5.4 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)-(必修第一冊) (教師版)

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期.PS①從解析式f(x+T)=f(x)來看：任一自變量x對應(yīng)函數(shù)值y與x增加T后對應(yīng)函數(shù)值相等；②從圖象看：整體函數(shù)圖象是由一部分圖象像“分身術(shù)”一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長度就是其正周期?、廴呛瘮?shù)就是典型的周期函數(shù).2正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)注表中的k∈Zy=sinxy=cosx圖像定義域RR值域[?1,1][?1,1]最值當(dāng)x=π2+2kπ時，ymax=1；

當(dāng)x=2kπ時，ymax=1；

當(dāng)x=π+2kπ時，周期性2π2π對稱中心kπ,0kπ+對稱軸x=kπ+x=kπ單調(diào)性在?π2+2kπ,π2在?π+2kπ,2kπ上是增函數(shù)；

在2kπ,π+2kπ上是減函數(shù).3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)注表中的k∈Zy=tanx圖像定義域x值域R最值既無最大值也無最小值周期性π對稱中心kπ對稱軸無對稱軸單調(diào)性在(kπ?π

【題型一】求解三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1周期性【典題1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)A.【解析】fx+故π2是y=f(x)的周期，由選項(xiàng)可知選A【點(diǎn)撥】從定義出發(fā)：存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，則T叫做該函數(shù)的周期.【典題2】下列函數(shù)中，最小正周期為π2的是()A．y=sin|x| B．y=cos|2x| C．y=|tanx| D．y=|sin2x|【解析】由圖可知函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故A不正確；由于函數(shù)y=cos|2x|=cos2x的周期為2π2=π，故由圖可知函數(shù)y=|tanx|的周期T=π，故C不正確；由圖可知函數(shù)y=|sin2x|的周期為T=π2，故故選：D．【點(diǎn)撥】①函數(shù)fx=Asin(ωx+φ),fx函數(shù)fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期②利用函數(shù)的對稱變換與翻轉(zhuǎn)變換，利用圖象判斷函數(shù)周期更容易些.性質(zhì)2對稱性【典題1】函數(shù)y=sin(2x+π3A．關(guān)于點(diǎn)(π6,0)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)C．關(guān)于直線x=π6對稱 D．關(guān)于直線【解析】方法1對于函數(shù)y=sin(2x+π(求出函數(shù)的所有對稱軸和對稱中心再判斷)令2x+π3=π2若π12+kπ2=π6，解得k=令2x+π3=kπ，則x=?若?π6+kπ2若?π6+kπ2故選：B．方法2對于函數(shù)y=sin(2x+π當(dāng)x=π6時，2x+π3=2π3當(dāng)x=π3時，2x+π3=π，而(π,0)當(dāng)x=π6時，2x+π3=2π3當(dāng)x=π3時，2x+π3=π，而x=π故選：B．【點(diǎn)撥】本題兩種方法，方法1是求出三角函數(shù)的全部對稱軸或?qū)ΨQ中心(此時把ωx+φ看成整體)，再判斷；方法2是把問題轉(zhuǎn)化正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)判斷；對于三角函數(shù)f①若x=x0是其對稱軸，則ωx②若(x0,B)是其對稱中心，則(ω對于三角函數(shù)fx【典題2】已知函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)(?π2<φ<π2)圖象關(guān)于直線x=5π【解析】∵函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)圖象關(guān)于直線x=5π∴3×5π18+φ=kπ，(y=cosx∴φ=?5π6+kπ由?π2<φ<π2故f(x)=cos(3x+π令f(x)=0得3x+π6=因?yàn)閤∈[0,π]，所以k=0,1,2時，φ=π故零點(diǎn)有三個．性質(zhì)3單調(diào)性【典題1】函數(shù)f(x)=3sin(2πA．[7π12,13π12] B．[π12【解析】(求出函數(shù)的全部減區(qū)間)解?π2+2kπ≤k=0時，π12≤x≤7π12；k=1時，?11π∴[π12,故選：B．