導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第14講 放縮法證明不等式（含答案及解析）

第14講放縮法證明不等式【典型例題】例1．已知函數(shù)，，且曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在，上的最小值：（3）證明：當(dāng)時，．例2．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．（3）證明：當(dāng)時，．例3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若對任意恒有不等式成立．①求實數(shù)的值；②證明：．例4．已知函數(shù)．（1）若曲線存在一條切線與直線垂直，求的取值范圍；（2）證明：．例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）為自然對數(shù)的底數(shù)，若時，恒成立，證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意的，當(dāng)時，．2．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時，．3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解關(guān)于的不等式4．已知函數(shù)在，（1）處的切線為．（1）求的單調(diào)區(qū)間與最小值；（2）求證：．5．設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，，．（Ⅰ）若，求在點，處的切線方程；（Ⅱ）若，（?。┳C明恰有兩個零點；（ⅱ）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明：當(dāng)時，．6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．7．已知，設(shè)，，，，且，記；（1）設(shè)，其中，試求的單調(diào)區(qū)間；（2）試判斷弦的斜率與的大小關(guān)系，并證明；（3）證明：當(dāng)時，．8．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，，時，證明：．9．已知函數(shù)，．（1）如果關(guān)于的不等式在恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：．10．已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若對任意的，，求實數(shù)的最大值；（3）若的極大值為，求不等式的解集．11．已知函數(shù)，在處的切線方程為．（Ⅰ）求，的值（Ⅱ）當(dāng)且時，求證：．12．已知，．（1）求在點處的切線；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)，時，求證：．13．已知函數(shù)在處取得極值．（1）求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)，時，．14．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：．

第14講放縮法證明不等式【典型例題】例1．已知函數(shù)，，且曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在，上的最小值：（3）證明：當(dāng)時，．【解析】解：（1），，（1），（1），，．（2）由（1）得：，，，在上遞減，在上遞增．，在，上遞增，，在，上的最小值為1．（3）法一：證明：，由（2）得過且在處的切線方程為，故可猜測，時，的圖象恒在切線的上方，下面證明當(dāng)時，設(shè)，，，，由（2）知：在上遞減，在上遞增，，（1），，，存在，使得，，，時，；，時，，故在上遞增，在，上遞減，在上遞增，又（1），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故，，令，則，時，，時，，在上遞增，在上遞減，（1），，即．，，即成立，時，，綜上所述，時，．法二：原不等式等價于，令，，所以在上遞減，在上遞增，所以（1）．例2．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．（3）證明：當(dāng)時，．【解析】解：（1）的定義域為，，當(dāng)，時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則．，，，，則，從而在，上單調(diào)遞減，，即．（3）證明：方法一：當(dāng)時，．由（1）知，（1），，即．當(dāng)時，，，則，即，又，，即．方法二：當(dāng)時，要證，只需證即證，令，易證，故，所以當(dāng)時，．例3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若對任意恒有不等式成立．①求實數(shù)的值；②證明：．【解析】解：（1）的定義域是，由題意得，令得：，令，則，故在遞增，且，故有唯一實數(shù)根，即有唯一實數(shù)根，設(shè)為，即，故在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，故；（2）①當(dāng)時，單調(diào)遞增，的值域為，不符合題意；當(dāng)時，則，也不符合題意．當(dāng)時，由（1）可知，，故只需．令，上式即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而（1），所以．因此，，從而有．故滿足條件的實數(shù)為．②證明：由①可知，因而只需證明：，恒有．注意到前面已經(jīng)證明：，因此只需證明：．當(dāng)時，恒有，且等號不能同時成立；當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)，時，是單調(diào)遞增函數(shù)，且（1），因而，時恒有；從而，時，單調(diào)遞減，從而（1），即．故．例4．已知函數(shù)．（1）若曲線存在一條切線與直線垂直，求的取值范圍；（2）證明：．【解析】解：（1）由，得，，，曲線存在一條切線與直線垂直，，得或，即的取值范圍為，，；證明：（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，，；設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，，，，，，又，．例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）為自然對數(shù)的底數(shù)，若時，恒成立，證明：．【解析】解：（1）（1分）當(dāng)時，，（1），且在上單調(diào)遞增，（2分）當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．（3分）當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．（4分）（2）在上單調(diào)遞增，，（e），存在唯一的，使，即，得（6分）而且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．的唯一極小值即的最小值是：，（7分）恒成立，，得，（8分），設(shè)（9分），（10分）當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．極小值，即．（12分）【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意的，當(dāng)時，．【解析】（1）解：由，得．①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由，解得，由，解得，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：．令，則．當(dāng)時，．令，則當(dāng)時，．當(dāng)時，單調(diào)遞增，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．（1）．即，故．2．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時，．【解析】解：（1），當(dāng)，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)，即時，由解得，由解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）令當(dāng)時，欲證，即證．即證，即，即證先證：．設(shè)則設(shè)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．再證：．設(shè)，則．在上單調(diào)遞增，則，即．，所以．．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．