第06講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（秋季講義）（人教A版2019選擇性）

第06講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【人教A版2019】模塊一模塊一兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行2．直線系方程過(guò)直線與的交點(diǎn)的直線系方程為，但不包括直線.【題型1直線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題】【例1.1】（2324高二下·全國(guó)·課堂例題）直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠?9C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠?9【解題思路】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解即得.【解答過(guò)程】由直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，得3(2k?3)?k[?(k+2)]≠0，即(k+9)(k?1)≠0，解得k≠1且k≠?9，所以實(shí)數(shù)k的值為k≠1且k≠?9.故選：D.【例1.2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若直線l:y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線lA．π6,πC．π3,π【解題思路】法一：聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)，根據(jù)所在象限求斜率k范圍，進(jìn)而確定傾斜角范圍；法二：確定直線2x+3y?6=0位于第一象限部分的端點(diǎn)，結(jié)合直線l與其交點(diǎn)在第一象限，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角范圍.【解答過(guò)程】法一：聯(lián)立兩直線方程，得y=kx?32x+3y?6=0，解得所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以33+62+3k設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tanθ>33，又θ∈[0,法二：由題意，直線l過(guò)定點(diǎn)P(0,?3設(shè)直線2x+3y?6=0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B(3,0),A(0,2).如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在第一象限，易知kPB

∴l(xiāng)PB的傾斜角為π6，lPA∴直線l的傾斜角的取值范圍是(π故選：D.【變式1.1】（2324高二上·重慶渝中·期中）已知直線2x+y+5=0與直線kx+2y=0互相垂直，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．?1,?3 B．?2,?1C．?12,?1【解題思路】先根據(jù)垂直關(guān)系求解出k的值，然后聯(lián)立直線方程可求交點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】因?yàn)?x+y+5=0與kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=?1，所以2x+y+5=0x?2y=0，解得x=?2所以交點(diǎn)坐標(biāo)為?2,?1，故選：B.【變式1.2】（2324高二下·上?！て谥校┲本€l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】分l1//l2、l1【解答過(guò)程】①l1//l2時(shí)，則②l1//l3時(shí)，則③l2//l3時(shí)，則④三條直線交于一點(diǎn)7x+2y+1=0mx+y=0x+my?1=0，解得m=2x=?則實(shí)數(shù)m可取值的集合為72,2故選：D.【題型2直線系方程】【例2.1】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)兩直線l1:x?3y+4=0和l2A．3x19y=0 B．19x3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【解題思路】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得4+5λ=0，解得λ=?4故所求直線方程為x?3y+4?45(2x+y+5)=0故選：D.【例2.2】（2324高二上·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線3x+2y+6=0和2x+5y?7=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（

）A．x+y+1=0 B．x?y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x?y+1=0或x+y+1=0【解題思路】設(shè)直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y?7)=0，求出其在兩坐標(biāo)軸上的截距，令其相等，解方程即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】解：設(shè)直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y?7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6?7λ=0令x=0，得y=7λ?6令y=0，得x=7λ?6由7λ?62+5λ得λ=13或所以直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.故選：C.【變式2.1】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)和兩直線l1:x+2y?2=0；l2:3x?2y+2=0交點(diǎn)的直線方程為【解題思路】設(shè)所求直線方程為x+2y?2+λ(3x?2y+2)=0，將點(diǎn)P代入方程，求得λ，即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)所求直線方程為x+2y?2+λ(3x?2y+2)=0，點(diǎn)P(1,0)在直線上，∴1?2+λ(3+2)=0，解得λ=1∴所求直線方程為x+2y?2+15×(3x?2y+2)=0故答案為：x+y?1=0.【變式2.2】（2324高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)直線l1:7x?3y+1=0與l2:x+4y?3=0的交點(diǎn)，且在y軸上截距為1的直線l的方程為【解題思路】設(shè)交點(diǎn)系方程，結(jié)合直線過(guò)(0,1)求方程即可.【解答過(guò)程】由題設(shè)，令直線l的方程為7x?3y+1+λ(x+4y?3)=0，且直線過(guò)(0,1)，所以0?3+1+λ(0+4?3)=0?λ=2，故直線l的方程為9x+5y?5=0.故答案為：9x+5y?5=0.模塊二模塊二距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.2．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式：設(shè)平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則.【題型3點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】【例3.1】（2324高二上·四川綿陽(yáng)·期末）已知A?2,0，B4,m兩點(diǎn)到直線l：x?y+1=0的距離相等，則m=（A．?2 B．6 C．?2或4 D．4或6【解題思路】求出點(diǎn)A到直線l的距離和點(diǎn)B到直線l的距離，二者相等求解方程即可.【解答過(guò)程】點(diǎn)A到直線l的距離為|?2+1|1點(diǎn)B到直線l的距離為|4?m+1|1因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離和點(diǎn)B到直線l的距離相等，所以|5?m|=1，所以m=4或6.故選：D.【例3.2】（2324高二下·福建泉州·期中）曲線C：xy=1x>0上到直線x+16y+2=0距離最短的點(diǎn)坐標(biāo)為（

