2.2 基本不等式 -(必修第一冊) (教師版)

基本不等式1基本不等式若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當且僅當a=b②基本不等式的幾何證明(當點D、O重合，即a=b時，取到等號)③運用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是個定值，三等指的是不等式中取到等號.2基本不等式及其變形2(調(diào)和均值≤幾何均值≤算術(shù)均值≤平方均值)以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.①a+b≥2ab，3對勾函數(shù)①概念形如y=x+a②圖像③性質(zhì)函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，在第一象限中，當0<x<a時，函數(shù)遞減，當x>④與基本不等式的關(guān)系由圖很明顯得知當x>0時，x=a時取到最小值y其與基本不等式x+ax≥2【題型一】對基本不等式“一正，二定，三等”的理解情況1一正：a求函數(shù)y=【誤解】x+1x【誤解分析】誤解中套用基本不等式，a=x,b=1x，當忽略了【正解】∵x<0∴?x>0,?1∴?x+?1x≥2∴x+故函數(shù)y=x+情況2二定：ab定值求函數(shù)y=【誤解】y【誤解分析】套用基本不等式a=x,b=1x?1，滿足a、b均為正數(shù)，但是最后求不出最值，因為【正解】y=x+(通過湊項得到定值“x?1?1故函數(shù)y=x+情況3三等：取到等號求函數(shù)y=x【誤解】y=x2+5【誤解分析】在誤解中把a=x2+4,b=1x2【正解】y=x2+5x2因為對勾函數(shù)y=t+1t在[2,+∞)上單調(diào)遞增，當t=2時，取得最小值故y=x2+5【題型二】基本不等式運用的常見方法方法1直接法【典題1】設(shè)x>0、y>0、z>0，則三個數(shù)1x+4y、1y+4z、A．都大于4 B．至少有一個大于4 C．至少有一個不小于4 D．至少有一個不大于4【解析】假設(shè)三個數(shù)1x+4y<4且1y相加得：1x由基本不等式得：1x+4x≥4；1y相加得：1x所以假設(shè)不成立，三個數(shù)1x+4y、1y+4z、故選：C．【點撥】本題利用了反證法求解，當遇到“至少”“至多”等的字眼可考慮反證法：先假設(shè)，再推導(dǎo)得到矛盾從而證明假設(shè)不成立.【典題2】設(shè)x>①(x+1x)(y+1y③x2+9x2+5A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x≥2,y+1y≥2，當x+y1x+1y=2+xx2+5+4xx+y+2xy≥2故正確的有三個，故選：C．【點撥】①直接使用基本不等式求解最值時，一是要做到“一正二定三等”，二是要選擇適當?shù)氖阶映洚?a,b".②連等問題本題中④x+y+2xy≥2這里連續(xù)用到基本不等式，這要注意連等問題，即要確定兩個等號是否能同時取到，x+y≥2xy是當x=y時取到等號，2xy+即要同時滿足方程組x=yxy=1(?)才行，而方程組(?)有解即x+y+2xy≥4再看一例子：設(shè)x,y∈R?,x+y=1誤解1：∵x+1x≥2,y+誤解2：∵x+以上兩種解法問題在哪里呢？【典題3】已知實數(shù)a，b滿足ab>0，則aa+b【解析】aa+b?a∵ab>0∴ab+∴1ab【點撥】要用基本不等式的直接法求解需要尋找“乘積為定值的兩個式子”，比如x與1x，ab與2ba方法2湊項法【典題1】若x>1，則函數(shù)y=4x+1x?1的最小值為【解析】y=4x+1x?1=4∴函數(shù)y=4x+1x?1的最小值為【點撥】把4x湊項成4x?1，目的是使得4x?1與【典題2】若x>1，則2x+9x+1+分析：2x、9x+1、1x?1x?1，而它們的和剛好是2x，故想到令【解析】2x+9當且僅當x+1=3，x－1=1，即x=2時取等號，(用了兩次基本不等式，要注意是否能同時取到等號)故2x+9x+1+【典題3】設(shè)a>b>0，則ab+4b2【解析】∵a>b>0∴a?b>0；∴ab+4=ab?b2+1b(a?b)+=b當且即當b(a?b)=1b(a?b)且b∴ab+4b2【點撥】湊項的目的是使得“ab為定值”，它需要一定的技巧！本題觀察到4b2、1b(a?b)方法3湊系數(shù)【典題1】若0<a<12，則a(1?2a)的最大值是【解析】∵0<a<12，∴a>0且則a1?2a當且僅當2a=1?2a,即a=14時等號成立，即a(1?2a)的最大值為【點撥】基本不等式的變形2a+1?2a【典題2】已知a,b為正數(shù)，4a2+b2【解析】因為4a則a1+(這里用到了不等式ab≤a2當且僅當4a【點撥】①不等式ab≤a2+b22把ab，②平時做題要多注意常見二元關(guān)系：倒數(shù)和、積、和、平方和，能夠靈活使用以下不等式能夠達到快速解題的效果.

