專題07二次方程(原卷版+解析)

第07講二次方程理解配方法，能用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程能用公式法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程能用因式分解法數(shù)字系數(shù)的一元二次方程經(jīng)歷估計方程解的過程能用一元二次方程的根的判別式判別方程是否有實數(shù)根和兩個實根是否相等*了解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點1：一元二次方程及其根的應(yīng)用 2考點2：解一元二次方程（1） 9考點3：解一元二次方程（2） 18考點4：解一元二次方程（3） 21考點5：一元二次方程的應(yīng)用 30課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 41分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 41

考點1：一元二次方程及其根的應(yīng)用（1）定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．（2）一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．

｛一元二次方程的定義★｝下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．｛一元二次方程的一般形式★｝將方程化成的形式，則，，的值分別為A．1，6，10 B．1，， C．1，，10 D．1，6，｛一元二次方程的解★｝根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：11.11.21.30.842.29由此可判斷方程必有一個根滿足A． B． C． D．｛一元二次方程的解★｝已知是方程的一個根，則的值為A．2018 B．2019 C．2020 D．2021｛一元二次方程的解★｝若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有根為A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

｛一元二次方程的定義★｝關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．｛一元二次方程的一般形式★｝一元二次方程化為一般形式后二次項系數(shù)是．｛一元二次方程的解★★★｝若關(guān)于的方程滿足，稱此方程為“天宮”方程．若方程是“天宮”方程，求的值是．｛一元二次方程的解★★｝若是方程的一個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．（2021?黑龍江）關(guān)于的一元二次方程化為一般形式后不含一次項，則的值為A．0 B． C．3 D．（2021?長沙）若關(guān)于的方程的一個根為3，則的值為．（2020?畢節(jié)市）關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是．

考點2：解一元二次方程（1）（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.（2）因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.（3）公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2－4ac≥0）.（4）配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．

｛解一元二次方程-公式法★★｝是用公式法解一元二次方程得到的一個根，則滿足要求的方程是A． B． C． D．｛解一元二次方程★★｝已知關(guān)于的方程，，為常數(shù)，的兩根分別為，1，那么關(guān)于的方程的兩根分別為，．｛解一元二次方程-新定義★｝規(guī)定運算：對于函數(shù)為正整數(shù)），規(guī)定．例如：對于函數(shù)，有．已知函數(shù)，若，則的值為．｛解一元二次方程★★｝若一元二次方程的兩個根分別是與，則．｛解一元二次方程★｝（1）（配方法）；（2）（公式法）．｛解一元二次方程★★★｝如圖，在中，，，．以點為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．下列哪條線段的長度是方程的一個根A．線段的長 B．線段的長 C．線段的長 D．線段的長｛解一元二次方程-公式法★★｝是下列哪個一元二次方程的根A． B． C． D．｛解一元二次方程★｝一元二次方程的解是A． B． C．， D．，｛解一元二次方程★｝若將一元二次方程化成，為常數(shù)）的形式，則的值為．｛解一元二次方程★｝在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”和“★”，其規(guī)則為：☆，★，則方程3☆★12的解為．｛解一元二次方程★｝如圖，點在數(shù)軸的負(fù)半軸，點在數(shù)軸的正半軸，且點對應(yīng)的數(shù)是，點對應(yīng)的數(shù)是，已知，則的值為．｛解一元二次方程★｝解方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．｛解一元二次方程★｝根據(jù)要求解下列一元二次方程：（配方法）；（2）（公式法）．（2021?赤峰）一元二次方程，配方后可變形為A． B． C． D．（2020?揚州）方程的根是．（2019?威海）一元二次方程的解是．

考點3：解一元二次方程*-方法拓展（2）換元法1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．

｛解一元二次方程-換元法★★｝已知，則的值為A．0 B．4 C．4或 D．｛解一元二次方程-換元法★★★｝已知實數(shù)滿足，那么的值為A．或1 B．或5 C．1 D．5｛解一元二次方程-換元法★★｝，則的值是A．4 B． C．4或 D．或2

｛解一元二次方程-換元法★★★｝若，則代數(shù)式的值為．｛解一元二次方程-換元法★★｝已知，則的值為A．或1 B．1 C． D．7或｛解一元二次方程-換元法★｝已知，則．考點4：解一元二次方程（3）①根的判別式：（1）當(dāng)Δ＝＞0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）當(dāng)Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）當(dāng)Δ＝＜0時，原方程沒有實數(shù)根．（4）當(dāng)Δ＝≥0時，原方程有兩個實數(shù)根②根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）：基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是△≥0.

｛解一元二次方程-根的判別★★｝若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則滿足A． B．且 C．且 D．｛解一元二次方程-韋達(dá)定理★★｝已知，，是方程的兩根，則的值為．｛解一元二次方程-根的判別★★｝（2021?黃石）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．

｛解一元二次方程-根的判別★★★｝（2018?福建）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，下列判斷正確的是A．1一定不是關(guān)于的方程的根 B．0一定不是關(guān)于的方程的根 C．1和都是關(guān)于的方程的根 D．1和不都是關(guān)于的方程的根｛解一元二次方程-韋達(dá)定理★★｝若和是一元二次方程的兩根，那么代數(shù)式的值為．｛解一元二次方程-韋達(dá)定理★★｝已知、是方程的兩個根，則．｛解一元二次方程-根的判別★★｝已知：關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）如果為正整數(shù)，且方程的兩個根為不相等的正整數(shù)，求的值．｛解一元二次方程-根的判別★★｝已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程有一個負(fù)數(shù)根，求的取值范圍．（2021?煙臺）已知關(guān)于的一元二次方程，其中，在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則這個方程的根的情況是A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定（2021?荊州）定義新運算“※”：對于實數(shù)，，，．有，※，，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：，※，．若關(guān)于的方程，※，有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是A．且 B． C．且 D．（2021?遵義）在解一元二次方程時，小紅看錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是，1．小明看錯了一次項系數(shù)，得到方程的兩個根是5，，則原來的方程是A． B． C． D．（2020?內(nèi)江）已知關(guān)于的一元二次方程有一實數(shù)根為，則該方程的另一個實數(shù)根為．

考點5：一元二次方程的應(yīng)用應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價－成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.