A．14,4 C．?4,?14 【解題思路】設(shè)曲線C：xy=1x>0上的點(diǎn)A的坐標(biāo)為m,1m，m>0，然后表示出點(diǎn)A到直線x+16y+2=0的距離d【解答過(guò)程】設(shè)曲線C：xy=1x>0上的點(diǎn)A的坐標(biāo)為m,1m則點(diǎn)A到直線x+16y+2=0的距離d=m+當(dāng)且僅當(dāng)m=16m，即m=4時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為故選：B.【變式3.1】（2324高二上·重慶·期末）已知直線l1:mx?y?2m+4=0m∈R與直線l2:x+my?2m?4=0m∈R相交于點(diǎn)P，則P到直線A．22,42 B．23,43【解題思路】求出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得d=221+1【解答過(guò)程】由mx?y?2m+4=0x+my?2m?4=0，解得x=可得P2則P到直線x+y=0的距離d=2因?yàn)閙2+1≥1，所以1<1+1故選：C.【變式3.2】（2324高三上·陜西西安·期中）費(fèi)馬點(diǎn)是法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1643年提出的，根據(jù)費(fèi)馬的結(jié)論可得：當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，在△ABC內(nèi)部存在唯一的點(diǎn)P，使P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，且點(diǎn)P滿足：∠APB=∠BPC=∠APC=120°.在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，A2,0,B1,2,△AOB的費(fèi)馬點(diǎn)為P，則點(diǎn)B到直線A．2 B．3 C．3+12 【解題思路】確定P1,33，直線AP【解答過(guò)程】如圖所示：△OAB為等腰三角形，BC⊥x軸于C，C是AO中點(diǎn)，故∠OPC=∠APC=60°，PC=33

kAP=?33，直線AP的方程為故點(diǎn)B到直線PA的距離為3+6?2故選：D.【題型4兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】【例4.1】（2324高二上·新疆昌吉·階段練習(xí)）兩平行直線l1:x?2y?10A．522 B．3 C．5 【解題思路】利用平行直線間的距離公式即可得解.【解答過(guò)程】直線l1:x?2y?10直線l2:4y?2x?310所以兩平行直線之間的距離為310故選：A.【例4.2】（2324高二上·福建福州·期末）已知直線3x?4y+6=0與直線3x?4y+m=0間的距離為2，則m=（

