2021年江蘇省中考三輪沖刺數(shù)學(xué)訓(xùn)練-專題9三角形

2021年江蘇中考數(shù)學(xué)沖刺專題訓(xùn)練一一專題9三角形

一.選擇題（共14小題）

1.（2021春?東臺市月考）如圖，△ABC的面積為280CT??2,AE=ED,BD=3DC,則圖中四

邊形EDC尸的面積等于（）

A.50B.55C.60D.65

2.（2021春?宜興市期中）將一塊等腰直角三角板與一把直尺如圖放置，若21=60°,則

N2的度數(shù)為（）

A.85°B.75°C.60°D.45°

3.（2021春?吳江區(qū)期中）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于尸，NA=90°,NCEG

=2ZDCB,且NOFB=^ZCGE.下列結(jié)論：?EG//BC,?CGVEG,?ZADC=ZGCD,

④。平分NBCG.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2020秋?蘇州期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=f>cm,8c=8加，點E是AB上的

一點，且AE=2BE.點P從點C出發(fā)，以2C/M/S的速度沿點C-O-A-E勻速運動，最

終到達點E.設(shè)點P運動時間為ts,若三角形PCE的面積為\Scrn2,則t的值為（）

9-19-27

B.一或一或一

844

927

D.一或6或一

44

5.（2021春?大豐區(qū)月考）連接邊長為1的正方形對邊中點，可將一個正方形分成四個全等

的小正方形，選右下角的小正方形進行第二次操作，又可將這個小正方形分成四個更小

的小正方形，…重復(fù)這樣的操作，則2021次操作后右下角的小正方形面積是（）

B.6嚴1

D.1-（護21

6.（2020秋?海州區(qū)期末）如圖，NMON=90°,已知△ABC中，AC=BC=IO,AB=12,

△ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當點B在邊ON上運動時，點A隨之在邊

OM上運動，AABC的形狀保持不變，在運動過程中，點C到點。的最大距離為（）

A.12.5B.13C.14D.15

7.（2020秋?江都區(qū)期末）為銳角，AB=a,點C在射線AM上，點8到射線AM的

距離為d,BC=x,若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）

A.x=</或B.C.x=dD.x=dsKx>a

8.（2020秋?蘇州期末）如圖，在aABC中，AC=6,BC=8,ZC=90°,NA8C與NBAC

的平分線交于點。，過點。作￡>E〃AC交A3于點E,則。E=（）

A."B.2C.——D.3

25

9.（2020秋?蘇州期末）如圖，在數(shù)軸上，點4,B表示的數(shù)分別為0,2,BCLAB于點B,

且BC=1.連接AC,在AC上截取CQ=BC,以點A為圓心，AQ的長為半徑畫弧，交

線段AB于點￡則點E表示的實數(shù)是（）

A.2V5B.V5+1C.2D.V5-1

10.（2020秋?東海縣期末）如圖，ZXABC中，AB=AC,作△BCE,點4在△8CE內(nèi)，點。

在BE上，AO垂直平分BE,且,則NBEC=（）

11.（2020秋?白銀期末）如圖，△A8C的角平分線C￡>、BE相交于F,NA=90°,EG//

BC,且CG_LEG于G,下列結(jié)論:

①NCEG=2NDCB；

?ZADC=ZGCD；

③CA平分NBCG；

④NDFB=*NCGE.

其中正確的結(jié)論是（）

A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④

12.（2020秋?蕪湖期中）如圖，△ABC中，/4=20°,沿8E將此三角形對折，又沿BA'

再一次對折，點C落在8E上的C'處，此時NC'08=74°,則原三角形的/C的度數(shù)

為（）

A.27°B.59°C.69°D.79°

13.（2020秋?東莞市期末）如圖，在△ABC和△CEF中，AC=DF,AB=DE,添加下列一

個條件后，仍然不能證明AABC絲△OEF,這個條件是（）

AD

BF.C

A.ZA=ZDB.BE=CF

C.NACB=NDFE=90°D.NB=NDEF

14.（2020秋?東臺市期末）如圖，點E、尸在AC上，AD=BC,DF=BE,要使aA。尸也△

CBE,還需要添加一個條件是（）

A.AD//BCB.DF//BEC./A=NCD.Z￡>=ZB

二.填空題（共1小題）

15.（2021春葉B江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，A。是8c邊上的中線，點E在線段AC上

