專題03圓中的相似問題(原卷版+解析)

專題03圓中的相似問題知識回放知識回放割線與切線形成的A字型相似如圖，PA為圓O的切線，PC為過圓心的直線，則△PAB∽△PCA，，可得：割線與割線形成的A字型相似如圖，割線PD、PC交于點P，則△PAB∽△PCD，，可得：弦與弦形成的8字型相似（蝴蝶）如圖，弦AC、BD交于點E，則△ABE∽△DCE，，可得：圓中的雙垂直（射影定理）如圖，BC為圓O的直徑，AD⊥BC，則△ABD∽△CAD∽△CBA，可得：、、真題解析真題解析典例1.（2022?遼寧朝陽中考真題）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E，點F為BD延長線上一點，∠DAF＝∠B．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長．典例2.（2022?湖南株洲中考真題）如圖所示，三角形的頂點、在⊙上，頂點在⊙外，邊與⊙相交于點，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長度．典例3.（2022?湖北黃石中考真題）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點，點B是延長線上一點，連接、、，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．典例4.（2022?貴州遵義中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？依據1：__________；依據2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．典例5.（2022?廣西梧州中考真題）如圖，以AB為直徑的半圓中，點O為圓心，點C在圓上，過點C作，且．連接AD，分別交于點E，F(xiàn)，與圓O交于點G，若．(1)求證：①；②CD是圓O的切線．(2)求的值．真題演練真題演練1.（2022?湖北鄂州中考真題）如圖，△ABC內接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB=∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．(1)試判斷PC與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．

2.（2022?遼寧大連中考真題）是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，，垂足為D，過點A作⊙O的切線，與的延長線相交于點E．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，連接，若⊙O的半徑為2，，求的長．3.（2022?湖南岳陽中考真題）如圖，在⊙O中，為直徑，，為弦，過點的切線與的延長線交于點，為線段上一點（不與點重合），且．（1）若，則弧AD的長為______（結果保留）；（2）若，則______．

4.（2022?湖北十堰中考真題）如圖，三角形中，，為上一點，以為直徑的⊙O與相切于點，交于點，，垂足為．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，，求的長．5.（2022?遼寧鞍山中考真題）如圖，⊙O是三角形的外接圓，為⊙O的直徑，點為⊙O上一點，交的延長線于點，與交于點，連接，若．(1)求證：是⊙O的切線．(2)若，，求⊙O的半徑．

