人教A版2019高中數學選擇性必修第二冊-數列求通項（重點題型）

第4講：數列求通項（重點題型方法與技巧）

目錄

類型一：s“法（已知s”與％,的關系）

角度1：用一一九,得到一

角度2：將題意中的％用替換

角度3：已知等式中左側含有：￡咕

i=i

類型二：累加法

類型三：累乘法

類型四：構造法

類型五：倒數法

類型一：S”法（已知S,與4,的關系）

角度1：用S”-,得到an

典型例題

例題1.（2022?河南省淮陽中學高三階段練習（文））已知數列｛%｝的前"項和為S“，且S,=2%-2.

⑴求｛七｝的通項公式；

【答案】⑴％=2"

由S“=2a“-2,得S|=2q-2,得q=2,

當“22時,an=Sn-=（2an-2）-（2an_t-2）=2an-2an_l,即%=2a“_],

..?｛4｝是首項為2,公比為2的等比數列，

｛%｝的通項公式為4=2”.

例題2.（2022?福建省華安縣第一中學高二階段練習）正項數列｛4｝的前〃項和5“滿足：

S；-（n2+n-l）5?-（w2+n）=0.

（1）求數列｛qj的通項公式

【答案】⑴4=2〃

當〃=1時，Sj2-(12+1-1)5,-(12+1)=0,

即S；-E-2=0解得，=2或H=-l,

因為數列｛%｝為正項數列，所以工=2,

因為氏-(/+”1)5“-W+〃)=0,所以L+叫(S“+l)=0,

解得S“=/+〃或S.=-l,

因為數列｛4｝各項都是正數，所以S“=〃2+〃，

當〃22時，有％=S“-Se，

所以%=：，+W-[(HT)2+(WT)],解得見=2”，

又當z?—l時,q=S]=2,符合a〃=2〃.

所以數列｛%｝的通項公式為=2?

例題3.(2022?四川省內江市第六中學高一階段練習(理))數列｛4｝的前〃項和記為S,,己知鳳＞0,

4+2%=45“+3.

(1)求｛q｝的通項公式；

【答案】⑴。“=2”+1

解:因為4,＞。，+2。“=4S”+3,

令〃=1可得，。；+2%=4%+3,解得％=3或°]=一1(舍去).

當心2時可得+2aa=+3,

兩式相減得端一。；一1+2(。,-a,-J=4an,即(a?-an_x)(a,I+an_x)=2(a?+a?_j),

因為a“＞0,可得見-%=2,

所以數列｛%｝是以3為首項，以2為公差的等差數列，

所以數列｛%｝的通項公式為4=3+(〃-1)X2=2〃+1.

例題4.(2022?福建省廈門集美中學高三階段練習)已知數列｛4｝的各項均為正數，前”項和為S“，且

3“-----------(〃eN).

(D求數列｛%｝的通項公式；

【答案】(1)?！?〃；

解：5,=#+1)(〃eN*),

當〃=1時，S[=*+D,at=l,

當〃時，由S,=*±D,得2S“=a『+%①

?->2s._]=a,_J+a”—②

_

①②得:2%=2（S“-S,i）=a；-+an-an_x,

二（%+a”-i）（4,一a，i-1）=。，

r?！?->0，

aa=1

n-n-\>n>2,

???數列｛鞏｝是等差數列，

an=n-

同類題型歸類練

1.（2022?四川省綿陽南山中學模擬預測（理））設數列｛4“｝的前"項和為5“，已知S.=2a“-1.

⑴求數列｛為｝的通項公式；

【答案】（1）%=2"T

因為5“=2%-1,所以5用=24+1-1,

兩式相減，可得。用=2%-2%，整理得。用=2氏，即乎=2,

因為在S〃=2an-1中當〃=1時，%=2%-1,所以q=1,

所以數列｛q｝是以1為首項，2為公比的等比數列，

所以。"=2"L

2.（2022?湖南?高三階段練習）記各項均為正數的數列｛%｝的前“項和是S”，已知片+a“=2S”，〃為正整

數，

⑴求｛〃“｝的通項公式；

【答案】（1）%=H（HSN+）

當心2時，卜:%相減得片%=2ati,

〔見+4=25“，

即（q—a--1）（q+%T）=0,各項均為正數，所以％=%+1。叱2）,

故｛%｝是以首項為1,公差以1的等差數列，

所以4=77（77GN+）；

2

3.（2022?全國?成都七中高三開學考試（理））記數列｛%｝前w項和為s“，2S?+n=2nan+n.