且EC=2AE,線段AO與線段BE交于點F,若AABC的面積為6,則四邊形EFDC的面

積為,

三.解答題（共15小題）

16.（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZABC=50°.。是△ABC內(nèi)任

一點，將△AQC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C與點B重合，點。的對應(yīng)點為￡

（1）求證：EB—DC-,

（2）連接2E.

①若NB￡￡>=50。，則/AOC=°；

②若E、。、C在一直線上，則N3E￡）=時.

17.（2021春?秦淮區(qū)校級期中）一副三角板的三個內(nèi)角分別是/。=90°,ZOAB=ZOBA

=45°和/C4￡>=90°,按如圖所示疊放在一起，其中點B、￡>重合，若固定△ACZ）,

改變?nèi)切巍鰽C。的位置（其中點A位置始終不變），使得△ACZ）一邊aAOB的某一邊

平行時，求/BAO的所有可能的值.（要求畫出示意圖，寫清分類標準，簡寫過程）

18.（2021春?姜堰區(qū)月考）NMOQ=90°,點A,8分別在射線。加、OQ上運動（不與點

。重合）.圖1圖2

（1）如圖1,A/平分NBAO,8/平分NABO,若NBAO=40°,求NA/B的度數(shù).

（2）如圖2,A/平分NBA。，BC平分乙4BM,BC的反向延長線交力/于點。.

①若NBAO=40°,貝Ij/4QB=°；

②點A、2在運動的過程中，NAOB是否發(fā)生變化，若不變，試求/AOB的度數(shù)；若變

化，請說明變化規(guī)律.

19.（2021?姑蘇區(qū)一模）如圖，已知AB=OC,AB//CD,E、尸是4c上兩點，且AF=C￡

（1）求證：△A8E會△CDF；

（2）連接BC,若NCFD=100°,N8CE=30°,求NCBE的度數(shù).

20.（2021春?天寧區(qū)校級月考）已知/MON=50°,OE平分/MON,點A、B、C分別是

射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點。重合），連接AC交射線OE于點。，

設(shè)NOAC=x°.

M

（1）如圖1,若AB〃OM

①則ZABO的度數(shù)是.

②當時，x=；當時，x=.

（2）如圖2,若ABJ_OE,則是否存在這樣的x值，使得△48。中有一個角是另一個角

的兩倍.存在，直接寫出x的值；不存在，說明理由.

21.（2021?梁溪區(qū)模擬）如圖，△ABC也△OFF,AM,ON分別是△ABC和△￡>￡：尸的中線.求

證：AM=DN.

22.（2021春?吳江區(qū)期中）在△A8C中，乙4=70°,點。、E分別是邊AC、AB上的點（不

與A、8、C重合），點P是平面內(nèi)一動點（尸與￡>、B不在同一直線上），設(shè)/PEB=N1,

NQPE=N2,ZPDC=Z3.

（1）若點P在邊2c上運動（不與點8和點C重合），如圖（1）所示，則/2=

（用含有/I、/3的代數(shù)式表示）

（2）若點P在△A8C的外部，如圖（2）所示，則Nl、N2、N3之間有何關(guān)系？寫出

你的結(jié)論，并說明理由.

（3）當點P在邊CB的延長線上運動時，試畫出相應(yīng)圖形，標注有關(guān)字母與數(shù)字，并寫

出對應(yīng)的/I、/2、/3之間的關(guān)系式.（不需要證明）

2/3

圖⑴圖⑵備用圖

23.(2021春?吳江區(qū)期中)如圖，在△ABC中，BC=6cm.射線4G〃BC,點E從點A出

發(fā)沿射線AG

以2cm/s的速度運動，當點E出發(fā)1s后，點尸也從點B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度

運動，分別連接ARCE.設(shè)點E運動時間為f(5),其中f>0.

