6.2角七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（蘇科版）（原卷版）

角知識(shí)點(diǎn)一、角1. 靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．2. 動(dòng)態(tài)定義：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊.3. 平角與周角 平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．PS：平角的兩邊成一條直線，但不能說平角就是直線；4. 兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān).5. 角的表示方法表示方法圖例記法適用范圍用三個(gè)大寫字母表示∠AOB或∠BOA任何情況下都適用，表示頂點(diǎn)的字母要寫在中間用一個(gè)大寫字母表示∠O當(dāng)以某一字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)，可用這個(gè)頂點(diǎn)的字母來表示用數(shù)字表示∠1在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處加上弧線，并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母，任何情況下都適用用希臘字母表示PS：在初中階段，若沒有特殊說明，默認(rèn)的角都是小于平角的角.例：如圖，能用∠1、∠ABC、∠B三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【解答】A【解析】A、∠1、∠ABC、∠B三種方法表示的是同一個(gè)角，故此選項(xiàng)正確；B、∠1、∠ABC、∠B三種方法表示的不一定是同一個(gè)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠1、∠ABC、∠B三種方法表示的不一定是同一個(gè)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠1、∠ABC、∠B三種方法表示的不一定是同一個(gè)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．知識(shí)點(diǎn)二、角的度量單位和換算1. 角的度量單位：度、分、秒是常用的的角的度量單位，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角.2. 角的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.3. 角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角時(shí)要注意三點(diǎn)：（1）對(duì)中：頂點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)量角器的中心；（2）重合：一邊與量角器的零刻度線重合；（3）讀數(shù)：讀出另一邊所在線對(duì)應(yīng)的度數(shù).例：用度、分、秒表示21.24°為（）A．21°14'24″ B．21°20'24″ C．21°34' D．21°【解答】A【解析】21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，故選A．知識(shí)點(diǎn)三、比較角的大小1. 度量法：先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?. 疊合法：把兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一條邊分別疊合在一起，且使另一條邊在重合邊的同側(cè)，然后通過觀察另一條邊的位置來比較兩個(gè)角的大小.知識(shí)點(diǎn)四、角的和、差1. 兩個(gè)角的和或兩個(gè)角的差，仍然是一個(gè)角；兩個(gè)角的和或差的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和或差；2. 在計(jì)算兩個(gè)角的和或差時(shí)，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加減，分、秒相加時(shí)，逢60要進(jìn)位，相減時(shí)要借1作60.例：如圖，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20° B．30° C．35° D．45°【解答】B【解析】∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，∴∠AOB=22+3∠AOC故選B．知識(shí)點(diǎn)五、角的畫法1. 用量角器畫：用量角器可以畫出大小在0°到180°之間的任何角. 畫角時(shí)，先畫一條射線，然后讓射線與量角器的0°線重合，射線端點(diǎn)與量角器中心重合，在畫角處畫一個(gè)點(diǎn)，再過射線端點(diǎn)和這個(gè)點(diǎn)畫一條射線，即可得到所要的角.2. 用三角尺畫：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺畫15°的整數(shù)倍的角.3. 用圓規(guī)和直尺作一個(gè)角等于已知角（1）如圖1所示，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；（2）畫一條射線O’A’，以點(diǎn)O’為圓心，OC長為半徑畫弧，交O’A’于點(diǎn)C’；（3）以點(diǎn)C’為圓心，CD長為半徑畫弧，交前一個(gè)弧于點(diǎn)D’；（4）過點(diǎn)D’畫射線O’B’，則∠A’O’B’就是與∠AOB相等的角.知識(shí)點(diǎn)六、角的平分線 如圖所示，射線OC把∠AOB分成兩個(gè)相等的角，射線OC就叫做這個(gè)角的角平分線.PS：角的平分線是一條射線，不是線段或直線. 如果一條射線是某一個(gè)角的平分線，那么這條射線必定在該角的內(nèi)部；例：如圖，BO是∠AOC的平分線，則：（1）∠＝∠；（2）∠AOB＝∠；（3）∠AOC＝2∠＝2∠．【解答】AOB，BOC，AOB，BOC【解析】（1）∠AOB＝∠BOC；（2）∠AOB＝∠BOC；（3）∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC．故答案為AOB，BOC，AOB，BOC．知識(shí)點(diǎn)六、方位角 在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.1. 正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；2. 方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；3. 