（1）證明：｛%,｝為等差數列；

【答案】⑴證明見解析

2

(1)由題意，得25n=2〃?！?n—n.

則2sx=2(〃—1卜〃T+〃—1—(〃—1).

兩式相減,得(2〃一2卜〃一(2〃一2耳_1=2〃-2,n>2,MGN*,

即an-an_x=1,n>2,neN*,

?..{4}是等差數列.

角度2:將題意中的4,用S,「S.-替換

典型例題

例題1.(多選)(2023?全國?高三專題練習)設S”是數列｛%｝的前〃項和，且6=-1,a,中=S“S”+I,則

下列結論正確的是()

a

A.n=-~~-B.an=\1

〃(〃一1)---------,n>2

n(n-l)

C.S"=—D.數列同是等差數列

【答案】BCD

【詳解】an+i=Sri'Sn+i=Sn+i—Sn9兩邊同除以S〃+rS〃，得^^二1?

???1:1是以一1為首項，d=—1的等差數列，

1

即不=-1+(〃-1)x(—1)=—九，

Sn=---

n

11

當n>2時，an=Sn~Sn~i=——=

nn-1n(n-l)

又如=-1不符合上式,

一1,〃=1,

,心2

n(n-l)

故A錯誤，BCD正確.

故選：BCD

例題2.(2022?安徽宣城?二模(理))已知數列｛風｝中，4=1,%>0,前〃項和為5“.若

a?=底+#匚(〃eN*,〃..2)，則數列—的前2022項和為.

2022

【答案】廂

【詳解】由4=區(qū)+67(〃eN*,〃..2)可得S“一5-=瓜+反，又%>0,.?.底一卮=1,

=1>

=n,

故｛6｝是以1為首項，1為公差的等差數列，7^''-an=y[s^+y/s^=n+n-l=2n-l,又4=1也符

合，

1二1一擊)，故數列[￡]的前2。22項和為

冊〃

:.=2-1,aa

nn+i（2n-l）（2n+l）

111

-+-—+

335+七捻卜如舟者

2022

故答案為:

4045

例題3.(2022?黑龍江?大慶實驗中學模擬預測(理))已知正項數列｛%｝滿足4=1,前"項和S“滿足

4=后+7^7(〃22,〃。*)

⑴求數列｛%｝的通項公式；

【答案】⑴％=2〃-1；

⑴解：,.?4=屈+7^7(〃22,〃0*)

5“_5-=底+匹

-卮=1，二點是以1為首項，1為公差的等差數數歹U，

-n,即S“=n2,

當“22時，??=S?-S?-1=2?-1,

當〃=1時，。1=1也成立,

/.an=2n-l,

例題4.(2022?福建省龍巖第一中學高二階段練習)已知正項數列｛%｝的首項q=1,前”項和S“滿足

an=+A/S“_](n>2).

⑴求數列也,｝的通項公式；

【答案】⑴4=2〃-1；

(1)當”22時，％=區(qū)+用，

，S--S“T=S+67,即瘋-卮=1,又用=1，

所以數列｛后｝是首項為1,公差為1的等差數列，故￡=%

又由%=鄧^+J%=〃+〃-1=2〃-12),

當”=1時，。1=1也適合,

所以4=2〃T.

例題5.(2022?全國?高三專題練習)已知數列0｝的前〃項和為%且滿足a“+2S,S,T=。(〃22),弓=).

⑴求S“；

(2)求數列｛%｝的通項公式.

【答案】(1電$

(2)%=

---------,(n>2,neN

[in2n—21

(1)

由題意可得，當〃=1時，％二;，

當心2時，。“+25屋3_]=0,即S〃—九=—2S￡_],可得[―一~=2,

即數列是首項為2,公差為2的等差數列，y=2+2(?-l),(?>2),可得S,=：,(〃N2,〃eN*).

