5.4 三角函數的圖像與性質-(必修第一冊) (教師版)

三角函數的圖像與性質1周期函數一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，T叫做該函數的周期.PS①從解析式f(x+T)=f(x)來看：任一自變量x對應函數值y與x增加T后對應函數值相等；②從圖象看：整體函數圖象是由一部分圖象像“分身術”一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長度就是其正周期?、廴呛瘮稻褪堑湫偷闹芷诤瘮?2正弦函數，余弦函數的圖像與性質注表中的k∈Zy=sinxy=cosx圖像定義域RR值域[?1,1][?1,1]最值當x=π2+2kπ時，ymax=1；

當x=2kπ時，ymax=1；

當x=π+2kπ時，周期性2π2π對稱中心kπ,0kπ+對稱軸x=kπ+x=kπ單調性在?π2+2kπ,π2在?π+2kπ,2kπ上是增函數；

在2kπ,π+2kπ上是減函數.3正切函數的圖像與性質注表中的k∈Zy=tanx圖像定義域x值域R最值既無最大值也無最小值周期性π對稱中心kπ對稱軸無對稱軸單調性在(kπ?π

【題型一】求解三角函數的性質性質1周期性【典題1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)A.【解析】fx+故π2是y=f(x)的周期，由選項可知選A【點撥】從定義出發(fā)：存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，則T叫做該函數的周期.【典題2】下列函數中，最小正周期為π2的是()A．y=sin|x| B．y=cos|2x| C．y=|tanx| D．y=|sin2x|【解析】由圖可知函數y=sin|x|不是周期函數，故A不正確；由于函數y=cos|2x|=cos2x的周期為2π2=π，故由圖可知函數y=|tanx|的周期T=π，故C不正確；由圖可知函數y=|sin2x|的周期為T=π2，故故選：D．【點撥】①函數fx=Asin(ωx+φ),fx函數fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期②利用函數的對稱變換與翻轉變換，利用圖象判斷函數周期更容易些.性質2對稱性【典題1】函數y=sin(2x+π3A．關于點(π6,0)對稱 B．關于點C．關于直線x=π6對稱 D．關于直線【解析】方法1對于函數y=sin(2x+π(求出函數的所有對稱軸和對稱中心再判斷)令2x+π3=π2若π12+kπ2=π6，解得k=令2x+π3=kπ，則x=?若?π6+kπ2若?π6+kπ2故選：B．方法2對于函數y=sin(2x+π當x=π6時，2x+π3=2π3當x=π3時，2x+π3=π，而(π,0)當x=π6時，2x+π3=2π3當x=π3時，2x+π3=π，而x=π故選：B．【點撥】本題兩種方法，方法1是求出三角函數的全部對稱軸或對稱中心(此時把ωx+φ看成整體)，再判斷；方法2是把問題轉化正弦函數y=sinx的性質判斷；對于三角函數f①若x=x0是其對稱軸，則ωx②若(x0,B)是其對稱中心，則(ω對于三角函數fx【典題2】已知函數f(x)=cos(3x+φ)(?π2<φ<π2)圖象關于直線x=5π【解析】∵函數f(x)=cos(3x+φ)圖象關于直線x=5π∴3×5π18+φ=kπ，(y=cosx∴φ=?5π6+kπ由?π2<φ<π2故f(x)=cos(3x+π令f(x)=0得3x+π6=因為x∈[0,π]，所以k=0,1,2時，φ=π故零點有三個．性質3單調性【典題1】函數f(x)=3sin(2πA．[7π12,13π12] B．[π12【解析】(求出函數的全部減區(qū)間)解?π2+2kπ≤k=0時，π12≤x≤7π12；k=1時，?11π∴[π12,故選：B．【點撥】①復合函數的單調性：同增異減函數f(x)=3sin(2π3?2x)可看成y=3sinu與u=2π3?2x組成復合函數.因為u=2π3?2x是減函數，求函數f(x)=3sin(②判斷[7π12,[7π12,?[7π12,?由7π12<x<13π12??故[7π12,13π12]不是作某些選擇題這樣做會簡潔些.