｛★｝某口罩廠10月份的口罩產(chǎn)量為25萬只，由于市場需求量增大，到12月份第四季度的總產(chǎn)量達(dá)到91萬只，設(shè)該廠11，12月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．｛★★｝某商品原來按進(jìn)價百分之二十的利潤定價，進(jìn)價受原材料價格影響連續(xù)兩次下跌，售價相應(yīng)調(diào)整為原來售價的八折，利潤恰好與原來持平，設(shè)進(jìn)價兩次下跌的平均百分率為，則由題意，可列方程為A． B． C． D．｛★★｝為提高經(jīng)濟效益，某公司決定對一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價促銷．根據(jù)市場調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價定為200元時，每天可售出300個；若銷售單價每降低2元，每天可多售出4個．已知每個電子產(chǎn)品的固定成本為100元，如果降價后公司每天獲利30000元，那么這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為多少元？設(shè)這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為元，則所列方程為A． B． C． D．｛★★｝某漁具店銷售一種魚餌，每包成本價為10元，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價為20元時，每天可銷售40包，售價每上漲1元，銷量將減少3包．如果想獲利408元，設(shè)這種魚餌的售價上漲元，根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．｛★★｝在一塊寬為，長為的矩形空地上修建花壇，如果在四周留出同樣寬的小路，余下的部分修建花壇，使花壇的面積為，求小路的寬．設(shè)小路寬為，根據(jù)題意，所列方程正確的是A． B． C． D．｛★★｝如圖所示，某小區(qū)規(guī)劃在一個寬為，長為的矩形地面上，修筑同樣寬的三條道路，（互相垂直），余下部分種草，耕地面積為，設(shè)小路的寬為，那么滿足的方程是A． B． C． D．｛★｝有支球隊參加籃球比賽，共比賽66場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是A． B． C． D．｛★｝某校初三年級舉行班級籃球友誼賽，每兩個班都要進(jìn)行一場比賽，張老師告訴小麗總共要進(jìn)行120場比賽，小麗想通過列方程求出參與比賽的班級數(shù)．設(shè)參與比賽的班級有個，則所列方程正確的是A． B． C． D．

