專題07全等與相似三角形中的基本模型之十字架模型（原卷版）

專題07全等與相似三角形中的基本模型之十字架模型幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中幾何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。模型1.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點(diǎn)，且DE⊥AC，則.如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC，則.如圖3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點(diǎn)，且EF⊥MN，則.例1．（23·24上·成都市·九年級(jí)期中）如圖，把邊長(zhǎng)為，的矩形對(duì)折，使點(diǎn)和重合，求折痕的長(zhǎng)．例2．（22·23下·河北·九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，、、、分別為、、、邊上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：．例3．（22·23下·湖北·九年級(jí)期中）在矩形紙片中，，點(diǎn)、在矩形的邊上，連接，將紙片沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)在邊上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則______°，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則______°．（2）如圖②，若點(diǎn)在邊上，且點(diǎn)、分別在、邊上，則線段的取值范圍是______；（3）如圖③，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，線段、交于點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)度．

例4．（江蘇20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某數(shù)學(xué)課外興趣小組成員在研究下面三個(gè)有聯(lián)系的問題，請(qǐng)你幫助他們解決：（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，將矩形對(duì)折，使得點(diǎn)B、點(diǎn)D重疊，折痕為EF，過點(diǎn)F作AB的垂線交AB于點(diǎn)G，求EF的長(zhǎng)；（2）如圖2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，點(diǎn)G，H分別在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值．模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），則①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D為BC中點(diǎn)，BF⊥AD，則AF：FC=2：k2，（相似）例1.（2223.成都市.八年級(jí)期中）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P．下列結(jié)論：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正確的結(jié)論是________（填序號(hào)）例2．（22·23上·莆田·階段練習(xí)）如圖，等邊的邊長(zhǎng)是6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，連接，相交于點(diǎn)P．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的值．例3．（22·23上·濱州·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，D、E分別為邊上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，若，則的周長(zhǎng)為．例4．（22·23下·吉安·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)：(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)，且．求證：．下面是小涵同學(xué)的證明過程：證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同學(xué)認(rèn)為此題還可以得到另一個(gè)結(jié)論：的度數(shù)是；

遷移應(yīng)用：(2)如圖2，將圖1中的延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問題．①求證：；②若，求證：；拓展提升：(3)在等邊中，若點(diǎn)D，E分別在射線上，連接交于點(diǎn)F，且，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且使得．直線與直線交于點(diǎn)P，若，則的值為例5．（22·23下·重慶·九年級(jí)期中）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的值．例6．（22·23下·鞍山·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CD．過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連結(jié)DF，給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②若AB，則點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；③若，則S△ABC＝9S△BDF；④當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF＝DB；其中正確的結(jié)論序號(hào)是（

）

A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④例7．（22·23下·三明·期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)C作，垂足為M，交于點(diǎn)E．

(1)小亮通過探究發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說明理由；(2)如圖②，平分交于點(diǎn)N，小明通過度量猜想有，他的猜想正確嗎？請(qǐng)你幫他說明理由；(3)如圖③，連接，若D是的中點(diǎn)，小剛通過探究得到結(jié)論，請(qǐng)你幫他說明理由．例8．（遼寧20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期線上質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）（1）如圖1，四邊形ABCD為正方形，BF⊥AE，那么BF與AE相等嗎？為什么？（2）如圖2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，求AF：FC的值；（3）如圖3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，﹐E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)G，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接，則的面積是（

）A． B．25 C．20 D．152．（翠屏區(qū)20222023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在Rt△ABC中，，AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，過C作CE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，，連接FD；若AC=4，則CF+FD的值是（

）A． B．5 C． D．3．（2023.湖北九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，把沿直線翻折，得到，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若點(diǎn)在同一條直線上，，則的值為．

4．（22·23下·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，D為BC上一點(diǎn)且，連接AD，過點(diǎn)B作，垂足為E，BE的延長(zhǎng)線與AC交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為．5．（22·23上·臨沂·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CG⊥AD，分別交AD、AB于點(diǎn)G、E，與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線相交于點(diǎn)F，連接DE．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②若平分，則；③若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則；④若，則．其中正確的結(jié)論序號(hào)是．6．（23·24上·沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，D為中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)B，若，則的長(zhǎng)為．