經檢驗，〃=1時，S[=4=g滿足上式，

故s,W

(2)

由⑴可得,當心時，-圭,

當，=1時，44,不符合4，=0,，

綜上所述，結論是:

g,(w=D

11/__

---------,(?>2,?eN

⑵2n—2、

同類題型歸類練

1.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學校高三階段練習)已知數列｛%｝的前"項和為5“，且滿足q=(,

an+2SnSn_l=0(n>2)

⑴求。"和5

21

【答案】⑴。“=1-5?=—

--J，壯22n

2〃(〃一1)

(1)幾=1時，S]=q=；,〃22時，^n=Sn-Sn_｛=-2SnSn_1,

所以J-——=2,所以數列彳是以營=2為首項，公差為2的等差數列.

3〃3〃T〔S"5

所以：=2+("1>2=2九，即S“=；,

?〃2〃

當心2時，見=一25鼠=-初曷,

當〃=1時，％=:，不滿足上式，

1I

—,n=1

2

所以?！?11，

-------7---7，〃22

2n(n-l)

2.(2022?全國,模擬預測)已知首項為1的數列｛%｝的前〃項和為S.(〃eN*),且后=。角-

⑴求數列｛%｝的通項公式;

【答案】⑴4=2〃T

(1)依題意，歷+厄=%=s“「s“,

故#^+￡=(6>￡)(府+底)，

因為反+向>0,所以再一底=1，

又廓=口=1,所以｛底｝是首項為1,公差為1的等差數列，所以厄=n,s?=n2.

22

當2時，an=Sn-Sn_1=n-(n-1)=2n-l,

又當〃=1時，q=i也滿足上式，所以見=2〃-1.

3.(2022?四川省通江中學高二階段練習(理))已知正項數列｛%｝的前〃項和為S“，且

%=2,q=瘋+V^7("eN,"22)；

⑴求數列｛%｝的通項公式;

2,77=1

【答案】⑴4=

2n+2忘-3,M>2,neN

⑴由題意正項數列｛%｝的前"項和為S”,

當場22時，—,

故見=S〃-51=點+反，所以(后)2—(卮)2=底+歷，

即E-6二=1，所以｛、區(qū)｝是以6=舊=6為首項,以1為公差的等差數列,

貝！J-V2+(〃-1)=〃+V2—1,

以=JSn+JSn_]—n+V2-1+幾-1+A/2—1=2rl+2\/2—3,(〃N2),

即an=2〃+20-3,

2,〃=1

但q=2不適合上式，故為=

2n+2A/2-3,n>2,neN*

4.(2022?云南省玉溪第一中學高三開學考試)數列｛q｝的前〃項和為S”,q=；,且4+2S“T-S“=0532).

⑴證明：數列，為等差數歹

⑵求數列｛q｝的通項公式.

【答案】⑴證明見解析

fl,

—,n=l

2

(2)a?=\1

——7—7，葭2

2n(n-l)

(1)

由an+2Sn_l-Sn=0(n>2),

得S“-S“T=-2S“TS“(心2),

-一J=2，(W22),且5=2,

SS,

故數列為以2位首項，2為公差的等差數列.

(2)

由(1)知數列[二]的首項為'=2,公差1=2,則數列!=2+2("-1)=2〃,

即S"=['-"1=:一/^=-茨曷‘心2，

2〃(〃-1)

角度3：已知等式中左側含有：

Z=1

典型例題

例題1.（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝的各項均為正數，且石+?+…+口=/+〃，則

數列的前n項和Sn=（)

A.a?+2〃+1B.2n2+2n

C.3M2+nD.3w2—n

【答案】B

【詳解】因+…+1冊="+〃,當“22時，y/a^+y/a^-i—+J%-=(“-1)一+(〃-]),

則=而飆'=2滿足上式，因止匕”eN*

貝=-^---^=4(77+1)-4/I=4,即是首項為4、公差為4的等差數列,

nn+1n

所以,=業(yè)*=2]+2聯

故選：B

例題2.（2021?上海市行知中學高三開學考試）數列｛4｝滿足：％=1,

4=q+2。2+3%++(?—(n>2.nGN*），則通項=

l,n=1

【答案】n10

—,n>2

12

【詳解】由題意得：q+i=q+2%+3/++（九一1）q_1+磔〃@）,

當〃=1時，a2=ax,

當〃22時，q=q+2%+3/++(〃-1)%T(2),

①一②得：4+「q=%=凡+1=(〃+1)凡,(〃N2),

所以％=1,&=1,%=3,幺=4,…，J",

%a2〃3an-\

77?

