：A.負(fù)分?jǐn)?shù)都是負(fù)有理數(shù)B.分?jǐn)?shù)中除了正分?jǐn)?shù)就是負(fù)分?jǐn)?shù)C.有理數(shù)中除了分?jǐn)?shù)就是小數(shù)D.有限小數(shù)是分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)【答案】C【解析】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù),故答案選C。5.（2022?東至縣期末）下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；⑤?π2不僅是有理數(shù)，而且是分?jǐn)?shù)；⑥⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)．其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為（）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【分析】有理數(shù)的分類：有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)【解答】解：①?zèng)]有最小的整數(shù)，故錯(cuò)誤；②有理數(shù)包括正數(shù)、0和負(fù)數(shù)，故錯(cuò)誤；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故錯(cuò)誤；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0，故錯(cuò)誤；⑤?π2是無理數(shù)，故錯(cuò)誤；⑥⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)是正確的；⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)是正確的．故其中錯(cuò)誤的說法的個(gè)數(shù)為6個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的分類，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．6.（2021·廣東·七年級(jí)期中）下列說法中不正確的是（）A．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)B．整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)C．非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)、整數(shù)的含義和分類，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，說法正確；B、整數(shù)包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)，原來的說法不正確；C、非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0，說法正確；D、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，說法正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)和整數(shù)的分類，掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.題型3數(shù)集問題性質(zhì)：有理數(shù)的分類。注：數(shù)集關(guān)系中有包含關(guān)系時(shí)，數(shù)的分類不可重復(fù)解題技巧：此類題型是有理數(shù)分類題型的拓展，一般用框圖表示數(shù)據(jù)分類的集合關(guān)系，多會(huì)出現(xiàn)有重合甚至包含邏輯的框圖。此時(shí)，先填寫有重合和被包含部分的框圖，再填寫單一框圖部分的數(shù)據(jù)。1．（2021·福州華南實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）下列各數(shù)：中是正數(shù)有（）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正數(shù)的定義分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：中，正數(shù)有＋5，2.3，，共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握正數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021·廣西南寧市·南寧三中七年級(jí)期中）將下列各數(shù)填入適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)內(nèi)：，，，2020，0，，，66．（1）整數(shù)集合{______…}；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合{______…}；（3）非負(fù)整數(shù)集合{______…}．【答案】（1），2020，0，66；（2）；（3）2020，0，66．【分析】根據(jù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)的意義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：（1）整數(shù)有：，2020，0，66，故答案為：，2020，0，66；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)有：，故答案為：；（3）非負(fù)整數(shù)有：2020，0，66，故答案為：2020，0，66．【點(diǎn)睛】本題考查整數(shù)集合，負(fù)分?jǐn)?shù)集合，非負(fù)整數(shù)集合，掌握有理數(shù)的分類是解題關(guān)鍵．3.（2021?郫都區(qū)校級(jí)月考）把下列各數(shù)的序號(hào)填到相應(yīng)的括號(hào)中：①﹣0.3?；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤?27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；（1）整數(shù)集合：{…}；（2）負(fù)數(shù)集合：{…}；（3）非正數(shù)集合：{…}；（4）分?jǐn)?shù)集合：{…}；（5）非負(fù)整數(shù)集合：{…}．【分析】根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)及分?jǐn)?shù)的定義，結(jié)合所給數(shù)據(jù)進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）整數(shù)集合：{﹣10；18；0，213（2）負(fù)數(shù)集合：{﹣0.3?