【點(diǎn)撥】①復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減函數(shù)f(x)=3sin(2π3?2x)可看成y=3sinu與u=2π3?2x組成復(fù)合函數(shù).因?yàn)閡=2π3?2x是減函數(shù)，求函數(shù)f(x)=3sin(②判斷[7π12,[7π12,?[7π12,?由7π12<x<13π12??故[7π12,13π12]不是作某些選擇題這樣做會簡潔些.【典題2】若f(x)=sin(2x?πA．f(1)>f(2)>f(3) B．f(3)>f(2)>f(1) C．f(2)>f(1)>f(3) D．f(1)>f(3)>f(2)【解析】(顯然選項(xiàng)是由函數(shù)單調(diào)性作出判斷)令?π2+2kπ<2x?故f(x)=sin(2x?π4)由函數(shù)的周期性易得函數(shù)在[3π8,(由于1,2,3在[π其中3比2離對稱軸x=7π8更近些，所以f3<f2所以f(1)>f(2)>f(3)．故選：A．性質(zhì)4最值【典題1】若函數(shù)f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期為π2，則f(x)在【解析】依題意得2πω=π∵x∈[0,π4]∴cos(4x?π3)∈[?12【典題2】已知函數(shù)f(x)=2cos(2x?π3)在[a?π4,a](a∈R)上的最大值為【解析】函數(shù)f(x)=2cos(2x?π3)且對稱軸為x=π6+kπ2，對稱中心f(x)的圖象大致如圖所示；區(qū)間[a?π4,a]設(shè)a?π4,a由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P落在對稱軸上，即a?π8=π6此時y1?y當(dāng)點(diǎn)P落在對稱中心上，即a?π8=5π12此時y1?y∴y1?【點(diǎn)撥】①對于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，由圖可知，相對而言靠近對稱軸位置，函數(shù)值變化較慢，而靠近對稱中心位置函數(shù)值變化較快些.②本題也屬于“縱向距”問題，數(shù)形結(jié)合處理恰當(dāng).鞏固練習(xí)1(★)下列函數(shù)中最小正周期為π的函數(shù)是()A．y=sinx B．y=cos12x 【答案】D【解析】A、函數(shù)y=sinx的最小正周期T=2π，不滿足條件；B、函數(shù)y=cos12xC、y=tan2x的最小正周期為T=πD、y=|sinx|的周期T=π，滿足條件．故選：D．2(★)下列函數(shù)中，關(guān)于直線x=?πA．y=sin(x+π3) BC．y=cos(x+π3) 【答案】D【解析】將x=?π6代入y=cos(2x+π故x=?π6是故選：D．3(★)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x?πA．f(x)的一個周期為?π B．y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2π3C．f(x+π2)的一個零點(diǎn)為x=?π3 【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A、f(x)=cos(2x?π3)，其周期T=2π對于B、f(x)=cos(2x?π3)，令2x?π3=kπ，解可得x=kπ2+π6，即y=f(x)的對稱軸為x=kπ對于C、f(x+π2)=cos(2x+π?π3)=cos(2x+2π3)，當(dāng)x=?π3時，對于D、f(x)=cos(2x?π3)，解可得kπ+π6≤x≤kπ+2π3則函數(shù)在[π6,2π3]上遞減，又由[π3,π2]∈[故選：C．4(★)下列函數(shù)中，以π為周期且在區(qū)間(πA．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=|cosx| D．f(x)=|sinx|【答案】C【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期為12?2π由于f(x)=|sin2x|的周期為12?2π由于f(x)=|cosx|的最小正周期為12?2π=π，在區(qū)間(π2,π)由于f(x)=|sinx|的最小正周期為12?2π=π，在區(qū)間(π2,π)故選：C．5(★)關(guān)于函數(shù)f(x)=|tanx|的性質(zhì)，下列敘述不正確的是()A．f(x)的最小正周期為π2 B．f(x)是偶函數(shù) C．f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ2(k∈ZD．f(x)在每一個區(qū)間(kπ,kπ+π【答案】A【解析】對于函數(shù)f(x)=|tanx|的性質(zhì)，根據(jù)該函數(shù)的圖象知，其最小正周期為π，A錯誤；又f(－x)=|tan(－x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定義域上的偶函數(shù)，B正確；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=kπ2(k∈根據(jù)f(x)的圖象知，f(x)在每一個區(qū)間(kπ,kπ+π2)(k∈故選：A．6(★★)下列函數(shù)中，以2π為周期，x=π2為對稱軸，且在A．