累乘得4,=,("22),當”=1時，%不滿足。.，

1,H=1

則%=(〃！.

——,n>2

12

l,n=1

故答案為：＜

—,n>2

12

例題3.(2022?廣東?測試?編輯教研五高二階段練習)數列｛4｝滿足q+?爭+:=3"-1.

⑴求E

(2)求數列｛對｝的前〃項和S,

【答案】⑴。，=2〃-3八

⑵S.="3"+；

⑴解：因為生+1+-十+%=3"-1,

n

當”=1時，=31-1=2,

當心2時，4+生+%++&L=3"T-1,

23n-1

兩式相減得生=3"—3修=2-3"T,

n

所以a.=2〃.3"T(nN2),

又q=2符合上式，所以4=2〃々t.

(2)

解：S?=2-3°+4-31+6-32++2n-3n-l,

所以3S“=2?+4-32++(2?-2)-3^+2?-3",

所以邑一3s“=2?(3°+9+3?++3"T)-2n-3",

1-3n

即一2S〃=2x^~^~—2〃?3〃=(1—2孔>3〃一1,

所以S"=”-3"+2?

22

例題4.(2022?黑龍江?雙鴨山一中高二開學考試)已知數列｛q｝滿足2%+2?出+…+2'%=盹戶.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵求數列｛%｝的前〃項和S,.

A-A-i-J-.w,、3〃+1

v【日木】⑴4=———

(2)S?=7-(3?+7)xW

3"+5〃

（1）解：因為2〃1+22。2+???+2〃?！?①，

2

3xl2+5xl

當〃=1時，2al=解得4=2,

2

當〃22時，2弓+22出+…+2〃一4_=3（〃T）：5（"1）②,

3/+5〃_3（，1）2+5（，1）=3,+1，所以%=3n+l3n+l

①-②得2"%，當〃=1時=也成立，所以

222〃2〃

3九+1

T

2

（2）解:由（1）可知q=（3〃+l）x,所以S〃=4x1I+7xI+鵬++（3n+l）x

所以3=4x[j+7x出4

I+10x1++（3〃+l）xg）,所以

一（3"+1）、出n+1

2Jin—\

1

n+\

=2+3x------1二一（3〃+l）x

n+1

=。（3〃+7）又出

所以S“=7一（3〃+7）x出

同類題型歸類練

1.（2022?全國?高三專題練習）已知在數列｛〃〃｝中，〃1=2,〃]+?+~^~+—+—^=—2,貝!Ja=___________

23nn

【答案】2n

【詳解】因為％+3+?++—^=%+i—2,當〃22時，々1+3+3+H■—=a—2,

23n23n-1n

貝=即有烏珠="當〃=1時，2,得出=4,多=?滿足上式，

nn+1n21

〃GN「幺絲=”，因此數列｛2｝是常數列，即&=3=2,所以4=2〃.

故答案為：In

2.（2020?山東省青島第五十八中學高三期中）設數列｛%｝的前“項和S”％=1,2"4+2'—電++2%=楨用.

⑴求數列｛4｝的通項公式.

【答案】⑴氏二2〃T；

(1)解：當〃22時，因為2〃%+2"12+L+=幾?！?1,

所以2"1q+2"之外++2an_]=[n—\^an,

所以2〃4+2〃T/++22q_]=2(幾—1)4②，

±L

①一②得24="+1—,gp-^=2(H>2),

an

當〃=1時，2%=與，?=2適合上式，所以數列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數列，

所以%=1X2"T=2"T.

.123〃八/1

3.(2022?河南三模(文))已知數列｛(%｝滿足：一+—+—++—=2-(n+2)-,HGN".

C^2^^3/

⑴求J

(2)求數列｛an+log2%“｝的前”項和S”.

【答案】⑴%=2”

l2

(2)Sn=2^+n+n-2

,11

(1)當〃=1時，7=5，故4=2；

當“22時，

123?,z.x1

n

qa2a3an2

123n-1on1

n

axa2a3an_x2~

nn

兩式相減得：一=不，故。"=2"

綜上：當〃￡N*時，%=2".

