數(shù)學例題與探究：和角公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1計算:。思路分析:考查兩角和與差的三角函數(shù).10°、20°角直觀上看似沒有聯(lián)系，但是兩者的和角是30°為特殊角，所以把10°等價代換成30°—20°后就可以用兩角差的公式化簡。解：==.綠色通道:本題是無條件的三角函數(shù)求值問題，這是三角函數(shù)中的重要內容，是高考?？疾榈膬热葜?，對于這類非特殊角的三角函數(shù)式，求解具體數(shù)值一般有以下途徑：（1)將非特殊角化為特殊角的和或差的形式；(2）化為正負相消的項，消項，求值；(3)化為分子、分母形式,進行約分求值;（4)利用誘導公式化任意角的三角函數(shù)為在［0，]內的三角函數(shù)；(5）特別注意誘導公式±α的應用；（6）化切函數(shù)為弦函數(shù)；（7）善于逆用和變形三角函數(shù)的和差公式。在進行求值過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則才進行各局部的變形。變式訓練1(2006陜西高考卷，理13）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為__________________.思路解析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos（43°+77°)=cos120°=-。答案：-變式訓練2求sincos—sinsin的值.思路分析:觀察分析這些角的聯(lián)系，會發(fā)現(xiàn)=—，即與是互余的兩角，因此可用誘導公式將sinπ9變?yōu)閏os,進而用和差角的正余弦公式求解.解：sincos-sinsin=sincos-sin(-）sinsincos—cossin=sin（—）=sin=.例2(2006重慶高考卷，理13)已知α、β∈(，π),sin（α+β）=-，sin（β-）=，則cos（α+）=________________.思路解析:考查三角函數(shù)求值以及角的變換。利用α+=（α+β)-(β-)來求值.∵α、β∈（,π）,∴（α+β)∈(,2π)?！郼os(α+β）=1—sin2（α+β)=.又(β—)∈（,),∴cos(β-)=—.∴cos（α+)=cos［(α+β)-(β-）］=cos（α+β）cos（β—)+sin（α+β）sin(β-）=(-)+(-）=—.答案:—綠色通道:本題屬于“知值求值”的題目，“變角”的技巧在于三角函數(shù)求值以及證明中常用，因為變角后可充分利用已知條件中的三角函數(shù)值來計算或證明.常見的角的變換方式:α=（α+β）—β，2α=（α+β)+(α—β），α+2β=(α+β)+β等,變換的方式很多，需要自己慢慢的體會和探索。黑色陷阱:求解時如果將sin(α+β）和sin（β-)展開，通過解方程組求sinβ和cosβ，那么運算量會很大，會因解方程組而陷入困境。變式訓練1已知cosα=，cos（α+β)=—,且α、β∈（0，），求cosβ的值。思路分析:觀察得β=（α+β)-α，再利用兩角差的余弦公式展開，求出結果。解：∵α、β∈(0，)，∴0＜α+β＜π.∵cosα=，cos(α+β）=-，∴sinα=1-cos2α==，sin（α+β）==-=.∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=—×+×=?！郼osβ=.變式訓練2已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=，求cos(α—β)的值.思路分析:由于cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ,欲求cos（α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值,而要得到兩組同名三角函數(shù)乘積，需將條件中的兩式平方再相加,即得cosαcosβ+sinαsinβ的結果.解：∵（sinα+sinβ)2=,(cosα+cosβ）2=，∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β=，①cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，∴2+2cos（α—β)=1?！郼os(α—β)=-。例3已知銳角α、β滿足sinα=，cosβ=，求α+β。思路分析:本題是考查兩角和與差余弦公式的應用，及已知三角函數(shù)值求角的問題。要求α+β的值，需先求α+β的一個三角函數(shù)值，再根據(jù)角的范圍確定角的具體值。解：∵α、β是銳角，∴cosα===,sinβ===。∴cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ=·—·=.由于0＜α＜，0＜β＜,得到0＜α+β＜π，∴α+β=.綠色通道：本題是“知值求角”的題目。其解題策略是先求角的一個三角函數(shù)值，再由角的范圍確定角的大小,通常情況下，所求的角是特殊角。