第17章勾股定理單元測試卷-【重要筆記】2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)精講精練(人教版)(原卷版+解析)

第17章勾股定理單元測試卷一．選擇題1．直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（）A．6 B．8 C． D．2．如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m3．如圖，AB＝AC，則數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)為（）A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣14．由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6m處折斷，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m5．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，36．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D．，，7．下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形邊長的是（）A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，√3，28．如圖中的古印度的“無字證明”直觀的證明一個(gè)重要定理，這個(gè)定理早在三千多年前就被周朝的數(shù)學(xué)家商高提出，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作是（）A．《周髀算經(jīng)》 B．《九章算術(shù)》 C．《幾何原本》 D．《海島算經(jīng)》9．下列各組數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，1010．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝26，大正方形的面積為17，則小正方形的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空題11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，則BC＝．12．課本中有這樣一句話：“利用勾股定理可以作出，，…線段（如圖所示）．”即：OA＝1，過A作AA1⊥OA且AA1＝1，根據(jù)勾股定理，得OA1＝；再過A1作A1A2⊥OA1且A1A2＝1，得OA2＝；…以此類推，得OA2018＝．13．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，則AB邊上的高為．14．如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，那么這棵樹折斷之前的高度是米．15．如圖是一個(gè)滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度一樣，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．則滑道AC的長度為m．16．由線段a＝4，b＝5，c＝6組成的三角形直角三角形（填“是”或“不是”）．17．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是100，小正方形面積是20，則（sinθ+cosθ）2＝．三．解答題18．如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷，若繩子的長度為5.5米，固定點(diǎn)C到帳篷支撐桿底部B的距離是4.5米，現(xiàn)有一根高為3.2米的竿，它能否做帳篷的支撐竿，請說明理由．19．在我區(qū)“五水繞城”生態(tài)環(huán)境提升項(xiàng)目中，有一塊三角形空地將進(jìn)行綠化，如圖，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一點(diǎn)，CE＝50，BC＝130，BE＝120．（1）判斷△ABE的形狀，并說明理由．（2）求△ABC的周長．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．求（1）∠ACD的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積．21．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？22．如圖，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．（1）求AB的長；（2）試判斷△ABD的形狀，并說明理由．23．如圖，邊長為m的正方形中有一個(gè)邊長為n的小正方形，若將圖1的陰影部分拼成一個(gè)長方形，如圖3，利用圖1和圖3的陰影部分的面積．（1）你能得到的公式是；（2）愛思考的小聰看到三邊為a，b，c的直角三角形（如圖4），四個(gè)這樣全等的直角三角形與中間小正方形組成大正方形，他想利用大正方形的兩種不同的面積表示方法得到等式．請你代替小聰來表示這個(gè)大正方形的面積：方法一：；（用a，b，c來表示）方法二：；（用a，b，c來表示）（3）你能得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式：；（4）若a＝6，b＝8，求c的值．24．學(xué)校的一棵大樹被風(fēng)吹斷了，如圖，距地面6m處折斷，折斷的樹梢頂部落在距樹干底部8m處，求此樹原高是多少米？（圖1）有兩棵大樹，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鳥從一棵樹梢飛到另一棵樹梢，至少飛多少米？（圖2）一架長10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面8m，現(xiàn)將梯子頂端沿墻面下滑2m，則梯子底端與墻面距離是否也增長2m？請說明理由（圖3）第17章勾股定理單元測試卷一．選擇題1．直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（）A．6 B．8 C． D．【分析】首先根據(jù)勾股定理，得：斜邊＝＝13．再根據(jù)直角三角形的面積公式，求出斜邊上的高．【解答】解：由題意得，斜邊為＝13．所以斜邊上的高＝12×5÷13＝．故選：D．2．如圖，一架2.5m長的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底部距墻底端0.7m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子的底部將平滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m【分析】先根據(jù)梯子的頂端下滑了0.4米求出A′C的長，再根據(jù)勾股定理求出B′C的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵梯子的頂端下滑了0.4米，∴A′C＝2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，∴B′C＝＝＝1.5m，∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．故選：D．3．