｛★★｝股市規(guī)定：股票每天的漲、跌幅均不超過，即當(dāng)漲了原價的后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r的后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價，若這兩天此股票股價的平均增長率為，則滿足的方程是．｛★｝某口罩生產(chǎn)廠家2019年產(chǎn)量為100萬個，為支持防疫工作，加大生產(chǎn)，2021年口罩產(chǎn)量為196萬個，求該口罩廠家產(chǎn)量的年平均增長率．設(shè)該口罩廠家產(chǎn)量的年平均增長率為，則根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．｛★｝某超市銷售一種品牌童裝，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面對2008年下半年全球的金融危機，超市采用降價措施，每件童裝每降價2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天銷售童裝利潤為1000元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？（列方程，并化為一般形式）．｛★｝某商店的一種服裝，每件成本為50元．經(jīng)市場調(diào)研，售價為80元時，可銷售100件；售價每提高1元，銷售量將減少5件；售價每降低1元，銷售量將增加5件．已知商店銷售這批服裝獲利2000元，問這種服裝每件售價是多少元？｛★｝商場某種新商品每件進(jìn)價是40元，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件商品售價50元時，每天可銷售500件．當(dāng)每件商品售價高于50元時，每漲價1元，日銷售量就減少10件．規(guī)定售價不得超過75元．若商場每天盈利為8000元，求每件商品的售價．｛★｝如圖，某建筑工程隊在一堵墻邊上用20米長的鐵欄圍成一個面積為60平方米的長方形倉庫，已知可利用的墻長是11米，鐵柵欄只圍三邊，且在正下方要造一個2米寬的門．問：以上要求所圍成長方形的兩條鄰邊的長分別是多少米？｛★｝在學(xué)校勞動基地里有一塊長50米、寬30米的矩形試驗田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道，如圖．已知這塊矩形試驗田中種植的面積為1421平方米，小道的寬為多少米？｛★｝2020年，新型冠狀病毒感染的肺炎疫情牽動著全國人民的心．雅禮中學(xué)某學(xué)生寫了一份預(yù)防新型冠狀病毒倡議書在微信朋友圈傳播，規(guī)則為：將倡議書發(fā)表在自己的朋友圈，再邀請個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，又邀請個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，以此類推，已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有931人參與了轉(zhuǎn)發(fā)活動，則方程列為A． B． C． D．｛★｝某小組各人之間互贈禮物一件，全組共贈送禮物182件，如果全組共有名同學(xué)，則根據(jù)題意所列方程為A． B． C． D．（2021?興安盟）有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人，可列方程為A． B． C． D．（2021?福建）某市2018年底森林覆蓋率為．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2020年底森林覆蓋率達(dá)到，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，那么，符合題意的方程是A． B． C． D．（2020?衡陽）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為A． B． C． D．（2019?宜賓）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價65元，經(jīng)市場預(yù)測，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價格將下降，第二季度又將回升．若要使半年以后的銷售利潤不變，設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為，根據(jù)題意可列方程是．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．（2022秋?南溪區(qū)期中）下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是A． B． C． D．2．（2022?蜀山區(qū)校級三模）當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程的根的情況為A．有兩個實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根3．（2022秋?句容市月考）小兵在暑假調(diào)查了某工廠得知，該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，設(shè)2020年至2022年該產(chǎn)品的預(yù)計年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程得A． B． C． D．4．（2022春?嵐山區(qū)期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是A． B．2 C．0 D．或25．（2022春?招遠(yuǎn)市期末）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2020 B．2021 C．2022 D．20236．（2022春?福山區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法．以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是．同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個構(gòu)圖中，能正確說明方程解法的構(gòu)圖是A． B． C． D．7．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為，那么滿足的方程是A． B． C． D．8．（2022春?瑤海區(qū)期末）如果關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為A． B．1 C． D．29．（2022秋?烏魯木齊期中）如圖所示，某景區(qū)內(nèi)有一塊長方形油菜花田地（單位：，現(xiàn)在其中修建一條觀花道（陰影部分）供游人賞花，要求觀花道的面積占長方形油菜花田地面積的．設(shè)觀花道的直角邊（如圖所示）為，則可列方程為A． B． C． D．10．（2022?大方縣二模）春意復(fù)蘇，鄭州綠化工程正在如火如荼地進(jìn)行著，某工程隊計劃將一塊長，寬的矩形場地建設(shè)成綠化廣場如圖，廣場內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其余區(qū)域進(jìn)行綠化．若使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的，求小路的寬，設(shè)小路的寬為，則可列方程A． B． C． D．1．（2022秋?建鄴區(qū)期中）關(guān)于的一元二次方程一個實數(shù)根為2022，則方程一定有實數(shù)根A．2022 B． C． D．2．（2022春?錢塘區(qū)期末）已知關(guān)于的方程，則下列說法正確的是A．不存在的值，使得方程有兩個相等的實數(shù)解 B．至少存在一個的值，使得方程沒有實數(shù)解 C．無論為何值，方程總有一個固定不變的實數(shù)根 D．無論為何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根3．（2022?安國市一模）可以用如圖所示的圖形研究方程的解：在中，，，，以點為圓心作弧交于點，使，則該方程的一個正根是A．的長 B．的長 C．的長 D．的長4．（2022?鹿城區(qū)校級模擬）下面是某同學(xué)在一次測驗中解答的填空題：（1）若，則（2）方程的解為．（3）若直角三角形有兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為5．其中答案錯誤的題目個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2022春?咸陽月考）對于已知，則A．2 B． C． D．6．（2022春?淄川區(qū)期中）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③7．（2022?蕪湖一模）已知實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是A．7 B． C．7或 D．或38．（2022春?蜀山區(qū)校級月考）若實數(shù)滿足方程，那么的值為A．或4 B．4 C． D．2或9．（2022?章丘區(qū)二模）已知等腰的底邊長為3，兩腰長恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的周長為A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．810．（2022秋?武侯區(qū)校級月考）已知關(guān)于的方程．若等腰三角形的一邊長，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長．11．（2022秋?寬甸縣校級月考）對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確的．．只有①②④．只有①②③．①②③④．只有①②12．（2022秋?順德區(qū)期中）若關(guān)于的方程的兩根滿足，，，均為常數(shù)，，則關(guān)于的方程的兩根，滿足的取值范圍分別是．1．（2021秋?孟村縣期末）如圖，在中，，，．點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點隨即停止．當(dāng)四邊形的面積為時，點的運動時間為A． B．或 C． D．或2．（2022秋?來安縣期中）設(shè)，，為實數(shù)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是A． B．且 C．且 D．且3．（2016?雁峰區(qū)校級自主招生）如圖，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，設(shè)，則A． B． C． D．4．（2019秋?金牛區(qū)校級期中）若，，是實數(shù)，且，則．5．（2016?濰坊模擬）如圖，將矩形沿圖中虛線（其中剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼一個正方形．若，則的值等于．6．（2015?成都）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是（寫出所有正確說法的序號）①方程是倍根方程．②若是倍根方程，則；③若點在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根為．7．（2020?大冶市模擬）已知關(guān)于的一元二次方程；（1）求證：不論任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩根為、且滿足，求的值．8．（2019春?九龍坡區(qū)校級月考）每年的3月8日是國際勞動婦女節(jié)，是世界各國婦女爭取和平、平等、發(fā)展的節(jié)日，沙坪壩某商店抓住這一機會，將、兩種巧克力進(jìn)行降價促銷活動，在這一天前來購買這兩種巧克力的顧客共有400名，每名顧客均購買了一盒巧克力，其中、兩種的巧克力的銷售單價分別為90元和50元．（1）若選擇購買種巧克力的人數(shù)不超過購買種巧克力數(shù)的0.6倍．求至少有多少人選擇購買種巧克力？（2）“七夕”節(jié)是中國的情人節(jié)，該商店估計當(dāng)天購買巧克力的人會比較多，于是提高了種巧克力的售價，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“七夕”節(jié)當(dāng)天前來購買巧克力的顧客人數(shù)出現(xiàn)了下降，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)與（1）問中選擇種巧克力的人數(shù)最少時相比，種巧克力每上漲3元，購買種巧克力的人數(shù)會下降5人，同時購買種巧克力的人數(shù)也下降3人，但是種巧克力的售價沒變，最終“七夕”節(jié)期間兩種巧克力的總銷售額與（1）問中選擇種巧克力的顧客最少時的兩種巧克力的總銷售額持平，求“七夕”節(jié)當(dāng)天種巧克力的售價．9．（2019春?北碚區(qū)校級月考）西南大學(xué)銀翔實驗中學(xué)第二屆繽紛科技節(jié)于2019年5月份隆重舉行，主題：綠色體驗成長玩出你的稀缺競爭力”，本屆繽紛科技節(jié)有展示類、體驗類、競賽類共40多個項目月份，學(xué)校對活動中所需物品統(tǒng)一購，其中某一體驗類項目需要、兩種材料，已知種材料單價32元套，種材料單價24元套，活動需要、兩種材料共50套計劃購買、兩種材料總費用不超過1392元．（1）若按計劃采購，最多能購買種材料多少套？（2）在實際來購過程中，受多方面因素的影響，與（1）中最多購買種材料的計劃相比，實際采購種材料數(shù)量的增加了，種材料的數(shù)量減少、材料的數(shù)量均為整數(shù)），實際采購種材料的單價減少了，種材料的單價增加，且實際總費用比按（1）中最多購買種材料的總費用多了16元，求．第07講二次方程理解配方法，能用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程能用公式法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程能用因式分解法數(shù)字系數(shù)的一元二次方程經(jīng)歷估計方程解的過程能用一元二次方程的根的判別式判別方程是否有實數(shù)根和兩個實根是否相等*了解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點1：一元二次方程及其根的應(yīng)用 2考點2：解一元二次方程（1） 9考點3：解一元二次方程（2） 18考點4：解一元二次方程（3） 21考點5：一元二次方程的應(yīng)用 30課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 41分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 41