又與．兩個不等式的等號不能同時取到，成立，即當(dāng)時，成立．3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解關(guān)于的不等式【解析】解：（1）函數(shù)．定義域為：．，（1）．令，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．，．，函數(shù)單調(diào)遞減．時，，函數(shù)單調(diào)遞增．（2）不等式，即．，，舍去．當(dāng)時，不等式的左邊右邊，舍去．，且．①時，由，要證不等式．可以證明：．等價于證明：．令．，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1）．②當(dāng)時，不等式．令，．，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1）．由，．不等式成立．綜上可得：不等式的解集為：．4．已知函數(shù)在，（1）處的切線為．（1）求的單調(diào)區(qū)間與最小值；（2）求證：．【解析】解：（1），故（1），得，又（1），所以，得．則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以．（2）證明：令，，，遞增，所以，所以當(dāng)時，，令，，，遞增，，所以當(dāng)時，，要證，由，，及，得，，故原不等式成立，只需證，即證．由（1）可得，且，所以，則原不等式成立．5．設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，，．（Ⅰ）若，求在點，處的切線方程；（Ⅱ）若，（ⅰ）證明恰有兩個零點；（ⅱ）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明：當(dāng)時，．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時，，所以，所以，即在點，處的切線的斜率為1，又，所以在點，處的切線方程為．（Ⅱ）由題可知，設(shè)，，則，因為，，所以，所以在上是減函數(shù)．由泰勒公式可知（當(dāng)時取到等號），結(jié)合得，所以，又因為，所以存在，使得，所以當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，所以是唯一的極值點，顯然，所以是的其中一個零點；因為在上遞增，所以，又，所以，結(jié)合，得，所以在區(qū)間，上有一個零點，綜上所述：在區(qū)間上恰有兩個零點．證明：由可知，，且，所以，因為，，所以，即，所以，即所以，故，要證明成立，只需證明成立，因為，，所以，所以當(dāng)時，不等式成立．6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．【解析】解：函數(shù)，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則二次函數(shù)的判別式△，當(dāng)△時，即或，當(dāng)時，，函數(shù)，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)，上單調(diào)遞減，當(dāng)△時，即，且，當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，，，，函數(shù)，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，，，函數(shù)在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）證明：當(dāng)時，，即將代入，即要證，即證，設(shè)，求導(dǎo)可得，當(dāng)，即，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，，設(shè)，，求導(dǎo)可得，在上遞減，，，恒成立，即，故即證，，即得證．7．已知，設(shè)，，，，且，記；（1）設(shè)，其中，試求的單調(diào)區(qū)間；（2）試判斷弦的斜率與的大小關(guān)系，并證明；（3）證明：當(dāng)時，．【解析】（1）解：，．若，則，為上的增函數(shù)，若，由，解得．當(dāng)時，，當(dāng)，時，，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，；（2）解：．證明如下：．令，則，，而（1）．故在單調(diào)遞增，故；（3）證明：當(dāng)時，原不等式等價于，由（2）知，即證，轉(zhuǎn)化為．令，，（1），故時成立．即當(dāng)時，．8．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，，時，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由解得，由解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）證明：令，則，（1），再令，則，當(dāng)時，，，即，在，上單調(diào)遞增，（1）（1），（1），在，上單調(diào)遞增，（1），綜上可知，．9．已知函數(shù)，．（1）如果關(guān)于的不等式在恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】解：（1）由，得．整理，得恒成立，即．令．則．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．函數(shù)最小值為（1）．，即．的取值范圍是，（2）由（1），當(dāng)時，有，即．要證，可證時，即證，．構(gòu)造函數(shù)．則．當(dāng)時，．在，上單調(diào)遞增．（1）在，上成立，即，證得．當(dāng)，時，成立．構(gòu)造函數(shù)．則當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減．（1），即當(dāng)，時，成立．綜上，當(dāng)，時，有10．已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若對任意的，，求實數(shù)的最大值；（3）若的極大值為，求不等式的解集．【解析】解：（1）的定義域為，，．由．，可得時，．的單調(diào)增區(qū)間為，；（2）當(dāng)時，（1），不符合題意．當(dāng)時，由．可得時，．，時，．的單調(diào)增區(qū)間為，，遞減區(qū)間0，和，；，在處取得極小值，即取得最小值．對任意的，．．，求的最大值，不妨設(shè)．設(shè)（b），，．可得（b）在遞增，在遞減，，實數(shù)的最大值為．（3）由（2）知時，無極大值，當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為和，；在處取得極大值，即．．可得．當(dāng)時，，，當(dāng)時，．由（2）可得，又，，在遞增，且（1）．不等式的解集為．11．已知函數(shù)，在處的切線方程為．（Ⅰ）求，的值（Ⅱ）當(dāng)且時，求證：．【解析】解：，（1分）由題意知：．所以（4分）證明：設(shè)，則，．當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)．又，，（1）（如圖），所以，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)．因此，對一切，有（1），即在上都成立．（8分）設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，又（1），所以，當(dāng)時，，即，所以；當(dāng)時，，即，所以．（10分）綜上可得：，從而有（12分）注：其他構(gòu)造函數(shù)證明方法酌情給分．12．已知，．（1）求在點處的切線；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)，時，求證：．【解析】解：（1），故在處的切線為．（2）；①當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（3）證明：先證明：時，，令，則時，，單調(diào)遞減，故（1），即．故，令，則，．而，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由于，故，所以在內(nèi)恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增，（1），所以，故問題得證．13．已知函數(shù)在處取得極值．（1）求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)，時，．【解析】解：（1），由題意可得，，故，，，由可得，故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，由可得，故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，（2）證明：由（1）可知在上單