【典題2】若f(x)=sin(2x?πA．f(1)>f(2)>f(3) B．f(3)>f(2)>f(1) C．f(2)>f(1)>f(3) D．f(1)>f(3)>f(2)【解析】(顯然選項是由函數單調性作出判斷)令?π2+2kπ<2x?故f(x)=sin(2x?π4)由函數的周期性易得函數在[3π8,(由于1,2,3在[π其中3比2離對稱軸x=7π8更近些，所以f3<f2所以f(1)>f(2)>f(3)．故選：A．性質4最值【典題1】若函數f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期為π2，則f(x)在【解析】依題意得2πω=π∵x∈[0,π4]∴cos(4x?π3)∈[?12【典題2】已知函數f(x)=2cos(2x?π3)在[a?π4,a](a∈R)上的最大值為【解析】函數f(x)=2cos(2x?π3)且對稱軸為x=π6+kπ2，對稱中心f(x)的圖象大致如圖所示；區(qū)間[a?π4,a]設a?π4,a由圖可知，當點P落在對稱軸上，即a?π8=π6此時y1?y當點P落在對稱中心上，即a?π8=5π12此時y1?y∴y1?【點撥】①對于正弦函數、余弦函數，由圖可知，相對而言靠近對稱軸位置，函數值變化較慢，而靠近對稱中心位置函數值變化較快些.②本題也屬于“縱向距”問題，數形結合處理恰當.鞏固練習1(★)下列函數中最小正周期為π的函數是()A．y=sinx B．y=cos12x 【答案】D【解析】A、函數y=sinx的最小正周期T=2π，不滿足條件；B、函數y=cos12xC、y=tan2x的最小正周期為T=πD、y=|sinx|的周期T=π，滿足條件．故選：D．2(★)下列函數中，關于直線x=?πA．y=sin(x+π3) BC．y=cos(x+π3) 【答案】D【解析】將x=?π6代入y=cos(2x+π故x=?π6是故選：D．3(★)設函數f(x)=cos(2x?πA．f(x)的一個周期為?π B．y=f(x)的圖象關于直線x=2π3C．f(x+π2)的一個零點為x=?π3 【答案】C【解析】根據題意，依次分析選項：對于A、f(x)=cos(2x?π3)，其周期T=2π對于B、f(x)=cos(2x?π3)，令2x?π3=kπ，解可得x=kπ2+π6，即y=f(x)的對稱軸為x=kπ對于C、f(x+π2)=cos(2x+π?π3)=cos(2x+2π3)，當x=?π3時，對于D、f(x)=cos(2x?π3)，解可得kπ+π6≤x≤kπ+2π3則函數在[π6,2π3]上遞減，又由[π3,π2]∈[故選：C．4(★)下列函數中，以π為周期且在區(qū)間(πA．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=|cosx| D．f(x)=|sinx|【答案】C【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期為12?2π由于f(x)=|sin2x|的周期為12?2π由于f(x)=|cosx|的最小正周期為12?2π=π，在區(qū)間(π2,π)由于f(x)=|sinx|的最小正周期為12?2π=π，在區(qū)間(π2,π)故選：C．5(★)關于函數f(x)=|tanx|的性質，下列敘述不正確的是()A．f(x)的最小正周期為π2 B．f(x)是偶函數 C．f(x)的圖象關于直線x=kπ2(k∈ZD．f(x)在每一個區(qū)間(kπ,kπ+π【答案】A【解析】對于函數f(x)=|tanx|的性質，根據該函數的圖象知，其最小正周期為π，A錯誤；又f(－x)=|tan(－x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定義域上的偶函數，B正確；根據函數f(x)的圖象知，f(x)的圖象關于直線x=kπ2(k∈根據f(x)的圖象知，f(x)在每一個區(qū)間(kπ,kπ+π2)(k∈故選：A．6(★★)下列函數中，以2π為周期，x=π2為對稱軸，且在A．y=2|sinx|+sinx B．y=2cos(x+πC．y=sin(2x?π2) D【答案】A【解析】∵y=sin(2x?