）A．?8或4 B．4 C．?4或6 D．?4或16【解題思路】利用平行線間的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】由題意可知，直線3x?4y+6=0與直線3x?4y+m=0平行，所以m≠6，因?yàn)橹本€3x?4y+6=0與直線3x?4y+m=0間的距離為2，所以d=6?m32+?4故選：D.【變式4.1】（2324高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B分別是直線l1:2x+y?2=0與直線l2:4x+2y+1=0上的點(diǎn)，則A．0 B．5C．52 D．【解題思路】由兩平行直線間的距離定義和公式可求.【解答過(guò)程】由題意可知直線l1//l2，所以當(dāng)AB⊥l其最小值為平行直線l1與l直線l1的方程可化為l所以|AB故選：C.【變式4.2】（2324高二上·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）已知直線x?2y+m=0(m>0)與直線x+ny?3=0互相平行，且兩者之間的距離是5，則m+n等于（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【解題思路】利用兩條直線平行，及兩條平行線間的距離公式，可得方程組，解之即可得到結(jié)論.【解答過(guò)程】∵直線l1:x?2y+m=0(m>0)與直線l2∴n=?2|m+3|5∴m+n=0.故選：B.【題型5與距離有關(guān)的最值問(wèn)題】【例5.1】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2A．32 B．2 C．2 D．4【解題思路】由題意，知點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為x+y+c=0，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出c的值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意，知點(diǎn)M在直線l1與l設(shè)該直線方程為x+y+c=0，則c+72=c+5∴點(diǎn)M在直線x+y?6=0上，∴點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x+y?6=0的距離，即|6|2故選：A.【例5.2】（2024·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）已知a+b?7=0，c+d?5=0，則(a+c)2+(b+d)A．3 B．6 C．42 D．【解題思路】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，得到點(diǎn)A，B分別在直線x+y?7=0，x+y?5=0上，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則Ma+c2,b+d2，且點(diǎn)M在直線x+y?6=0【解答過(guò)程】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，由已知可得點(diǎn)A，B分別在直線x+y?7=0，x+y?5=0上，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則Ma+cM到原點(diǎn)的距離d=a+c依題意點(diǎn)M在直線x+y?6=0上，所以點(diǎn)M到原點(diǎn)的最小距離即為原點(diǎn)到直線x+y?6=0的距離，為0+0?62因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值為故選：D.【變式5.1】（2324高二上·天津武清·階段練習(xí)）已知直線方程為2?mx+(1)證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)m為何值時(shí)，點(diǎn)Q3,4【解題思路】（1）利用直線是直線系求出直線恒過(guò)定點(diǎn)即可；（2）點(diǎn)Q到直線的距離最大，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，求出距離就是最大值，并求出垂直時(shí)m即可．【解答過(guò)程】（1）由直線方程2?mx+2x+y+4+m?x+2y+3因?yàn)閤,y∈R，所以2x+y+4=0?x+2y+3=0，解得x=?1所以直線恒過(guò)定點(diǎn)?1,?2；（2）由（1）知，直線恒過(guò)定點(diǎn)P?1,?2則直線PQ與已知直線垂直時(shí)，點(diǎn)Q到已知直線距離最大，可知PQ就是所求最大值，直線PQ的方程為y?4?2?4=x?3因?yàn)橹本€PQ與已知直線2?mx+所以2?m×3?2m+1×2=0且PQ=【變式5.2】（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是點(diǎn)A(5,1)、B(4,3)與C(0,?1)，直線m:(k+2)x+(k?1)y+k?1=0????(1)求邊AC所在直線l1的傾斜角和邊AC上的高所在直線l(2)記d為點(diǎn)A到直線m的距離，試問(wèn):d是否存在最大值?若存在，求出d的最大值:若不存在，說(shuō)明理由;【解題思路】（1）求出直線AC的斜率，根據(jù)k=tanα即可求出傾斜角，由直線點(diǎn)斜式方程即可求出直線（2）根據(jù)直線m:(k+2)x+(k?1)y+k?1=0???(k∈R)只含一個(gè)參數(shù)，可以將其方程以參數(shù)進(jìn)行整理，然后運(yùn)用恒等式，求出定直線及交點(diǎn)，點(diǎn)A(5,1)到直線m的距離為d，則【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳(5,1)、C(0,?1)，所以kl所以直線l1的傾斜角為arctan因?yàn)閘1⊥l所以直線l2的方程為：y?3=?52（2）將直線m變形可得：kx+y+1對(duì)于k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程恒成立，則x+y+1=02x?y?1=0得x=0即直線m恒過(guò)兩直線x+y+1=0及2x?y?1=0的交點(diǎn)C(0,?1)，由圖象可知，對(duì)于任何一條過(guò)點(diǎn)C的直線，點(diǎn)A到它的距離不超過(guò)AC=29，即

又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)C(0,?1)且垂直于AC的直線方程是5x+2y+2=0，但無(wú)論k=3時(shí)，直線表示為5x+2y+2=0，此時(shí)距離最大d=29．所以，d模塊模塊三點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱2．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱3．兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(4)幾種特殊位置的對(duì)稱：點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a,b)x軸(a,b)y軸(a,b)y=x(b,a)y=x(b,a)x=m(m≠0)(2ma,b)y=n(n≠0)(a,2nb)4．直線關(guān)于直線的對(duì)稱5．六種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y).(2)點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y).(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x)，關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y,x).(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax,y)，關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2by).(5)點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax,2by).(6)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對(duì)稱點(diǎn)為(ky,kx)，關(guān)于直線xy=k的對(duì)稱點(diǎn)為(k+y,xk).【題型6點(diǎn)（或直線）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】【例6.1】（2324高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線2x+3y?6=0關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程為（