(1)若則f的取值范圍是；

(2)當f為何值時，AE=CF；

(3)是否存在某一時刻3使SAABF+S<MCE=SAABC.

24.(2021?南通模擬)已知：如圖，點E,A,C在同一條直線上，AB//CD,AB=CE,Z

B=NE.求證：BC=ED.

E

25.(2021春?江都區(qū)月考)如圖①，在△ABC中，/ABC與/ACB的平分線相交于點P.

(1)如果NA=70°,求NBPC的度數(shù)；

(2)如圖②，作△A8C外角/M8C,NNCB的角平分線交于點Q,試探索NQ,NA之

間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖③，延長線段BP,QC交于點E,在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角

的3倍，求/A的度

數(shù)

E

26.（2020秋?射陽縣期末）如圖，在半徑為4的。。中，弦A8長為4.

（1）求點。到A8的距離.

（2）若點C為。。上一點（不與點A,8重合），求NBCA的度數(shù).

27.（2021春?東臺市月考）（1）閱讀并填空：如圖1,BD、CZ）分別是△48C的內(nèi)角NABC、

NACB的平分線.試說明/。=90°的理由.

解：因為8。平分乙4BC（已知），

所以/1=（）.

同理：Z2=.

所以N1+/2=.

因為N4+/ABC+NACB=180°,Z1+Z2+ZD=180°（）,

所以（等式性質(zhì)）.

1

即:ZD=90°+*A.

（2）探究，請直接寫出結(jié)果

（/）如圖2,BD、CQ分別是△ABC的兩個外角NEBC、NFC8的平分線.試探究NQ

與/月之間的等量關(guān)系.

答：ND與NA之間的等量關(guān)系是.

(〃)如圖3,BD、CD分別是△4BC的一個內(nèi)角N4BC和一個外角乙4CE的平分線.試

探究與NA之間的等量關(guān)系.

答：/￡>與/A之間的等量關(guān)系

是.

(3)拓展應(yīng)用

請用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4,在△ABC中，BD、CQ分別平分NA8C、ZACB,

M、N、。分別在08、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分/MBC、ZBCN,BF、

CF分別平分NE8C、NECQ,

(/)ZA=80°,則/尸=；

(〃)ZF=n°,則NA=.

28.(2020秋?鼓樓區(qū)期末)如圖，ZVIBC中，A8=AC,。為BC邊的中點，AFLAD,垂

29.(2020秋?鼓樓區(qū)期末)如圖，N4=NB=90°,E是AB上的一點，且AE=BC,Z1

=Z2.

(1)求證：△ADE絲△8EC；

（2）若M是線段0c的中點，連接EM,請寫出線段EM與A。、BC之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

30.（2020秋?秦淮區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,小正方形的頂點

稱為格點.己知A、B、C都是格點.

（1）小明發(fā)現(xiàn)NA8C是直角，請補全他的思路;

（2）請用一種不同于小明的方法說明NA8C是直角.

小明的思路a：

0先利用勾股定理求出awsc的三條邊長，可

得,45sJ10,BC—,AC—.從

而可得AB，BC,AC之間的數(shù)里關(guān)系是

,根據(jù),

可得乙45c是直角.

2021年江蘇中考數(shù)學(xué)沖刺專題訓(xùn)練一一專題9三角形

參考答案與試題解析

選擇題（共14小題）

1.【解答】解：連接CE,如圖.

AABC的面積為280cm2,BD=3DC,

13

**?SAADC=280X-T=70cm2,SMBD=280x-?=210C/H2.

文AE=DE,

1

S^ABE=S&BDE=2x210=105cm2,

1

S^AEC=S^DEC=2X70=35.

SABEC=S&BDE+SADEC=140,

???△ABE與△BEC面積比為105：140=3：4,

??.△ABE與△BEC高之比為3：4,

即△AEF與△CEF的高之比為3：4,

44

?^S^CEI-7s&AEC=yx35=20,

四邊形EDCF的面積為S^DEC+S^CEF=35+20=55.