2方法4巧“1”法【典題1】已知x>0，y>0，x+y=2，則x+y的最大值是【解析】∵x+1≥2x,y+1≥2y(加“1”巧妙的把x與x，y與y聯(lián)系起來)相加得x+y+2≥2即2x+y【典題2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2【解析】∵2xx+2y=(x+2y)?1當且僅當xy=4y故x+2y的最小值為4.【點撥】本題的方法很多，比如消元法、換元法等，但屬巧"1"法最簡潔了！【典題3】設(shè)a>2，b>0，若a+b=3，則1a?2+1【解析】若a+b=3，則(a?2)+b=1，(湊項再利用巧"1"法)則1a?2又由a>2,b>0，則ba?2+a?2則1a?2+1b=2+方法5換元法【典題1】若x>1，則y=x?1x2+x?1的最大值為【解析】令t=x?1，則x=t+1，t>0原式=t當且僅當t=1即x=2時等號成立.故y=x?1x【點撥】本題是屬于求函數(shù)y=【典題1】若a,b∈R?，a+b=1，則a+12【解析】設(shè)s=a+則a=s∵a+b=1∴(這相當已知s2+t2=2求s+t∴s+t即a+12+【點撥】①本題本來是“已知a+b=1求a+12+“已知s2+t2=2求s+t的最大值(2)你說a+1是的，它們的解法本質(zhì)是一樣的，換元法本質(zhì)是“整體思想”.用上換元法更容易找到解答思路.②本題還有其他的解法，可多思考體會下數(shù)學(xué)思維的魅力！【典題2】設(shè)a、b是正實數(shù)，且a+2b=2，則a2a+1+【解析】令a+1=s，2b+1=t，則a=s?1，2b=t?1；由題意得s,t為正實數(shù)，且s?1+t?1=2?s+t=4；∴a(以上純是運算，沒太大難度，作到這就相當于“已知s+t=4，求1s=1當且僅當s=t=2即a=1,b=1即a2a+1+【點撥】本題再次讓你體驗到換元法能把問題轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，本題是分母“換元”，“寧愿分子復(fù)雜些，也想分母簡單些”就這么樸素的想法！方法6不等式法【典題1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b分析：1+2ab=9a+b相當是“關(guān)于ab與a+b的方程”，而由基本不等式a+b≥2ab又確定了“關(guān)于【解析】∵a,b∈(0,+∞)，∴a+b≥2ab由1+2ab=9a+b得ab=整理可得，a+b2解得1≤a+b≤8.【典題2】已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，則2a+b的取值范圍是.【解析】∵a>0，b>0，∴0<2ab≤(2a+b)2(這要確定2ab與2a+b的關(guān)系，想法與上題相似，利用2ab與2a+b的等式關(guān)系與不等關(guān)系最終得到關(guān)于2a+b的不等式而3∴0<3?(2a+b)≤(2a+b∴2a+b的取值范圍是[2,3)．鞏固練習(xí)1(★★)已知a+b+c=2，則ab+bc+ca與2的比較．【答案】ab+bc+ca<2【解析】已知a+b+c=2，因為a+b+c2=a所以3(ab+bc+ca)≤4，解得ab+bc+ca≤4所以ab+bc+ca的值小于2．2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，則xy的最大值為【答案】2【解析】∵正數(shù)x，y滿足x+y+xy=8，∴8－xy=x+y≥2xy，解得0<xy故xy≤4，當且僅當x=y=2時取等號．