；﹣10；?（3）非正數(shù)集合：{﹣0.3?；﹣10；?（4）分?jǐn)?shù)集合：{﹣0.3?；3.1415；0.28；?（5）非負(fù)整數(shù)集合：{18；0，213故答案為：（1）③⑥⑦⑨；（2）①③⑤⑧；（3）①③⑤⑦⑧；（4）①②④⑤⑧；（5）⑥⑦⑨．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)及分?jǐn)?shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．4.（2021·綿陽市七年級(jí)期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…【答案】見解析．【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，可得答案．【詳解】如圖．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，熟記有理數(shù)的分類是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇七年級(jí)月考）如圖，每個(gè)橢圓表示一個(gè)數(shù)集，請?jiān)诿總€(gè)橢圓內(nèi)填上6個(gè)數(shù)，其中三個(gè)寫在重疊部分，【答案】見解析【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)與整數(shù)集合重疊部分為負(fù)整數(shù)，列舉出幾個(gè)即可；根據(jù)正數(shù)與分?jǐn)?shù)集合重疊部分為正分?jǐn)?shù)，列舉出幾個(gè)即可．【詳解】解：如圖所示：【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)，熟練掌握整數(shù)，分?jǐn)?shù)與正、負(fù)數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．6.（2021?江陰市期中）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來，中間用逗號(hào)斷開，如：{1，2，﹣3}，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素．如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)﹣a+10也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合．例如集合{10，0}就是一個(gè)和諧集合．（1）請你判斷集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和諧集合？（2）請你再寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）．（3）寫出所有和諧的集合中，元素個(gè)數(shù)最少的集合．【分析】（1）根據(jù)和諧集合的定義，只要判斷兩數(shù)相加是否等于10即可．（2）根據(jù)和諧集合的定義，即可寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）．（3）根據(jù)和諧集合的定義，確定元素個(gè)數(shù)最少的集合．【解答】解：（1）若a＝1，則﹣a+10＝9不在集合{1，2}內(nèi)，∴{1，2}不是和諧集合．∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和諧集合．（2）根據(jù)和諧集合的定義可知a+10﹣a＝10，只要集合中兩個(gè)數(shù)之和為10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和諧集合．（3）∵5+5＝10，∴要使素個(gè)數(shù)最少，則集合{5}，滿足條件．【點(diǎn)評】本題主要考查新定義，利用和諧集合的定義，只要確定集合元素之和等于10即可．題型4利用數(shù)軸求兩點(diǎn)間距離注：距離沒有方向性，所以到某點(diǎn)的距離為a的點(diǎn)一般有兩個(gè)解題技巧：根據(jù)題干要求，先找出參考點(diǎn)位置；某點(diǎn)到參考點(diǎn)的距離為a，意味著這個(gè)點(diǎn)可以在參考點(diǎn)左邊距離為a的位置，也可在參考點(diǎn)右邊距離為a的位置。因此，此類題型一般有多解情況，請注意。最后根據(jù)畫出的數(shù)軸，讀出兩點(diǎn)之間的距離。1．（2021·四川廣元市·九年級(jí)一模）在數(shù)軸上，點(diǎn)，在原點(diǎn)的兩側(cè)，分別表示數(shù)，2，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)．若，則的值為（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)CO=BO可得點(diǎn)C表示的數(shù)為±2，據(jù)此可得求得a的數(shù)值．【詳解】解：∵CO=BO，B點(diǎn)表示2，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為±2，∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇南通市·九年級(jí)一模）如圖，如果數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離是，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，那么點(diǎn)表示的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸可讀出A為2，A，B兩點(diǎn)之間的距離是3，且點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)，則2﹣3即可求出．【詳解】解：由圖可知A為2，∵A，B兩點(diǎn)之間的距離是3，且點(diǎn)B在原點(diǎn)左側(cè)，∴2﹣3＝﹣1，即B為﹣2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的認(rèn)識(shí)及有理數(shù)的減法，會(huì)根據(jù)數(shù)軸讀出數(shù)字，并掌握有理數(shù)的減法是關(guān)鍵．3．（2020·浙江臺(tái)州市·七年級(jí)期中）已知，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為2，且，點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，則點(diǎn)C在數(shù)軸對應(yīng)的數(shù)為_______．