考點1：一元二次方程及其根的應(yīng)用（1）定義只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．（2）一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．

｛一元二次方程的定義★｝下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：．方程整理，得，是一元一次方程，故本選項不符合題意；．是分式方程，故本選項不符合題意；．是一元二次方程，故本選項符合題意；．當(dāng)時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．｛一元二次方程的一般形式★｝將方程化成的形式，則，，的值分別為A．1，6，10 B．1，， C．1，，10 D．1，6，【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出、、的值即可．【解答】解：，，，，所以，，，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：找各項系數(shù)時帶著前面的符號．｛一元二次方程的解★｝根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：11.11.21.30.842.29由此可判斷方程必有一個根滿足A． B． C． D．【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到時，，時，，則可判斷時，有一個根滿足．【解答】解：時，，時，，時，，即方程必有一個解滿足，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．｛一元二次方程的解★｝已知是方程的一個根，則的值為A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【分析】由是方程的一個根，將代入方程，得到關(guān)于的等式，變形后代入所求式子中計算，即可求出值．【解答】解：是方程的一個根，，，即，，則．故選：．【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．｛一元二次方程的解★｝若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有根為A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】對于一元二次方程，設(shè)得到，利用有一個根為得到，從而可判斷一元二次方程必有一根為．【解答】解：對于一元二次方程即，設(shè)，所以，而關(guān)于的一元二次方程有一根為，所以有一個根為，則，解得，所以一元二次方程必有一根為．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

｛一元二次方程的定義★｝關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）只含有一個未知數(shù)．【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，，解得．故答案為：．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．｛一元二次方程的一般形式★｝一元二次方程化為一般形式后二次項系數(shù)是3．【分析】首先將方程化為一般形式：，然后根據(jù)此一般形式，即可求得答案．【解答】解：方程化成一般形式是，二次項系數(shù)為3．故答案為：3．【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：，，是常數(shù)且，其中，，分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．｛一元二次方程的解★★★｝若關(guān)于的方程滿足，稱此方程為“天宮”方程．若方程是“天宮”方程，求的值是．【分析】利用新定義得到“天宮”方程的一個解為，則，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據(jù)題意得“天宮”方程的一個解為，程是“天宮”方程，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法可簡化計算．｛一元二次方程的解★★｝若是方程的一個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為10．【分析】根據(jù)一元二次方程解的意義將代入求出，進(jìn)而將方程兩邊同時除以進(jìn)而得出答案．【解答】解：是方程的一個實數(shù)根，，，故，則．故答案為：10．【點評】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用，能理解一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵．（2021?黑龍江）關(guān)于的一元二次方程化為一般形式后不含一次項，則的值為A．0 B． C．3 D．【分析】把原方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義、一次項的概念列式計算即可．【解答】解：，，由題意得：，，解得：，故選：．【點評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次項系數(shù)不為0以及一次項的概念是解題的關(guān)鍵．（2021?長沙）若關(guān)于的方程的一個根為3，則的值為．【分析】把代入方程得出，求出方程的解即可．【解答】解：把代入方程得：，解得：，故答案為：．【點評】本題考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵．（2020?畢節(jié)市）關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是1．【分析】把代入方程計算，檢驗即可求出的值．【解答】解：把代入方程得：，，可得或，解得：或，當(dāng)時，，此時方程不是一元二次方程，舍去；則的值為1．故答案為：1．【點評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵．

考點2：解一元二次方程（1）（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.（2）因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.（3）公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2－4ac≥0）.（4）配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．