）A．3x?2y+2=0 B．2x+3y+7=0C．3x?2y?12=0 D．2x+3y?4=0【解題思路】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y,則其關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為【解答過(guò)程】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y,則其關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2?x,2?y)，以(2?x,2?y)代換原直線方程中的(x,y)得22?x故選：D.【例6.2】（2324高二上·全國(guó)·期末）點(diǎn)P1,2在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3【解題思路】根據(jù)兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求直線l上P1,2的對(duì)稱點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線l【解答過(guò)程】由題設(shè)P1,2關(guān)于0,1對(duì)稱的點(diǎn)為(x,y)，若該點(diǎn)必在l∴1+x2=02+y2=1，解得x=?1故選：C.【變式6.1】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線l:2x?3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A?1,?2對(duì)稱的直線l′的方程為2x?3y?9=0【解題思路】根據(jù)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)l′上的點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出關(guān)于A【解答過(guò)程】設(shè)Px,y為l′上任意一點(diǎn)，則Px,y關(guān)于點(diǎn)A因?yàn)镻′在直線l上，所以2?2?x?3?4?y+1=0故答案為：2x?3y?9=0.【變式6.2】（1920高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l1:2x+y+2=0與l2:4x+by+c=0關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱，則b+c=【解題思路】在直線l1:2x+y+2=0上取點(diǎn)M(?1,0)，N(0,?2)，則M，N關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱的點(diǎn)分別為M1(3,0),N【解答過(guò)程】在直線l1:2x+y+2=0上取點(diǎn)M(?1,0)，N(0,?2)，M，N關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱的點(diǎn)分別為∵點(diǎn)M1(3,0),N∴12+c=0,8+2b+c=0，解得c=?12,b=2，∴b+c=?10.故答案為：?10.【題型7點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱】【例7.1】（2324高二上·山東泰安·期末）點(diǎn)P2,3關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．?3,?2 B．?2,?3 C．?5,?4 D．?4,?5【解題思路】求出垂直于直線x+y+2=0且過(guò)點(diǎn)P的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).【解答過(guò)程】由題意，在直線x+y+2=0中，斜率為?1，垂直于直線x+y+2=0且過(guò)點(diǎn)P2,3的直線方程為y?3=1×x?2，即設(shè)兩直線交點(diǎn)為A，由y=x+1x+y+2=0，解得：x=?∴A?∴點(diǎn)P2,3關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P即P'故選：C.【例7.2】（2324高二上·河南·階段練習(xí)）在△ABC中，已知A(1,1),B(?3,?5)，若直線m:2x+y+6=0為∠ACB的平分線，則直線AC的方程為（

