數(shù)學例題與探究：平面向量的數(shù)量積

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1（2006全國高考卷Ⅰ，文1）已知向量a、b滿足|a｜=1,|b｜=4,且a·b=2，則a與b的夾角為（)A.B.C。D.思路解析:考查向量數(shù)量積的坐標運算和向量的有關概念以及向量垂直的條件?！遚os〈a,b〉==,〈a,b〉∈[0，π］，∴〈a，b〉=。答案:C綠色通道：求向量a與b的夾角步驟：（1)計算b·a，｜a|，｜b|；（2）計算cos〈a，b〉；（3）根據(jù)范圍確定夾角的大小.變式訓練1（2006廣東廣州二模）若｜a｜=1，｜b|=，(a-b）⊥a,則向量a與b的夾角為()A.30°B。45°C。90°D.135°思路解析：設a與b的夾角為θ，∵（a—b）·a=0，∴|a|2-b·a=0。∴b·a=1?！郼osθ==。又∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°。答案:B變式訓練2已知a=（1，)，b=(+1，—1），則a與b的夾角是多少？思路分析：利用向量數(shù)量積的坐標運算來求夾角的余弦值。解：設a與b的夾角為θ，∵a=（1，)，b=（+1，-1)，∴a·b=+1+(—1）=4，|a|=2,|b｜=2?！郼osθ==.又∵0≤θ≤π,∴θ=,即a與b的夾角是.變式訓練3已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a—5b垂直，a—4b與7a-2b垂直，求a與思路分析:求a與b的夾角余弦值，只要求出a·b與｜a｜、|b｜即可.解：∵（a+3b)⊥(7a—5b∴(a+3b）·(7a-5b∴7a2+16a·b—15b又∵(a—4b）⊥(7a-2b∴(a—4b）·（7a—2b∴7a2—30a·b+8b①—②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=｜b｜2。代入①式，得7｜a｜2+8｜b|2—15|b|2=0，故有|a|2=|b｜2,即|a｜=|b|?！郼os〈a，b〉===。又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴<a,b>=60°，即a與b的夾角為60°.變式訓練4已知△ABC中，a=5，b=8,BC·CA=—20，試求∠C.有位同學求解如下：解:如圖2—3-5，∵｜｜=a=5，|｜=圖2∴cos∠C===-.又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°。這位同學的解答正確嗎?如果你是他的數(shù)學老師，你會給他寫什么批語？思路解析:上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，由于與兩向量的起點并不同，故∠C≠<,〉，而是∠C+〈，〉=180°，則cos〈,>===—.又∵0°≤〈，〉≤180°,∴〈,〉=120°.∴∠C=60°。答案：這位同學的解答不正確，∠C=60°。批語是：如果你再理解了向量夾角的定義，那么你就成功了，請你再試試吧.例2已知向量a、b不共線,且｜2a+b|=｜a+2b|，求證：(a+b）⊥(a—b思路分析：考查向量垂直的條件以及向量的數(shù)量積.證明(a+b）與(a-b）垂直，轉化為證明(a+b)與（a-b)的數(shù)量積為零,也可以利用向量線性運算的幾何意義來證明.證法一：∵|2a+b｜=｜a+2b∴（2a+b)2=（a+2b）2∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2∴a2=b2?！啵╝+b)·(a—b）=a2-b2=0。又a與b不共線，a+b≠0，a-b≠0,∴（a+b）⊥(a-b).證法二：如圖2-3—6所示，在平行四邊形OCED中，設=a，=圖2則有2a+b=，a+2b=，a+b=，a—b=，∵｜2a+b|=|a+2b∴｜|=｜|.