｛解一元二次方程-公式法★★｝是用公式法解一元二次方程得到的一個根，則滿足要求的方程是A． B． C． D．【分析】根據(jù)求根公式得到，，，即可得到結(jié)論．【解答】解：是用公式法解一元二次方程得到的一個根，，，，故選：．【點評】本題考查公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握應(yīng)用公式法的條件和要求．｛解一元二次方程★★｝已知關(guān)于的方程，，為常數(shù)，的兩根分別為，1，那么關(guān)于的方程的兩根分別為，，．【分析】將新方程中類比原方程中的即可得到兩個關(guān)于的方程，解之即可．根據(jù)方程，，為常數(shù)，的兩根分別為，1，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到的值，【解答】解：根據(jù)題意知，或，解得，，方程，，為常數(shù)，的兩根分別為，1，或，或，，解得，，故答案為：，；0.5．【點評】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元二次方程的方法．｛解一元二次方程-新定義★｝規(guī)定運算：對于函數(shù)為正整數(shù)），規(guī)定．例如：對于函數(shù)，有．已知函數(shù)，若，則的值為．【分析】根據(jù)新定義得到，然后利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得，即，，故答案為：．【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．也考查了閱讀理解能力，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★★｝若一元二次方程的兩個根分別是與，則．【分析】根據(jù)直接開方法即可求出答案．【解答】解：由題意可知：，，，，，故答案為：．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛解一元二次方程★｝（1）（配方法）；（2）（公式法）．【分析】（1）移項，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1），，，即，，，．（2），，，，，△，，，．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★★★｝如圖，在中，，，．以點為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．下列哪條線段的長度是方程的一個根A．線段的長 B．線段的長 C．線段的長 D．線段的長【分析】根據(jù)勾股定理求出，利用求根公式解方程，比較即可．【解答】解：由勾股定理得，，，解方程得，線段的長是方程的一個根．故選：．【點評】本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程-公式法★★｝是下列哪個一元二次方程的根A． B． C． D．【分析】根據(jù)求根公式逐一列出每個方程根的算式即可得出答案．【解答】解：．此方程的解為，不符合題意；．此方程的解為，不符合題意；．此方程的解為，符合題意；．此方程的解為，不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★｝一元二次方程的解是A． B． C．， D．，【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，則，或，解得，，故選：．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★｝若將一元二次方程化成，為常數(shù)）的形式，則的值為．【分析】移項，配方，再求出、的值，最后求出即可．【解答】解：，，配方得：，，，，，故答案為：11．【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程和求代數(shù)式的值，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★｝在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”和“★”，其規(guī)則為：☆，★，則方程3☆★12的解為．【分析】根據(jù)題中的新定義將方程化為普通方程，利用完全平方公式將方程左邊的多項式分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：3☆，★，所求方程化為：，即，解得：．故答案為：【點評】此題考查了解一元二次方程配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．｛解一元二次方程★｝如圖，點在數(shù)軸的負(fù)半軸，點在數(shù)軸的正半軸，且點對應(yīng)的數(shù)是，點對應(yīng)的數(shù)是，已知，則的值為．【分析】先根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式列出關(guān)于的方程，解之求出的值，再結(jié)合、的位置取舍即可．【解答】解：根據(jù)題意，得：，整理，得：，，，，△，則，，，點在數(shù)軸的負(fù)半軸，，即，，故答案為：．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★｝解方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．【分析】（1）將方程變形為，再將二次項系數(shù)化為1，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得；（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．【解答】解：（1），，，，即，，，；（2）整理成一般式，得：，，，，△，，，．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程★｝根據(jù)要求解下列一元二次方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．【分析】（1）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1），移項，得，配方，得，則，，，；（2），整理得，，，，，△，，，．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．（2021?赤峰）一元二次方程，配方后可變形為A． B． C． D．【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：，，則，即，故選：．【點評】本題主要考查解一元二次方程—配方法，將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式即可得．（2020?揚州）方程的根是，．【分析】根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進(jìn)行計算即可．【解答】解：，，，．故答案為：，．【點評】此題考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移到等號的右邊，化成的形式，利用數(shù)的開方直接求解，本題直接開方求解即可．（2019?威海）一元二次方程的解是，．【分析】直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：，則，故，解得：，．故答案為：，．【點評】此題主要考查了公式法解方程，正確掌握公式法是解題關(guān)鍵．

考點3：解一元二次方程*-方法拓展（2）換元法1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．

｛解一元二次方程-換元法★★｝已知，則的值為A．0 B．4 C．4或 D．【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．【解答】解：設(shè)，則原方程換元為，，解得：，，即或（不合題意，舍去），．故選：．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程-換元法★★★｝已知實數(shù)滿足，那么的值為A．或1 B．或5 C．1 D．5【分析】設(shè)，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：設(shè)，則．整理，得．解得（舍去）或．即的值為1．故選：．【點評】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．｛解一元二次方程-換元法★★｝，則的值是A．4 B． C．4或 D．或2【分析】本題可設(shè)，則原式可化為，對方程去括號得，解方程即可求得的值，即的值．【解答】解：設(shè)，則原方程可化為：即解得：或．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．

｛解一元二次方程-換元法★★★｝若，則代數(shù)式的值為3．【分析】設(shè)，則原方程化為，求出的值，再求出的值，最后得出答案即可．【解答】解：，設(shè)，則原方程化為：，解得：，當(dāng)時，，解得：或；當(dāng)時，，，△，此方程無解；所以的值是3，故答案為：3．【點評】本題考查了解一元二次方程，能性質(zhì)適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法，換元法等．｛解一元二次方程-換元法★★｝已知，則的值為A．或1 B．1 C． D．7或【分析】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為，利用因式分解法解方程即可．【解答】解：設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為，整理，得．所以或．解得（舍去）或．所以的值為1．故選：．【點評】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．｛解一元二次方程-換元法★｝已知，則3．【分析】設(shè)，則由原方程得到：，利用因式分解法解方程即可．【解答】解：設(shè)，則，整理，得，所以，解得．即：．故答案是：3．【點評】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．考點4：解一元二次方程（3）①根的判別式：（1）當(dāng)Δ＝＞0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）當(dāng)Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）當(dāng)Δ＝＜0時，原方程沒有實數(shù)根．（4）當(dāng)Δ＝≥0時，原方程有兩個實數(shù)根②根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）：基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是△≥0.

｛解一元二次方程-根的判別★★｝若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則滿足A． B．且 C．且 D．【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，△，，綜上所述，，故選：．【點評】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛解一元二次方程-韋達(dá)定理★★｝已知，，是方程的兩根，則的值為13．【分析】先把方程化為一般式得，再據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，接著利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：方程化為一般式得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以．故答案為：13．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．｛解一元二次方程-根的判別★★｝（2021?黃石）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△，然后解關(guān)于的不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，利用整體代入的方法得到，然后解關(guān)于的方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得△，解得．故的取值范圍是；（2）根據(jù)題意得，，，，即，解得，（舍去）．故的值為．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．