π2)=－cos2x的周期為2π∵y=cos(2x+π2)=－sin2x的周期為2π對于y=2|sinx|+sinx=3sinx,x∈[2kπ,2kπ+π)?sinx,x∈[2kπ+π,2kπ+2π)，故函數的周期為當x=π2時，y=3，為最大值，故函數且該函數在在(0,π2)由于y=tan(x2+π4)，當x=π故選：C．7(★★)已知直線x=x1,x=x2則f(xA．2 B．0 C．±2 D．±1【答案】C【解析】由x+π3=kπ+π2得x=kπ+π6y=－cosx的對稱軸為x=k∵直線x=x1，x=x2分別是曲線∴x1=kπ+π6，k∈Z則x1－x2=kπ+則f(x故選：C．8(★★)關于函數f(x)=|sinx|+cosx有下述四個結論：①f(x)是周期函數；②f(x)的最小值為?2③f(x)的圖象關于y軸對稱；④f(x)在區(qū)間(π其中所有正確結論的編號是()A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【解析】函數f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期為π，cos2x的周期為2π，所以函數的最小正周期為2π，故函數為周期函數．①f(x)是周期函數；正確．②函數的最小值為－1，所以：f(x)的最小值為?2③由于f(－x)=f(x)，f(x)的圖象關于y軸對稱；④f(x)在區(qū)間(π故選：B．9(★★★)已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期為π，且關于A．f(1)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(2)<f(1) C．f(2)<f(0)<f(1) D．f(2)<f(1)<f(0)【答案】【解析】∵函數的最小周期是π，∴2πω=π則f(x)=sin(2x+φ)，∵f(x)關于(?π∴2×(?π8)+φ=kπ，k∈Z，即∵0<φ<π∴當k=0時，φ=π4，即則函數在[?π8，π8]上遞增，在[π8∵π4<1<2，∴f(π故選：D．10(★★★)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函數，若f(x)的圖象關于直線x=π4對稱，且f(x)在區(qū)間[?πA．?32 B．?12 C．1【答案】A【解析】f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函數，所以φ=kπ，k∈Z當k=1時，φ=π．所以f(x)=sin(ωx+π)=－sinωx，由于f(π所以π4ω=kπ+π2(k∈當k=0時，ω=2，函數f(x)=－sin2x，由于x∈[?π所以2x∈[?π當k=1時ω=4+2=6，函數f(x)=－sin6x，由于x∈[?π所以6x∈[?3π11,當k=2時，ω=10，函數f(x)在區(qū)間[?π所以f(x)=－sin2x，故f(π故選：A．【題型二】根據三角函數性質求解參數的值或范圍【典題1】已知ω>0，函數f(x)=sin(ωx?π4)的圖象在區(qū)間(π2【解析】由ωx?π4=kπ+則y=f(x)的對稱軸x=kπ由y=f(x)在(π2,π)即k+3而對稱軸只有一條，則要滿足(k?1)πω+3π即2k?12≤ω≤k+由①②可得k+34當k=0時，由①②可得ω∈(34,32)；當當k=2時，由①②可得ω∈[7故答案為：(3【點撥】①本題的思路是先求出函數的對稱軸，再數形結合處理；理解“有且僅有一條對稱軸”，存在一條對稱軸在區(qū)間內，而其左右的對稱軸在區(qū)間外；②本題涉及到兩個參數k和ω，求的是ω的取值范圍，方法是得到k和由k∈Z的特殊性求出k的取值(或范圍)，進而求ω的取值范圍.【典題2】已知函數f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω>0)在區(qū)間[?π3【解析】y=|cosx|的單調遞減區(qū)間為[kπ,kπ+π(注由函數y=|cosx|圖象易得)由kπ≤ωx+π3≤kπ+即函數y=f(x)的單調遞減區(qū)間為[kπ?π3ω，kπ+若f(x)在區(qū)間[?π則kπ?