）A．x?2y+1=0 B．6x+7y?13=0C．2x+3y?5=0 D．x=1【解題思路】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱求解B關(guān)于直線m:2x+y+6=0的對(duì)稱點(diǎn)B′1,?3，即可根據(jù)兩點(diǎn)求解AB【解答過(guò)程】過(guò)B作B關(guān)于直線m:2x+y+6=0的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′在直線設(shè)B′m,n，根據(jù)BB′⊥m且B解得m=1,n=?3，所以B′又A(1,1)，所以直線AB′方程為x=1，故AC方程為故選：D.【變式7.1】（2324高二上·河南洛陽(yáng)·期中）已知直線3x+2y?6=0分別與x,y軸交于A,B兩點(diǎn)，若直線x+y?1=0上存在一點(diǎn)C，使CA+CB最小，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（A．23,13 B．65,?【解題思路】作點(diǎn)B關(guān)于直線x+y?1=0對(duì)稱的點(diǎn)B1，連接B1A交直線x+y?1=0于點(diǎn)C【解答過(guò)程】由題直線3x+2y?6=0分別與x,y軸交于A,B兩點(diǎn)，則A2,0設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y?1=0對(duì)稱的點(diǎn)為B1則y0?3x則直線AB聯(lián)立y=?1所以C2故選：A.【變式7.2】（2324高二·全國(guó)·課后作業(yè)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營(yíng)所在的位置為B?2,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)A13A．1453 B．5 C．1353 【解題思路】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，找出最短路程.【解答過(guò)程】先找出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設(shè)點(diǎn)B?2,0關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)為Cx1,y1，在直線x+2y=3上取點(diǎn)P，連接PC，則PB=PC．由題意可得y1x1+2??1故選：A．【題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】【例8.1】（2324高二上·陜西西安·期中）設(shè)直線l1:3x?2y?6=0，直線l2:x?y?4=0，則l1A．3x+2y?14=0 B．2x?3y?14=0C．3x+2y?6=0 D．2x?3y?6=0【解題思路】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)M(x,y)，M關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)N(x1,y1)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)列出方程組解出x【解答過(guò)程】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)M(x,y)，M關(guān)于直線l2:x?y?4=0的對(duì)稱點(diǎn)則y?y1x?∵點(diǎn)N(x1,y1∴3y+4?2x?4故選：B.【例8.2】（2324高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線l1A．x?2y?13=0 B．x?2y+2=0C．x?2y+4=0 D．x?2y?6=0【解題思路】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1：x?2y+m=0m>0與l2所以n=?2×2=?4，又兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0所以|2m+6|4+16=2即直線l1：x?2y+7=0，l2：設(shè)直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱的直線方程為則|?3?7|5=|?3?c|故所求直線方程為x?2y?13=0，故選：A.【變式8.1】（2324高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l:x?y?1=0，l1:x?y+3=0，（1）求直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線l（2）求直線l2關(guān)于直線l的對(duì)稱直線l【解題思路】（1）由于l1//l，所以l1′//l，可設(shè)l1′的方程為x?y+c=0，在直線l（2）l2與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,?1)也在l2′上，另取l2上不同于A的一點(diǎn)B(1,1)，求出B(1,1)關(guān)于【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閘1//l設(shè)直線l1′的方程為x?y+c=0（c≠3，且在直線l1上取點(diǎn)M(0,3)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M則{b?3a×1=?1即點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,?1)把點(diǎn)M′的坐標(biāo)代入直線l1′的方程，得4?(?1)+c=0所以直線l1′的方程為（2）由{2x?y?1=0x?y?1=0，得所以l2與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,?1)另取l2上不同于A的一點(diǎn)B(1,1)設(shè)B(1,1)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′則{m+12?即點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(2,0)所以過(guò)A(0,?1)與B′(2,0)的直線l2即x?2y?2=0．【變式8.2】（2324高二上·廣東廣州·期中）已知直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的兩點(diǎn)A8,?6(1)求以向量AB為方向向量且過(guò)點(diǎn)P2,?3的直線l(2)一束光線從點(diǎn)B射向y軸，反射后的光線過(guò)點(diǎn)A，求反射光線所在的直線方程.【解題思路】（1）求出直線的斜率，進(jìn)而求出方程；（2）求出B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求反射光線所在的直線方程．【解答過(guò)程】（1）由直線的方向向量與其斜率間的關(guān)系可知直線l的斜率為?4由直線方程的點(diǎn)斜式得直線l的方程為y+3=?4即4x+3y+1=0；（2）設(shè)B(2,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(m,n)，則點(diǎn)所以kA則直線AB即反射光線所在的直線方程為4x+5y?2=0．一、單選題1．（2324高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知直線2x+y?3=0與直線4x?my?3=0平行，則它們之間的距離是（

）A．355 B．510 C．3【解題思路】利用兩條直線平行的條件、平行直線的距離公式運(yùn)算即可得解.【解答過(guò)程】解：∵直線2x+y?3=0與直線4x?my?3=0平行，∴24=1∴直線4x+2y?3=0，又∵直線2x+y?3=0可化為4x+2y?6=0，∴兩平行線之間的距離d=?3?故選：C．2．（2324高二上·四川涼山·期末）經(jīng)過(guò)兩條直線2x?3y+10=0和3x+4y?2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x?y?1=0的直線方程為（

）A．x?2y?6=0 B．x+2y?2=0C．2x?y?3=0 D．2x+y?2=0【解題思路】首先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求出斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)方程即可.【解答過(guò)程】由題知：2x?3y+10=03x+4y?2=0，解得：x=?2y=2，交點(diǎn)直線2x?y?1=0的斜率為2，所求直線斜率為?1所求直線為：y?2=?12(x+2)故選：B.3．（2324高二上·湖南·期末）若三條不同的直線l1:ax+y+2=0，l2:x+y?1=0，l3A．{?1,1} B．{4,1} C．?12,1【解題思路】分線線平行和三線共點(diǎn)討論即可.【解答過(guò)程】若l1//l2，則?a=?1，解得a=1．若l1若l1，l2，l3交于一點(diǎn)，聯(lián)立方程組x+y?1=0代入ax+y+2=0，得?a+2+2=0，解得a=4，故a的取值集合為{4,?1,1}．故選：D.4．（2324高二上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）點(diǎn)P?2,?1到直線l：mx+y?m?1=0的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