｛解一元二次方程-根的判別★★★｝（2018?福建）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，下列判斷正確的是A．1一定不是關(guān)于的方程的根 B．0一定不是關(guān)于的方程的根 C．1和都是關(guān)于的方程的根 D．1和不都是關(guān)于的方程的根【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根可得出或，當(dāng)時，是方程的根；當(dāng)時，1是方程的根．再結(jié)合，可得出1和不都是關(guān)于的方程的根．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，或．當(dāng)時，有，此時是方程的根；當(dāng)時，有，此時1是方程的根．，，和不都是關(guān)于的方程的根．故選：．【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．｛解一元二次方程-韋達(dá)定理★★｝若和是一元二次方程的兩根，那么代數(shù)式的值為．【分析】根據(jù)韋達(dá)定理計算即可得到和，再把變形，用和表示，然后整體代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：和是一元二次方程的兩根，，，．故答案為：．【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為，，則，．｛解一元二次方程-韋達(dá)定理★★｝已知、是方程的兩個根，則3．【分析】先利用一元二次方程根的定義得到，則原式可變形為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：是方程的根，，，，、是方程的兩個根，，．故答案為3．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，，．｛解一元二次方程-根的判別★★｝已知：關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）如果為正整數(shù)，且方程的兩個根為不相等的正整數(shù)，求的值．【分析】（1）計算判別式的值得到△，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根據(jù)方程的兩個根為不相等的正整數(shù)結(jié)合為正整數(shù)，即可求出的值．【解答】（1）證明：由一元二次方程得，△，方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：，即，解得：，．方程的兩個根為不相等的正整數(shù)，或5．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解．｛解一元二次方程-根的判別★★｝已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程有一個負(fù)數(shù)根，求的取值范圍．【分析】（1）進(jìn)行判別式的值得到△，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出答案即可．【解答】（1）證明：依題意，得△．，方程總有兩個實數(shù)根；（2），可得，解得，，若方程有一個根為負(fù)數(shù)，則，故．【點評】本題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（2021?煙臺）已知關(guān)于的一元二次方程，其中，在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則這個方程的根的情況是A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【分析】先由數(shù)軸得出，與0的關(guān)系，再計算判別式的值即可判斷．【解答】解：由數(shù)軸得，，，，△，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．（2021?荊州）定義新運算“※”：對于實數(shù)，，，．有，※，，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：，※，．若關(guān)于的方程，※，有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是A．且 B． C．且 D．【分析】先根據(jù)新定義得到，再整理為一般式，接著根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且△，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得，整理得，因為方程有兩個實數(shù)解，所以且△，解得且．故選：．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．把有新定義運算的方程化為一元二次方程的一般式是解決問題的關(guān)鍵．（2021?遵義）在解一元二次方程時，小紅看錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是，1．小明看錯了一次項系數(shù)，得到方程的兩個根是5，，則原來的方程是A． B． C． D．【分析】先設(shè)這個方程的兩根是、，根據(jù)兩個根是，1和兩個根是5，，得出，，從而得出符合題意的方程．【解答】解：設(shè)此方程的兩個根是、，根據(jù)題意得：，，則以、為根的一元二次方程是．故選：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．（2020?內(nèi)江）已知關(guān)于的一元二次方程有一實數(shù)根為，則該方程的另一個實數(shù)根為．【分析】把代入原方程求出的值，進(jìn)而確定關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程的另一個根．【解答】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，即．把代入原方程得，，即：，解得，，（不合題意舍去），當(dāng)時，原方程變?yōu)椋海?，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，又，故答案為：．【點評】本題考查一元二次方程根的意義和解法，求解一元二次方程是得出正確答案的關(guān)鍵．

考點5：一元二次方程的應(yīng)用應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價－成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.

｛★｝某口罩廠10月份的口罩產(chǎn)量為25萬只，由于市場需求量增大，到12月份第四季度的總產(chǎn)量達(dá)到91萬只，設(shè)該廠11，12月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為，根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)該廠11，12月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為，根據(jù)該廠10月份及第四季度的總產(chǎn)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)該廠11，12月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為，則11月份的口罩產(chǎn)量為，12月份的口罩產(chǎn)量為，依題意，得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★★｝某商品原來按進(jìn)價百分之二十的利潤定價，進(jìn)價受原材料價格影響連續(xù)兩次下跌，售價相應(yīng)調(diào)整為原來售價的八折，利潤恰好與原來持平，設(shè)進(jìn)價兩次下跌的平均百分率為，則由題意，可列方程為A． B． C． D．【分析】利用利潤銷售價格進(jìn)價，結(jié)合調(diào)整售價后獲得的利潤恰好與原來持平，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：，故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★★｝為提高經(jīng)濟效益，某公司決定對一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價促銷．根據(jù)市場調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價定為200元時，每天可售出300個；若銷售單價每降低2元，每天可多售出4個．已知每個電子產(chǎn)品的固定成本為100元，如果降價后公司每天獲利30000元，那么這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為多少元？設(shè)這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為元，則所列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為元，則每天可售出個，根據(jù)總利潤每個的利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程．【解答】解：設(shè)這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為元，則每天可售出個，依題意得：，故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★★｝某漁具店銷售一種魚餌，每包成本價為10元，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價為20元時，每天可銷售40包，售價每上漲1元，銷量將減少3包．如果想獲利408元，設(shè)這種魚餌的售價上漲元，根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)這種魚餌的售價上漲元，則每包的銷售利潤為元，每天可銷售包，利用每天的銷售利潤每包的銷售利潤每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)這種魚餌的售價上漲元，則每包的銷售利潤為元，每天可銷售包，依題意得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★★｝在一塊寬為，長為的矩形空地上修建花壇，如果在四周留出同樣寬的小路，余下的部分修建花壇，使花壇的面積為，求小路的寬．設(shè)小路寬為，根據(jù)題意，所列方程正確的是A． B． C． D．【分析】設(shè)小路寬為米，則花壇的長為米，長為米，所以其面積米，進(jìn)而即可列出方程，求出答案．【解答】解：設(shè)小路寬為米，根據(jù)題意，得．故選：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式．｛★★｝如圖所示，某小區(qū)規(guī)劃在一個寬為，長為的矩形地面上，修筑同樣寬的三條道路，（互相垂直），余下部分種草，耕地面積為，設(shè)小路的寬為，那么滿足的方程是A． B． C． D．【分析】如果設(shè)小路的寬度為，那么耕地的總長度和總寬度應(yīng)該為，；那么根據(jù)題意即可得出方程．【解答】解：設(shè)小路的寬度為，那么耕地的總長度和總寬度應(yīng)該為，；根據(jù)題意即可得出方程為：，整理得：，故選：．【點評】本題考查一元二次方程的運用，弄清“草坪的總長度和總寬度”是解決本題的關(guān)鍵．｛★｝有支球隊參加籃球比賽，共比賽66場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是A． B． C． D．【分析】利用比賽的總場次數(shù)參加比賽的球隊數(shù)量（參加比賽的球隊數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★｝某校初三年級舉行班級籃球友誼賽，每兩個班都要進(jìn)行一場比賽，張老師告訴小麗總共要進(jìn)行120場比賽，小麗想通過列方程求出參與比賽的班級數(shù)．設(shè)參與比賽的班級有個，則所列方程正確的是A． B． C． D．【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），個球隊比賽總場數(shù)，由此可得出方程．【解答】解：設(shè)邀請個隊，每個隊都要賽場，但兩隊之間只有一場比賽，由題意得，，故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關(guān)系．