y=2|sinx|+sinx B．y=2cos(x+πC．y=sin(2x?π2) D【答案】A【解析】∵y=sin(2x?π2)=－cos2x的周期為2π∵y=cos(2x+π2)=－sin2x的周期為2π對于y=2|sinx|+sinx=3sinx,x∈[2kπ,2kπ+π)?sinx,x∈[2kπ+π,2kπ+2π)，故函數(shù)的周期為當(dāng)x=π2時，y=3，為最大值，故函數(shù)且該函數(shù)在在(0,π2)由于y=tan(x2+π4)，當(dāng)x=π故選：C．7(★★)已知直線x=x1,x=x2則f(xA．2 B．0 C．±2 D．±1【答案】C【解析】由x+π3=kπ+π2得x=kπ+π6y=－cosx的對稱軸為x=k∵直線x=x1，x=x2分別是曲線∴x1=kπ+π6，k∈Z則x1－x2=kπ+則f(x故選：C．8(★★)關(guān)于函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx有下述四個結(jié)論：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的最小值為?2③f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；④f(x)在區(qū)間(π其中所有正確結(jié)論的編號是()A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期為π，cos2x的周期為2π，所以函數(shù)的最小正周期為2π，故函數(shù)為周期函數(shù)．①f(x)是周期函數(shù)；正確．②函數(shù)的最小值為－1，所以：f(x)的最小值為?2③由于f(－x)=f(x)，f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；④f(x)在區(qū)間(π故選：B．9(★★★)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期為π，且關(guān)于A．f(1)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(2)<f(1) C．f(2)<f(0)<f(1) D．f(2)<f(1)<f(0)【答案】【解析】∵函數(shù)的最小周期是π，∴2πω=π則f(x)=sin(2x+φ)，∵f(x)關(guān)于(?π∴2×(?π8)+φ=kπ，k∈Z，即∵0<φ<π∴當(dāng)k=0時，φ=π4，即則函數(shù)在[?π8，π8]上遞增，在[π8∵π4<1<2，∴f(π故選：D．10(★★★)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函數(shù)，若f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，且f(x)在區(qū)間[?πA．?32 B．?12 C．1【答案】A【解析】f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函數(shù)，所以φ=kπ，k∈Z當(dāng)k=1時，φ=π．所以f(x)=sin(ωx+π)=－sinωx，由于f(π所以π4ω=kπ+π2(k∈當(dāng)k=0時，ω=2，函數(shù)f(x)=－sin2x，由于x∈[?π所以2x∈[?π當(dāng)k=1時ω=4+2=6，函數(shù)f(x)=－sin6x，由于x∈[?π所以6x∈[?3π11,當(dāng)k=2時，ω=10，函數(shù)f(x)在區(qū)間[?π所以f(x)=－sin2x，故f(π故選：A．【題型二】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)的值或范圍【典題1】已知ω>0，函數(shù)f(x)=sin(ωx?π4)的圖象在區(qū)間(π2【解析】由ωx?π4=kπ+則y=f(x)的對稱軸x=kπ由y=f(x)在(π2,π)即k+3而對稱軸只有一條，則要滿足(k?1)πω+3π即2k?12≤ω≤k+由①②可得k+34當(dāng)k=0時，由①②可得ω∈(34,32)；當(dāng)當(dāng)k=2時，由①②可得ω∈[7故答案為：(3【點(diǎn)撥】①本題的思路是先求出函數(shù)的對稱軸，再數(shù)形結(jié)合處理；理解“有且僅有一條對稱軸”，存在一條對稱軸在區(qū)間內(nèi)，而其左右的對稱軸在區(qū)間外；②本題涉及到兩個參數(shù)k和ω，求的是ω的取值范圍，方法是得到k和由k∈Z的特殊性求出k的取值(或范圍)，進(jìn)而求ω的取值范圍.【典題2】已知函數(shù)f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω>0)在區(qū)間[?π3【解析】y=|cosx|的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ,kπ+π(注由函數(shù)y=|cosx|圖象易得)由kπ≤ωx+π3≤kπ+即函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ?π3ω，kπ+若f(x)在區(qū)間[?π則kπ?