∴△OMN是等腰三角形.可證F是MN的中點.∴OE⊥BA.∴⊥.∴⊥?！?a+b）⊥（a—b).綠色通道:證明向量垂直的兩種方法：（1）應用化歸思想，轉化為證明這兩個向量的數(shù)量積為0.(2)應用向量加減法的幾何意義來證明.變式訓練已知向量a、b均為非零向量，且｜a|=|b｜，求證：(a-b)⊥（a+b).思路分析：轉化為證明向量(a—b）和（a+b）的數(shù)量積為0；或應用向量加減法的幾何意義來證明。證法一:如圖2—圖2設=a，=b，則a—b=，a+b=。∴||=||.∴四邊形OACB是菱形。∴OC⊥BA。∴⊥，即(a-b)⊥（a+b).證法二：∵|a|=｜b|，∴（a-b）·（a+b）=a2—b2=|a|2-|b|2=0.∵a、b均為非零向量，∴a-b≠0，a+b≠0.∴（a-b)⊥（a+b).例3（2004湖北高考，理19）如圖2—3-8,在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問與的夾角θ取何值時,·圖2思路分析：本小題主要考查向量的概念，平面向量的運算法則，考查運用向量及函數(shù)知識的能力.可以用基向量法和坐標系法解決。解法一：(基向量法）∵⊥，∴·=0?！?—，，，∴·=（）·（)=·—·—·+·=-a2-··=—a2-·()=—a2+·=-a2+·=—a2+a2cosθ。故當cosθ=1，即θ=0（與方向相同）時，·最大，其最大值為0。解法二：（坐標法）如圖2-圖2-3-9設｜AB|=c，|AC|=b，則A（0,0),B(c，0），C(0，b），且|PQ｜=2a，|BC｜=a設點P(x,y）,則Q（-x,—y）?！?(x-c,y),=(—x,-y—b),=（-c,b)，=(—2x,-2y),∴·=（x-c)(-x)+y(-y-b)=-（x2+y2)+cx-by?！遼｜2=x2+y2,∴x2+y2=a2?！遚osθ==，∴cx-by=a2cosθ?！唷?—a2+a2cosθ.故當cosθ=1，即θ=0(與方向相同）時,·最大，其最大值為0。綠色通道:解決向量問題的兩種方法：(1）基向量法：選擇不共線（最好垂直）的兩個向量為平面向量基底,其他向量均用基底表示,將問題轉化為向量的分解及其有關運算或其他問題；（2)坐標法：選擇互相垂直的兩個向量的基線為坐標軸，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算解決向量的有關問題。變式訓練正方形OABC的邊長為1，點D、E分別為AB、BC的中點，試求cos〈，〉的值.思路分析：最優(yōu)解法為坐標法。解法一：(坐標法）如圖2—圖2-3以OA和OC分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則有A（1，0），C(0，1），B(1，1），∴=(1，)，=(，1），故cos∠DOE===.解法二：(基向量法）以和為基向量建立平面向量基底.設=a，=b,則有|a｜=|b｜=1，<a,b〉=，a·b=0?！?=+=a+b，+=+=a+b.∴||===，|｜2===，·=（a+b）(a+b)=a2+a·b+b2=1.∴cos∠DOE==。問題探究問題在直角坐標系中,將單位向量旋轉90°到向量的位置，這兩個向量有何關系？這兩個向量的坐標之間有什么特殊聯(lián)系?這種聯(lián)系有什么作用？導思：探究方法：畫圖，結合圖形觀察，通過歸納、猜想、證明得到它們之間的關系.探究：如圖2-3-11所示，在單位圓中,設=（a1，a2圖2∵⊥,且｜｜=|｜=1，∴有整理得或即當按逆時針方向旋轉90°時，=(—a2,a1），當按順時針方向旋轉90°時,=（a2，—a1）.也就是把原向量的橫、縱坐標交換，并在其中一個前添加負號。這一結論可以證明三角函數(shù)的誘導公式.例如：求證：cos(α+90°）=-sinα，sin(α+90°)=cosα。證明：設α的終邊與單位圓交于點A，則A（cosα，sinα），所以=