(2)由(1)知/+log2%〃=2〃+2〃

所以⑤二(2+22+23+2〃)+(2+4+6+In)

2(1-2〃)/、°

=--------+n(n+l)=2n+1+n+n-2-

1-2v7

4.(2022?山東,濟南市歷城第二中學模擬預測)在數列｛叫中，已知q=2,“+§+§+…+”=%-2,

23n

數列圾｝的前〃項和為S?,S.S?=2bn-2.

⑴求數列｛%｝,也｝的通項公式；

【答案】⑴%=2"，bn=r.

???q+?母+…+?=*-2①,

當〃=1時，％=。2-2,得。2=4.

小一2②,

當〃22時，q+—+—H-----F

23

①-②得，……*一〃+l

a?^n+1

?〃=1時也滿足」包=一

an”

火&為

---—&—=2_x2—X3—X4—x---x/一=2n,

C^2C^31123n-1

an=2n,當n=l時也成立

S"=2〃-2③,

當〃=1時，4=2A]-2,即4二2；

當心2時，SR=2%—2④,

③一④得，bn=2bn-2bn_i9則，=22》

..?｛〃｝是首項為2,公比為2的等比數列，故6'=2"；

5.（2022,黑龍江雙鴨山?IWJ二期末）設數列｛?！ǎ凉M足q+3%H-----\-（2n—l^an=n.

（1）求｛%｝的通項公式;

【答案】（皿“=擊

依題意%+3外+…+（2〃-1）為=〃①,

當〃=1時，4=1.

當〃22時，q+3%H----F（2〃—3）ctn_x=n—1（2）,

①-②得（2〃-1）%=1,%=，，77=1時，上式也符合.

-2n-l

所以見=止1

類型二：累加法

典型例題

例題1.（2022唉國模擬預測（文））在數列｛4｝中，%=l,"（〃+l）（%+「a“）=l（〃eN*）,則“2022=（）

■4043n2021八4040c2020

A.------B.------C.------D.------

2022202220212021

【答案】A

【詳解】因為心+1)(--%)=1,則%+=而%=>?，

當“22時，a?=(a?-??_))+-??-2)+J___[

n—2n-

=_工+1+1=止1,顯然%=1滿足上式，即有。“=也二

nnn

4043

所以“2022

2022

故選：A

n

例題2.(2022?上海市大同中學高二階段練習)若q=l,an+l-an=2-n9ne,則〃〃二_________

【答案】2"-1--

【詳解】an+l-an=T-n,〃eN*

??.當〃22時，?！ā?=2"T—(九一1)

二.%—q=—1,%—“2=2?—2,,cin—=2"—(n—1)

21

以上各式相加得：??-?1=(2+2++2-)-[1+2++(?-1)]

=0+2+2?++2")[1+2++…片一丁.—一

而％=1也適合上式,

一一一”〃￡N*

故答案為：2"-1-妁瀘.

例題3.(2022?廣東惠州?高三階段練習)已知數列｛q｝中，4=1,%="-%｝是公差為2的等差

數列.

(1)求｛%｝的通項公式；

【答案】⑴4=1

解:因為｛以「4｝是公差為2的等差數列，

所以(。3—%)—(%—4)=2,

即9一2電+1=2,所以4=4,

貝U%-％=3,

所以％+1-4=2〃+1，

貝U出-〃1=3,

%—%=5,

=7,

an~an-\=2〃-1,

累力口得=3+5+

所以%="2；

例題4.（2022?四川廣安?高一期末（理））已知數列｛見｝滿足%=3,??-??_1=8n-4（n>2）.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

【答案】⑴4=4/-1

當“22時，

（%-附）+（%T-%-2）+…+（%-%）

=（8”-4）+（8"-12）+…+12=^-------）2———-=4n2-4，

22

即an-ax=4n-4,貝lj〃〃=4n-1,

當〃=1時，4=3,滿足〃〃=4"2—1,

2

綜上所述，當〃cN*時，an=4M-1.

同類題型歸類練

1.（2022,四川省成都市鄲都區(qū)第一中學高三階段練習（文））已知數列｛凡｝滿足見+「4=2"（〃eN*）,%=3,

則。8=（）

A.511B.502C.256D.255

【答案】D

【詳解】因為。用―％=2">￡N*）,%=3，所以

%—%=22

%—%=2?

。8—。7=2

92_9

累加得：a.-a=22+23++27=------：—=252,

21-2

所以q=4+252=255.