如圖，AB＝AC，則數(shù)軸上點(diǎn)C所表示的數(shù)為（）A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，即為AC的長，再根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，∴AC＝，∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1．故選：B．4．由于臺風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6m處折斷，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前（不包括樹根）長度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：由題意得BC＝8m，AC＝6m，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝10米．所以大樹的高度是10+6＝16米．故選：C．5．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出兩小邊的平方和和大邊的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)正確；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．6．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．12，8，5 B．30，40，50 C．9，13，15 D．，，【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：A、∵52+82≠122，∴此選項(xiàng)不符合題意；B、∵302+402＝502，∴此選項(xiàng)符合題意；C、∵92+132≠152，∴此選項(xiàng)不符合題意；D、∵（）2+（）2≠（）2，∴此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．7．下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形邊長的是（）A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，√3，2【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條線段是否能構(gòu)成直角三角形，從而可以解答本題．【解答】解：32+52≠72，故選項(xiàng)A符合題意；62+82＝102，故選項(xiàng)B不符合題意；52+122＝132，故選項(xiàng)C不符合題意；12+（）2＝22，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．8．如圖中的古印度的“無字證明”直觀的證明一個(gè)重要定理，這個(gè)定理早在三千多年前就被周朝的數(shù)學(xué)家商高提出，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作是（）A．《周髀算經(jīng)》 B．《九章算術(shù)》 C．《幾何原本》 D．《海島算經(jīng)》【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：勾股定理被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作是《周髀算經(jīng)》，故選：A．9．下列各組數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、12+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，所以不是勾股數(shù)，故符合題意；B、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；C、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；D、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；故選：A．10．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝26，大正方形的面積為17，則小正方形的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個(gè)直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝26，大正方形的面積為17，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．【解答】解：如圖所示：∵（a+b）2＝26，∴a2+2ab+b2＝26，∵大正方形的面積為17，∴2ab＝26﹣17＝9，∴小正方形的面積為17﹣9＝8，故選：C．二．填空題11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，則BC＝．【分析】設(shè)BC＝3x，AC＝4x，又其斜邊AB＝15，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【解答】解：設(shè)BC＝3x，AC＝4x，又其斜邊AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．故答案為：9．12．課本中有這樣一句話：“利用勾股定理可以作出，，…線段（如圖所示）．”即：OA＝1，過A作AA1⊥OA且AA1＝1，根據(jù)勾股定理，得OA1＝；再過A1作A1A2⊥OA1且A1A2＝1，得OA2＝；…以此類推，得OA2018＝．【分析】利用勾股定理計(jì)算出OA1、OA2、OA3，然后根據(jù)計(jì)算的結(jié)果出現(xiàn)的規(guī)律可寫出OA2019．【解答】解：OA1＝＝，OA2＝＝，OA3＝＝，…，所以O(shè)A2018＝．故答案為．13．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，則AB邊上的高為．【分析】利用勾股定理的逆定理推出∠ACB＝90°，由三角形ABC的面積可得出答案．【解答】解：在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，設(shè)AB邊上的高為h，∵S△ABC＝BC?AC，∴h＝＝，即AB邊上的高為．故答案為．14．如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，那么這棵樹折斷之前的高度是米．【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了短直角邊和一銳角為30度，運(yùn)用直角三角形30度角的性質(zhì)，從而得出這棵樹折斷之前的高度．【解答】解：∵一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，如圖，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4米，∴折斷前高度為2+4＝6（米）．故答案為6．15．如圖是一個(gè)滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度一樣，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．則滑道AC的長度為m．