π3ω得ω≤65k+∵ω>0∴k只能取0；當k=0時，ω≤15ω≤1，即0<ω≤15【點撥】本題先得到y(tǒng)=|cosx|的單調減區(qū)間再由復合函數單調性得到求出f(x)=|cos(ωx+π3)|的減區(qū)間[kπ?π3ω，kπ+π6ω【典題3】已知函數f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在區(qū)間[?2π3，5π6]A．(0,15] B．[12,35【解析】方法一復合函數法令u=ωx+π3，?2π∴函數y=sinu在區(qū)間[?2π∴[?2π3ω+當0≤x≤π時，π3∴函數y=sinu在區(qū)間[π3,πω+∴π2≤πω+綜上所知16≤ω≤1方法二特殊值法當ω=12時，令u=x則0≤u≤3π4，則函數y=sinu在區(qū)間∴ω=12不合題意，排除當ω=112時，令u=則π3≤u≤5π12，則函數y=sinu在區(qū)間∴ω=112不合題意，排除A．故選：【點撥】根據三角函數性質求解參數的值或范圍此類問題，往往都會限制函數在某個區(qū)間上的對稱軸、單調性、最值等，此時最簡單的想法就是先求出該函數的全部對稱軸、單調區(qū)間等，再結合函數的圖象判斷求出來的對稱軸、單調性等與區(qū)間端點的關系！鞏固練習1(★★)設f(x)=3sin(ωx?π12)+1，若f(x)在[?π3,【答案】(0,54【解析】設f(x)=3sin(ωx?π12)+1，在[?π3,π6由于f(x)為增函數，∴?ωπ3?求得0<ω≤54，故選：2(★★)已知函數f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12【答案】4【解析】由函數f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)可得ω?π12+π6≤π3(★★)設函數f(x)=sin(ωx+?),A>0,ω>0,若f(x)在區(qū)間[π6,π2]上單調，且【答案】π【解析】函數f(x)=sin(ωx+?)，A>0，ω>0，若f(x)在區(qū)間[π則T2=π∵f(π2)=f(2π3且(π6+π22∴T4=144(★★★)已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)滿足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在區(qū)間(π【答案】3【解析】設函數的最小正周期為T，則T=2π∵f(π4)=1∴π2?π4=2n?1又f(x)在區(qū)間(π∴π3?∴n可以為1,2,3，即ω為2,6,10共3個值．5(★★★)已知函數f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間[0,π]上的值域為[?1,32【答案】[【解析】在區(qū)間[0,π]上，ωx+πf(x)=cos(ωx+π6)的值域為[－1，∴ωπ+π6∈[π，11π6]，【題型三】綜合解答題【典題1】已知函數f(x)=sin(2x?π(1)當x1∈(?π2,?(2)令Fx=fx?3，若對任意x都有【解析】(1)f(x1)+f(x即有sin2可得2x1?即有x1+x由x1可得x1?x2Fx=f令t=F(x)，可得t∈[?4,?2]，對任意x都有F2即為t2?(2+m)t+2+m≤0，則16+4(2+m)+2+m≤0,4+2(2+m)+2+m≤0解得m≤?265，即m的最大值為【點撥】①若sinα=sinβ，則α=2kπ+β或α=2kπ+π?β②第二問涉及恒成立問題，采取了二次函數零點的分布問題的方法即通過二次函數的圖象分析便可求解.【典題2】已知函數f(x)=sin(1)當a=1時，求函數(2)如果對于區(qū)間[0,π2]上的任意一個x，都有f(x)≤1【解析】(1)當a=1時，∵cosx∈[?1,1]，∴當cosx=12，即x=2kπ±π(2)依題得sin2即a(cosx+1)≤cos2x當x∈[0,π2]時，0≤cosx≤1∴a≤cos2x令t=cosx+1，則∴a≤(t－1)2t于是a≤(t+1又∵t+1t?2≥0，當且僅當t∴a≤0．【點撥】第二問涉及恒成立問題，利用了分離參數法和換元法.鞏固練習1(★★★)已知函數f(x)=3