故選：D

2.（2022?陜西?武功縣普集高級中學高二階段練習）已知數列｛4｝滿足%=1,%=%T+2"T（〃N2,〃eN）,

貝Ia6=?

【答案】63

【詳解】由題設，%—ai=2i(〃N2/￡N),

以4—%+〃5—%+%—%+〃3—。2+%—%=%-=2，+24+2^+22+21=62,1=1,以&=63.

故答案為：63.

3.(2022?上海交大附中高三階段練習)已知數列｛q｝的前〃項和S“=3〃-1,數列｛,｝滿足4=-1,

2+i=2+(2"T).

⑴求數列｛%｝、｛2｝的通項公式.

2,n=l

【答案】⑴4=,b“=n—2n

3,H>2〃

*/Sn=3n-l,：.Sn_r=3n-4,n>2,

a,l=Slt-Sn_l=3n-l-3n+4=3[n>2),

當〃=1時，S]=q=2w3,

2,H=1

3,n>2,

；2+1=2+(2"-1),

打一偽=1,4一3=3也一4=5,...,bn-bn_x=2n-3,n>2,

以上各式相加得:

(n-l)(l+2n-3)

b-b=1+3+5++(2n-3)=(n—l)2,n>2,

nx2

2

bn=n-2n,

又2=T符合上式，￡=4-2"；

4.(2022?云南?彌勒市一中高二階段練習)等比數列｛%｝中，公比4>0,S?=6,%是邑與2的等差中項.

⑴求數列｛aj的通項公式;

⑵設2=log%2,且數列｛g｝滿足q=l,cn+i-cn=bn+xbnf求數列｛%｝的通項公式.

【答案】(l)a?=2n

(1)名是S3與2的等差中項，52=6,.，.2%=S3+2=S2+〃3+2=%+8,/.。3=8；

q=18

a3=〃闖2=8得<a,=2

由,2(舍)或q=2—"?

S?=+a?=(1+q)=6q=——

3

1_1__1

(2)由(1)得：b=log2=—log2=—,-Cn+l~Cn

nn2nn(n+l)nn+1'

□1

C2~c\1-

n-2n—12

1111

各式相加得:

2n

又C[=1,..g=2—.

n

類型三：累乘法

典型例題

例題1.(2022?湖南省桃源縣第一中學高三階段練習)在數列｛%｝中，4=1,g=2,如="1,則

an"

A.2020x2021B.2021x2022C.2022x2023D.2023x2024

【答案】C

【詳解】由已知，數列｛4｝中，4=1,2=2,黃=丁，

，匚[、1%+2_〃+1an+\_"—1%_2

所以--------，-----7，-----―一；，

annan_xn-1an_2n-211

p-rruan+24+1。3_"〃+2."〃+l'’"3_"〃+2."〃+l

所以-----------------------------------------------

%冊一2an'an-l'an-2'%'〃2'6%"

n+1nn—12(n+1)-n-(n—1)-2.

----?----------——=------------------------=〃+],

nn-1n-21n-(n-1)-(n-2)-21

所以an+2-an+1=〃+1,即*-4向=2(〃+1)(〃eN+),

%?q

貝Ua｛a2+a2a3+a3a4++。2022a2023

c“,c2022x(2+4044)

=2+4+6++4044=----------------=2022x2023.

2

故選：c.

例題2.(2022?寧夏?平羅中學高一期中(理))數列｛%｝滿足：%=2,〃%=2(〃+1)4,則數列｛《｝的

通項a?=

【答案】n-T

【詳解】解：因為弓=2,"4用=2(〃+1)4,,

2("+1)

所以也=

a?n

2n

當“22時，—

a?77-1

%<3.3.

所以紇=■—■—?―2--q,

a

芻馬4n-i

_?-1234

—乙9,?**...*n■乙，

123n-1

=n-2n9

當〃=1時，q=2,適合上式，

所以數列｛%｝的通項％=n-T,

故答案為：n-2n

2

例題3.(2022?河南?高三階段練習(理))已知3為數列｛見｝的前〃項和，且4=1,Sn=nan.

(1)求“2，。3；

⑵求｛g｝的通項公式.