【答案】4或-6【分析】分點(diǎn)B在A點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)即可求得B點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)C在B的左側(cè)和BC之間的距離即可求得C點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】解：∵A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為2，∴B點(diǎn)表示的數(shù)為7或-3，又∵，點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，∴C點(diǎn)表示的數(shù)為4或-6．故答案為：4或-6．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．注意在數(shù)軸上到一個(gè)定點(diǎn)的距離是一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)有兩個(gè)，這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于這個(gè)定點(diǎn)對稱．4.（2021.綿陽市七年級(jí)期中）已知點(diǎn)O，A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為原點(diǎn)，，，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為m，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為 B．點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)為C．點(diǎn)D所對應(yīng)的數(shù)為 D．點(diǎn)A與點(diǎn)D間的距離為【答案】D【分析】根據(jù)，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為m，先得到點(diǎn)A所表示的數(shù)，進(jìn)而求出B，C，D表示的數(shù)，進(jìn)而即可判斷．【詳解】∵，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為m，∴點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為，∵，∴點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)為，∴點(diǎn)D所對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)A與點(diǎn)D間的距離為，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．5.（2022·河南·七年級(jí)期末）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的點(diǎn)分別對應(yīng)數(shù)軸上的﹣2和x，那么x的值為_____．【答案】6【分析】根據(jù)直尺的長度知x為﹣2右邊8個(gè)單位的點(diǎn)所表示的數(shù)，據(jù)此可得．【詳解】解：由題意知，x的值為﹣2+（8﹣0）＝6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是確定x與表示﹣2的點(diǎn)之間的距離．6.（2021·廣東廣州市·七年級(jí)期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．【答案】（1）8；（2）見解析；MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，線段MN＝4．【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于較大數(shù)與較小數(shù)的差；（2）根據(jù)中點(diǎn)的意義，利用線段的和差可得出答案．【詳解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的長為8；（2）MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，線段MN＝4，理由如下：如圖，因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上線段中點(diǎn)的意義，熟練掌握兩點(diǎn)間距離計(jì)算方法，靈活運(yùn)用中點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．題型5有理數(shù)的大小比較解題技巧：（1）正數(shù)與正數(shù)比較，易于比較；（2）正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；（3）負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小；（4）如果要比較的數(shù)比較多，建議在數(shù)軸上將每個(gè)數(shù)表示出來，在數(shù)軸上，從左至右，數(shù)值一次增大。當(dāng)有字母時(shí)，且暫時(shí)無法理清大小關(guān)系，可以用特值法進(jìn)行比較。1．（2021·湖南懷化市·七年級(jí)期末）如圖，a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝2b【答案】B【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，b＜0＜a，即a＞b，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的其值反而小．2．（2021·陜西西安市·九年級(jí)一模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若實(shí)數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是___（任填一個(gè)即可）．【答案】0（答案不唯一）【分析】根據(jù)a的范圍確定出﹣a的范圍，進(jìn)而確定出b的范圍，判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之間任意取值，如﹣1，0，1等，故答案為：0（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題主要考查數(shù)軸的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知有理數(shù)的大小關(guān)系．3．（2021·廣西賀州市·七年級(jí)期末）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用“”連接起來．2，－1.5，－2，3，0，4.5【答案】數(shù)軸見解析，【分析】首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)，然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“＜”連接起來即可；【詳解】解：如圖所示：－2＜－1.5＜0＜2＜3＜4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)大小的比較，還考查了在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，要熟練掌握；4.