2021屆全國學(xué)海大聯(lián)考新高考原創(chuàng)預(yù)測試卷（四）文科數(shù)學(xué)

2021屆全國學(xué)海大聯(lián)考新高考原創(chuàng)預(yù)測試卷(四)

文科數(shù)學(xué)

★祝考試順利★

注意事項(xiàng)：

1、考試范圍：高考范圍。

2、試題卷啟封下發(fā)后，如果試題卷有缺頁、漏印、重印、損壞或者個(gè)別字句印刷模糊不

清等情況，應(yīng)當(dāng)立馬報(bào)告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。

3、答題卡啟封下發(fā)后，如果發(fā)現(xiàn)答題卡上出現(xiàn)字跡模糊、行列歪斜或缺印等現(xiàn)象，應(yīng)當(dāng)

馬上報(bào)告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。

4、答題前，請(qǐng)先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫在試題卷和答題卡

上的相應(yīng)位置，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷

類型A后的方框涂黑。

5、選擇題的作答：每個(gè)小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選擇題答題區(qū)域的答案一律無效。

6、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域的答案一律無效。如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫

上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

7、選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案用

0.5毫米黑色簽字筆寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選

修題答題區(qū)域的答案一律無效。

8、保持答題卡卡面清潔，不折疊，不破損，不得使用涂改液、膠帶紙、修正帶等。

9、考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷、答題卡、草稿紙一并依序排列上交。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1-i

1.復(fù)數(shù)z=「在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

3+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把復(fù)數(shù)的分母部分進(jìn)行實(shí)數(shù)化即可，Z=L=：:二化簡后即可得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而

3+i(3+z)(3-i)

得到答案.

【詳解】Z=上」(l-z)(3-i)_2-4z_l-2z2i

(3+z)(3-i)-io="y-

3+z5~5

]2

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,

1-i

???復(fù)數(shù)z=——在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

3+z

答案選D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的化簡，屬于簡單題.

2.設(shè)a,。為非零向量，則“a//”是"a,b方向相同”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的共線的充要條件，即可作出判定，得到答案.

【詳解】因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以a//b時(shí)，方向相同或相反，

因此“a//?！笔恰癮力方向相同”的必要而不充分條件.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了充要條件和必要條件的判斷，以及向量共線的充耍條件，屬基礎(chǔ)題.

其中解答中熟記利用向量共線的充要條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與判斷能力.

3.若集合{幻2'>20}={幻/因(％-0)<0},則實(shí)數(shù)a的值為()

2

13

A.—B.2C.-D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用集合相等的性質(zhì)列方程求解即可.

33

【詳解】由2'〉2=2?‘解得光>耳；

由log[(x—a)<0=logj解得%>a+i,

22

因?yàn)閧x|2>20}={x|/og|(x—a)VO},

2

31

所以a+l=—,解得a=—.故選A.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用以及集合相等的性質(zhì)，意在考查靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，是基礎(chǔ)題.

4.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+e)上單調(diào)遞增，則三個(gè)數(shù)

(

?=/(-log313),b=flog,-,c=/(2°6)的大小關(guān)系為

ka>

A.a>h>cB.a>c>h

C.b>a>cD.c>a>h

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)奇偶性得：a=/(log313),通過臨界值的方式可判斷出自變量之間的大小關(guān)系，再利用

函數(shù)的單調(diào)性得到a/,c的大小關(guān)系.

06

2=log39<log313<log327=3；log,|=log28=3,()<2-<2'=2

28

6

即：0<2°-<log313<log!!

28

/(X)為偶函數(shù),,.a=/(-10g313)=/(log3l3)

又在［(),+8)上單調(diào)遞增

(,6

???/log,|j>/(log313)>/(2),即“a>c

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小問題，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性將自變量變到同

一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再通過指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用臨界值確定自變量的大小關(guān)系.