A．13；3x+2y?5=0 B．11；3x+2y?5=0C．13；2x?3y+1=0 D．11；2x?3y+1=0【解題思路】求出直線l過(guò)定點(diǎn)A1,1.然后可知當(dāng)AP⊥l時(shí)，點(diǎn)P?2,?1到直線l：mx+y?m?1=0的距離最大，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出最值.根據(jù)斜率公式，以及兩條直線的位置關(guān)系得出直線【解答過(guò)程】將直線l：mx+y?m?1=0變形可得mx?1解x?1=0y?1=0可得x=1y=1，所以直線l過(guò)定點(diǎn)當(dāng)AP⊥l時(shí)，點(diǎn)P?2,?1到直線l：mx+y?m?1=0的距離最大，最大值為AP又kAP=?1?1?2?1=所以，23×?m所以，直線l的方程為32整理可得3x+2y?5=0.故選：A.5．（2425高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）已知直線l1:x+y+C=0與直線l2:Ax+By+C=0交于(1,1)，則原點(diǎn)到直線A．2 B．2 C．22 【解題思路】由交點(diǎn)在兩條直線，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得A,B,C的關(guān)系，再將關(guān)系變形代入點(diǎn)到直線的距離公式消元求最值可得.【解答過(guò)程】因?yàn)閮芍本€交于(1,1)，則1+1+C=0，即C=?2，且A+B+C=0，則A+B=2；由原點(diǎn)到直線l2的距離由A2則d≤2，當(dāng)且僅當(dāng)A=1時(shí)，d取最大值2，此時(shí)B=1即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.故選：B.6．（2324高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A4,1,B0,4，直線l:3x?y?1=0，點(diǎn)P在直線l上，則‖PB|?|PA||A．2 B．22 C．5 【解題思路】根據(jù)題意，作出點(diǎn)B(或點(diǎn)A)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′（A′），作直線AB′（A′B）與直線l相交，則交點(diǎn)則就是使‖PB|?|PA||取最大值的點(diǎn)P,求出點(diǎn)B′【解答過(guò)程】如圖，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P(原因如下：根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱圖形特征，知|PB|=|PB′|在直線l上另取點(diǎn)P1,連接P1A,P1不妨設(shè)點(diǎn)B′(m,n)，則有：n?4m=?1故‖PB|?|PA|故選：C.7．（2324高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則△PQR的周長(zhǎng)等于（

）A．853 C．415 D．【解題思路】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)對(duì)稱光線的對(duì)稱關(guān)系找到點(diǎn)P關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，則△PQR即為【解答過(guò)程】解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，所以直線BC的方程為x+y?4=0.設(shè)P(t,0)(0<t<4)，點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P易得P1(4,4?t)，易知直線P1P2所以直線RQ的方程為y=4?t設(shè)△ABC的重心為G，則G4所以43=4?t4+t?43所以P14,8結(jié)合對(duì)稱關(guān)系可知QP=QP所以△PQR的周長(zhǎng)即線段P14+4故選：A.8．（2324高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A2,4，軍營(yíng)所在位置為B6,2，河岸線所在直線的方程為A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6x?y?8=0B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為13C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是x?6y+6=0D．“將軍飲馬”走過(guò)的總路程為5【解題思路】由題意畫(huà)出圖形，則由三角形三邊關(guān)系可知點(diǎn)C為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，A,C,B1三點(diǎn)共線滿足題意，其中點(diǎn)B1為點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)于A，由根據(jù)BB1【解答過(guò)程】如圖所示：由題意可知A,B在x+y?3=0的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y?3=0的對(duì)稱點(diǎn)為B1A,C,B1三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)則a+62+b+22?3=0對(duì)于A，直線AB1的斜率為k=4??32?1對(duì)于B，聯(lián)立7x?10?y=0x+y?3=0，解得x=138對(duì)于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)C138,118，直線CB的斜率為k=2?11對(duì)于D，AC+CB=故選：B.二、多選題9．（2324高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知兩條平行直線m，n，直線m:3x+4y+2=0，直線n:6x+8y+a=0，直線m，n之間的距離為1，則a的值可以是（