（2022·沙坪壩區(qū)·七年級(jí)月考）將有理數(shù)﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在數(shù)軸上，并用“＜”連接各數(shù)．【答案】見解析，【分析】先把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再從左到右用“＜”連接起來即可．【詳解】解：如圖所示：故．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸及有理數(shù)的大小比較，熟練掌握數(shù)軸及有理數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南益陽·七年級(jí)期末）比較下列各數(shù)的大小，并用“＜”號(hào)連接起來：，，3，，，0．【答案】【分析】先把每個(gè)數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)有理數(shù)的大小排列起來即可．【詳解】解：，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查比較數(shù)的大小，準(zhǔn)確的把每個(gè)數(shù)進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵．6．（2022·云南昆明·七年級(jí)期末）按要求解答(1)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：，，，（每兩個(gè)1之間逐次增加1個(gè)0），，，，，正有理數(shù)集合：｛…｝；負(fù)數(shù)集合：｛…｝；整數(shù)集合：｛…｝．(2)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下面5個(gè)原數(shù)，然后比較這5個(gè)原數(shù)的大小，用“<”號(hào)連接．，，，，【答案】(1)，，；，，，；，，…(2)【分析】（1）根據(jù)正有理數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)的定義即可判斷；（2）先準(zhǔn)確畫出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上找到各數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)即可．(1)正有理數(shù)集合：{，，}負(fù)數(shù)集合：{，，，}整數(shù)集合：{，，…

}(2)在數(shù)軸上表示如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，相反數(shù)，絕對值，數(shù)軸，準(zhǔn)確地在數(shù)軸上找到各數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型6相反數(shù)的性質(zhì)與求法性質(zhì)：a.除0外，一組相反數(shù)一定是一正一負(fù)。b.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)（負(fù)號(hào)的意義就是表示相反量）。c.一組相反數(shù)的和為0。解題技巧：（1）此類題型多為利用相反數(shù)的性質(zhì)求解含字母數(shù)的相反數(shù)。利用性質(zhì)b，直接在這個(gè)數(shù)前面添加“﹣”號(hào)，在利用多重符號(hào)化簡的方法化簡即可。（2）已知兩個(gè)含有字母的數(shù)為相反數(shù)，利用性質(zhì)c，將兩個(gè)數(shù)相加和為0，表示成方程的形式，直接解方程即可。1.（2021?合江縣月考）﹣m的相反數(shù)是，﹣m+1的相反數(shù)是，a-b+c的相反數(shù)是．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答．【解答】解：﹣m的相反數(shù)是m，﹣m+1的相反數(shù)是m﹣1，a-b+c的相反數(shù)是-a+b-c，故答案為：m，m﹣1，-a+b-c．【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記相反數(shù)的定義．2．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）2022的相反數(shù)是（

）A． B． C．?2022 D．2022【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．【詳解】解：2022的相反數(shù)是?2022．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東湛江·七年級(jí)期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和4【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)）的定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得：只有選項(xiàng)C的兩個(gè)數(shù)符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查相反數(shù)的定義，深刻理解相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．4.（2021·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若a與b互為相反數(shù)且a≠b，則＝（）A．0 B．1 C．－1 D．0，±1【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】若a與b互為相反數(shù)且a≠b，則a≠b≠0∴故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查相反數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的特點(diǎn)．5．（2022·廣東惠州市·七年級(jí)月考）若與互為相反數(shù)，則__________．【答案】2019【分析】與互為相反數(shù)，則相加為0，代入代數(shù)式計(jì)算.【詳解】∵與互為相反數(shù)，∴，∴.【點(diǎn)睛】相反數(shù)的性質(zhì)是本題的突破口，牢記互為相反數(shù)和為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多重負(fù)號(hào)的化簡，靈活運(yùn)用相反數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．6．