5.在某次高中學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若

同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是()

*率巾1臥

0OM）1-----------------rt

0020卜-------r*,,<

00151--------r—-I-I—1

rm.

4（150M）70M）90100板摘｛分）

A.成績?cè)冢?0,80］分的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為1000人

C.考生競賽成績的平均分約70.5分

D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，成績?cè)冢?0,80］的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，

故A正確；

B選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，成績?cè)冢?0,60）的頻率為0.25,因此，不及格的人數(shù)為

4000x0.25=1000,即B正確；

c選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得：

平均分等于45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,即C正確;

D選項(xiàng)，因?yàn)槌煽冊(cè)冢?0,70）頻率為0.45,由［70,80］的頻率為0.3,

所以中位數(shù)為70+10*幽。71.67,故D錯(cuò)誤.

0.3

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會(huì)分析頻率分布直方圖即可，屬于?？碱}型.

6.在矩形ABC。中，=4,,4=2.若點(diǎn)M，N分別是CO,8C的中點(diǎn)，則

AM-MN=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

本題可以以AO，A8兩個(gè)向量作為基底向量用來表示所要求的AM，MN，然后根據(jù)向量

的性質(zhì)來運(yùn)算，從而得出結(jié)果.

【詳解】由題意作出圖形，如圖所示：

D____________________C

AB

由圖及題意，可得：

AM=AD+DM=AD+-AB,

2

MN=CN—CM=-CB--CD^--BC+-DC=--AD+-AB.

222222

AM-MN=^AD+^AB^-^-^AD+^AB^

1,1,11

=—|AD|2+i|AB|2=——.4+—16=2.

2424

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查基底向量的設(shè)立，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

22221

7.已知橢圓二+4=1?>6>0）與雙曲線二—（a>0,b>0）的焦點(diǎn)相同，則雙

/b2a2b22

曲線漸近線方程為（）

A.y=~~2~XRy=土6。

C.y=+xD.y=±-\/2J

2'

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可得2/一2〃="+〃，即“2=3〃，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.

Y2y2y2]

【詳解】依題意橢圓j+4=l(a>b>0)與雙曲線^=-(a>0,b>0)即

a~bab~2

x2y2

7—Zr=l(a>°,b>°)的焦點(diǎn)相同，可得：黯_/=_1/+%,

—22

22

h

即/=3〃，...2=正，可得邁=坐，

a3a3

五

b

雙曲線的漸近線方程為：y=±交x=±gx,

a3

正

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(_0,1),則a?2a=

()

272R1?1n2V2

------D.-C.l).--------------

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

先由角a的終邊過點(diǎn)尸(-61),求出cosa,再由二倍角公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榻莂的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與％軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-夜，1),

-V2V6

所以cosa

J2+1.3

因此cos2a=2cos2a-l=-.

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，熟記三角函數(shù)的定義與二倍角公

式即可，屬于?？碱}型.

9.若函數(shù)>="X)的大致圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是

A-B-

e+ee-e

I-x八x-x

C.=UD.=

XX

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)圖象的對(duì)稱性，單調(diào)性，特殊的函數(shù)值，等利用排除法可得.

【詳解】當(dāng)x-0時(shí)，r(%)一±8,排除力，6(1中的/(*)-*0)；

xex-0r

當(dāng)XV0時(shí)/'(x)V0,而選項(xiàng)8中x<0時(shí)，/■(x)=------->0,選項(xiàng)。中/Xx)=------->0,

ex-e-xx

排除反D；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、符號(hào)，極限等，考查數(shù)形結(jié)合思想.利用特殊點(diǎn)，特殊

的取值是快速解決這類問題的關(guān)鍵.本題是一道中檔題.

22

10.已知點(diǎn)P是橢圓:+2=1上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，K，6分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，。是坐

標(biāo)原點(diǎn)，若M是的平分線上一點(diǎn)，且耳加?MP=O,則|。加|的取值范圍是()

A.[0,3)B.(0,2回C.[272,3)D.(0,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

采用數(shù)形結(jié)合，通過延長耳M結(jié)合角平分線以及6M-MP=（）,利用中位線定理以及橢圓的

定義,得到|。“卜（卜"21P可=卜一|尸可，然后根據(jù)歸閭的范圍，可得結(jié)果.