故選：B.

：.Z2=Z3,

VZ1=6O°,Z4=45°,

???N3=180°-Z1-Z4=75°,

故選：B.

3.【解答】解：①???C￡>平分NAC8,

：.ZBCA=2ZDCBf

?:/CEG=2NDCB,

；?/CEG=NBCA,

：.EG//BC,故①正確；

②;△ABC的角平分線C。、8E相交于R

1I

：./CBF="CBA,ZBCF=^ZBCA,

VZA=90°,

AZCBA+ZBCA=90°,

：.^CBF+ZBCF=45°,即NOF8=45°,

,/NDFB=|ZCGE,

AZCGE=90°,即CG_LEG.故②正確；

③：CG_LEG,

；./G=90°,

：.ZGCE+ZCEG=9Q0,

VZA=90°,

：.ZBCA+ZABC=W0,

:NCEG=NACB,

NECG=NABC,

VZADC=ZABC+ZDCB,ZGCD=ZECG+ZACD,ZACD=ZDCB,

：.ZADC=ZGCD,故③正確；

④假設(shè)CA平分N2CG,則NECG=/ECB=/CEG,

:.NECG=NCEG=45°,顯然不符合題意，故④錯誤.

故選：C.

4.【解答］解：如圖1,當點P在CQ上，即0<W3B寸，

?..四邊形A8C。是矩形,

z

.\AB=CD=6cmfAD=BC=Scm.

?:CP=Z(an),

1

???SgCE=?x2fX8=18,

如圖2,當點P在AO上，即3<W7時，

,:AE=2BE,

2

：.AE=^AB=4,

VDP=2r-6,AP=S-(2/-6)=14-2九

111

：.S^PCE=ix(4+6)X8-i(2r-6)X6-^(14-2，)X4=18,

解得：r=6；

當點P在AE上，即7VW9時，

PE=18-2L

：.S^APE=1(18-2/)X8=18,

解得：仁竽＜7(舍去).

綜上所述，當仁［或6時的面積會等于18.

4,

故選：C.

3C

圖2

5.【解答】解：正方形的面積=1X1=1,

???第1次操作后右下角的小正方形面積=2，

第2次操作后右下角的小正方形面積=Jx"=(；)2

444

第3次操作后右下角的小正方形面積=(-)3,

4

...第2021次操作后右下角的小正方形面積=(-)2021.

4

故選：C.

6?【解答】解：取A5的中點。，連接CD,如圖所示：

VAC=BC=10,AB=12,

???點。是AB邊中點,

1

：.BD=^AB=6,

：.CD=y]BC2-BD2=V102-62=8,

連接OO,OC,有OCWOD+DC,

當0、D、。共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD,

又???△A08為直角三角形，。為斜邊A8的中點，

1

：.OD=^AB=6,

：.00+8=6+8=14,

即點C到點。的最大距離為14,

故選：C.

7.【解答］解：過B作于

???點8到射線AM的距離為止

:.BD=d,

當C點和。點重合時，x=d,此時aABC是一個直角三角形;

當d<x<a時，此時C點的位置有兩個，即△ABC有兩個:

③如圖，

B

當工2。時，此時aABC是一個三角形;

所以x的范圍是尢=4或元2小

故選：A.

8.【解答】解：

延長EO交5C于點G,作OFLA3于點F,作。”，AC于點H,

\'DE//AC,NC=90°,

：?NBGE=NC=90°,

：.EGLBC,

：.ZDGC=ZDHC=ZC=90°,

???四邊形DGCH為矩形，

拉平分/BAG8。平分NA8C,DFLAB,DHLAC,DGLBC,

:.DF=DH,DG=DF,

:.DH=DG,

???四邊形OGCH為正方形，

在RtABDG和RtABDF中,

(BD=BD

(DF=DGf

：.RtABDG^RtABDF(HL),

:?BF=BG,

同理可得：RtAAHD^RtAAFD,

由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2=\0(),

：.AB=\Ot

沒CH=CG=x,則A”=6-x,3G=8-x,

.\AF=6-x,BF=8-x,

：.AB=IO=AF+BF=6-x+8-x=14-2x,

即14-2x=10,

解得：x=2,

：.CH=CG=2,BG=6,

^DE//AC,

:?叢BEGS/\BAC,

BGEG

???=__9

BCAC

BP-=—,

86

???EG=4.5,

：.DE=EG-OG=4.5-2=2.5,

故選:A.