（2020·遼寧皇姑初三二模）如果a表示有理數(shù),那么下列說法中正確的是()A．+a和一(-a)互為相反數(shù)B．+a和-a一定不相等C．-a一定是負(fù)數(shù)D．-(+a)和+(-a)一定相等【答案】D【解析】A.，兩個(gè)數(shù)相等，故錯(cuò)誤.B.當(dāng)時(shí)，與相等，故錯(cuò)誤.C.可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，還可以是故錯(cuò)誤.D．正確.故選D.【考點(diǎn)】本題主要考查的是相反數(shù)的定義和性質(zhì)．題型7由數(shù)求絕對值與由絕對值求數(shù)1)由數(shù)求絕對值：一定為非負(fù)數(shù)，即2)由絕對值求數(shù)a.絕對值為0的數(shù)僅有1個(gè)，即0；絕對值為正數(shù)的數(shù)有2個(gè)，其互為相反數(shù)；絕對值為負(fù)的數(shù)不存在。b.絕對值相等的兩個(gè)數(shù)，可能相等，也可能互為相反數(shù)。（建議用數(shù)軸區(qū)分，可能會(huì)有多解）1．（2022·遼寧朝陽·七年級(jí)期末）如果，那么的值是__．【答案】3或##-1或3【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可．【詳解】解：，，或．故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的意義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2021·河北九年級(jí)二模）若，則的值可以是（）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】逐項(xiàng)代入分析即可．【詳解】解：A.-(-4)=4>|-3|=3，故符合題意；B.-(-2)=2<|-3|=3，故不符合題意；C.-2<|-3|=3，故不符合題意；D.-4<|-3|=3，故不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，絕對值的化簡，以及多重符號(hào)的化簡，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。?．（2021·四川綿陽市·東辰國際學(xué)校七年級(jí)期中）若｜x-2｜2x-6，則x=____；【答案】4【分析】分x≤2和x>2兩種情況求解方程即可．【詳解】解：當(dāng)x≤2，即x-2≤0時(shí)，方程｜x2｜2x6變形為：-(x-2)=2x-6去括號(hào)整理得，-3x=-8解得，（不符合題意，舍去）當(dāng)x>2，即x-2>0時(shí)，方程｜x2｜2x6變形為：x-2=2x-6移項(xiàng)合并得，x=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對值方程的解法，正確去絕對值符號(hào)是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末）已知，則的值為()A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4【答案】C【分析】本題根據(jù)絕對值的定義,由已知,可得a-1=±5,解這個(gè)關(guān)于a的方程即可求得a的值.【解析】因?yàn)椋?dāng)a-1大于0時(shí)，則a-1=5，則a=6，當(dāng)a-1小于0時(shí)，則a-1=-5，則a=-4,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值的性質(zhì)，特別注意：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相等．5．（2022·廣東潮州·七年級(jí)期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________【答案】1或3##3或1【分析】根據(jù)絕對值的意義，即可求解．【詳解】解：∵｜x－2｜＝1，∴x－2=±1，∴x＝1或3，故答案是：1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值方程，掌握絕對值的意義，是解題的關(guān)鍵．6.（2022·貴州黔東南·七年級(jí)期末）先閱讀下列解題過程，然后解答后面兩個(gè)問題．解方程：．解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解方程：．(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于的方程，①無解；②只有一個(gè)解；③有兩個(gè)解．【答案】(1)或(2)①當(dāng)無解時(shí)，；②當(dāng)只有一個(gè)解時(shí)，；當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，然后化為一元一次方程即可求得；（2）根據(jù)絕對值的意義，運(yùn)用分類討論進(jìn)行解答．(1)當(dāng)3x-2≥0時(shí)，原方程可化為：3x-2=4，解得x=2；當(dāng)3x-2＜0時(shí)，原方程可化為：3x-2=-4，解得．所以原方程的解是x=2或；(2)解：∵|x-2|≥0，∴①當(dāng)b-1＜0，即b＜1時(shí)，方程無解；②當(dāng)b-1=0，即b=1時(shí)，方程只有一個(gè)解；③當(dāng)b-1＞0，即b＞1時(shí)，方程有兩個(gè)解．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值方程，正確理解絕對值的意義是解答本題的關(guān)鍵，一個(gè)正數(shù)的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．題型8絕對值非負(fù)性的應(yīng)用性質(zhì)：，即非負(fù)性，注：a為任意實(shí)數(shù)解題技巧：根據(jù)絕對值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a1．（2021·黑龍江大慶市·九年級(jí)一模）若與互為相反數(shù)，則的值為（）A．1 B．-1 C．5 D．-5【答案】B【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，然后相加即可的解．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴+＝0，∴，，解得：，，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．2．（2021·河北保定市·七年級(jí)期末）如果和互為相反數(shù)，那么的值是（）A． B．2019 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)和互為相反數(shù)，構(gòu)造等式+=0，利用實(shí)數(shù)的非負(fù)性確定a，b的值，代入計(jì)算即可．