【詳解】如圖，

延長F.M交PF2的延長線于點(diǎn)G,

?：F}MMP=O,：.F}M±MP.

又MP為/6?鳥的平分線，.FP司=pq,

且用為我。的中點(diǎn).

???0為耳耳的中點(diǎn)，???|0”卜；歸可.

中田固卜比2Hp律網(wǎng)，

，|。叫=#。-2|明卜14Tp可，

?.?4—2血＜,用卜4+2血，且|P6,4,

.?.阿同0,2⑹.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的應(yīng)用，屬中檔題.

11.已知球。的半徑為4,矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球。的球面上，球心。到平面A3C0的距

離為2,設(shè)球內(nèi)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在四棱錐O—A6C。內(nèi)的概率為P,則P的最大值為（）

1萬31

A.---B.—C.----D.----

4萬16167r12萬

【答案】C

【解析】

分析】

根據(jù)勾股定理，可以得到矩形A8CD兩邊長的平方和，利用常用的不等式，可得出面積的最

大值，結(jié)合幾何概型，可得P是四棱錐的體積與球的體積之比，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)矩形的兩鄰邊為》,丁，

由題易知丁+>2=4822孫，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取等號(hào).

即矩形面積的最大值為24.

由幾何概型知識(shí)知當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，

L2x24a

產(chǎn)取最大值，故4皿=與------==?

16萬

3

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用，同時(shí)還考查了常用的不等式。2+。222/7,注意取

等號(hào)的條件，屬基礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)“X),對(duì)于任意實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí)，記]/(力一/(%0)|的最大值

—%2—2工x?0

為%MG。)?若/(x)=~>則q.〃+2](T)的取值范圍是()

乙IX,X>U

r9-

A.[1,4]B.[2,4]C.(2,4)D.1,-

【答案】A

【解析】

【分析】

先計(jì)算利用數(shù)形結(jié)合，畫出|/(x)-1|圖像，根據(jù)新定義，結(jié)合分類討論的方法，可

得結(jié)果.

【詳解】由題意得：/(-1)=-1+2=1,

%+2](-1)=|/(%)-1|^，xe[a,a+2],

|-x2-2JC-1|=|(x+1)',x<0

又|/(x)T=<

|2-|x-l|-l|=|l-|x-l||,x>0

可得的圖象如圖所示,

+.?.區(qū)間長度為2,

當(dāng)。=一1時(shí)，

%g（T）=%j］（T）=|〃x）TL

所卬（X）TLT〃°H=I；

當(dāng)。+2=—1時(shí)，

%g（T）=%T（T）=|〃x）TL

所以火X）TLT"—3）7=4,

,4.“+2］（一1）的取值范圍為：［1，4］.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)新概念的理解，以及利用數(shù)形結(jié)合解決分段函數(shù)的問題，屬中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把各題答案的最簡形式寫在題中的橫

線上.

13.學(xué)校為了解1000名高一新生的身體生長狀況，用系統(tǒng)抽樣法（按等距的規(guī)則）抽取40名

同學(xué)進(jìn)行檢查，將學(xué)生從11000進(jìn)行編號(hào)，則編號(hào)落入?yún)^(qū)間［501,750］的人數(shù)為

【答案】10

【解析】

【分析】

按系統(tǒng)抽樣的方法，得到抽樣距，可得501,750具體在哪一組，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】從1000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本,

系統(tǒng)抽樣分40組，每組”四=25個(gè)號(hào)碼,

40

每組抽取一個(gè)，

從501到750恰好是第21組到第30組，

共抽取10人.