7．（河南省鄭州市20232024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）綜合與實(shí)踐課上，夢(mèng)班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組對(duì)圖形中兩條互相垂直的線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí)，遇到以下問題，請(qǐng)你逐一加以解答：(1)操作判斷：如圖1，在正方形中，點(diǎn)，，，分別在邊，，，上，且，若，則的長(zhǎng)為________；如圖2，在矩形中，，點(diǎn)，，，分別在邊，，，上，且，若，則的長(zhǎng)為________；(2)遷移探究：如圖3，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，試證明；(3)拓展應(yīng)用：如圖4，在矩形中，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交矩形的邊于點(diǎn)．當(dāng)為的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

8．（22·23下·合肥·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)D、E分別在等邊的邊、上，且，連接、，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：的度數(shù)；(2)求證：；(3)求證：的值．

9．（22·23下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，等邊中，為中點(diǎn)，、分別是、上的兩點(diǎn)，．(1)求證：；(2)為上一點(diǎn)，若，求的值；遷移拓展：(3)如圖2，等腰中，為斜邊的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，．是上的點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，若，直接寫出的長(zhǎng)．

10．（21·22上·紅河·期末）在等邊△ABC中，D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，且AD=CE，連接BD、AE相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，=__________；(2)如圖2，求證：△AFD∽△BAD；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，猜想AF與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．11．（山西20222023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）綜合與實(shí)踐紙是我們學(xué)習(xí)工作最常用的紙張之一，其長(zhǎng)寬之比是，我們定義：長(zhǎng)寬之比是的矩形紙片稱為“標(biāo)準(zhǔn)紙”．操作判斷：如圖1所示，矩形紙片是一張“標(biāo)準(zhǔn)紙”，將紙片折疊一次，使點(diǎn)與重合，再展開，折痕交邊于點(diǎn)交邊于點(diǎn)，若求的長(zhǎng)，如圖2，在的基礎(chǔ)上，連接折痕交于點(diǎn)，連接判斷四邊形的形狀，并說明理由．探究發(fā)現(xiàn)：如圖3所示，在(1)和(2)的基礎(chǔ)上，展開紙片后，將紙片再折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，再展開，痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)交也是點(diǎn).然后將四邊形剪下，探究紙片是否為“標(biāo)準(zhǔn)紙”，說明理由．12．（湖南20222023學(xué)年九年級(jí)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）（1）問題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊、上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊、上，．①判斷與的數(shù)量關(guān)系：_________；②推斷：的值為_________；（無(wú)需證明）（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（為常數(shù)）.將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，求的值．13．（成都市20222023學(xué)年九年級(jí)月考數(shù)學(xué)試卷）（1）如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，求證：＝．（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為．（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值．14．（（22·23下·山東·九年級(jí)期中））探究證明：（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，AM⊥BN．求證：BN=AM；（2）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)M在BC上，EF⊥AM，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F．求證：；（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，求的值．15．（江蘇20222023學(xué)年九年級(jí)期末數(shù)學(xué)試題）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片．由于折痕所在的直線不同，折出的圖形也不同，所以各個(gè)圖形中所隱含的“基本圖形”也不同．我們可以通過發(fā)現(xiàn)基本圖形，來(lái)研究這些圖形中的幾何問題．

問題解決：（1）如圖1，將矩形紙片沿直線折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，連接，線段交于點(diǎn)，則：①與的關(guān)系為，線段與線段的關(guān)系為，小強(qiáng)量得，則．②小麗說：“圖1中的四邊形是菱形”，請(qǐng)你幫她證明．拓展延伸：（2）如圖2，矩形紙片中，，小明將矩形紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出線段的長(zhǎng)：．綜合探究：（3）如圖3，是一張矩形紙片，，在矩形的邊上取一點(diǎn)（不與和點(diǎn)重合），在邊上取一點(diǎn)（不與和點(diǎn)重合），將紙片沿折疊，使線段與線段交于點(diǎn)，得到，請(qǐng)你確定面積的取值范圍．16．（山東20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，若，則的值為_________；（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，若，則的值為_________；【類比探究】（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：【拓展延伸】（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，若，則的值為_________．17．（22·23下·蘇州·三模）【問題探究】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，同學(xué)們正在解決如下問題：如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，且于點(diǎn)，若，，求的值．(1)請(qǐng)你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．【初步運(yùn)用】(2)如圖2，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【靈活運(yùn)用】(3)如圖3，在四邊形中，，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，垂足為，則__________________．

18．（2023年湖北