9.【解答】解：??,8C_LA8,

AZABC=90°,

9：AB=2,BC=\,

：.AC=y/AB2+BC2=V5,

?:CD=BC,

：.AD=AC-CD=y/5-\f

\'AE=AD,

?\AE=y/5—1,

???點E表示的實數(shù)是遍一1.

故選：D.

10?【解答】解：???AO垂直平分BE,

：.AB=AE,

：.NABE=NAEB,

9

\AB=ACf

：.AE=AC,

，ZAEC==NACE,

：.NBEC=ZBEA+ZACE,

9：ZBAC=m0,

???N4BC+NACB=180°-in,

111

AZBEC=^(180°-ZABC-ZACB)=^[180°-(ZABC+ZACB)]=^[180°-(180°

1

-m)]=[m°,

故選：D.

11.【解答】解：???EG〃BC,

:.NCEG=/BCA,

TC。平分NAC8,

:?/BCA=24DCB,

：.ZCEG=2ZDCB,故①正確，

,:CG1.EG,

???NG=90°,

AZGCE+ZCEG=90°,

VZA=90°,

：.ZBCA+ZABC=90°,

?：4CEG=/ACB,

???NECG=NABC,

VZADC=ZABC+ZDCB,NGCD=NECG+NACD,ZACD=ZDCB,

：.ZADC=ZGCD,故②正確，

假設(shè)AC平分N8CG,則NECG=NEC8=NCEG,

；?NECG=/CEG=45。，顯然不符合題意，故③錯誤，

11

?:/DFB=NFCB+/FBC=3(NAC8+NA8C)=45°,-ZCGE=45°,

22

1

???ND昨W/CGE,故④正確,

故選：B.

12.【解答】解如圖，:△ABC沿BE將此三角形對折，又沿BA'再一次對折，點。落在

BE上的C'處，

AZ1=Z2,Z2=Z3,ZCDB=ZC,05=74°,

AZ1=Z2=Z3,

???NA8C=3N3,

在△BCD中，N3+NC+NCO8=180°,

/.Z3+ZC=180°-74°=106°,

在△43。中，

VZA+ZABC+ZC=180°,

.*.20°+2Z3+(Z3+ZC)=180°,

即20°+2/3+106°=180°,

AZ3=27°,

??.NABC=3N3=81°,

ZC=106°-27°=79°,

故選：D.

???添加NA=NO,可利用SAS證明故A正確;

，添加BE=C/，得出BC=￡F,利用SSS證明△ABCg△￡>￡「，故B正確：

添加/AC8=N￡>FE=90°,利用HL證明RtZkABC絲RtZXOEF,故C正確;

故選：D.

14.【解答］解：ND=NB,

理由是：?.?在△4。/和△C8E中

AD=BC

40=乙B,

DF=BE

：.AADF^ACBE(SAS),

即選項力正確；

具備選項A、選項3,選項C的條件都不能推出兩三角形全等，

故選：D.

二.填空題(共1小題)

15.【解答］解：如圖，連接CE

???△ABC的面積為6,EC=2AE.

111

?\AE=-^AC,SMBE=耳x6=2.

??S&BEC=4.

設(shè)S/\AEF=Sr貝！JSACEF=2S.

:?S〉A(chǔ)BF=2-S，S^BFC=4-2S.

又。為BC中點，

.i

??SAABD=2^AABC=3。

:.S^BFD=3-(2-5)=5+1.