選擇求角的三角函數(shù)值方法：已知正切函數(shù)值，選擇求正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值,選擇求正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是(0，)，有時選正弦函數(shù),有時選余弦函數(shù);若角的范圍是(—，），選正弦函數(shù)比余弦函數(shù)好；若角的范圍是（0,π)，則選余弦函數(shù)比正弦函數(shù)好。黑色陷阱：本題若是改求sin（α+β）的值,則會得到α+β有兩個值，這樣還要將α+β的范圍(0,π)再縮小才行，問題就變得復雜了。變式訓練1已知sinα=，sinβ=,且α、β均為鈍角,求α+β的值。思路分析:先求cos（α+β)的值，再確定α+β的值。解：∵α和β均為鈍角，∴cosα=—=—，cosβ=-=—.∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=—×(—）-×=。由α和β均為鈍角得π＜α+β＜2π，∴α+β=.變式訓練2已知tan(α-β)=，tanβ=-，且α、β∈(0,π），求2α-β的值.思路分析:轉化為2α-β的正切值，其中注意角的變換2α—β=（α—β)+α.解:∵tan(α—β)==，∴=.∴tanα=.∴0＜tanα＜tan=1。又∵α∈(0,π)，∴α∈（0，）?！?α∈（0,）?！擀隆?0，π)，tanβ=-,∴β∈(,π）?！唷校?α—β＜0?！遲an(2α—β）=tan［（α—β)+α]===1＞0，∴2α—β=-。例4（2006上海春季高考卷，19）已知函數(shù)f(x）=2sin(x+)-2cosx，x∈［，π].(1）若sinx=,求函數(shù)f(x)的值；（2）求函數(shù)f(x)的值域。思路分析:本題主要考查三角函數(shù)的性質和三角恒等變換.先將f（x）的解析式恒等變形，再解決其他問題。解：（1)∵sinx=,x∈［，π］，∴cosx=-，f（x)=2（sinx+cosx)—2cosx=sinx—cosx.∴當sinx=時，函數(shù)f（x）=×-（—）=+。（2）f（x）=2sin（x+)—2cosx=sinx-cosx=2sin（x—）.∵≤x≤π，∴≤x-≤5π[]6.∴≤sin(x—）≤1.∴函數(shù)f（x）的值域為[1,2］.綠色通道:討論三角函數(shù)的性質時，通常先將函數(shù)的解析式化簡為y=Asin(ωx+φ)+b的形式,有時利用換元法轉化為二次函數(shù)，再討論其性質.變式訓練1(2006廣州二模,11）函數(shù)y=sin2x—cos2x的最大值是_________________.思路解析：化為y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值。y=sin2x—cos2x=2sin(2x—）,則最大值為2。答案：2變式訓練2已知函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1)若x∈R，求函數(shù)的最大值和最小值；（2）若x∈［0,］，求函數(shù)的最大值和最小值。思路分析：將sinx+cosx平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx和2sinxcosx可用一個未知數(shù)代替,這樣利用換元法就可以轉化為二次函數(shù)問題.解:(1）設t=sinx+cosx=sin(x+)?！選∈R，∴—≤t≤.則t2=1+2sinxcosx，∴2sinxcosx=t2-1.∴y=t2+t+1=(t+）2+，—≤t≤.∴當t=時，y取最大值3+；當t=-時,y取最小值。∴ymax=3+,ymin=.(2）若x∈[0，π2］,則t∈［1，]。∴y∈[3，3+]，即ymax=3+，ymin=3。問題探究問題1(1)試分別計算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC的值:①在等邊三角形ABC中；②A=210°，B=120°，C=30°；③A=—150°,B=30°，C=-60°.（2)由（1）你發(fā)現(xiàn)了什么結論？并加以證明。(3)利用(2）的結論計算的值。導思:從A+B+C的結果上歸納并猜想出結論。探究:（1)①由題意得A=B=C=60°.tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60°=++-××=0；②tanA+tanB+tanC—tanAtanBtanC=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30°=+(-）+—×(—）×=0；③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150°)+tan30°+tan（—60°)—tan(—150°）tan30°tan(—60°）=++(—）-××（-）=0.(2）在(1)①中A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC—tanAtanBtanC=0；在(1)②中A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC—tanAtanBtanC=0；在（1)③中A+B+C=—180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；猜想：當A+B+C=k·180°(k∈Z)，A,B，C≠k·180°+90°時，有tanA+tanB+tanC=tanAtanB