｛★★｝股市規(guī)定：股票每天的漲、跌幅均不超過，即當(dāng)漲了原價的后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r的后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價，若這兩天此股票股價的平均增長率為，則滿足的方程是．【分析】股票一次跌停就跌到原來價格的，再從的基礎(chǔ)上漲到原來的價格，且漲幅只能，設(shè)這兩天此股票股價的平均增長率為，每天相對于前一天就上漲到，由此列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)這兩天此股票股價的平均增長率為，由題意得．故答案為：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為．｛★｝某口罩生產(chǎn)廠家2019年產(chǎn)量為100萬個，為支持防疫工作，加大生產(chǎn)，2021年口罩產(chǎn)量為196萬個，求該口罩廠家產(chǎn)量的年平均增長率．設(shè)該口罩廠家產(chǎn)量的年平均增長率為，則根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)該口罩廠家產(chǎn)量的年平均增長率為，根據(jù)“2019年產(chǎn)量為100萬個，2021年口罩產(chǎn)量為196萬個”，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)該口罩廠家產(chǎn)量的年平均增長率為，依題意得：，故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★｝某超市銷售一種品牌童裝，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面對2008年下半年全球的金融危機，超市采用降價措施，每件童裝每降價2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天銷售童裝利潤為1000元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？（列方程，并化為一般形式）．【分析】每件童裝降元，每天多銷售件，每件利潤為元，再根據(jù)平均每天銷售童裝利潤為1000元，即銷量每件的利潤元，即可列出方程．【解答】解：每降價2元，多銷售6件，設(shè)降價元，則多銷售件；降價后銷售件數(shù)為件，每件利潤為元．則有，整理得．【點評】理解：只要降價2元，就會多銷售6件；那么，降價元，則多銷售件．｛★｝某商店的一種服裝，每件成本為50元．經(jīng)市場調(diào)研，售價為80元時，可銷售100件；售價每提高1元，銷售量將減少5件；售價每降低1元，銷售量將增加5件．已知商店銷售這批服裝獲利2000元，問這種服裝每件售價是多少元？【分析】設(shè)這種服裝每件售價是元，則每件盈利元，可銷售件，利用商店銷售這批服裝獲得的總利潤每件盈利銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這種服裝每件售價是元，則每件盈利元，可銷售件，依題意得：，整理得：，解得：，．答：這種服裝每件售價是60元或90元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★｝商場某種新商品每件進(jìn)價是40元，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件商品售價50元時，每天可銷售500件．當(dāng)每件商品售價高于50元時，每漲價1元，日銷售量就減少10件．規(guī)定售價不得超過75元．若商場每天盈利為8000元，求每件商品的售價．【分析】設(shè)商場日盈利達(dá)到8000元時，每件商品漲價為元，根據(jù)每件商品的盈利銷售的件數(shù)商場的日盈利，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)漲價元，則根據(jù)題意列方程得：，整理得出：，，解得：，故每件商品的銷售定價為：（元，（元；售價不得超過75元，每件商品售價為60時，商場日盈利達(dá)到8000元．答：每件商品售價為60元時，商場日盈利達(dá)到8000元．【點評】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)每件商品的盈利銷售的件數(shù)商場的日盈利，列出方程是關(guān)鍵．｛★｝如圖，某建筑工程隊在一堵墻邊上用20米長的鐵欄圍成一個面積為60平方米的長方形倉庫，已知可利用的墻長是11米，鐵柵欄只圍三邊，且在正下方要造一個2米寬的門．問：以上要求所圍成長方形的兩條鄰邊的長分別是多少米？【分析】設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為米，而與墻平行的一邊開一道2米寬的門，現(xiàn)有能圍成20米長的籬笆，那么平行于墻的一邊長為米，而倉庫的面積為60米，由此即可列出方程，解方程就可以解決問題．【解答】解：設(shè)倉庫的垂直于墻的一邊長為米，依題意得，，，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，不合題意舍去．答：該長方形相鄰兩邊長要取10米，6米．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關(guān)系，要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．｛★｝在學(xué)校勞動基地里有一塊長50米、寬30米的矩形試驗田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道，如圖．已知這塊矩形試驗田中種植的面積為1421平方米，小道的寬為多少米？【分析】設(shè)小道的寬為米，則其他部分可合成長米，寬米的矩形，根據(jù)這塊矩形試驗田中種植的面積為1421平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合，即可得出小道的寬為1米．【解答】解：設(shè)小道的寬為米，則其他部分可合成長米，寬米的矩形，依題意得：，整理得：，解得：，．又，，．答：小道的寬為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．｛★｝2020年，新型冠狀病毒感染的肺炎疫情牽動著全國人民的心．雅禮中學(xué)某學(xué)生寫了一份預(yù)防新型冠狀病毒倡議書在微信朋友圈傳播，規(guī)則為：將倡議書發(fā)表在自己的朋友圈，再邀請個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，又邀請個互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，以此類推，已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有931人參與了轉(zhuǎn)發(fā)活動，則方程列為A． B． C． D．【分析】設(shè)邀請了個好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，第一輪轉(zhuǎn)發(fā)了個人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)了個人，根據(jù)兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有931人參與列出方程即可．【解答】解：由題意，得，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答時先由條件表示出第一輪增加的人數(shù)和第二輪增加的人數(shù)，根據(jù)兩輪總?cè)藬?shù)為931人建立方程是關(guān)鍵．｛★｝某小組各人之間互贈禮物一件，全組共贈送禮物182件，如果全組共有名同學(xué)，則根據(jù)題意所列方程為A． B． C． D．【分析】由各人之間互贈禮物一件及全組共有名同學(xué)，可得出每人贈送件禮物，再利用全組贈送禮物數(shù)人數(shù)每人贈送禮物數(shù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：全組共有名同學(xué)，且各人之間互贈禮物一件，每人贈送件禮物．又全組共贈送禮物182件，可列方程．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.（2021?興安盟）有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人，可列方程為A． B． C． D．