1

AS^CDF=2sABFC=2-S,

SABFD=SACDF?B|JS+l=2-S,

解得：S=

:.S四邊形EFOC=SAAOC-S/\A尸石=3-［=J?

故答案為：-

BD

三.解答題（共15小題）

16?【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知，/EAD=NBAC,AE=AD,

：.NEAD-NBAD=ZDAC-/BAD,即/EAB=NDAC,

在△EA8和△￡>AC中，

AE=AD

Z.EAB=Z.DAC9

AB=AC

???△以盛△ZMC（SAS）,

：.EB=DC；

（2）①如圖，

由（1）可知NEAO=NBAC,AE=AD,

*：AB=ACfZABC=50°.

/.ZABC=ZACB=50°.

：.ZBAC=ZEAD=SO°,

9：AE=AD,

：.ZAED=ZADE=50°,

VAEAB^ADAC,

???/ADC=NAEB,

VZBED=50°,

AZADC=ZAEB=ZBED+ZAED=\OO°.

故答案為：100；

②如圖，

A

E

B七

由（1）可知NE4O=N3AC,AE=AD,

'：AB=AC,NABC=500.

/.ZABC=ZACB=50°.

：.ZBAC=ZEAD=SO°,

9：AE=AD,

：.ZAED=ZADE=50°,

AZADC=180°-ZADE=130°,

VAEAB^ADAC,

/.ZAEB=ZADC=\30°,

：.ZBED=ZAEB-ZAED=\30°-50°=80°.

故答案為：80°.

17.【解答】解：分10種情況討論:

(1)如圖1,A。邊與08邊平行時,ZBAD=45a或135°；

(2)如圖2,當AC邊與OB平行時,ZBAD=90°+45°=135°或45°；

(3)如圖3,DC邊與AB邊平行時,ZBAD=600+90°=150°,

(4)如圖4,0c邊與。8邊平行時,ZBAD=135°+30°=165°,

(5)如圖5,DC邊與OB邊平行時，ZBAD=45"-30°=15°；

(6)如圖6,0c邊與A。邊平行時,ZBAD=150+90°=105°,

(7)如圖7,0c邊與邊平行時，/A4Q=30°,

(8)如圖8,0c邊與AO邊平行時,ZBA￡)=30°+45°=75°；

綜上所述：NBA。的所有可能的值為:15°,30°，45°，75°,105°,135°,150°,

165°.

18.【解答】解:(1),：MN±PQ,

ZAOB=9O0,VZOAB=40°,

NABO=90°-ZOAB=50°,

平分NBA。，8/平分NAB。，

11

/.ZIBA=1=ABO=25",ZMB=|=OAS=20°,

AZAIB=\S00-(NIBA+/IAB)=135°.

(2)①???/MBA=NAO8+NBAO=900+40°=130°,

YA/平分NBA。，8c平分/A8M,

11

???NC3A=*NM3A=65°,ZBAI=^ZBAO=2f)°,

9

：ZCBA=ZD+ZBADf

AZD=45°,

故答案為：45.

②不變，

illi

理由：ZD=ZCBA-ZBAD=^ZMBA-^ZBAO=(ZMBA-ZBAO)=^ZAOB=

1

/90。=45°,

??.點A、B在運動的過程中，ZADB=45°.

19.【解答】(1)證明：???A5〃CD

???ZA=ZDCF,

?：AF=CE,

：.AE=CF,

在AABE和△CDF中，

AB=CD

乙A=乙DCF,

AE=CF

：.^ABE^/\CDF(SAS).

(2)VAABE^ACDF,

AZAEB=ZCFD=]OO°,

：.ZBEC=\SO0-100°=80°,

：.ZCBE=lS0°-80°-30°=70°.