）A．?8 B．?6 C．12 D．14【解題思路】將直線m:3x+4y+2=0化為6x+8y+4=0，代入兩平行線間距離公式分析求解.【解答過(guò)程】將直線m:3x+4y+2=0化為6x+8y+4=0，則m，n之間的距離d=|a?4|即|a?4|=10，解得a=14或?6．故選：BD．10．（2324高二上·福建莆田·期中）以下四個(gè)命題敘述正確的是（

）A．直線2x?y+1=0在x軸上的截距是1B．直線x+ky=0和2x+3y+8=0的交點(diǎn)為P，且P在直線x?y?1=0上，則k的值是?C．設(shè)點(diǎn)M(x,y)是直線x+y?2=0上的動(dòng)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則OM的最小值是2D．直線L1:ax+3y+1=0，L2【解題思路】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出k判斷B；求出點(diǎn)到直線的距離判斷C；驗(yàn)證判斷D.【解答過(guò)程】對(duì)于A，直線2x?y+1=0在x軸上的截距是?1對(duì)于B，由2x+3y+8=0x?y?1=0解得x=?1y=?2，即P(?1,?2)，則?1?2k=0，解得對(duì)于C，依題意，OMmin對(duì)于D，當(dāng)a=2時(shí)，直線L1故選：BC.11．（2324高二上·山西太原·期中）已知直線l1:x+y=0,lA．直線l1與l2B．直線l1、l2C．直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為D．直線l2關(guān)于直線l1【解題思路】通過(guò)聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過(guò)程】由x+y=02x?3y?6=0解得x=65直線l2:2x?3y?6=0與x軸的交點(diǎn)為3,0，與y軸的交點(diǎn)為直線l1過(guò)原點(diǎn)，由圖可知，直線l1、l2所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線過(guò)點(diǎn)?3,0所以直線l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為y?2=所以C選項(xiàng)正確.點(diǎn)3,0關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)是0,?3；點(diǎn)0,?2關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)是2,0，所以直線l2關(guān)于直線l1對(duì)稱的直線方程為即3x?2y?6=0，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題12．（2425高二上·上?！るS堂練習(xí)）若點(diǎn)P3,a到直線x+3y?4=0的距離為1，則實(shí)數(shù)a的值為33【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)P3,a到直線x+所以3+3a?412故答案為：?3313．（2425高二上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）經(jīng)過(guò)兩條直線3x+y?5=0與x?2y+3=0的交點(diǎn)，且在y軸上的截距是x軸上的3倍的直線方程為2x?y=0或3x+y?5=0.【解題思路】先求已知兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)所求直線方程為y?2=kx?1，求所求直線在x軸和y軸上的截距，由條件列方程求k【解答過(guò)程】聯(lián)立3x+y?5=0x?2y+3=0，解得x=1所以直線3x+y?5=0與x?2y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,2，由已知所求直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)所求直線方程為y?2=kx?1，其中k≠0令x=0，可得y=2?k，即所求直線在y軸上的截距為2?k，令y=0，可得x=1?2k，即所求直線在x軸上的截距為由已知可得2?k=31?所以k2所以k=?3或k=2，所以所求直線方程為3x+y?5=0或2x?y=0.故答案為：2x?y=0或3x+y?5=0.14．（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)a,b滿足4a?2b+3=0，則(a?2)2+(b+2)2?【解題思路】利用所求表達(dá)式的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式求解最小值即可．.【解答過(guò)程】由題可知，(a?2)2直線4x?2y+3=0上一點(diǎn)Pa,b到定點(diǎn)M如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線4x?2y+3=0對(duì)稱的點(diǎn)為N′則y0?2x當(dāng)N′,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，即PM?PN最大，最大值為所以(a?2)2+(b+2)故答案為：10．四、解答題15．（2324高二上·甘肅蘭州·期末）已知直線l1:ax?2y+2=0和直線(1)試判斷l(xiāng)1，l(2)若原點(diǎn)到l2距離最大，求此時(shí)的直線l【解題思路】（1）利用兩直線平行，斜率相等，得到a2=13?a，解得a=2或a=1，再檢驗(yàn)即可得出（2）根據(jù)條件，得出直線l2過(guò)定點(diǎn)(?1,0)，從而得到：當(dāng)OP⊥l2時(shí)，原點(diǎn)到l2的距離最大，進(jìn)而可得出直線【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閘1:ax?2y+2=0，所以直線l