故選答案為：10

【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

y＞x

14.已知實(shí)數(shù)x,＞滿足＜x+3y44,則z=|3x+y|的最大值是一

xN—2

【答案】8

【解析】

分析】

畫出可行域，利用z的幾何意義求解即可

【詳解】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示：

其中A（—2,—2）,C（-2,2）

又2=V10,可知z的幾何意義為可行域中的點(diǎn)到直線3x+y=O距離的而倍

可行域中點(diǎn)到直線3x+y=0距離最大的點(diǎn)為A(-2,-2).

工=氏(-2)-2|=8,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠明確目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意

義，利用數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行求解.

15.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，以點(diǎn)（1,0）為圓心且與直線如-y-21=0（〃住即相切的

所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】（x-iy+y2=2

【解析】

試題分析：因?yàn)橹本€如一y—21=0恒過定點(diǎn)（2,T）,所以圓心（1,0）到直線

mx-y-2m-\=Q的最大距離為d=J（2—l）2+（0+1」=叵,所以半徑最大時(shí)的半徑

所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1尸+V=2.

考點(diǎn)：1、圓的方程；2、直線與圓的位置關(guān)系.

【方法點(diǎn)睛】解決直線與圓的問題時(shí)，一方面，注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何

問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決；另一方面，由于直

線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的

條件，利用幾何知識(shí)使問題較為簡捷地得到解決，即注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用.

16.在直線y=-2上任取一點(diǎn)Q,過。作拋物線f=4y的切線，切點(diǎn)分別為A、B,則直

線AB恒過定點(diǎn)______.

【答案】（0,2）

【解析】

【分析】

假設(shè)A（X1,y）,3（%,%），利用導(dǎo)數(shù)，分別求出拋物線在這兩點(diǎn)的切線方程，根據(jù)兩方程都

過點(diǎn)Q,通過觀察發(fā)現(xiàn)，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)Q（/,-2）,A（%,y）,

拋物線方程變?yōu)閥=—f,則x,

42

則在點(diǎn)A處的切線方程為y—y=g%（x—5）,

化簡得，y=^xtx-yi,同理，

在點(diǎn)B處的切線方程為y-^x2x-y2.

又點(diǎn)Q。,-2）的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，

代入得：—2=/工/—y，—2=——y29

則說明A（x，yJ,都滿足

方程—2=~xt—y,

即直線AB的方程為：y-2=^tx,

故直線AB恒過定點(diǎn)（0,2）.

故答案為：（0,2）

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與直線的綜合應(yīng)用，以及過定點(diǎn)問題，屬中檔題.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.AABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、5、c.己知2sin3-sinC+cos3=2cosA,

且sin5￥1.

（1）求角。的大小；

（2）若4=近，角6的平分線交AC于。，且百，求C.

2「

【答案】（1）§乃仁）c=46

【解析】

【分析】

（1）在三角形中，可得到cosA=—cos（3+C）,結(jié)合兩角和的余弦公式，化簡，可得結(jié)果.

（2）在ACBO中，利用正弦定理，可得到NBDC,然后結(jié)合角平分線知識(shí)，可得a=b,

利用余弦定理，可得結(jié)果.

【詳解】（1）由2sin3-sinC+cos3+2cos（B+C）=0,

得-2cos8cosC=cosB,

因?yàn)閟inbwl,則cosbwO,

故cosC=-g,CG（0,1）.

則c=2%.

3

(2)在ACBO中,

BDBC

由正弦定理得:

sinCsinZBDC

則sinNBDC=BCsinC=變，

BD2

7TTT

故/BDC=—,則NC8A=—=NC48,

46

a=b=V?，

由余弦定理，c2=a2+h2—2ah-cosC=6?

即c=\/6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，解決三角形中的問題，要聯(lián)想到正弦定

理、余弦定理以及面積公式，通常也會(huì)和三角函數(shù)結(jié)合，以及不等式，屬中檔題.