6.（2022?湖北江漢中考真題）如圖，正方形內接于⊙O，點E為的中點，連接交于點F，延長交⊙O于點G，連接．(1)求證：；(2)若．求和的長．7.（2022?貴州銅仁中考真題）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．(1)求證：AB=CB；(2)若AB=18，sinA=，求EF的長．專題03圓中的相似問題知識回放知識回放割線與切線形成的A字型相似如圖，PA為圓O的切線，PC為過圓心的直線，則△PAB∽△PCA，，可得：割線與割線形成的A字型相似如圖，割線PD、PC交于點P，則△PAB∽△PCD，，可得：弦與弦形成的8字型相似（蝴蝶）如圖，弦AC、BD交于點E，則△ABE∽△DCE，，可得：圓中的雙垂直（射影定理）如圖，BC為圓O的直徑，AD⊥BC，則△ABD∽△CAD∽△CBA，可得：、、真題解析真題解析典例1.（2022?遼寧朝陽中考真題）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E，點F為BD延長線上一點，∠DAF＝∠B．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，∴∠DAF=∠ACD，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴，∵AC是直徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：作于點H，∵⊙O的半徑為5，∴AC=10，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH～△ACD，∴，∴，∵AD＝6，∴，∵AD是△AEF的中線，∠EAF=90°，∴AD=ED，．典例2.（2022?湖南株洲中考真題）如圖所示，三角形的頂點、在⊙上，頂點在⊙外，邊與⊙相交于點，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長度．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②【解析】(1)證明：∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∴OD⊥OB，∵OD∥BC，∴CB⊥OB，∵OB為半徑，∴直線BC是⊙O的切線；(2)解：①∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．即⊙O的半徑的長為．典例3.（2022?湖北黃石中考真題）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點，點B是延長線上一點，連接、、，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，作的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【解析】（1）解：如圖所示，連接OA，∵是直徑，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵OA為半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，由知，半徑，則，，在中，，在中，，即（3）在（2）的條件下，，∴，∴，在中，，，解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴．典例4.（2022?貴州遵義中考真題）探究與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段同側有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據1）點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）點，在點，，所確定的上（依據2）點，，，四點在同一個圓上(1)反思歸納：上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？依據1：__________；依據2：__________．(2)圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．【答案】(1)圓內接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等(2)45°；(3)①見解析；②不發(fā)生變化，值為8【解析】（1）答案為：圓內接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等（2）在線段同側有兩點，，四點共圓，故答案為：（3）①∵，，點與點關于對稱，，，四點共圓；②，理由如下，四點共圓，，關于對稱，，，，，，，，又，，，，，．典例5.（2022?廣西梧州中考真題）如圖，以AB為直徑的半圓中，點O為圓心，點C在圓上，過點C作，且．連接AD，分別交于點E，F(xiàn)，與圓O交于點G，若．(1)求證：①；②CD是圓O的切線．(2)求的值．【答案】(1)①證明過程見解析；②見解析；(2)【解析】(1)證明：①∵，∴∠D=∠A，且對頂角∠CFD=∠BFA，∴；②∵OB=CO，∴∠OCB=∠ABC=45°，∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，∵，∴∠OCD=180°-∠COB=90°，∴CD是圓O的切線．(2)解：連接DB，連接BG交CD于M點，如下圖所示：∵且CD=BO，∴四邊形COBD為平行四邊形，∵∠COB=90°，CO=BO，∴四邊形COBD為正方形，由（1）知：，∴，∵CE∥DB，∴，∴，即E為CO的中點，∵AB是半圓的直徑，∴∠AGB=∠BGD=90°，∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，∴∠GBD=∠EDC，且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，∴△BDM≌△DCE（ASA），∴DM=CE，即M為CD的中點，設CM=x，則DB=CD=2x，，由勾股定理知：，在Rt△MBD中：，，解得，在Rt△DGB中由勾股定理可知：，又且其相似比為，∴，在Rt△BFG中由勾股定理可知：，∴，∴．真題演練真題演練1.（2022?湖北鄂州中考真題）如圖，△ABC內接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB=∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．(1)試判斷PC與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．【答案】(1)PC與⊙O相切，理由見解析；(2)9【解析】（1）解：PC與⊙O相切，理由如下：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC與⊙O相切；（2）解：∵∠ACB=90°，，∴，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴，∴，∴AB=6，∴，∴，∵，∴△PBC∽△POD，∴，即，∴，∴CD=6，∴．2.（2022?遼寧大連中考真題）是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，，垂足為D，過點A作⊙O的切線，與的延長線相交于點E．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，連接，若⊙O的半徑為2，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1）解：∵，∴，∵AE是⊙O的切線，∴，在和中，，，∴（2）解：如圖，連接AC．∵⊙O的半徑為2，∴，，∵在和中，，，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∵，經過⊙O的圓心，∴，∴．∵AB是⊙O的直徑，∴，在中，由勾股定理得：．在中，由勾股定理得：．3.（2022?湖南岳陽中考真題）如圖，在⊙O中，為直徑，，為弦，過點的切線與的延長線交于點，為線段上一點（不與點重合），且．（1）若，則弧AD的長為______（結果保留）；（2）若，則______．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵，∴弧AD的長；故答案為：；（2）連接，∵是切線，是直徑，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．4.（2022?湖北十堰中考真題）如圖，三角形中，，為上一點，以為直徑的⊙O與相切于點，交于點，，垂足為．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1）如圖，連接，，則，設，，，，為⊙O的直徑，，，即，，，，，，，，為⊙O的半徑，是⊙O的切線；（2）如圖，連接OE，是⊙O的切線，則，又，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得．5.（2022?遼寧鞍山中考真題）如圖，⊙O是三角形的外接圓，為⊙O的直徑，點為⊙O上一點，交的延長線于點，與交于點，連接，若．(1)求證：是⊙O的切線．(2)若，，求⊙O的半徑．【答案】(1)過程見解析；(2)3【解析】（1）證明：連接OE．∵，，∴∠ABC=∠BOE，∴，∴∠OED=∠BCD．∵EF∥AC，∴∠FEC=∠ACE，∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，即∠FEO=∠ACB．∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠FEO=90°，∵EO是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）∵，∴．∵BF=2，．設⊙O的半徑為r，∴OF=2+r，，BC=．∵，∴，解得，∴⊙O的半徑是3．6.（2022?湖北江漢中考真題）如圖，正方形內接于⊙O，點E為的中點，連接交于點F，延長交⊙O于點G，連接．(1)求證：；(2