【分析】設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．【解答】解：設(shè)AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由題意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣1）2+42＝x2，解得x＝8.5，∴AC＝8.5m．故答案為：8.5．16．由線段a＝4，b＝5，c＝6組成的三角形直角三角形（填“是”或“不是”）．【分析】求出兩小邊的平方，再求它們的和，看是否等于長邊6的平方，等于就說明能構(gòu)成直角三角形，否則不能構(gòu)成．【解答】解：∵42＝16，52＝25，62＝36，∴42+52＝41≠36＝62，∴不能組成直角三角形．17．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是100，小正方形面積是20，則（sinθ+cosθ）2＝．【分析】先由兩個(gè)正方形的面積分別得出其邊長，設(shè)AC＝BD＝a，由勾股定理解得a的值，后按照正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義得出sinθ和cosθ的值，最后代入要求的式子計(jì)算即可．【解答】解：∵大正方形的面積是100，小正方形面積是20，∴大正方形的邊長是10，小正方形的邊長是2，設(shè)AC＝BD＝a，如圖，△ABD中，由勾股定理得：a2+（2+a）2＝102，解得a＝2（負(fù)值舍去），∴sinθ＝＝，則cosθ＝，∴（sinθ+cosθ）2＝（+）2＝．故答案為：．三．解答題18．如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳篷，若繩子的長度為5.5米，固定點(diǎn)C到帳篷支撐桿底部B的距離是4.5米，現(xiàn)有一根高為3.2米的竿，它能否做帳篷的支撐竿，請說明理由．【分析】在△ABC中，已知了邊AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理判斷即可．【解答】解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米；∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24；∵30.25≠20.25+10.24，∴不能做帳篷的支撐竿．19．在我區(qū)“五水繞城”生態(tài)環(huán)境提升項(xiàng)目中，有一塊三角形空地將進(jìn)行綠化，如圖，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一點(diǎn)，CE＝50，BC＝130，BE＝120．（1）判斷△ABE的形狀，并說明理由．（2）求△ABC的周長．【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)而分析得出答案．（2）設(shè)AB＝AC＝x，則AE＝x﹣50，利用勾股定理得出AB的長，則可求出答案．【解答】解：（1）△ABE是直角三角形，理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，∴BE2+CE2＝BC2＝16900，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC，∴△ABE是直角三角形．（2）設(shè)AB＝AC＝x，則AE＝x﹣50，由（1）可知△ABE是直角三角形，∴BE2+AE2＝AB2，∴1202+（x﹣50）2＝x2，解得x＝169．∴△ABC的周長為AB+AC+BC＝169+169+130＝468．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2．求（1）∠ACD的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積．【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AC的長，再利用勾股定理逆定理證明△ACD是直角三角形即可；（2）計(jì)算出△ABC和△ACD的面積，再求和即可．【解答】（1）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，又CD＝2，AD＝2，∴AC2+CD2＝8，AD2＝8，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．∴∠ACD＝90°；（2）解：∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∴四邊形ABCD的面積＝三角形ABC的面積+三角形ADC的面積＝＝．21．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C處將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?3°．（1）求甲巡邏艇的航行方向；（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【分析】（1）先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)算出AC，BC的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來求甲乙的距離．【解答】解：（1）由題意得：∠CBA＝90°﹣23°＝67°，AC＝120×＝12（海里），BC＝50×＝5（海里），∵AB＝13（海里），∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝67°，∴∠CAB＝23°，∴甲的航向?yàn)楸逼珫|67°；（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為：120×＝6（海里），乙巡邏船航行3分鐘的路程為：50×＝2.5（海里），3分鐘后，甲乙兩巡邏船相距為：＝6.5（海里）．22．如圖，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13．（1）求AB的長；（2）試判斷△ABD的形狀，并說明理由．【分析】（1）在△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB2的值；（2）再在△ABD中根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出AD⊥AB．【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，∴AB＝5；（2）△ABD為直角三角形，理由：在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，∴AB2+AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°，即△ABD為直角三角形．23．如圖，邊長為m的正方形中有一個(gè)邊長為n的小正方形，若將圖1的陰影部分拼成一個(gè)長方形，如圖3，利用圖1和圖3的陰影部分的面積．（1）你能得到的公式是；（2）愛思考的小聰看到三邊為a，b，c的直角三角形（如圖4），四個(gè)這樣全等的直角三角形與中間小正方形組成大正方形，他想利用大正方形的兩種不同的面積表示方法得到等式．請你代替小聰來表示這個(gè)大正方形的面積：方法一：；（用a，b，c來表示）方法二：；（用a，b，c來表示）（3）你能得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的