18.已知等差數(shù)列｛4｝的前5項(xiàng)和為50,%（）=31,數(shù)列｛%｝滿足

G+"+與++-^7=4什1（"€?/）.

14424'i、'

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵記數(shù)列｛%｝前“項(xiàng)和為T“，求小9.

2019

【答案】⑴an=3n+\(2)4+3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和公式，可得公差d,利用公式，可得結(jié)果.

⑵根據(jù)（1）的結(jié)論，通過計(jì)算q+?+叁++旨=勺（〃22）,與原式聯(lián)立，可得c.，

然后利用公式法，可得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.

5-(q+4)

50(%TO

依題意得,2=>5

%,=31

.-o=31

所以“4o.%=3

10-3

故=%+(〃-3)d=1()+(次—3)4,

即=3〃+1.

(2)由G+a+…+^Y=a“+|(〃eN*),①

當(dāng)〃=1時(shí)，。］=。2=7,

"22時(shí)，q+尹…+言=%，②

①一②得：q=(6用—q)4"T=34-(〃之2).

故％9=7+3-(4+4?+…+423)

所以《019=7+3?J：：)=42019+3

【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列求和，屬基礎(chǔ)題.

.如圖，已知三棱柱中，底面。，

19ABC—44cl4Al_LABC,N84C=904Al=1,

AB=6,AC=2.E,尸分別為棱CG，8C的中點(diǎn).

(1)求異面直線EF與43所成角的大?。?/p>

(2)若G為線段AA的中點(diǎn)，試在圖中作出過E、F、G三點(diǎn)的平面截該棱柱所得的多邊

形，并求出以該多邊形為底，4為頂點(diǎn)的棱錐的體積.

【答案】(1)(2)截面見詳解，體積為且

48

【解析】

【分析】

(1)連接A。，AC；交于點(diǎn)。，根據(jù)中位線定理找到與48的平行線O尸，并找到異面直線

Er與AB所成角，計(jì)算OF,EROE長度，根據(jù)余弦定理，可得結(jié)果.

(2)畫出截面GE/W,計(jì)算四邊形GEF7V的面積，根據(jù)AB〃面GEEV,可得從到面

GEFN的距離，結(jié)合椎體體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】(1)連接AC,交于點(diǎn)。，連接QF,GE

如圖

由AAJ.底面ABC,ACu面ABC,

所以A41_LAC,又NBAC=90°

所以ACLAB,ABu面AB4

所以ACJ?面AB4，

故四邊形A&GC為矩形，所以G,O,E共線

。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)F〃Af,

故異面直線EF與AB所成角為NOEE

AA]=1,AS=>/3，AC—2,

且E，尸分別為棱CG，BC的中點(diǎn)

所以A6=2,OE=1,BC"

所以O(shè)F=1,EF=也

又OF2+OE?=EF?且OF=OE

所以AOE廣為等腰直角三角形，

71

故NOEE=一

4

(2)取45的中點(diǎn)N連接GN,FN,

又G為線段A4的中點(diǎn)，所以GN//&B

貝UGN〃OF,且GN=OF

過￡、尸、G三點(diǎn)的平面截該棱柱

所得的多邊形為四邊形GE/W

由(1)可知，NF//GEELGNLGE

所以四邊形GEMV為直角梯形，

所以

,_(NF+GE)7VG_(l+2)xl_3

SGEFN=2=-2—=5

又平面GEKV,GNu面GEFN,

所以4B〃平面GEE/V,作NM_L48

所以NAI=BNlsinZNBM=BN必=6

A1B4

且A到截面的距離即NM=—

4

所以匕?ii-UGcErF/vN=、SKNN8M=—

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體中異面直線所成的角以及錐體的體積，常用到作輔助線，

以及線面，面面之間的關(guān)系，屬中檔題.

20.在ZVLBC中，A、B的坐標(biāo)分別是卜上,0),(&,0),點(diǎn)G滿足AG+3G+CG=€).>

軸上一點(diǎn)〃，滿足GM//AB，且=

(1)求AABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(2)直線/：y=H+，*與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，若在軌跡E上存在點(diǎn)R,使四邊形OPR。

為平行四邊形(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求機(jī)的取值范圍.