π3ω得ω≤65k+∵ω>0∴k只能取0；當(dāng)k=0時，ω≤15ω≤1，即0<ω≤15【點(diǎn)撥】本題先得到y(tǒng)=|cosx|的單調(diào)減區(qū)間再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到求出f(x)=|cos(ωx+π3)|的減區(qū)間[kπ?π3ω，kπ+π6ω【典題3】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在區(qū)間[?2π3，5π6]A．(0,15] B．[12,35【解析】方法一復(fù)合函數(shù)法令u=ωx+π3，?2π∴函數(shù)y=sinu在區(qū)間[?2π∴[?2π3ω+當(dāng)0≤x≤π時，π3∴函數(shù)y=sinu在區(qū)間[π3,πω+∴π2≤πω+綜上所知16≤ω≤1方法二特殊值法當(dāng)ω=12時，令u=x則0≤u≤3π4，則函數(shù)y=sinu在區(qū)間∴ω=12不合題意，排除當(dāng)ω=112時，令u=則π3≤u≤5π12，則函數(shù)y=sinu在區(qū)間∴ω=112不合題意，排除A．故選：【點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)的值或范圍此類問題，往往都會限制函數(shù)在某個區(qū)間上的對稱軸、單調(diào)性、最值等，此時最簡單的想法就是先求出該函數(shù)的全部對稱軸、單調(diào)區(qū)間等，再結(jié)合函數(shù)的圖象判斷求出來的對稱軸、單調(diào)性等與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系！鞏固練習(xí)1(★★)設(shè)f(x)=3sin(ωx?π12)+1，若f(x)在[?π3,【答案】(0,54【解析】設(shè)f(x)=3sin(ωx?π12)+1，在[?π3,π6由于f(x)為增函數(shù)，∴?ωπ3?求得0<ω≤54，故選：2(★★)已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12【答案】4【解析】由函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)可得ω?π12+π6≤π3(★★)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+?),A>0,ω>0,若f(x)在區(qū)間[π6,π2]上單調(diào)，且【答案】π【解析】函數(shù)f(x)=sin(ωx+?)，A>0，ω>0，若f(x)在區(qū)間[π則T2=π∵f(π2)=f(2π3且(π6+π22∴T4=144(★★★)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)滿足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在區(qū)間(π【答案】3【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，則T=2π∵f(π4)=1∴π2?π4=2n?1又f(x)在區(qū)間(π∴π3?∴n可以為1,2,3，即ω為2,6,10共3個值．5(★★★)已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間[0,π]上的值域?yàn)閇?1,32【答案】[【解析】在區(qū)間[0,π]上，ωx+πf(x)=cos(ωx+π6)的值域?yàn)閇－1，∴ωπ+π6∈[π，11π6]，【題型三】綜合解答題【典題1】已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π(1)當(dāng)x1∈(?π2,?(2)令Fx=fx?3，若對任意x都有【解析】(1)f(x1)+f(x即有sin2可得2x1?即有x1+x由x1可得x1?x2Fx=f令t=F(x)，可得t∈[?4,?2]，對任意x都有F2即為t2?(2+m)t+2+m≤0，則16+4(2+m)+2+m≤0,4+2(2+m)+2+m≤0解得m≤?265，即m的最大值為【點(diǎn)撥】①若sinα=sinβ，則α=2kπ+β或α=2kπ+π?β②第二問涉及恒成立問題，采取了二次函數(shù)零點(diǎn)的分布問題的方法即通過二次函數(shù)的圖象分析便可求解.【典題2】已知函數(shù)f(x)=sin(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)(2)如果對于區(qū)間[0,π2]上的任意一個x，都有f(x)≤1【解析】(1)當(dāng)a=1時，∵cosx∈[?1,1]，∴當(dāng)cosx=12，即x=2kπ±π(2)依題得sin2即a(cosx+1)≤cos2x當(dāng)x∈[0,π2]時，0≤cosx≤1∴a≤cos2x令t=cosx+1，則∴a≤(t－1)2t于是a≤(t+1又∵t+1t?2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t∴a≤0．【點(diǎn)撥】第二問涉及恒成立問題，利用了分離參數(shù)法和換元法.鞏固練習(xí)1(★★★)已知函數(shù)f(x)=3