專項34相似三角形-手拉手模型綜合應用(原卷版+解析)

專項34相似三角形-手拉手模型綜合應用模型一：有公共頂點的直角三角形模型二：有公共頂點的任意三角形【類型1：有公共頂點的直角三角形】【典例2】【問題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點C按順時針方向旋轉，連接BF，DE，請直接寫出BF與DE的數(shù)量關系與位置關系：；【類比探究】（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．①判斷線段BF與DE的數(shù)量關系，并說明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【變式1-1】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【變式1-2】如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點B按順時針方向旋轉，記旋轉角為α（0°≤α＜360°）．（1）問題發(fā)現(xiàn)當α＝0°時，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；（2）拓展探究試判斷：在旋轉過程中，（1）中的兩個結論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明：（3）問題解決當△BDE旋轉至A，D，E三點在同一條直線上時，請直接寫出△ACD的面積．【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【變式2-1】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．【變式2-2】（2022春?龍崗區(qū)期末）（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．易求∠DCE＝°；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，點D為BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE，類比題（1），請你猜想：線段BD、CD、DE之間的關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的長．【變式2-3】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；（2）如圖（2），D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長BD到點E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長．（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．1．（2021秋?邵陽縣期末）如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．2．（2021?長垣市模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．①線段AD，BE之間的數(shù)量關系為；②∠AEB的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接CE，求的值及∠BEC的度數(shù)；（3）解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點P滿足PD＝，且∠BPD＝90°，請直接寫出點C到直線BP的距離．3．（2022?南山區(qū)校級一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結果）．4.（2020秋?贛榆區(qū)期末）問題背景：（1）如圖1，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應用：（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，BD＝3，CD＝5，求的值；靈活運用：（3）如圖3，點A是△BCD內(nèi)一點，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD＝，直接寫出AD的長．專項34相似三角形-手拉手模型綜合應用模型一：有公共頂點的直角三角形模型二：有公共頂點的任意三角形【類型1：有公共頂點的直角三角形】【典例2】【問題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點C按順時針方向旋轉，連接BF，DE，請直接寫出BF與DE的數(shù)量關系與位置關系：；【類比探究】（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．①判斷線段BF與DE的數(shù)量關系，并說明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【解答】解：（1）如圖②，BF與CD交于點M，與DE交于點N，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案為：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如圖③，，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如圖③，連接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500【變式1-1】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：過A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．【變式1-2】如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點B按順時針方向旋轉，記旋轉角為α（0°≤α＜360°）．（1）問題發(fā)現(xiàn)當α＝0°時，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；（2）拓展探究試判斷：在旋轉過程中，（1）中的兩個結論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明：（3）問題解決當△BDE旋轉至A，D，E三點在同一條直線上時，請直接寫出△ACD的面積．【解答】解：（1）∵△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠B＝45°，∴直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為45°，故答案為：；45；（2）無變化，理由如下：延長AE，CD交于點F，CF交AB于點G，∵△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，又∵，∴△ABE∽△CBD，∴，∠BAE＝∠BCD，∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；（3）如圖，當DE在AB上方時，作AH⊥CD于H，由A，D，E三點在同一條直線上知，∠ADB＝90°，∴AD＝，由（2）知∠ADH＝45°，，∴AH＝＝，CD＝，∴S△ACD＝CD×AH＝＝12+，當DE在AB下方時，同理可得S△ACD＝×CD×AH＝＝12﹣，【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【變式2-1】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，＝．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵＝．∴△ABC∽△ADE．【變式2-2】（2022春?龍崗區(qū)期末）（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．易求∠DCE＝°；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，點D為BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE，類比題（1），請你猜想：線段BD、CD、DE之間的關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的長．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，故答案為：120；（2）DE2＝CD2+BD2；理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根據(jù)勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2；（3）由（2）知，BD＝CE，∵CE＝10，∴BD＝10，∵BC＝6，∴CD＝BD﹣BC＝4，由（2）知，∠BCE＝90°，∴∠DCE＝90°，根據(jù)勾股定理得，DE2＝CE2+CD2＝116，在Rt△ADE中，DE2＝2AE2＝116，∴AE＝．【變式2-3】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；（2）如圖（2），D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長BD到點E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長．（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．【解答】（1）證明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：過點A作AM⊥AB，過點D作DM⊥AD，兩條垂線交于M，連接BM，∴∠BAD+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，∴△ADM∽△CDB，∴，∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∴BM＝AC＝＝6，∴AM＝，∴AD＝AM＝；（3）解：由（1）同理可得，△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵AD＝AE，∴，∴＝3．1．（2021秋?邵陽縣期末）如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：過A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．2．（2021?長垣市模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．①線段AD，BE之間的數(shù)量關系為；②∠AEB的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接CE，求的值及∠BEC的度數(shù)；（3）解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點P滿足PD＝，且∠BPD＝90°，請直接寫出點C到直線BP的距離．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB＝AB，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴AD＝BE；②∵△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠ADC，∵∠CDE＝60°，∴∠ADC＝120°＝∠CEB，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；故答案為：①AD＝BE，②60°；（2）∵△ACB和△AED均為等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∠BAC＝45°，，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴，∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，∵∠AED＝90°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝∠ADB﹣∠AED＝135°﹣90°＝45°，故，∠BEC＝45°；（3）∵點P滿足PD＝，∴點P在以D為圓心，為半徑的圓上，∵∠BPD＝90°，∴點P在以BD為直徑的圓上，∴如圖3，點P是兩圓的交點，若點P在BD上方，連接BP，過點C作CH⊥BP于H，過點D作DE⊥CH于E，∵CD＝＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝2，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝3，∵∠BPD＝∠PHE＝∠DEH＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，四邊形PHED是矩形，∴PH＝DE，在△BCH和△CDE中，，∴△BCH≌△CDE，∴BH＝CE，CH＝DE，∴CH＝PH，∵BP＝3，BC＝，∴CH＝PH＝3﹣BH，在Rt△CHB中，BC2＝CH2+BH2，即（）2＝（3﹣BH）2+BH2，解得：BH＝或．∴點C到直線BP的距離為或．3．（2022?南山區(qū)校級一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點．若點D在直線BC上運動，連接OE，則在點D的運動過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結果）．【解答】解：（1）連接AF，∵四邊形AEFG、ABCD是正方形，∴∠GAF＝45°，∴點A、F、C三點共線，∴AC＝，AF＝AG，∴CF＝GD，故答案為：CF＝GD，45°；（2）仍然成立，連接AF，AC，∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，，∴△CAF∽△DAG，∴CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，∴∠COD＝∠CAD＝