【答案】⑴〃2=不，°3nz

3o

2

〃(〃+l)

(1)

當〃=2時，邑=4%,即q+Q2=4%,

又q=1,所以%=；，

當〃=3時，有%+%+〃3=9。3，解得a3=—-

6

411

故％=7，03=:?

36

(2)

因為S“=a%"，所以S“+J=("+1)2見+1，

22

兩式相減得：S.+i-Sn=(n+l)an+1-nan,

22

即an+l=(n+l)all+1-nan,

2

化簡得：n{n+2)a“+i=nan,

所以(〃+2)/M=〃4,即3=,

ann+2

&a112n—\

二%又一X-XX=1X￡X]Xx——,

axa2an_x34〃+1

化簡得：4=

n(n+1)

故｛%｝的通項公式⑸=77cgi

例題4.（2022?江蘇?南京市第十三中學高三階段練習）在條件：①S“=仆+f+2）；②4=］且

6

3s“=（”+2）%；③W=1且：%+1=（〃+3）5”中任選一個，補充在橫線上，并求解下面問題：已知數列｛%｝的

前"項和為S”,

(1)求數列｛凡｝的通項公式；

【答案】⑴見=七」

(1)若選①，由s./(〃+l)(〃+2),①

6

*.(n—l]n(n+l]-

〃22,〃eN*時，Sn_x=^——'―^——②

6

①-②…=

62'7

而4=&=1也滿足上式，:.a,="(w+1)

2

若選②,3s.=(〃+2”“,①

〃N2,〃wN*時，3S?_j=(n+l)a?_j,②

①一②=3%=(n+2)a,J-(n+l)an_l=("+1)%

=4〃+l

n>2,nGN,

??-1?-1

_a2a3%%_]345n+1n[n+\)

a2

01a2%n-\123n-1

若選③,“+i=3S〃①

〃22,〃￡N*時，(〃一l)a〃=3S〃_i，②

①一②n四什i一(〃-1)見=3a〃^>nan+i=(n+2)^(n>2,neN*)

〃=l時由①知a2=3%也滿足上式，.,?^^+l=5+2)凡，

當〃22,〃EN*時，(〃一1)為=(n+l)an_1,

?乜?幺n+1_n[n+\)

a~n-[~2

a｛%4n-\123

同類題型歸類練

1.（2022?全國,高三專題練習）已知數列｛4｝滿足4=1,凡=上，的卅=4心，則%的最小值為（）

16

A.2T2.2-10C.23D.T6

【答案】D

【詳解】?「4=1,G=77,anan+2=^an+l'

2lo

..0,2="，

%an

???數歹/也］是首項為a=2,公比為4的等比數列，

〔J?i16

-4±1>=—x4"T=4"-3

'anI6

當,22時，.義烏=4"一'4"-5*x『xl=4扣f"㈤,

an-\an-2a\

.二”=1時，4*—5同=i=q,=%=4短Tse?

.?.當w=3或w=4時，％取得最小值，最小值為=2a

故選:D

2.(2022?全國?高三專題練習)已知數列｛%｝的首項為L前"項和為S,,且科+i=("+2電,則數列｛q｝

的通項公式%=.

【答案】〃

SN〃+2

【詳解】解：:〃S.=(〃+2)S",.?.三=——

Sn〃

當“22時，S“=￡x￡x...x^xS|,

n+1nn-1n-26543,

=-----X-------X------X-------XX—X—X—X—X1

n—1n—2n—3n—44321

n(ji+1)

一_2~

1x2

當〃=1時，Si=三—=1=。1成立，

■■3〃一，

2

也、CHCC〃(〃+l)(n-l)n

當〃22時，an=Sn-Sn_x=----------=n,

當〃=1時，%=1滿足上式，

an=n.

故答案為：n

71+2

3.(2022?甘肅?寧縣第二中學高二階段練習)已知數列｛aw｝中，ai=l,前"項和S"=7一an.

(1)求42，43；

(2)求｛初｝的通項公式.

【答案】⑴3；6

(2)an=---

(1)

44

由S2=1〃2,得(〃l+〃2)=§。2

又，ui―■1,??“2=3〃/=3.

由S3=|'〃3,得3(〃/+。2+〃3)=5(23,

3/?、

..43=—十〃2)=6.

2

(2)

_c及+2〃+1

???當"22時,an=Sn—Sn_i=------an-------an_i,