20.【解答】解：(1)①NMON=50°,OE平分匕MON,

:?/AOB=/BON=25°,

?:AB"ON,

：.ZABO=25°,

故答案為25°；

②當NBAO=NABD時，NBAD=250,

VZAOB+ZABO+ZOAB=\SO°,

/.ZAOB+ZABO+ZOAC+ZBAD=\^0°,

：.x=ZOAC=}SO°-ZAOB-AABO-180°-25°-25°-25°=105°,

當N3AD=N8QA時、

VZABO=25°,

：?4BAD=77.5°,

：.ZOAB=]SO°-N480-N4O8=180°-25°-35°=130°,

：.x=ZOAC=ZOAB-ZBAD=130°-77.5°=52.5°,

故答案為105°；52.5°；

(2)存在這樣的/OAC,使得△A3。中有一個角是另一個角的兩倍，其x值分別為20；

110；5；125；35；95.

當點O在線段。3上時，

圖2

I當NA5Q=2NOAB=90°時，ZADB=ZDAB=45°,

*.?ZAOD+ZOAC=ZADB,

：.ZOAC=ZADB-ZAOD=45°-25°=20°；

I【當NAQ3=2ND48時，

VZABD=90°,

：.ZADB=60°,

,/ZAOD+ZOAC=4ADB,

：.ZOAC=ZADB-ZAOD=60°-25°=35°；

HI當NQAB=2NAO3時，

VZABD=90°,

AZADB=30°,

???ZAOD+ZOAC=/ADB,

：.ZOAC=ZADB-ZAOD=30°-25°；

當點D在線段OB延長線上時,

M

圖2

I當乙鉆。=2ND48=90°時，ZADB=ZDAB=45°,

VZAOD+ZOAC+ZADB=180°,

AZOAC=1800-ZADB-ZAOD=180°-45°-25°=110°；

II當NAOB=2NQA8時，

VZABD=9Q°,

AZADB=60°,

???NAOD+NOAC+NAQB=180°,

AZOAC=180°-ZADB-ZAOD=180°-60°-25°=95°；

m^ZDAB=2ZADB時，

VZABD=90°,

AZADB=30°,

VZAOrH-ZOAC+ZADB=180°,

???NOAC=180°-ZADB-ZAOD=180°-30°-25°=125°.

綜上所述，存在這樣的NOAC使得AAB。中有一個角是另一個角的兩倍.

其無值分別為20；110；5；125；35；95.

21?【解答】證明：?:XABgXDEF、

:.AB=DE9/B=NE,

,.,4M、ON分別是△ABC和△DEF的中線，

1I

:?BM=^C,EN=泗.

:?BM=EN.

在△A8M和△DE7V中，

(AB=DE

\Z-B=Z-E，

[BM=EN

：./\ABM^/\DEN(SAS),

:*AM=DN.

22.【解答】解：(1)VZA￡P(guān)=180°-Zl,NA￡>P=180°-N3,

；.180°-Zl+1800-Z3+Z2+700=360°,

即/2=N1+N3-7O°；

故答案為：Z1+Z3-700.

(2)結(jié)論：Z3=Z1+Z2-70°.

如圖：

圖⑵

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知，

N4=N1-7O°,N3=/5+/2,

由對頂角可知：/5=/4=/1-70°,

.*.Z3=Z1-700+Z2=Z1+Z2-70°.

(3)如圖①，

由外角的性質(zhì)得：

Z4=Z3-70°,Z1=Z5+Z2,

由對頂角可知：N5=N4=N3-70°,

.\Z1=Z3-70°+/2=N3+/2-70°.

如圖②，

由外角的性質(zhì)得：

Z4=Z3-70°,Z5-Z2+Z1,

由對頂角可知：Z5=Z4,

AZ3-70°=Z1+Z2,

即N3=N1+N2+7O°.

綜上：Z1=Z3+Z2-70°或N3=/l+/2+70°.

23.【解答】解：(1)當B/<BC時，ZBAF<ZBAC,

：.3t<6,

解得t<2,

故答案為0Vf<2；

(2)分兩種情況討論：

①點F在點C左側(cè)時，AE^CF,

貝ij2(r+1)=6-3f,

解得t=1

②當點F在點C的右側(cè)時，AE=CF,

則2(r+1)=3f-6,

解得f=8,

4

綜上所述，U5或8時、AE=CF；

(3)當BF+AE=BC,S?BF+SAACE=S>ABC,

：.3t+2(r+1)=6,

解得t=I.