【分析】平均一人傳染了人，根據(jù)有一人患了流感，第一輪有人患流感，第二輪共有人，即81人患了流感，由此列方程求解．【解答】解：設(shè)平均一人傳染了人，第一輪有人患流感，第二輪共有人，根據(jù)題意得：，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是得到兩輪傳染數(shù)量關(guān)系，從而可列方程求解．（2021?福建）某市2018年底森林覆蓋率為．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2020年底森林覆蓋率達(dá)到，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，那么，符合題意的方程是A． B． C． D．【分析】設(shè)從2018年起全市森林覆蓋率的年平均增長率為，根據(jù)2018年及2020年的全市森林覆蓋率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)從2018年起全市森林覆蓋率的年平均增長率為，根據(jù)題意得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（2020?衡陽）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為A． B． C． D．【分析】若設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（2019?宜賓）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價65元，經(jīng)市場預(yù)測，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價格將下降，第二季度又將回升．若要使半年以后的銷售利潤不變，設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為，根據(jù)題意可列方程是．【分析】設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為，根據(jù)利潤售價成本價結(jié)合半年以后的銷售利潤為元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)每個季度平均降低成本的百分率為，依題意，得：．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．（2022秋?南溪區(qū)期中）下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是A． B． C． D．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：．該選項的方程是分式方程，故本選項不符合題意；．，是一元二次方程，故本選項符合題意；．當(dāng)時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；．整理可得，是一元一次方程，故本選項不合題意．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一次未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2022?蜀山區(qū)校級三模）當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程的根的情況為A．有兩個實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】利用得到△，然后根據(jù)根的判別式的意義對各選項進(jìn)行判斷．【解答】解：，，△，方程有兩個實數(shù)解．故選：．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．3．（2022秋?句容市月考）小兵在暑假調(diào)查了某工廠得知，該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，設(shè)2020年至2022年該產(chǎn)品的預(yù)計年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程得A． B． C． D．【分析】根據(jù)該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，列方程即可．【解答】解：根據(jù)題意，得，故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?嵐山區(qū)期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是A． B．2 C．0 D．或2【分析】先把代入得，解關(guān)于的方程得，，然后根據(jù)一元二次方程的定義可確定的值．【解答】解：把代入得：，解得，，而，所以．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5．（2022春?招遠(yuǎn)市期末）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】先利用一元二次方程解的定義得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：是方程的實數(shù)根，，，，是方程的兩個實數(shù)根，，．故選：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．也考查了一元二次方程的根．6．（2022春?福山區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法．以方程即為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是．同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個構(gòu)圖中，能正確說明方程解法的構(gòu)圖是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出方程，即的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系可得出答案．【解答】解：方程，即的拼圖如圖所示；中間小正方形的邊長為，其面積為25，大正方形的面積：，其邊長為7，因此，選項所表示的圖形符合題意，故選：．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，完全平方公式的幾何背景，通過圖形直觀，得出面積之間的關(guān)系，并用代數(shù)式表示出來是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設(shè)該廠第二季度平均每月的增長率為，那么滿足的方程是A． B． C． D．【分析】由題意根據(jù)增長后的量增長前的量增長率），如果該廠五、六月份平均每月的增長率為，那么可以用分別表示五、六月份的產(chǎn)量，進(jìn)而即可得出方程．【解答】解：設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為，那么得五、六月份的產(chǎn)量分別為、，根據(jù)題意得：．故選：．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程的增長率問題，注意掌握其一般形式為，為起始時間的有關(guān)數(shù)量，為終止時間的有關(guān)數(shù)量，為增長率．8．（2022春?瑤海區(qū)期末）如果關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為A． B．1 C． D．2【分析】把代入方程，即可得到的值．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的一個解是，，．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．9．（2022秋?烏魯木齊期中）如圖所示，某景區(qū)內(nèi)有一塊長方形油菜花田地（單位：，現(xiàn)在其中修建一條觀花道（陰影部分）供游人賞花，要求觀花道的面積占長方形油菜花田地面積的．設(shè)觀花道的直角邊（如圖所示）為，則可列方程為A． B． C． D．【分析】利用直角三角形面積求法列出方程求解即可．【解答】解：由題意可得：，即．故選：．【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖意列出方程，難度不大．10．（2022?大方縣二模）春意復(fù)蘇，鄭州綠化工程正在如火如荼地進(jìn)行著，某工程隊計劃將一塊長