重難點專項突破08相似三角形中的“一線三等角”模型

重難點專項突破08相似三角形中的“一線三等角”模型【知識梳理】一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”【考點剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點E在邊BC上，且， AD=10，求的面積．AABCDE【答案】24．【解析】，， ． 又，． ．． ， ．．在中，，．．【總結(jié)】本題考查一線三等角模型的相似問題，還有外角知識、平行的判定等．例2.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）證得△ABD∽△DCE，∴＝，設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應用．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點D為頂點作， 分別交AB、AC于點E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長．AABCDEF【答案】．【解析】， 而， ． 又，． ，． ．． ， ． 又，．【總結(jié)】本題是對“一線三等角”模型的考查．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共3小題）1．（2020·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，為的邊上一點，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知證明△ADB∽△ABC,利用代值求解即可．【詳解】∵，∴∠A=∠C，∠DBC=∠BDC，∵∠DBC=2∠A，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，∴∠ABD=∠A=∠C，∴△ADB∽△ABC，AD=BD∴，設(shè)BD=AD=x，則，即，解得：（不符題意，舍去），∴，故選：A．【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．2．（2017?利辛縣一模）如圖，D、E、F分別是等腰三角形ABC邊BC、CA、AB上的點，如果AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，那么AF的長為（）A．5.5 B．4 C．4.5 D．3.5【分析】注意到△BDF與△CED相似，利用相似比求出BF，然后得出AF的長度．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠FDE＝∠B，∴∠BDF+∠BFD＝∠BDF+∠EDC，∴∠BFD＝∠CDE，∴△BDF∽△CED，∴，∴，∴BF＝1.5，∴AF＝AB﹣BF＝AC﹣BF＝AE+CE﹣BF＝4．故選：B．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．識別出圖形中的“一線三等角”模型從而得出三角形相似是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于點E，下列結(jié)論：①△ADE與△ACD一定相似；②△ABD與△DCE一定相似；③當AD＝3時，CE＝；④0＜CE≤2．其中正確的結(jié)論有幾個？（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】利用有兩個角對應相等的兩個三角形相似可以判定①②正確；根據(jù)相似三角形對應邊成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的長，進而得出③正確；利用判定③正確的結(jié)論，通過分析AD的取值范圍即可得出④正確．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝4．∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠C＝45°．∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．∴①正確；∵∠ADE＝45°，∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°．∵∠B＝45°，∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°．∴∠BAD＝∠EDC．∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．∴②正確；由①知：△ADE∽△ACD，∴．∴AD2＝AE?AC．∴AE＝．∴EC＝AC﹣AE＝4﹣＝．∴③正確；∵點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∴0＜AD＜4．∵垂線段最短，∴當AD⊥BC時，AD取得最小值＝BC＝2．∴2≤AD＜4．∵AD2＝AE?AC，∴AE＝＝．∴2≤AE＜4．∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，∴0＜CE≤2．∴④正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故選：A．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利用有兩個角對應相等的兩個三角形相似進行相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共2題）4．（2022·安徽·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個動點，連接BE，取BE的中點G，點G繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點F，連接CF，在點E從A到D的運動過程中，點G的運動路徑=________，△CEF面積的最小值是________．【答案】215【分析】連接BD，取BD的中點M，AB的中點N，連接MN，因為GN為△ABE的中位線，故G的運動路徑為線段MN；過點F作AD的垂線交AD的延長線于點H，則△FEH∽△EBA，設(shè)AE=x，可得出△CEF面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．【詳解】解：連接BD，取BD的中點M，AB的中點N，連接MN，∵E為邊AD上一個動點，點E從A到D的運動，G是BE的中點∴當E在A點時，BE與AB重合，G與AB的中點N重合，當E運動到D點時，BE與BD重合，G與BD的中點M重合，∴E在從A到D的運動過程中，MN為△ABE的中位線，∴．故G的運動路徑=2，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴為的中點，∴設(shè)AE=x，∵AB∴HF

∴當時，△CEF面積的最小值故答案為：2，15．【點睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立△CEF面積與AE長度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽淮北·九年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________【答案】【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）6．（2021秋?大觀區(qū)校級期中）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【分析】（1）利用“一線三直角”證明△OCP∽△PDA，繼而得出＝；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出PC的長，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得AB的長度．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP與PA的比為1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應角相等、對應邊相等，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?碭山縣模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，AC是對角線，且AB＝AC．F是BC邊上一動點，連接AF，DF，DF交AC于點E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．（1）求證：AC?EC＝BF?CF；（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．①如圖2，若DF∥AB，求的值；②如圖3，若DF＝DC，求△DCF的面積．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABF＝∠FCE，再根據(jù)∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠ABF+∠FAB得出∠EFC＝∠FAB，證△ABF∽△FCE，根據(jù)線段比例關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①證△ABF∽△CBA，得，再根據(jù)，最后利用平行線分線段成比例得出得出結(jié)論即可；②過點A，D分別作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分別為M，N，過點A作AG⊥DN于點G，根據(jù)三角函數(shù)得出，證△AMF∽△AGD，根據(jù)線段比例關(guān)系分別求出CF和DN的值即可求出△DCF的面積．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABF＝∠FCE，∵∠AFD＝∠B，∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠B+∠FAB，∴∠EFC＝∠FAB，∴△FAB∽△EFC，∴，即AB?EC＝BF?CF；（2）解：①∵DF∥AB，∴∠BAF＝∠AFE，∴∠BAF＝∠ACB，又∵∠ABF＝∠CBA，∴△FAB∽△ACB，∴，∴，∴，∵DF∥AB，∴；②如圖，過點A，D分別作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分別為M，N，過點A作AG⊥DN于點G，在△ABC中，AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝8，則，∴，∵∠AFD＝∠B，∠DAF＝90°，∴，∵∠AMN＝∠GNM＝∠AGN＝90°，∴四邊形MNGA是矩形，∴GN＝AM＝6，∠MAG＝90°，又∵∠FAD＝90°，則∠FAM+∠FAG＝∠DAG+∠FAG＝90°，∴∠FAM＝∠DAG．又∵∠AMF＝∠AGD＝90°，∴△FAM∽△DAG，∴，則，∴，則，∵DF＝CD，∴CF＝2CN＝7，∴FM＝CM﹣CF＝1，由△FAM∽△DAG，得＝＝，∴DG＝，∴DN＝DG+GN＝+6＝，∴S△DCF＝CF?DN＝×＝．【點評】本題主要考查相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例等知識是解題的關(guān)鍵．8．（2017秋?固鎮(zhèn)縣月考）已知：如圖．△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果，AB＝3，EC＝，求DC的長．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）證得△ABD∽△DCE，∴＝，設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，經(jīng)檢驗，x＝1或x＝2是原分式方程的解，∴DC＝1或DC＝2．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應用．9．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，于，于，試說明：（1）（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而證明△ADE∽△ACB，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠ADC=90°，在△ABE和△ACD中∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴．在△ADE和△ACB中，∴△ADE∽△ACB∴∴AD·BC=DE·AC．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接BE，作CF⊥BE分