24.【解答】證明：：AB〃C￡>,

:.ZBAC=ZECD9

在△ABC和△CEO中，

(ZBAC=NECD

\AB=CE，

■=Z-E

:?△ABCelXCED(ASA),

:?BC=ED.

25?【解答】解：(1)VZA=70°,

???NA8C+NACB=180°-ZA=U0°,

*.?點。是NA8C和/AC8的角平分線的交點，

11

：./PBC=^》BC,4PCB=^》CB,

；.NPBC+NPCB=55°,

：.ZBPC=180°-(NPBC+/PCB)=125°；

(2)VZMBC=ZACB+ZA,NNCB=NABC+NA,

：.ZMBC+ZNCB=ZACB+ZA+ZABC+ZA=180°+ZA,

???點Q是NM3C和NNCB的角平分線的交點，

11

I.ZQBC=1乙MBC,ZQCB=.乙NCB,

iii

：.ZQBC+ZQCB=^QMBC+/NCB)=.(180°+ZA)=90°+*〃，

AZe=180°-(/Q8C+NQCB)=180°-(90°=90°一

(3)如圖③中，延長8c到F.

,:CQ為△ABC的外角NNC5的角平分線，

???CE是AABC的外角ZACF的平分線，

???ZACF=2ZECFf

?.,8E平分NA8C,

???/ABC=2/EBC,

■:/ECF=/EBC+/E,

???2NECF=2NEBC+2NE,

BPZACF=NABC+2NE,

,/ZACF=ZABC+ZA,

：.ZA=2ZE,

i

即NE=25，

*.?NEBQ=ZEBC+ZCBQ

11

=RABC+"MBC

=i(ZABC+ZA+ZACB)

=90°,

如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分為四種情況:

①/E8Q=3NE=90°,則NE=30°,ZA=2ZE=60°；

②NEBQ=3NQ,則N0=3O°,ZE=60°,NA=2NE=120°；

③NQ=3NE,則NE=22.5°,ZA=2ZE=45°；

@ZE=3ZQ,則NE=67.5°,ZA=2Z￡=135°,

綜合上述，NA的度數(shù)是45°或60°或120°或135°.

Q

圖③

26.【解答】解：(1)過點。作OELAB于E,連接。4,

'：OELAB,OE過圓心O,

：.AE=BE,ZAEO=90°,

"：AB=4,

：.AE=2,

在RtZXAOE中，40=4,AE=2,

：.0E=V42-22=2V3,

即圓心。到弦AB的距離是2次；

(2)如圖，連接08,

???在RtZXAOE中,AO=4fAE=2,

：.AO=2AEf

：.ZAOE=30°.

???NAO3=60°,

①當點C在優(yōu)弧AB上時，ZACiB=|ZAOB=30°，

②當點C在劣弧AB上時，N4C2B=180°-ZACIB=150°,

綜上所述，NACB的度數(shù)為：30°或150°.

27.【解答】解：(1)解：因為8。平分N4BC(已知)，

所以/1=/NA8C(角平分線定義).

一1

同理：Z2=^ZACB.

所以/1+/2=/(/ABC+/ACB),

因為/A+/A8C+/AC8=180°,/1+/2+/。=180°,(三角形的內(nèi)角和等于180°),

所以/。=180°-1(ZASC+ZACS)(等式性質(zhì)).

即：Z￡>=900+*A.

Ill

故答案為：-ZA3C,一乙4C5,-(ZABC+ZACB),三角形的內(nèi)角和等于180°,180°

222

1

(NABC+NACB).

(2)解：(i)NO與NA之間的等量關(guān)系是：ZD=90°

理由：CD分別是△4BC的兩個外角/EBC、/FC8的平分線,

???/EBD=/DBC,ZBCD=4DCF,

：.ZDBC+ZDCB+ZD=180°,

AZA^-ZABC+ZA