22(、

【答案】(1)軌跡￡的方程為L+2_=](yN0)；(2)—00,.....——

26^I2JL2)

【解析】

【分析】

(1)假設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)重心知識(shí)，可得到點(diǎn)G,進(jìn)一步得到點(diǎn)M，利用=

可得結(jié)果.

(2)聯(lián)立軌跡￡的方程與直線/的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)OR=OP+OQ,可得R的坐

標(biāo)，把R代入E的方程，以及」,可得結(jié)果.

【詳解】⑴設(shè)C(x,y)(yx0)

由AG+BG+CG=()，

所以可知G為AABC的重心，且GM//A8

又川-夜,0),8(夜,0),所以

加河)，5l.\MC\^\MB\

22

所以軌跡￡的方程為二-+二=l(y#o)

26V7

(2)設(shè)P&,y),Q(巧,％)，

由四邊形OPRQ為平行四邊形,

則OH=O尸+OQ,所以R（x+w，X+%）

y=kx+m

<x2y2=>（3+公卜2+26x+>-6=0

---1---=1

26

△=（2〃mp-4（3+巧（療一6）>0

貝IJ2%2-M+6>0①

-2kmm2-6

3+%=和，平2=二正

6m

X+%=%（玉+々）+2m-

3+k2

由點(diǎn)R在軌跡E上，所以

（-2km\（6mY

L1±￡J_11±E1=1

2+6

化簡可得：攵2=2〃/一3②

②代入①可得：,n2>0

又由②可知，/〃223

所以機(jī)2或m<一Y6

22

所以

加的取值范圍為-8,—-—，+8

22

IJL）

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓與直線的應(yīng)用，一般來講圓錐曲線與直線的綜合應(yīng)用，都需聯(lián)立

方程，結(jié)合韋達(dá)定理，考驗(yàn)計(jì)算能力，數(shù)中檔題.

21.已知函數(shù)/（x）=ae*的圖象在％=0處的切線與函數(shù)y=lnx的圖象在％=1處的切線互

相平行.

（1）求。的值；

（2）若/‘（X）之儂對(duì)xe（0,4w）恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍;

(3)若數(shù)列［坐］的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn<—^—~.

［〃J\72(〃+1)

【答案】(1)4=1；(2)(-8,e］；(3)見詳解

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得/'(())與函數(shù)y=lnx的圖象在％=1處的導(dǎo)

數(shù)，由于切線平行，可得結(jié)果

XX

(2)利用分離參數(shù)的方法，得到根4然后構(gòu)建函數(shù)g(x)=2，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)

的單調(diào)性，根據(jù)g(x)的值域與加的大小關(guān)系，可得結(jié)果.

(3)根據(jù)(2),得到然后令x=〃2代入，兩邊取對(duì)數(shù)，進(jìn)行化簡，結(jié)合不等式可

得見?-+一1］,最后求和可得結(jié)果.

n21nn+\J

【詳解】(1)由/(x)=ae’，所以尸(x)=ae\

則1(O)=a,又y，=(lnxy=：

所以y'k=l，據(jù)題意可知：?=1

(2)由(1)可知〃x)=e*

又儂對(duì)尤€(0,+oo)恒成立，

即加〈《在xe(O,+x5)恒成立，

X

令g(x)=幺，g'(-y)=-

XX

當(dāng)0<%<1時(shí)，g'(x)<0

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,

在單調(diào)遞增，

所以gmin(x)=g(l)=e

所以〃

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-8,e]

(3)由(2)可知：

當(dāng)xe(O,”)時(shí)，f^x)>ex,即

令x=",所以兩邊取對(duì)數(shù)，

可得〃2—1iInn2>

所以

?If11II11)

〃211223nn+\)

即