在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；4. 圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn).例：如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．嘉琪家在圖書館南偏西60°方向上 B．學(xué)校在圖書館南偏東30°方向上 C．學(xué)校在嘉琪家南偏東60°方向上 D．圖書館到學(xué)校的距離為5km【解答】D【解析】A、嘉琪家在圖書館南偏西60°方向上，說法正確；B、學(xué)校在圖書館南偏東30°方向上，說法正確；C、學(xué)校在嘉琪家南偏東60°方向上，說法正確；D、圖書館到學(xué)校的距離為：62-32=故選D．補(bǔ)充：鐘表上有關(guān)夾角問題 鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題.鞏固練習(xí)一．選擇題（共10小題）1．若α是銳角，β是鈍角，則計(jì)算15（α+βA．15° B．36° C．60° D．75°2．如圖所示，鐘表上顯示的時(shí)刻是10點(diǎn)10分，再過20分鐘，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ〢．75° B．120° C．135° D．150°3．如圖，B地在A地的（）A．北偏東60°，相距200m處 B．北偏西60°，相距200m處 C．南偏西60°，相距200m處 D．北偏東30°，相距200m處4．將一副常規(guī)的三角尺如圖放置，則圖中∠ACB的度數(shù)是（）A．75° B．95° C．15° D．120°5．如果在A處看B的方向是北偏東50°，那么在B處看A的方向是（）A．南偏東40° B．南偏西50° C．南偏東50° D．南偏西40°6．下列運(yùn)算正確的是（）A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°7．如圖所示，∠AOC＝90°，點(diǎn)B，O，D在同一直線上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．118° B．108° C．62° D．152°8．如圖，已知射線OB，OM，ON在∠AOD內(nèi)部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，則∠AOM的度數(shù)為（）A．42° B．78° C．30° D．36°9．某鎮(zhèn)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東72°方向到B村，從B村沿北偏西28°方向到C村，為了保持與AB的方向相同，那么從C村修建的方向?yàn)楸逼珫|（）A．108° B．80° C．72° D．62°10．如圖，點(diǎn)A、O、B在一條直線上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，現(xiàn)將OC以每秒5°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，OD保持不動(dòng)．當(dāng)OC⊥OD時(shí)，OC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．5秒 B．31秒 C．5秒或41秒 D．5秒或67秒二．填空題（共8小題）11．時(shí)鐘上的時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周是12小時(shí)，從5時(shí)到6時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)為．12．如圖，點(diǎn)O與量角器中心重合，OA與零刻度線疊合，OB與量角器刻度線疊合，OD是∠BOC的角平分線，那么∠BOD＝．13．計(jì)算：20°13'12″＝°．14．比較大小，用“＞”或“＜”填空：38°15'38.15°．15．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，則∠MOD的度數(shù)是．16．如圖，已知∠AOB＝70°，∠COD＝80°，∠AOD＝4∠BOC，則∠BOC的度數(shù)為．17．如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，若∠DOB＝m°，則∠AOE的度數(shù)為．18．如圖，兩個(gè)直角∠AOC和∠BOD有公共頂點(diǎn)O，下列結(jié)論：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，則OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線，其中正確的有．（填序號(hào)）三．解答題（共10小題）19．計(jì)算：（1）（-34+712-58）×（﹣24）+（﹣1（2）48°39′+67°31′﹣21°17′×4；（3）（﹣2）2+6×|-13|﹣（﹣3）（4）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣723）﹣（+2（5）﹣32+5×（-85）﹣（﹣4）2÷（﹣20．如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD=12∠AOB，求∠21．如圖，是一個(gè)簡單的平面示意圖，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，回答下列問題：（1）由圖可知，高鐵站在小明家南偏西65°方向6km處，請(qǐng)用類似的方法用方向與距離描述學(xué)校、博物館相對(duì)于小明家的位置；（2）圖中到小明家距離相同的是哪些地方？22．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大?。?3．如圖所示，OD平分∠AOC，∠AOB=32∠2，24．如圖，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度數(shù)．25．如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向．求∠ACE的度數(shù)．26．如圖①，直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD是三角板的兩條直角邊，射線OE是∠AOD的平分線；（1）當(dāng)∠AOE＝60°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)；（2）當(dāng)∠COE＝25°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)；（3）當(dāng)∠COE＝α?xí)r，則∠BOD＝（用含α的式子表示）；（4）當(dāng)三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，∠COE＝α，其它條件不變，則∠BOD＝（用含α的式子表示）．27．如圖所示，OB是∠A