∴xy的最大值為(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5【答案】5【解析】∵x，y∈R∴3=13當且僅當xy=4yx，4(★★)函數(shù)y=x2+x?5x?2(x【答案】7【解析】令x－2=t，t>0；y=f(x)=(當且僅當t=1，即x=3時，等號成立)，故函數(shù)f(x)=x2+x?55(★★)已知實數(shù)a、b,ab>0，則aba2+b2+a【答案】16【解析】由于a2所以aba故：ab2ab+a26(★★)[多選題]下列說法正確的是()A．x+1x(x>0)的最小值是2 B．C．x2+5x2+4的最小值是2【答案】AB【解析】由基本不等式可知，x>0時，x+1x≥2，當且僅當x=1xB：x2+2x2+2C：x2+5x2+4=x因為y=t+1t在[2，+∞)上單調(diào)遞增，當t=2時，取得最小值52D：2?(3x+4x)在故選：AB．7(★★★)[多選題]設(shè)a>0，b>0，且a+2b=4，則下列結(jié)論正確的是()A．1a+1b的最小值為2 B．C．1a+2b的最小值為9【答案】BC【解析】因為a>0，b>0，且a+2b=4，對于A，1a當且僅當a=42?4，b=4?22對于B，2a當且僅當a=2，b=1時取等號，故選項B正確；對于C，1a當且僅當a=43，b=對于D，當a=43，b=43時，a+2b=4故選：BC．8(★★★)若實數(shù)m，n>0，滿足2m+n=1，以下選項中正確的有()A．mn的最小值為18 B．1m+C．2m+1+9n+2的最小值為5 【答案】D【解析】∵實數(shù)m，n>0，∴整理得：mn≤18，當且僅當n=12m=∵1m+當且僅當m=2?22n=2∵2m+n=1，∴∴2=1當且僅當m=0n=1時取“=“∴2m+1+∵2m+n=1∴1=∴4m2+n2≥故選：D．9(★★★)已知正實數(shù)a，b滿足a+b=1，則2a2+1a+【答案】11【解析】正實數(shù)a，b滿足a+b=1，則2a當且僅當ba=4ab且a+b=1即10(★★★)若正數(shù)x、y滿足x+4y?xy=0，則4x+y的最大值為【答案】49【解析】∵正數(shù)x、y滿足x+4y?xy=0∴y=xx?4∴4當且僅當x－4=4∴4x+y的最大值為11(★★★)已知0<a<1，則11?a+4a的最小值是【答案】9【解析】0<a<1，則=5+a12(★★★)已知a，b∈R，a+b=2，則1a2+1+【答案】2+1【解析】a，b∈R，則1=(a+b令t=ab－1=a(2－a)－1=－a－1則4?2(ab?1)(ab?1令4－2t=s(s≥4)，即t=4?s可得4?2tt由s+32當且僅當s=42，t=2－2可得4s+則1a2+113(★★★)若正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，則aa?1【答案】9【解析】∵正數(shù)a，b滿足1a+1b1a+1b=∴(a－1)(b－1)=1，∴a－1=1∴a當且僅當1a?1=4(a－1)，即a=1±12時取“=”(由于∴aa?1+14(★★★★)已知實數(shù)a>0，b>－2，且滿足2a+b=1，則2a2+1【答案】53【解析】∵實數(shù)a>0，b>－2，且滿足2a+b=1，∴b+2>0，2a+(b+2)=3又∵2∴=－1+13(b+2a故答案為：5315(★★★★)已知x>0，y>0，則2xyx2+8y2【答案】23【解析】2xy=3(令t=xy+當且僅當x=2y時取等號，∵函數(shù)y=t+2∴y=t+2t∴y=t+∴3∴2xy