【詳解】∵和互為相反數(shù)，∴+=0，∴a+2=0，b-1=0，∴a+b+1=0，∴a+b=-1，∴==-1，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的非負(fù)性，實(shí)數(shù)的冪的計(jì)算，熟練運(yùn)用相反數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造等式，靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的非負(fù)性求解是解題的關(guān)鍵．3．（2021·東莞外國語學(xué)校九年級(jí)一模）若，則_________．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，且相加得零，∴，，解得，，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為．4．（2021·四川成都市·九年級(jí)二模）已知有理數(shù)、滿足，則________．【答案】2【分析】由絕對值與平方的非負(fù)性解題．【詳解】解：故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值與平方的非負(fù)性，涉及有理數(shù)的加法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2020·浙江初一課時(shí)練習(xí)）若|x＋1|＋|y－2|＝0，則x－y＝________．【答案】－3【解析】由|x+1|+|y﹣2|=0，得x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2．x﹣y=﹣1﹣2=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案為﹣3．點(diǎn)睛：本題利用非負(fù)數(shù)的和為零得出每個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為零是解題關(guān)鍵．6．（2021·山東初一月考試）若，則的值是A． B．48 C．0 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)以及非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入進(jìn)行計(jì)算即可得答案.【解析】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，且|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0，∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3，∴(a+3)(b+2)(c+6)=(-1+3)×(2+2)×(-3+6)=48，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及有理數(shù)的運(yùn)算，熟知幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵.題型9有理數(shù)加減法乘除再認(rèn)識(shí)解題技巧：該類題型的實(shí)質(zhì)是有理數(shù)加減乘除法的計(jì)算，通過理解題干條件，利用有理數(shù)加減乘除法運(yùn)算規(guī)律逐一判別即可。1．（2022·廣東省初一月考）如果是有理數(shù)，則下列各式子成立的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．若，則 D．若，且，則【答案】D【分析】利用有理數(shù)的加法法則判斷即可得到結(jié)果．【解析】A、如果那么，故A錯(cuò)誤；B、如果，那么不能判斷的符號(hào)，故B錯(cuò)誤；C、若不能判斷的符號(hào)，故C錯(cuò)誤；D、若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a＋b＜0，正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·全國初一課時(shí)練習(xí)）用“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞0，b＞0，那么a+b0；（2）如果a＜0，b＜0，那么a+b0；（3）如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b0；（4）如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a+b0．【答案】（1）＞，（2）＜，（3）＞，（4）＜．【分析】這是一組根據(jù)有理數(shù)的加法法則判斷“和”的符號(hào)的題，我們只要分別按照有理數(shù)加法中“同號(hào)兩數(shù)相加”和“異號(hào)兩數(shù)相加”的法則去判斷就可以了；【解析】（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，故答案為＞．（2）∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，故答案為＜．（3）∵a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴a+b＞0，故答案為＞．（4）∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故答案為＜．3．（2022·吉林省初一期末）已知，，且，則的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由絕對值的定義和有理數(shù)加法的符號(hào)法則確定a，b的值，然后代入求解即可．【解析】∵∴a=±3，b=±4又∵，∴a=3，b=-4或a=-3，b=-4∴a+b=3+（-4）=-1或ab=-3+（-4）=-7，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的化簡和有理數(shù)的加減運(yùn)算，掌握概念和計(jì)算法則正確計(jì)算是解題關(guān)鍵，注意分情況討論，不要漏解．4．（2022·吉林白城市·七年級(jí)期末）已知數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根據(jù)有理數(shù)的加法、減法、乘法法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：從數(shù)軸可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、，故此選項(xiàng)不符合；B、，故此選項(xiàng)不符合；C、不能確定的大小關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合；D、，故此選項(xiàng)符合；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加法、減法、乘法法則的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對法則的理解能力，難度不是很大．5．（2021